專題28 統(tǒng)計案例和回歸方程 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

知識點一、變量間的相關(guān)關(guān)系
1、變量之間的相關(guān)關(guān)系
當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性，則這兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系．由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計發(fā)揮著非常重要的作用．我們可以通過收集大量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷．
注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．
2、散點圖
將樣本中的個數(shù)據(jù)點描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點圖．根據(jù)散點圖中點的分布可以直觀地判斷兩個變量之間的關(guān)系．
（1）如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)，如圖（1）所示；
（2）如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)，如圖（2）所示．
3、相關(guān)系數(shù)
若相應(yīng)于變量的取值，變量的觀測值為，則變量與的相關(guān)系數(shù)，通常用來衡量與之間的線性關(guān)系的強弱，的范圍為．
（1）當(dāng)時，表示兩個變量正相關(guān)；當(dāng)時，表示兩個變量負(fù)相關(guān)．
（2）越接近，表示兩個變量的線性相關(guān)性越強；越接近，表示兩個變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．當(dāng)時，所有數(shù)據(jù)點都在一條直線上．
（3）通常當(dāng)時，認(rèn)為兩個變量具有很強的線性相關(guān)關(guān)系．
知識點二、線性回歸
1、線性回歸
線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法．
對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為
其中，，，（，）稱為樣本點的中心．
2、殘差分析
對于預(yù)報變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值等于殘差，稱為相應(yīng)于點的殘差，即有．殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．
（1）殘差圖
通過殘差分析，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適．
（2）通過殘差平方和分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反之，不合適．
（3）相關(guān)指數(shù)
用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是：．
越接近于，說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好．
知識點三、獨立性檢驗
1、分類變量和列聯(lián)表
（1）分類變量：
變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．
（2）列聯(lián)表：
①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．
②2×2列聯(lián)表．
一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為
從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個變量是否有關(guān)系．
2、等高條形圖
（1）等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．
（2）觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系．
3、獨立性檢驗
（1）定義：利用獨立性假設(shè)、隨機變量來確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗．
（2）公式：，其中為樣本容量．
（3）獨立性檢驗的具體步驟如下：
①計算隨機變量的觀測值，查下表確定臨界值：
②如果，就推斷“與有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過的前提下不能推斷“與有關(guān)系”．
（2）兩個分類變量和是否有關(guān)系的判斷標(biāo)準(zhǔn)：
統(tǒng)計學(xué)研究表明：
當(dāng)時，認(rèn)為與無關(guān)；
當(dāng)時，有的把握說與有關(guān)；
當(dāng)時，有的把握說與有關(guān)；
當(dāng)時，有的把握說與有關(guān)．
【典型例題】
例1．（山東省棗莊市2024屆高三學(xué)期3月模擬考試數(shù)學(xué)試題）某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良．采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：
經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗（已知獨立性檢驗中），則可以認(rèn)為（）
A．兩種療法的效果存在差異
B．兩種療法的效果存在差異，這種判斷犯錯誤的概率不超過0．005
C．兩種療法的效果沒有差異
D．兩種療法的效果沒有差異，這種判斷犯錯誤的概率不超過0．005
例2．（四川省成都市2024屆高三學(xué)期第二次診斷性檢測文科數(shù)學(xué)試題）對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖1；對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖2.表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且B．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且
C．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且D．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且
例3．（FHsx1225yl136）如圖，去掉點D(3，10)后，下列說法錯誤的是（）
A．相關(guān)系數(shù)r變大
B．殘差平方和變大
C．決定系數(shù)R2變大
D．解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強
例4．（湖南省2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試考前演練二數(shù)學(xué)試題）某騎行愛好者在專業(yè)人士指導(dǎo)下對近段時間騎行鍛煉情況進行統(tǒng)計分析，統(tǒng)計每次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時（單位：小時）如下表：
由上表數(shù)據(jù)得到的正確結(jié)論是（）
參考數(shù)據(jù)：
參考公式：相關(guān)系數(shù).
A．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時正相關(guān)
B．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時的相關(guān)程度較弱
C．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時的相關(guān)程度較強
D．身體綜合指標(biāo)評分與騎行用時的關(guān)系不適合用線性回歸模型擬合
例5．（四川省成都市第七中學(xué)2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗.現(xiàn)隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：
計算可知，根據(jù)小概率值______的獨立性檢驗，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果” （）
附：，.
A．0.001B．0.05C．0.01D．0.005
例6．（云南省曲靖市2024屆高三學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）已知變量關(guān)于的回歸方程為，若對兩邊取自然對數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：
則當(dāng)時，預(yù)測的值為（）
A．B．C．D．
例7．（山東省濱州市2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）某學(xué)校一同學(xué)研究溫差（單位：℃）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)（單位：人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：
由上表中數(shù)據(jù)求得溫差與新增感冒人數(shù)滿足經(jīng)驗回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．與有正相關(guān)關(guān)系B．經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點
C．D．時，殘差為0.2
例8．（云南省大理白族自治州2024屆高三第二次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題）已知某種商品的廣告費支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則當(dāng)時，殘差為 .（殘差觀測值-預(yù)測值）
例9．（天津市八校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷）學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運動于健康體魄，持之已久、行之愈遠(yuǎn)愈受益．為實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，全國各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強國”的高潮．某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強國”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對的題數(shù)如下表：
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
相關(guān)系數(shù)
由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對題數(shù)y與天數(shù)x之間是相關(guān)（填“正”或“負(fù)”），其相關(guān)系數(shù) （結(jié)果保留兩位小數(shù)）
例10．（2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文科猜題卷（七））近年來，隨著國家對新能源汽車產(chǎn)業(yè)的支持，很多國產(chǎn)新能源汽車迅速崛起，其因顏值高、動力充沛、提速快、空間大、用車成本低等特點得到民眾的追捧，但是充電難成為影響新能源汽車銷量的主要原因，國家為了加快新能源汽車的普及程度，在全國范圍內(nèi)逐步增建充電樁．某地區(qū)2019－2023年的充電樁數(shù)量及新能源汽車的年銷量如表所示：
(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明（結(jié)果精確到0.001）；
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，預(yù)測當(dāng)該地區(qū)充電樁數(shù)量為24萬臺時，新能源汽車的年銷量是多少萬輛？
參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
例11．（湖北省七市州2024屆高三學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：
(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；
(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；
(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：
例12．（陜西省漢中市漢臺區(qū)2024屆高三學(xué)期第四次校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）大學(xué)生劉銘去某工廠實習(xí)，實習(xí)結(jié)束時從自己制作的某種零件中隨機選取了10個樣品，測量每個零件的橫截面積（單位：）和耗材量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
并計算得．
(1)估算劉銘同學(xué)制作的這種零件平均每個零件的橫截面積以及平均一個零件的耗材量；
(2)求劉銘同學(xué)制作的這種零件的橫截面積和耗材量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(3)劉銘同學(xué)測量了自己實習(xí)期制作的所有這種零件的橫截面積，并得到所有這種零件的橫截面積的和為，若這種零件的耗材量和其橫截面積近似成正比，請幫劉銘計算一下他制作的零件的總耗材量的估計值．附：相關(guān)系數(shù)．
例13．在一次抽樣調(diào)查中測得個樣本點，得到下表及散點圖.

(1)根據(jù)散點圖判斷與哪一個適宜作為關(guān)于的回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立與的回歸方程；（計算結(jié)果保留整數(shù)）
參考公式：
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，下列結(jié)論正確的是（）

A．B．
C．D．
2．（上海市普陀區(qū)桃浦中學(xué)2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列命題中，真命題的是（）
A．若回歸方程，則變量與負(fù)相關(guān)
B．線性回歸分析中決定系數(shù)用來刻畫回歸的效果，若該值越小，則模型的擬合效果越好
C．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差9
D．若與獨立，則
3．（內(nèi)蒙古呼和浩特市2024屆高三學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）用模型擬合一組數(shù)據(jù)組，其中，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（）
A．B．C．35D．21
4．（上海市浦東新區(qū)2024屆高三學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷）通過隨機抽樣，我們繪制了如圖所示的某種商品每千克價格（單位：百元）與該商品消費者年需求量（單位：千克）的散點圖.若去掉圖中右下方的點后，下列說法正確的是（）
A．“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量由負(fù)相關(guān)變?yōu)檎嚓P(guān)
B．“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關(guān)程度不變
C．“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關(guān)系數(shù)變大
D．“每千克價格”與“年需求量”這兩個變量的線性相關(guān)系數(shù)變小
二、多選題
5．（2024屆廣東省湛江市高三一模數(shù)學(xué)試題）某養(yǎng)老院有110名老人，經(jīng)過一年的跟蹤調(diào)查，過去的一年中他們是否患過某流行疾病和性別的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
下列說法正確的有（）
參考公式：，其中．
附表：
A．
B．
C．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認(rèn)為是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)
D．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)推斷是否患過該流行疾病與性別有關(guān)聯(lián)
6．（河北省滄州市泊頭市聯(lián)考2024屆高三學(xué)期高考模擬考試數(shù)學(xué)試題）下表是某地從2019年至2023年能源消費總量近似值（單位：千萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的數(shù)據(jù)表：
以為解釋變量，為響應(yīng)變量，若以為回歸方程，則決定系數(shù)0.9298，若以為回歸方程，則，則下面結(jié)論中正確的有（）
A．變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)為正數(shù)
B．比的擬合效果好
C．由回歸方程可準(zhǔn)確預(yù)測2024年的能源消費總量
D．
7．（FHsx1225yl136）(多選)某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生對“只要學(xué)習(xí)夠努力，成績一定有奇跡”這句話的認(rèn)可程度，隨機調(diào)查了90名本校高一、高二的學(xué)生，得到如下列聯(lián)表．用樣本估計總體，則下列說法正確的是(參考數(shù)據(jù)：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥10.828)＝0.001)（）
A．高一高二大約有66.7%的學(xué)生認(rèn)可這句話
B．高一高二大約有99%的學(xué)生認(rèn)可這句話
C．依據(jù)α＝0.01的獨立性檢驗，認(rèn)為學(xué)生對這句話認(rèn)可與否與年級有關(guān)
D．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為學(xué)生對這句話認(rèn)可與否與年級無關(guān)
8．（安徽省蕪湖市安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知由樣本數(shù)據(jù)（i=1，2，3，…，10）組成的一個樣本，得到回歸直線方程為，且．剔除一個偏離直線較大的異常點后，得到新的回歸直線經(jīng)過點．則下列說法正確的是
A．相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系
B．剔除該異常點后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大
C．剔除該異常點后的回歸直線方程經(jīng)過點
D．剔除該異常點后，隨x值增加相關(guān)變量y值減小速度變小
9．（湘豫名校聯(lián)考2024年2月高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）下列說法中，正確的是（）
A．設(shè)有一個經(jīng)驗回歸方程為，變量增加1個單位時，平均增加2個單位
B．已知隨機變量，若，則
C．兩組樣本數(shù)據(jù)和的方差分別為.若已知且，則
D．已知一系列樣本點的經(jīng)驗回歸方程為，若樣本點與的殘差相等，則
10．（河南省部分重點中學(xué)2024屆高三學(xué)期2月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知變量之間的經(jīng)驗回歸方程為，且變量的數(shù)據(jù)如下表所示：
則下列說法正確的是（）
A．變量之間負(fù)相關(guān)B．
C．當(dāng)時，可估計的值為11D．當(dāng)時，殘差為
11．（吉林省部分學(xué)校2024屆高三學(xué)期高考模擬（三）數(shù)學(xué)試題）為了解高二學(xué)生是否喜愛物理學(xué)科與性別的關(guān)聯(lián)性，某學(xué)校隨機抽取了200名學(xué)生進行統(tǒng)計．得到如圖所示的列聯(lián)表，則下列說法正確的是（）
A．喜愛物理學(xué)科的學(xué)生中，男生的頻率為
B．女生中喜愛物理學(xué)科的頻率為
C．依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以推斷學(xué)生是否喜愛物理學(xué)科與性別有關(guān)
D．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為學(xué)生是否喜愛物理學(xué)科與性別無關(guān)
參考公式：，其中.
附表：
12．（云南省三校2024屆高三高考備考實用性聯(lián)考卷（五）數(shù)學(xué)試題）下列命題正確的是（）
A．若樣本數(shù)據(jù)的方差為3，則數(shù)據(jù)的方差為12
B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則
C．若某校高三（1）班8位同學(xué)身高（單位）分別為：，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)（即第25百分位數(shù)）為170
D．根據(jù)變量與的樣本數(shù)據(jù)計算得到，根據(jù)的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)，且犯錯誤的概率不超過0.05
13．（浙江省寧波市慈溪市2024屆高三學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題）某電商平臺為了對某一產(chǎn)品進行合理定價，采用不同的單價在平臺試銷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到與具有較強的線性關(guān)系，若用最小二乘估計得到經(jīng)驗回歸方程為，則（）
A．相關(guān)系數(shù)B．點一定在經(jīng)驗回歸直線上
C．D．時，對應(yīng)銷量的殘差為
14．（廣東省揭陽市2024屆高三學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試題）2023年入冬以來，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第天的數(shù)據(jù)如表所示．
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸方程為，則（）
A．樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi)B．當(dāng)時，殘差為-2
C．點一定在經(jīng)驗回歸直線上D．第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為130
15．（遼寧省沈陽市遼中區(qū)第一私立高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）對兩個變量和進行回歸分析，則下列結(jié)論正確的為（）
A．回歸直線至少會經(jīng)過其中一個樣本點
B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好
C．建立兩個回歸模型，模型的相關(guān)系數(shù)，模型的相關(guān)系數(shù)，則模型的擬合度更好
D．以模型去擬合某組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別為
16．（重慶市黔江中學(xué)校2024屆高三學(xué)期8月考試數(shù)學(xué)試題）下列說法中正確的是（）
A．將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變
B．回歸直線恒過樣本點的中心，且至少過一個樣本點
C．用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果時，越接近1，說明模型的擬合效果越好
D．在列聯(lián)表中，的值越大，說明兩個分類變量之間的關(guān)系越弱
三、填空題
17．（廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)試卷）某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重（單位：克）與脈搏率（單位：心跳次數(shù)/分鐘）的對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)生物學(xué)常識和散點圖得出與近似滿足（為參數(shù)）.令，，計算得，，.由最小二乘法得經(jīng)驗回歸方程為，則的值為；為判斷擬合效果，通過經(jīng)驗回歸方程求得預(yù)測值，若殘差平方和，則決定系數(shù) .（參考公式：決定系數(shù)）
18．（專題04回歸分析與獨立性檢驗的應(yīng)用（四大類型））學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運動于健康體魄，持之已久、行之愈遠(yuǎn)愈受益．為實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，全國各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強國”的高潮．某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強國”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對的題數(shù)如下表：
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
相關(guān)系數(shù)
由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對題數(shù)y與天數(shù)x之間是正相關(guān)，其相關(guān)系數(shù) （結(jié)果保留兩位小數(shù)）.
四、解答題
19．（四川省成都市郫都區(qū)2024屆高三學(xué)期階段檢測（三））數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，某線下家電商場為提升人氣和提高營業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計了該商場開通在線直播的第x天的線下顧客人數(shù)y（單位：百人）的數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，計算變量y與x的相關(guān)系數(shù)r，并用r判斷兩個變量y與x相關(guān)關(guān)系的強弱（精確到小數(shù)點后三位）；
(2)根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求出該線性回歸方程并估計該商場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù)．
（參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：
回歸方程：，其中，）
20．（河南省TOP二十名校2024屆高三學(xué)期質(zhì)檢一數(shù)學(xué)試題）近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，針對短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢必成為一種新的技能．某機構(gòu)在網(wǎng)上隨機對1000人進行了一次市場調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP，得到如下數(shù)據(jù)：
其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400．
(1)求的值；
(2)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析對短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？
參考公式：，其中．
臨界值表：
21．（山西省晉城市第一中學(xué)校2024屆高三學(xué)期第十四次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）成都第31屆世界大學(xué)生夏季運動會于7月28日開幕，蓬勃向上的青春活力在“大運之城”綻放，多所學(xué)校掀起了運動的熱潮，為了解決學(xué)生對運動的喜愛程度，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機抽取200名學(xué)生進行問卷調(diào)查，得到以下信息：
①抽取的學(xué)生中，男生占的比例為60%；
②抽取的學(xué)生中，不喜歡運動的學(xué)生占的比例為40%；
③抽取的學(xué)生中，喜歡運動的男生比喜歡運動的女生多40人.
(1)完成列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為是否喜歡運動與性別有關(guān)聯(lián)？
(2)從隨機抽取的這200名學(xué)生中隨機抽取20人，其中喜歡運動的有11人，不喜歡運動的有9人，現(xiàn)從這20人中隨機選出2人，設(shè)2人中喜歡運動的學(xué)生人數(shù)為，求隨機變量的分布列.
參考公式及數(shù)據(jù)
22．（河北省張家口市尚義縣第一中學(xué)等校2024屆高三學(xué)期開學(xué)收心聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）為了研究體育鍛煉對某年齡段的人患某種慢性病的影響，某人隨機走訪了個該年齡段的人，得到的數(shù)據(jù)如下：
(1)定義分類變量、如下：，，以頻率估計概率，求條件概率與的值；
(2)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析經(jīng)常進行體育鍛煉是否對患該種慢性病有影響．
附：
23．（江蘇省南京市金陵中學(xué)2023-2024學(xué)年高三學(xué)期2月模擬測試數(shù)學(xué)試題）某高中為了了解高中學(xué)生暑假期間閱讀古典名著的時間（小時/每周）和他們的語文成績（分）的關(guān)系，某實驗小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）．
表一
(1)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出語文成績的平均數(shù)和方差；
(2)基于上述調(diào)查，學(xué)校為了確認(rèn)學(xué)生喜歡閱讀古典名著與語文成績的關(guān)系，抽樣調(diào)查了200位學(xué)生．按照是否喜歡閱讀古典名著與語文成績是否優(yōu)秀統(tǒng)計，得到下列數(shù)據(jù)，請依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨立性檢驗，分析“喜歡閱讀古典名著與語文成績優(yōu)秀”是否有關(guān)．
表二
24．（陜西省2024屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測（一）文科數(shù)學(xué)試題）我國老齡化時代已經(jīng)到來，老齡人口比例越來越大，出現(xiàn)很多社會問題．2015年10月，中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第五次全體會議公報指出：堅持計劃生育基本國策，積極開展應(yīng)對人口老齡化行動，實施全面二孩政策．隨著國家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構(gòu)用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表．
(1)求x和y的值．
(2)分析調(diào)查數(shù)據(jù)，是否有以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級別有關(guān)”？
(3)在以上二孩生育意愿中按分層抽樣的方法，抽取6名育齡婦女，再選取兩名參加育兒知識講座，求至少有一名來自一線城市的概率．
參考公式：，
25．（廣東省深圳外國語學(xué)校、執(zhí)信中學(xué)2023-2024學(xué)年高三學(xué)期期末校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）杭州第19屆亞運會，中國代表團共獲得201金111銀71銅，共383枚獎牌，金牌數(shù)超越2010年廣州亞運會的199枚，標(biāo)志著我國體育運動又有了新的突破.某大學(xué)從全校學(xué)生中隨機抽取了130名學(xué)生，對其日常參加體育運動情況做了調(diào)查，其中是否經(jīng)常參加體育運動的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
(1)利用頻率估計概率，現(xiàn)從全校女生中隨機抽取5人，求其中恰有2人不經(jīng)常參加體育運動的概率；
(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為是否經(jīng)常參加體育運動與性別有關(guān)聯(lián).
參考公式：.
26．（河北省張家口市2023-2024學(xué)年高三學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題）某公司男女職工人數(shù)相等，該公司為了解職工是否接受去外地長時間出差，進行了如下調(diào)查：在男女職工中各隨機抽取了100人，經(jīng)調(diào)查，男職工和女職工接受去外地長時間出差的人數(shù)分別為40和20．
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為是否接受去外地長時間出差與性別有關(guān)聯(lián)？
單位：人
(2)若將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該公司中隨機抽取5人，記其中接受去外地長時間出差的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望，
附表：
附：，其中．
27．（藝體生一輪復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計第50講獨立性檢驗【練】）第五代移動通信技術(shù)（簡稱）是最新一代蜂窩移動通信技術(shù)，是實現(xiàn)人機物互聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施．某市工信部門為了解本市手機用戶對網(wǎng)絡(luò)的滿意情況，隨機抽取了本市200名手機用戶進行了調(diào)查，所得情況統(tǒng)計如下：
附：
，其中．
(1)完成上述列聯(lián)表，并估計本市手機用戶對網(wǎng)絡(luò)滿意的概率；
(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析本市手機用戶對網(wǎng)絡(luò)滿意與年齡在50歲以下是否有關(guān)．
28．（青海省西寧市大通縣2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）家居消費是指居民在日常生活中購買和使用的家具、家電、建材、裝修等產(chǎn)品和服務(wù)所形成的消費行為.長期以來，家居消費一直是居民消費的重要組成部分，對于帶動居民消費增長和經(jīng)濟恢復(fù)具有重要意義.某家居店為了迎接周年慶舉辦促銷活動，統(tǒng)計了半個月以來天數(shù)x與銷售額y（萬元）的一組數(shù)據(jù)：.通過分析發(fā)現(xiàn)x與y呈線性相關(guān).
(1)求x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果保留三位小數(shù)）；
(2)求x與y的線性回歸方程（，的結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.
參考公式：相關(guān)系數(shù)，，.
參考數(shù)據(jù)：，，，.
29．（江蘇省鎮(zhèn)江市第一中學(xué)2024屆高三學(xué)期1月學(xué)情檢測調(diào)研數(shù)學(xué)試題）隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式，為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況，某調(diào)查機構(gòu)進行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機抽取了男女各人進行分析，從而得到表（單位：人）：
(1)完成上表；對于以上數(shù)據(jù)，采用小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)聯(lián)？
(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率；
②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取20人贈送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差.
參考公式：.常用的小概率值和對應(yīng)的臨界值如下表：
30．（河北省邢臺市寧晉縣河北寧晉中學(xué)2024屆高三學(xué)期模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題）“世界衛(wèi)生組織”通過總結(jié)“世界預(yù)防醫(yī)學(xué)”的最新成果，指出：的疾病都與不良水質(zhì)有關(guān)，50多種疾病與飲用不良水質(zhì)有關(guān).下表是某省A市的慢性病研究中心調(diào)查得到的甲慢性病與飲用水水質(zhì)的調(diào)查表：
單位：人
(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為A市患慢性病與飲用不良水質(zhì)有關(guān)？
(2)已知某省A市、B市和其他縣市人口占比分別是，，，以調(diào)查表數(shù)據(jù)的頻率估計A市患甲慢性病的概率，經(jīng)過深入調(diào)查發(fā)現(xiàn)B市和其他縣市患甲慢性病的概率分別為，，從該省任意抽取一人，試估計此人患甲慢性病的概率．
附表及公式：，其中．
臨界值表：
31．（黑龍江省雞西市第一中學(xué)校2024屆高三學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費者所接受.針對這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個月的帶貨金額：
(1)計算變量的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）.
(2)求變量之間的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2023年6月份該公司的直播帶貨金額.
參考數(shù)據(jù)：，
參考公式：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程的斜率，截距.
32．（江西省贛州市興國縣聯(lián)考2024屆高三學(xué)期5月月考文科數(shù)學(xué)試題）隨著人們生活水平的提高，我國城鄉(xiāng)居民消費結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大變化，家庭食品支出的比重呈逐年下降趨勢，下表是近5年某居民家庭食品支出占總消費的比重（以下簡稱比重）的統(tǒng)計表．
(1)求與的相關(guān)系數(shù)（精確到0.001），并據(jù)此判斷比重與年份的相關(guān)性強弱；
(2)若比重與年份代碼之間具有較強的線性相關(guān)性，求關(guān)于的線性回歸方程；
附：①相關(guān)系數(shù)：，若，則可判斷與線性相關(guān)性較強．
②線性回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為．
③參考數(shù)據(jù)：．
33．（江西省泰和中學(xué)2024屆高三7月暑期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）某騎行愛好者近段時間在專業(yè)人士指導(dǎo)下對騎行情況進行了統(tǒng)計，各次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評分x與對應(yīng)用時y（單位：小時）如下表：
(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；
(2)建立關(guān)于的回歸方程.
參考數(shù)據(jù)和參考公式：相關(guān)系數(shù)，，，
34．（山東省濱州市2023-2024學(xué)年高二學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）為了加快實現(xiàn)我國高水平科技自立自強，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入．下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點圖，其中年份代碼1-10分別對應(yīng)年份2013-2022．

根據(jù)散點圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入關(guān)于年份代碼的經(jīng)驗回歸方程模型，并進行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖．結(jié)合數(shù)據(jù)，計算得到如下表所示的一些統(tǒng)計量的值：
表中．
(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個更適宜作為年研發(fā)投入關(guān)于年份代碼的經(jīng)驗回歸方程模型？并說明理由；
(2)根據(jù)（1）中所選模型，求出關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測該公司2028年的高科技研發(fā)投入．
附：對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．
35．（2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)猜題卷（三））近年來，我國新能源汽車技術(shù)水平不斷進步、產(chǎn)品性能明顯提升，產(chǎn)銷規(guī)模連續(xù)六年位居世界首位.我國新能源汽車行業(yè)取得的成就離不開國家政策的支持，為支持我國新能源汽車行業(yè)發(fā)展，國家出臺了一系列政策，其中《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2021－2035年）》提出，到2025年，新能源汽車新車銷售量達到汽車新車銷售總量的20％左右，力爭經(jīng)過15年的持續(xù)努力，我國新能源汽車核心技術(shù)達到國際先進水平，質(zhì)量品牌具備較強國際競爭力.某汽車城從某天開始連續(xù)的營業(yè)天數(shù)x與新能源汽車銷售總量y（單位：輛）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：
(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明（結(jié)果精確到0.001）；
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測該汽車城連續(xù)營業(yè)130天的汽車銷售總量.
參考數(shù)據(jù)：，，.
參考公式：相關(guān)系數(shù)，
線性回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為，.
36．（山東省淄博市2024屆高三學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）某電商平臺統(tǒng)計了近七年小家電的年度廣告費支出(萬元)與年度銷售量(萬臺)的數(shù)據(jù)，如表所示:
其中，
(1)若用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求出關(guān)于的線性回歸方程；
(2)若用模型擬合得到的回歸方程為，經(jīng)計算線性回歸模型及該模型的分別為0.75和0.88，請根據(jù)的數(shù)值選擇更好的回歸模型擬合與的關(guān)系，進而計算出年度廣告費為何值時，利潤的預(yù)報值最大？
參考公式：，；
總計
總計
0.5
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
療法
療效
合計
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
合計
21
115
136
身體綜合指標(biāo)評分
1
2
3
4
5
用時小時）
9.5
8.8
7.8
7
6.1
被某病毒感染
未被某病毒感染
合計
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合計
30
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
5
5
6
8
9
12
16
20
25
28
36
1
3
4
5
7
15
20
30
40
45
天數(shù)x
1
2
3
4
5
6
7
一次最多答對題數(shù)y
12
15
16
18
21
24
27
年份
2019
2020
2021
2022
2023
充電樁數(shù)量x/萬臺
1
3
5
7
9
新能源汽車年銷量y/萬輛
25
37
48
58
72
一周參加體育鍛煉次數(shù)
0
1
2
3
4
5
6
7
合計
男生人數(shù)
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人數(shù)
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合計
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性別
鍛煉
合計
不經(jīng)常
經(jīng)常
男生
女生
合計
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
樣本號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
零件的橫截面積
0.03
0.05
0.04
0.07
0.07
0.04
0.05
0.06
0.06
0.05
0.52
耗材量
0.24
0.40
0.23
0.55
0.50
0.34
0.35
0.45
0.43
0.41
3.9
性別
是否患過某流行疾病
合計
患過該疾病
未患過該疾病
男
b
女
c
合計
80
110
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代號
1
2
3
4
5
能源消費總量近似值（單位：千萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤）
44.2
44.6
46.2
47.8
50.8
認(rèn)可
不認(rèn)可
總計
高一
20
20
40
高二
40
10
50
總計
60
30
90
5
6
8
12
14
10
8
6
5
1
性別
物理學(xué)科
喜愛
不喜愛
男
60
40
女
20
80
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
單價x/元
8
8.5
9
9.5
10
銷量y/萬件
89
85
80
78
68
x
1
2
3
4
5
y
21
10a
15a
90
109
天數(shù)x
1
2
3
4
5
6
7
一次最多答對題數(shù)y
12
15
16
18
21
24
27
x
1
2
3
4
5
y
10
12
15
18
20
青年人
中年人
老年人
對短視頻剪接成長視頻的APP有需求
200
對短視頻剪接成長視頻的APP無需求
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜歡運動
不喜歡運動
合計
男生
女生
合計
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
慢性病
體育鍛煉
合計
經(jīng)常
不經(jīng)常
未患病
患病
合計
編號
1
2
3
4
5
學(xué)習(xí)時間
2
4
7
7
10
語文成績
82
93
95
108
122
語文成績優(yōu)秀
語文成績不優(yōu)秀
合計
喜歡閱讀
75
25
100
不喜歡閱讀
55
45
100
合計
130
70
200
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
非一線
一線
總計
愿生
40
y
60
不愿生
x
22
40
總計
58
42
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
經(jīng)常參加
不經(jīng)常參加
男生
60
20
女生
40
10
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性別
接受
不接受
合計
男
女
合計
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
滿意情況
年齡
合計
50歲以下
50歲或50歲以上
滿意
95
不滿意
25
合計
120
200
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
經(jīng)常網(wǎng)購
偶爾或不用網(wǎng)購
合計
男性
45
100
女性
65
100
合計
a
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
飲用水水質(zhì)
甲慢性病
合計
患病
不患病
優(yōu)良水質(zhì)
100
400
500
不良水質(zhì)
100
200
300
合計
200
600
800
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
1
2
3
4
5
帶貨金額萬元
350
440
580
700
880
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代號
1
2
3
4
5
比重
38
32
30
27
23
身體綜合指標(biāo)評分
1
2
3
4
5
用時（/小時）
9.5
8.6
7.8
7
6.1
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35
從某天開始連續(xù)的營業(yè)天數(shù)x
10
20
30
40
50
新能源汽車銷售總量y/輛
62
68
75
81
89
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
廣告費支出
1
2
4
6
11
13
19
銷售量
1.9
3.2
4.0
4.4
5.2
5.3
5.4

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