一．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
二．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
線線平行
相似比(常用三角形的中位線)
構(gòu)造平行四邊形(證明一組對邊平行且相等)
平行的傳遞性
線面垂直的性質(zhì)：垂直同一個平面的兩條直線平行
線面平行的性質(zhì)
面面平行的性質(zhì)
平面向量
空間向量
線面平行
證明線面平行有兩種常用方法：
一是線面平行的判定定理；
二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行．
精講精練
題型一 三角形的中位線證線面平行
【例1】(2024·全國高三專題練習(xí)節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，設(shè)G，H分別為PB，AC的中點(diǎn)，求證：平面.
【答案】證明見解析.
【節(jié)選】證明：連接，易知，.
又由，故.
又因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，
所以平面PAD.
【方法總結(jié)】
三角形中位線證明線面平行思路
通過把面外的直線平移到平面內(nèi)找到與之平行的直線
構(gòu)造三角形中位線
【舉一反三】
1．(2024·廣東湛江節(jié)選)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：A1B1平面DEC1.
【答案】證明見解析.
【節(jié)選】因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以.
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，，所以.
又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.
2．(2024·全國高三專題練習(xí))在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．求證：平面.
【答案】證明見解析.
【節(jié)選】因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以.
又平面，平面，所以平面.
3．(2024·南寧市邕寧高級中學(xué)節(jié)選)如圖，正四棱錐中，E為PA的中點(diǎn)，求證：平面EBD.
【答案】證明見解析；
【解析】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO.
四邊形ABCD為正方形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)，又E為PA中點(diǎn)，
，又面，面EBD，
面.
題型二 構(gòu)造平行四邊形證線面平行
【例2】(2024·全國高三專題練習(xí)節(jié)選)如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．證明：MN∥平面C1DE；
【答案】證明見解析
【解析】證明：連結(jié)B1C，ME．
因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME=B1C．
又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND=A1D．由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，
因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
【方法總結(jié)】
構(gòu)造平行四邊形證線面平行
（1）通過把面外的直線平移到平面內(nèi)找到與之平行的直線
（2）構(gòu)造平行四邊形，通過一組對邊平行且相等證明平行四邊形
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)證明線線平行
【舉一反三】
1．(2024·廣東梅州節(jié)選)如圖，四棱錐P?ABCD中，E是PD的中點(diǎn)．證明：直線平面PAB.
【答案】證明見解析
【解析】取的中點(diǎn)，連接，．
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，
由得，
又，所以，即四邊形是平行四邊形，所以．
又平面，平面，故平面．
2．(2024·全國高三專題練習(xí)節(jié)選)如圖所示，已知正方形.、分別是、的中點(diǎn)，將沿折起.證明平面.
【答案】證明見解析.
【解析】、分別為正方形的邊、的中點(diǎn)，
∴，且，∴四邊形為平行四邊形，
∴，∵平面，而平面，∴平面.
3．(2024·河南洛陽市節(jié)選)在棱長為2的正方體中，是底面的中心，求證:平面
【答案】證明見解析.
【解析】證明：連接，設(shè)，連接.
且，是平行四邊形..
又平面，平面，平面.
題型三 三角形相似比證線面平行
【例3】(2024·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考節(jié)選)如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，且，點(diǎn)在棱上.證明：當(dāng)時，直線平面
【答案】證明見解析
【解析】證明：連結(jié)與交于點(diǎn)，連結(jié)
，，，
，，
又面，面，平面.
【舉一反三】
1．(2024·浙江杭州市·高三期末節(jié)選)在三棱錐中，為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.若，，.
(Ⅰ)求證：平面；
【答案】證明見解析
【解析】連接交于，連接.則點(diǎn)為的重心，有.
因?yàn)?，所以，且平面，平面?br>所以平面.
2．(2024·江西吉安市節(jié)選)如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，為的重心，，分別為，的中點(diǎn)，在上，且，求證：平面
【答案】證明見解析
【解析】證明：連接，
∵為的中點(diǎn)，為的重心，∴點(diǎn)一定在上，且，
∵為的中點(diǎn)，∴，
又，∴，即，∴，
則，∵平面，平面，∴平面；
題型四 面面平行的性質(zhì)證線面平行
【例4】(2024·江西宜春市節(jié)選)如圖所示，在多面體中，，，，四邊形為矩形，證明：平面
【答案】證明見解析
【解析】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榍遥?br>四邊形為平行四邊形，所以且，
又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以且?br>所以四邊形是平行四邊形，所以，
且平面，平面，
所以平面，同理可證平面，又
所以平面平面，因?yàn)槠矫?br>所以平面.
【方法總結(jié)】
面面平行的性質(zhì)證明線面平行
1：把線放在某個平面或構(gòu)造一個平面與之平行
2.利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行
【舉一反三】
1．(2024·全國高三月考節(jié)選)斜三棱柱中，設(shè)中點(diǎn)為，且，分別為，的中點(diǎn)，證明：平面
【答案】證明見解析
【解析】取中點(diǎn)，連接，，易知，，三點(diǎn)共線，
由，且平面，平面，故平面，
同理可得平面，
因?yàn)?，故平面平面?br>由平面，故平面．
2 .(2024·寧夏吳忠市節(jié)選)如圖，在三棱錐中，點(diǎn)D、E、F分別為棱PA、PC、BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，求證：平面BDE
【答案】證明見解析
【解析】法一：連接PF交BE于點(diǎn)H，連接DH，見圖1:
∵E，F(xiàn)分別是PC，BC的中點(diǎn)，∴H是三角形的重心，
∴．
由已知得，∴，
又平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE．
法二：取EC中點(diǎn)M，連接FM，GM，見圖2:
由已知得
∴平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE．
∵M(jìn)，F(xiàn)分別是EC，BC的中點(diǎn)，
∴，又平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE
∴，
∴平面平面BDE，又平面GFM，
∴平面BDE．
法三：在平面ABC內(nèi)，以垂直于AB的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，AP所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，見圖3，
設(shè)正三角形邊長為()
則，，，
∴，
設(shè)平面BDE的法向量為，則
，，
∴，可?。?br>又，，
∴，∴，
即，又平面BDE，
∴平面BDE．
題型五 證明線線平行--線面垂直的性質(zhì)
【例5】(2024·江西贛州市節(jié)選)在如圖所示的幾何體中，，，均為等邊三角形，且平面平面，平面平面，證明：；
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖示：分別取，的中點(diǎn)，，連結(jié)，，
因?yàn)椋骶鶠槿鹊牡冗吶切?，故，?br>又因?yàn)槠矫嫫矫媲医挥?，平面平面且交于?br>故面，面從而有，又，
進(jìn)而得四邊形為平行四邊形，得：，又即：
【舉一反三】
1．如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，，證明：直線平面；
【答案】見解析
【解析】證明：取中點(diǎn)，連接，
是正三角形，
∵平面平面，平面，
平面，∴，
又面，面，面.
2如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．求證：平面ABCD
證明：如圖，過點(diǎn)作于，連接，∴．如圖D
∵平面⊥平面，平面，
平面平面 ，
∴⊥平面，
又∵⊥平面，，
∴，.
∴四邊形為平行四邊形．
∴.
∵平面，平面，
∴平面．
題型六 面面平行
【例6】(2024·江西省奉新縣第一中學(xué)節(jié)選)如圖，在多面體中，面為正方形，面和面為全等的矩形，求證：平面平面
【答案】證明見解析
【解析】證明：∵四邊形為正方形，四邊形為矩形，∴，且.
∴四邊形為平行四邊形，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
同理平面.
又∵，為平面內(nèi)的兩條相交直線，∴平面平面.
【舉一反三 】
1．(2024·武漢市第一中學(xué)節(jié)選)如圖所示，多面體中，四邊形為菱形，，求證：平面平面
【答案】證明見解析
【解析】∵四邊形是菱形，∴．
又∵平面，平面，∴平面．
同理得，平面．
∵，平面，且，
∴平面平面；
2．(2024·山西呂梁市節(jié)選)正方體，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：∥平面
【答案】見解析
【解析】如圖，連接，取的中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)?，故?br>而平面，平面，故平面，
因?yàn)?，故?br>由正方體可得，故，
而平面，平面，故平面，
因?yàn)?，而平面?br>故平面平面，而平面，故平面.
3．(2024·安徽高三期末節(jié)選)如圖，在四棱柱中，底面是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)G在上，證明：平面ACE
【答案】證明見解析
【解析】如圖所示：連接BD交AC于點(diǎn)O，則O為BD的中點(diǎn)，連接BF，OE，，則．
∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．
∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴．
又∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．
∵，∴平面平面ACE，
∵平面，∴平面ACE．
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文字語言
圖形語言
符號語言
判定
定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)
∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α
性質(zhì)
定理
一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)
∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
如果兩個平面互相平行，其中一個平面內(nèi)的一直線平行與另外平面

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