一．函數(shù)的周期性
1.周期函數(shù)
對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．
2.最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
3．函數(shù)周期性常用結(jié)論
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0)．
二．函數(shù)圖象的對稱性
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．
(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對稱．
考向分析
考向一 對稱性
【例1】（2021·廣東揭陽市·高三一模）已知函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，且對任意均有成立，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【舉一反三】
1（2021·浙江）已知函數(shù)，且，則下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2019·福建師大二附中）函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
考向二 周期性
【例2】（2021·曲靖市第二中學(xué)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【舉一反三】
1．（2021·山東聊城市）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，若，則（ ）
A．B．C．0D．2
2．（2021·安徽合肥市·）已知是R上的奇函數(shù)且，當(dāng)時(shí)，，（ ）
A．B．2C．D．98
3．（2021·江西南昌市）若在上是奇函數(shù)，且有，當(dāng)時(shí)，則（ ）
A．242B．-242C．2D．-2
考向三 函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用
【例3】（2021·上海松江區(qū)）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足，若，則__________．
【舉一反三】
1．（2021·廣東高考模擬）已知是定義在上的奇函數(shù)，滿足，且，則（ ）
A．0B．C．D．
2．（2021·安徽亳州二中）定義在上的函數(shù)滿足，且，則=__________。
3.（2021·四川高考模擬）已知定義域的奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,且當(dāng)時(shí),,則（ ）
A．B．C．D．
4.（2019·永安市第一中學(xué)高考模擬）已知是定義在上的奇函數(shù)，滿足,若，則（ ）
A．1 B．0 C．1 D．2019
強(qiáng)化練習(xí)
1．（2021·四川資陽市）定義在R上的偶函數(shù)滿足,，則（ ）
A．B．C．2D．4
2．（2021·重慶九龍坡區(qū)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽且滿足，，若，則（ ）
A．6B．0C．D．
3．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶南開中學(xué)）定義在R上的奇函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（ ）
A．2B．1C．0D．
4．（2021·河南駐馬店市·高三期末（文））已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·湖北武漢市）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·江蘇南通市）已知定義在R上的函數(shù)滿足：，，當(dāng)時(shí)，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·江蘇揚(yáng)州市·揚(yáng)州中學(xué)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足不等式的x的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021·邵陽市第十一中學(xué)）已知函數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2020·全國課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是周期函數(shù)，10是的一個周期，且，則________.
10．（2021·浙江金華市）設(shè)是定義在上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)有，又當(dāng)時(shí)，，則______．
11．（2021·上海市西南位育中學(xué)）已知函數(shù)，對任意，都有（為非零實(shí)數(shù)），且當(dāng)時(shí)，，則___________.
12．（2021·陜西咸陽市·高三一模（文））若偶函數(shù)滿足，則____________．
13．（2021·浙江紹興市）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且周期為2，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，________.
14．（2021·上海市楊浦高級中學(xué)已知函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則_______________.
15．（2021·福建福州三中高一期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)，，則_____________．
16．（2021·湖北荊州市·沙市中學(xué)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則________．
17．（2021·長寧區(qū)·上海市延安中學(xué)）奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，，則_________.

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