一、必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件
在一定條件下：
= 1 \* GB3 ①必然要發(fā)生的事件叫必然事件；
= 2 \* GB3 ②一定不發(fā)生的事件叫不可能事件；
= 3 \* GB3 ③可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件．
二、概率
在相同條件下，做次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，事件A發(fā)生次，測(cè)得A發(fā)生的頻率為，當(dāng)很大時(shí)，A發(fā)生的頻率總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，隨著的增加，擺動(dòng)幅度越來(lái)越小，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做A的概率，記作．對(duì)于必然事件A，；對(duì)于不可能事件A，=0．
三、基本事件和基本事件空間
在一次實(shí)驗(yàn)中，不可能再分的事件稱(chēng)為基本事件，所有基本事件組成的集合稱(chēng)為基本事件空間．
四、古典概型
條件：1、基本事件空間含有限個(gè)基本事件 2、每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同

五、互斥事件的概率
1、互斥事件
在一次實(shí)驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生的事件稱(chēng)為互斥事件．事件A與事件B互斥，則 ．
2、對(duì)立事件
事件A，B互斥，且其中必有一個(gè)發(fā)生，稱(chēng)事件A，B對(duì)立，記作或．．
3、互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系
對(duì)立事件必是互斥事件，即“事件A，B對(duì)立”是”事件A，B互斥“的充分不必要條件．
六、條件概率與獨(dú)立事件
（1）在事件A發(fā)生的條件下，時(shí)間B發(fā)生的概率叫做A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率，記作 ，條件概率公式為 ．
（2）若，即，稱(chēng)與為相互獨(dú)立事件．與相互獨(dú)立，即發(fā)生與否對(duì)的發(fā)生與否無(wú)影響，反之亦然．即相互獨(dú)立，則有公式．
（3）在次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生次的概率記作，記在其中一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ，則 ．
【典型例題】
例1．（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）將甲、乙、丙等7名志愿者分到三個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)至少分配2人，則甲、乙、丙分到同一個(gè)地區(qū)的概率為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·廣西·二模）從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中隨機(jī)地取出3個(gè)數(shù)，則該3個(gè)數(shù)的積與和都是3的倍數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
例3．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件，存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性；該試劑的誤報(bào)率為，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有的可能會(huì)誤報(bào)陽(yáng)性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性，則此人患病的概率為（ ）
A．B．C．D．
例4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則的概率為（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A，B，C，D為四個(gè)不同的區(qū)域，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、黑4種顏色，對(duì)這四個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同的顏色（A與C不相鄰，B與D不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（ ）
A．B．C．D．
例6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為．若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過(guò)5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·四川遂寧·二模）某校甲、乙、丙、丁4個(gè)小組到A，B，C這3個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地參加實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組選擇一個(gè)基地，則每個(gè)基地至少有1個(gè)小組的概率為（ ）
A．B．C．D．
例8．（2024·寧夏固原·一模）現(xiàn)從3男2女共5名志愿者中選出3人前去A鎮(zhèn)開(kāi)展防電信詐騙宣傳活動(dòng)，向村民普及防詐騙、反詐騙的知識(shí)，則女志愿者至少選中1人的概率為 ．（用數(shù)字作答）
例9．（2024·高三·浙江·階段練習(xí)）甲、乙兩人爭(zhēng)奪一場(chǎng)羽毛球比賽的冠軍，比賽為“三局兩勝”制.如果每局比賽中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為 .
例10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）小明同學(xué)進(jìn)行射箭訓(xùn)練，每次射擊是否中靶相互獨(dú)立，根據(jù)以往訓(xùn)練情況可知小明射擊一次中靶的概率為，則小明射擊3次恰好有2次中靶的概率為 ．
例11．（2024·高三·安徽·階段練習(xí)）從中任意選1個(gè)數(shù)字，從中任意選2個(gè)數(shù)字，得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).在所組成的三位數(shù)中任選一個(gè)，則該數(shù)是偶數(shù)的概率為 .
例12．（2024·高三·河北·開(kāi)學(xué)考試）小明上學(xué)要經(jīng)過(guò)兩個(gè)有紅綠燈的路口，已知小明在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為，若他在第一個(gè)路口遇到紅燈，第二個(gè)路口沒(méi)有遇到紅燈的概率為，在第一個(gè)路口沒(méi)有遇到紅燈，第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為，則小明在第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為 ．
例13．（2024·廣西來(lái)賓·一模）根據(jù)氣象統(tǒng)計(jì)，某地3月份吹西北風(fēng)的概率為0.7，既吹西北風(fēng)又下雨的概率為0.5，則該地3月在吹西北風(fēng)的條件下下雨的概率為 .
例14．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為 ；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為 ．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年“中華情·中國(guó)夢(mèng)”中秋展演系列活動(dòng)在廈門(mén)舉辦，包含美術(shù)、書(shū)法、攝影民間文藝作品展覽，書(shū)畫(huà)筆會(huì)，中秋文藝晚會(huì)等內(nèi)容．假如在美術(shù)、書(shū)法、攝影民間文藝作品展覽中，某區(qū)域有2幅不同的美術(shù)作品、3幅不同的書(shū)法作品、2幅不同的攝影作品，將這7幅作品排成一排掛在同一面墻上，則美術(shù)作品不能掛兩端且攝影作品不能相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年7月28日在中國(guó)成都舉行，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間將安排來(lái)自A大學(xué)2名和B大學(xué)4名，共計(jì)6名大學(xué)生志愿者到體操比賽場(chǎng)館服務(wù)，現(xiàn)從這6名志愿者中隨機(jī)抽取2人擔(dān)任組長(zhǎng)，至少有一名A大學(xué)志愿者擔(dān)任組長(zhǎng)的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知6件產(chǎn)品中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件，其中恰好有1件正品的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）重慶，我國(guó)四大直轄市之一，這里資源豐富，旅游景點(diǎn)也多，不僅有山水自然風(fēng)光，還有人文歷史景觀．現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來(lái)到重慶旅游，分別準(zhǔn)備從巫山小三峽、南川金佛山、大足石刻和酉陽(yáng)桃花源4個(gè)國(guó)家5A級(jí)旅游景區(qū)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)景區(qū)游玩．記事件：甲和乙至少一人選擇酉陽(yáng)桃花源景區(qū)，事件：甲和乙選擇的景區(qū)不同，則概率（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）一數(shù)字電子表顯示的時(shí)間是四位數(shù)，如，那么在一天（24小時(shí)制）內(nèi)，所顯的四個(gè)數(shù)字和是23的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）甲、乙、丙3名同學(xué)從4門(mén)課程中任選一門(mén)作為選修課，則3名同學(xué)所選課程不全相同的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·陜西銅川·二模）從這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·高三·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）在高考的任一考場(chǎng)中，都安排6行5列共30名考生，考號(hào)機(jī)選，考場(chǎng)使用卷和卷兩種答卷以防作弊，且每名考生拿到卷和卷都是均等的，且相鄰考生答卷不相同，甲乙兩名同學(xué)在同一考場(chǎng)，已知甲乙同列的情況下，則他們都拿到卷的概率（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·全國(guó)·二模）某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
10．（2024·高三·貴州安順·期末）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，記n次傳球后球在甲手中的概率為，則（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．
D．第4次傳球后球在甲手中的不同傳球方式共有6種
11．（2024·高三·遼寧·期末）已知甲運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率是0.8，乙運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率是0.9，甲?乙投籃互不影響.若兩人各投籃一次，則（ ）
A．都沒(méi)有命中的概率是0.02
B．都命中的概率是0.72
C．至少一人命中的概率是0.94
D．恰有一人命中的概率是0.18
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）袋中有大小形狀相同的5個(gè)小球，其中黑球3個(gè)，白球2個(gè)，從中有放回地取球3次，每次取1個(gè)，記為取得黑球次數(shù)，為取得白球次數(shù)，則（ ）
A．隨機(jī)變量的可能取值為
B．隨機(jī)變量的可能取值為
C．隨機(jī)事件的概率為
D．隨機(jī)變量與的數(shù)學(xué)期望之和為3
13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）排球是一項(xiàng)深受人們喜愛(ài)的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，排球比賽一般采用5局3勝制．在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)，并且對(duì)方得1分．在決勝局（第五局）采用15分制，某隊(duì)只有贏得至少15分，并領(lǐng)先對(duì)方2分為勝．現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．已知前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局，若甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽，則甲隊(duì)將以或的比分贏得比賽
B．若甲隊(duì)每局比賽獲勝的概率為，則甲隊(duì)贏得整場(chǎng)比賽的概率也是
C．已知前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局，且接下來(lái)兩隊(duì)贏得每局比賽的概率均為，則甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽的概率為
D．已知前四局比賽中甲、乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏兩局比賽．在決勝局（第五局）中，兩隊(duì)當(dāng)前的得分為甲、乙各14分．若兩隊(duì)打了個(gè)球后甲贏得整場(chǎng)比賽，則的取值為2或4
三、填空題
14．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）若每經(jīng)過(guò)一天某種物品的價(jià)格變?yōu)樵瓉?lái)的1.1倍的概率為0.5，變?yōu)樵瓉?lái)的0.9倍的概率也為0.5，則經(jīng)過(guò)4天該物品的價(jià)格不低于原來(lái)價(jià)格的概率為 ．
15．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知某果園中獼猴桃單果的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，若從該果園中隨機(jī)挑選4個(gè)獼猴桃，則恰有2個(gè)單果的質(zhì)量均不低于的概率為 .
16．（2024·高三·上海浦東新·期中）某校面向高一全體學(xué)生共開(kāi)設(shè)3門(mén)體育類(lèi)選修課，每人限選一門(mén).已知這三門(mén)體育類(lèi) 選修課的選修人數(shù)之比為，考核優(yōu)秀率分別為20%、16%和12%，現(xiàn)從該年級(jí)所有選擇體育類(lèi)選修課的同學(xué)中任取一名，其成績(jī)是優(yōu)秀的概率為 .
17．（2024·高三·上?！るA段練習(xí)）甲乙兩人射擊，每人射擊一次.已知甲命中的概率是，乙命中的概率是，兩人每次射擊是否命中互不影響.已知甲、乙兩人至少命中一次，則甲命中的概率為 .
18．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）核桃（又稱(chēng)胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并稱(chēng)為世界著名的“四大干果”．它的種植面積很廣，但因地域不一樣，種植出來(lái)的核桃品質(zhì)也有所不同：現(xiàn)已知甲、乙兩地盛產(chǎn)核桃，甲地種植的核桃空殼率為（空殼率指堅(jiān)果，谷物等的結(jié)實(shí)性指標(biāo)，因花未受精，殼中完全無(wú)內(nèi)容，稱(chēng)為空殼），乙地種植的核桃空殼率為，將兩地種植出來(lái)的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃數(shù)分別占總數(shù)的，，從中任取一個(gè)核桃，則該核桃是空殼的概率是 ．
19．（2024·天津河?xùn)|·一模）某地區(qū)人群中各種血型的人所占比例如表1所示，已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任何一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血，小明是B型血，因病需要輸血，任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率為 ；任找兩個(gè)人，則小明有血可以輸?shù)母怕蕿? ．
20．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）甲袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙袋中有4個(gè)紅球和2個(gè)白球，如果所有小球只存在顏色的差別，并且整個(gè)取球過(guò)程是盲取，分兩步進(jìn)行：第一步，先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別用、表示由甲袋中取出紅球、白球的事件；第二步，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出兩球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“兩球都為紅球”的事件，則事件B的概率是 .
21．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）甲乙兩人射擊，甲射擊兩次，乙射擊一次.甲每次射擊命中的概率是，乙命中的概率是，兩人每次射擊是否命中都互不影響，則在兩人至少命中兩次的條件下，甲恰好命中兩次的概率為 .
22．（2024·陜西西安·二模）某學(xué)校舉辦作文比賽，共5個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到相同主題的概率為 ．
23．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某科研型農(nóng)場(chǎng)試驗(yàn)了生態(tài)柳丁的種植，在種植基地從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取100個(gè)，得到其質(zhì)量（單位：g）的頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表如圖．已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取1個(gè)柳丁，則該柳丁為商品果的概率為 ．
血型
A
B
AB
O
該血型的人占比
質(zhì)量/g
商品果率
0.7
0.8
0.8
0.9
0.7

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