【知識(shí)梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】6
【考點(diǎn)1】展開式中的通項(xiàng)問題6
【考點(diǎn)2】二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題9
【考點(diǎn)3】二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題13
【分層檢測】16
【基礎(chǔ)篇】16
【能力篇】22
考試要求：
能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.
知識(shí)梳理
1.二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；
(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
3.各二項(xiàng)式系數(shù)和
(1)(a＋b)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
(a＋b)n的展開式形式上的特點(diǎn)
(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.
(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.
(4)二項(xiàng)式系數(shù)從Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，一直到Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(n,n).
真題自測
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京·高考真題）若，則（ ）
A．40B．41C．D．
二、填空題
3．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為 ．
4．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 ．
5．（2024·上?！じ呖颊骖}）在的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則項(xiàng)的系數(shù)為 ．
6．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
7．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
8．（2022·浙江·高考真題）已知多項(xiàng)式，則 ， ．
參考答案：
1．A
【分析】寫出二項(xiàng)展開式，令，解出然后回代入二項(xiàng)展開式系數(shù)即可得解.
【詳解】的二項(xiàng)展開式為，
令，解得，
故所求即為.
故選：A.
2．B
【分析】利用賦值法可求的值.
【詳解】令，則，
令，則，
故，
故選：B.
3．5
【分析】先設(shè)展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則根據(jù)通項(xiàng)公式有，進(jìn)而求出即可求解.
【詳解】由題展開式通項(xiàng)公式為，且，
設(shè)展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則，
，即，又，故，
所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為.
故答案為：5.
4．20
【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解即可.
【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，
令，可得，
所以常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：20.
5．10
【分析】令，解出，再利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)合理賦值即可.
【詳解】令，，即，解得，
所以的展開式通項(xiàng)公式為，令，則，
．
故答案為：10．
6．
【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式，令確定的值，然后計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式，
令可得，，
則項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：60.
7．-28
【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以的展開式中含的項(xiàng)為，
的展開式中的系數(shù)為-28
故答案為：-28
8．
【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．
【詳解】含的項(xiàng)為：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案為：；．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】展開式中的通項(xiàng)問題
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知的展開式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．C．D．2
2．（2022·廣東·模擬預(yù)測）若是一組數(shù)據(jù)的方差，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．3360C．210D．16
二、多選題
3．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知，則下列說法中正確的有（ ）
A．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84
B．的展開式中不含的項(xiàng)
C．的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和相等
D．的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng)
4．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2022·上?！つM預(yù)測）在的展開式中，x的系數(shù)為 ．
6．（21-22高三下·山東德州·階段練習(xí)）在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和比為，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為 ．
參考答案：
1．B
【分析】因?yàn)?，結(jié)合二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，，
∵，
∴，解得，
故選：B.
2．B
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)信息，求解出方差的值，代入二項(xiàng)式中，求解二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求解常數(shù)項(xiàng)即可.
【詳解】解：數(shù)據(jù)0，2，0，2的平均值為1，故方差，
故二項(xiàng)式為，其展開式的通項(xiàng)公式為，
令，解得，
故常數(shù)項(xiàng)為.
故選：B.
3．AC
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可解出．
【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式，所以
當(dāng)，A正確；
當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；
的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，C正確；
根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，最大，所以，的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)和第六項(xiàng)，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
4．ABD
【分析】令，可求得，判斷A；寫出的求解式子，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)化簡，即可判斷B；令，即可求得的值，判斷C;對兩邊求導(dǎo)數(shù)，令，即可求得，判斷D.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A對；
，B對；
令，則，
∴，故C錯(cuò)；
對等式兩邊求導(dǎo)，
即
令，則，
∴，故D對，
故選：ABD．
5．17
【分析】利用二項(xiàng)式定理寫出兩個(gè)二項(xiàng)式的展開式，再分析計(jì)算作答.
【詳解】因，，
則在的展開式中，含x的項(xiàng)為：，
所以所求x的系數(shù)為17.
故答案為：17
6．
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知各項(xiàng)系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)和為，可求出，然后在判斷展開式的常數(shù)項(xiàng).
【詳解】解：由題意得：
令，則，所以的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為
又二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，解得．
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令，得
所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：．
反思提升：
(1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)公式即可.
(2)對于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識(shí)求解.
(3)對于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決，或利用展開式的原理求解.
【考點(diǎn)2】二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題
一、單選題
1．（2021·江西·模擬預(yù)測）在的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，則含的項(xiàng)系數(shù)為（ ）
A．45B．-45C．120D．-120
2．（2022·山東德州·二模）已知，二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．36B．30C．15D．10
二、多選題
3．（2022·福建龍巖·一模）已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說法正確的有（ ）
A．展開式共有7項(xiàng)B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)
C．所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128D．展開式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)
4．（2022·廣東深圳·二模）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2022·遼寧沈陽·一模）在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和的比值為，則二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .
6．（2022·湖南長沙·一模）已知，則 ．
參考答案：
1．A
【分析】先由只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求出n=10；再由展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，用賦值法求出a= -1,用通項(xiàng)公式求出的項(xiàng)的系數(shù).
【詳解】∵在的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
∴在的展開式有11項(xiàng)，即n=10；
而展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，
令x=1，代入，即，所以a= -1.
∴是展開式的通項(xiàng)公式為：，
要求含的項(xiàng)，只需10-2r=6，解得r=2，所以系數(shù)為.
故選：A
【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理類問題的處理思路：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)進(jìn)行分析．
2．C
【分析】先根據(jù)“所有項(xiàng)的系數(shù)和”求得，然后利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.
【詳解】令，則可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為且，解得，
∵的展開式中的通項(xiàng)，
∴當(dāng)時(shí)，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故選：C
3．CD
【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式、通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，
所以令可得：.
A：因?yàn)?，所以展開式共有項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說法不正確；
B：因?yàn)?，所以二?xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第項(xiàng)，
因此本選項(xiàng)說法不正確；
C：因?yàn)椋运卸?xiàng)式系數(shù)和為，所以本選項(xiàng)說法正確；
D：由B可知：，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，
故本選項(xiàng)說法正確，
故選：CD
4．AD
【分析】結(jié)合賦值法、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.
【詳解】由，
令得，A選項(xiàng)正確.
令得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，
由此可知是負(fù)數(shù)，為正數(shù)，
所以令得，
，
即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤
由，
兩邊求導(dǎo)得，
令得，所以D選項(xiàng)正確.
故選：AD
5．240
【分析】由已知求得，再根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式的展開式求出常數(shù)項(xiàng)即可.
【詳解】的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為，
令，得的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為，
由題意可得，即，解得，
所以的展開式的通項(xiàng)為，
令，解得，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為，
故答案為：240
6．0
【分析】利用賦值法可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，今，得，令，得，
因此，
故答案為：0.
反思提升：
1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法.
2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f（1）＋f（－1）,2)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f（1）－f（－1）,2).
【考點(diǎn)3】二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題
一、單選題
1．（2022·山西臨汾·二模）的展開式中x的系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則a的值為（ ）
A．2B．3C．4D．
2．（2024·安徽·二模）已知的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（ ）
A．第5項(xiàng)B．第6項(xiàng)C．第7項(xiàng)D．第8項(xiàng)
二、多選題
3．（2022·廣東茂名·二模）已知的展開式共有13項(xiàng)，則下列說法中正確的有（ ）
A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為
C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)D．有理項(xiàng)共5項(xiàng)
4．（2024高三下·河南·專題練習(xí)）已知的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2187，則下列說法正確的是（ ）
A．展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64
B．展開式中存在常數(shù)項(xiàng)
C．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為560
D．展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為
三、填空題
5．（21-22高三下·全國·開學(xué)考試）已知的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)值為 ．
6．（2024高三上·全國·競賽）在的展開式中，若的系數(shù)為，則 ；若展開式中有且僅有項(xiàng)的系數(shù)最大，則的取值范圍是 ．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大值為，再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式賦值即可求出．
【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，即時(shí)，x的系數(shù)為，而二項(xiàng)式系數(shù)最大值為，所以，即．
故選：A．
2．C
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和可得，即可根據(jù)通項(xiàng)特征，列舉比較可得最大值.
【詳解】由已知，故，故通項(xiàng)為（，1，…，8），故奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，
故最大，因此第七項(xiàng)的系數(shù)最大，
故選：C．
3．BD
【分析】根據(jù)展開式的通向公式以及二項(xiàng)式系數(shù)的的性質(zhì)求解判斷.
【詳解】因?yàn)?，所以，所有奇?shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A錯(cuò)誤，
令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故B正確，
由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)，故C錯(cuò)誤，
因?yàn)檎归_式通項(xiàng)為，
當(dāng)為整數(shù)時(shí)，，3，6，9，12，共有5項(xiàng)，故D正確．
故選：BD．
4．ACD
【分析】利用通項(xiàng)公式結(jié)合第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可知，可推出，再由各項(xiàng)系數(shù)和為2187，利用賦值可得，解得，從而得到一個(gè)已知的二項(xiàng)式，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和方法去判斷各選項(xiàng).
【詳解】由二項(xiàng)式的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，
又展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2187，即當(dāng)時(shí)，，解得，
所以二項(xiàng)式的系數(shù)之和為，
又由奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，
則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故A正確；
由的展開式的通項(xiàng)，令，
解得，故展開式中不存在常數(shù)項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；
又令，解得，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，故正確；
由得，，又，所以5，
所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，故D正確.
故選：ACD.
5．
【分析】寫出通項(xiàng)公式，然后得第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)，列式求解，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解答案.
【詳解】由題意，的展開式的通項(xiàng)為，所以展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為，所以，即，得，所以展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)值為或.
故答案為：
6． －1
【分析】第一空，根據(jù)二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)，列式求解，可得a的值；第二空，討論a的取值范圍，結(jié)合題意，列出不等式組，求解即可得答案.
【詳解】由題意知在的展開式中，的系數(shù)為，
即，
若展開式中有且僅有項(xiàng)的系數(shù)最大，不合題意，
當(dāng)時(shí)，所以項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，則需滿足，
即得；
當(dāng)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，
則此時(shí)需滿足，解得，
綜合可得的取值范圍是，
故答案為：-1；
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二空解決的關(guān)鍵是，注意時(shí)，二項(xiàng)展開式中系數(shù)的正負(fù)情況，從而列式得解.
反思提升：
二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開式中第eq \f(n,2)＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開式中第eq \f(n＋1,2)項(xiàng)和第eq \f(n＋3,2)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為或.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江蘇·二模）已知，則（ ）
A．-1B．0C．1D．2
3．（2024·遼寧·一模）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．55B．C．30D．
4．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知能被9整除，則整數(shù)的值可以是（ ）
A．B．-7C．9D．13
二、多選題
5．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（ ）
A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128
B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)
C．有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)
D．所有項(xiàng)的系數(shù)的和為
6．（2023·山東青島·一模）在的展開式中,下列說法正確的是( )
A．常數(shù)項(xiàng)是B．第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等
C．各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為D．各項(xiàng)的系數(shù)之和為
7．（23-24高二上·山東青島·期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)
B．
C．第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大
D．第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為
三、填空題
8．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知多項(xiàng)式，則 .
9．（22-23高二下·湖南·期末）在二項(xiàng)式的展開式中只有第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .
10．（2023·江蘇南通·一模）展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為 ．
參考答案：
1．A
【分析】由二項(xiàng)式定理得展開通項(xiàng)并整理，令，求出回代到展開通項(xiàng)即可求解.
【詳解】的展開式通項(xiàng)為，
由題意令，解得，從而常數(shù)項(xiàng)是.
故選：A.
2．D
【分析】先根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得，再利用賦值法，令，進(jìn)而即可求解．
【詳解】由，
則，得，
令，得，
左右兩邊除以，得，
所以．
故選：D．
3．C
【分析】借助二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.
【詳解】對，有，
令，有，
令，有，
則，
故的展開式中的系數(shù)為.
故選：C.
4．B
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，則能被整除，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.
【詳解】因?yàn)?br>，
又能被整除，
所以能被整除，
由選項(xiàng)知當(dāng)時(shí)符合，當(dāng)，或時(shí)均不符合.
故選：B．
5．AB
【分析】先求出二項(xiàng)式系數(shù)和，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，即可確定A；二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，即為中間項(xiàng)，可確定B；整理出通項(xiàng)公式，再對賦值，即可確定C；令，可求出所有項(xiàng)的系數(shù)的和，從而確定D.
【詳解】對于A,二項(xiàng)式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故A正確；
對于B, 二項(xiàng)式系數(shù)最大為，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故B正確；
對于C,，為有理項(xiàng)，可取的值為，所以有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；
對于D,令，則所有項(xiàng)系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
6．AC
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)公式為,對于A,令進(jìn)行判斷;對于B,令和計(jì)算判斷即可;對于C,因?yàn)?所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為可進(jìn)行判斷;對于D,令即可進(jìn)行判斷.
【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理,的通項(xiàng)公式為,
對于A,常數(shù)項(xiàng)為,故A正確;
對于B,第四項(xiàng)的系數(shù)為,第六項(xiàng)的系數(shù)為,故B錯(cuò)誤;
對于C,因?yàn)?所以各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,故C正確;
對于D,令,各項(xiàng)的系數(shù)之和為,故D錯(cuò)誤.
故選:AC.
7．ABD
【分析】根據(jù)楊輝三角讀出數(shù)據(jù)即可判斷A，利用組合數(shù)公式判斷B，分析各行數(shù)據(jù)的特征，即可判斷C，求出第行中從左到右第個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)，即可判斷D.
【詳解】對于A：第行，第行，第行的第個(gè)數(shù)字分別為：，，，其和為；
而第行第個(gè)數(shù)字就是，故A正確；
對于B：因?yàn)?，?br>所以，故B正確；
對于C：由圖可知：第行有個(gè)數(shù)字，
如果是偶數(shù)，則第（最中間的）個(gè)數(shù)字最大；
如果是奇數(shù)，則第和第個(gè)數(shù)字最大，并且這兩個(gè)數(shù)字一樣大，
所以第行的第個(gè)數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；
對于D：依題意：第行從左到右第個(gè)數(shù)為，第行從左到右第個(gè)數(shù)為，
所以第行中從左到右第個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)之比為，故D正確；
故答案為：ABD.
8．74
【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分別求得和的展開式的項(xiàng)，進(jìn)而求得的值.
【詳解】對于，
其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，
令，得，
故，
對于，
其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，
令，得，故，
所以.
故答案為：74.
9．
【分析】根據(jù)題意可確定n的值，繼而求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中只有第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，
故二項(xiàng)式的展開式有7項(xiàng)，則，
故的通項(xiàng)公式為，
令，
故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，
故答案為：
10．－60
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
設(shè)該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，
因?yàn)榈拇螖?shù)為，所以令，
二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，
令，
所以項(xiàng)的系數(shù)為，
故答案為：
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·遼寧丹東·一模）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．24B．25C．48D．49
2．（23-24高三下·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）被除的余數(shù)為（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、多選題
3．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知二項(xiàng)展開式，下列說法正確的有（ ）
A．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是
B．的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為
C．的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是
D．，其中為虛數(shù)單位
4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）若的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)（項(xiàng)中是整數(shù)）可以是（ ）
A．第2項(xiàng)B．第3項(xiàng)C．第4項(xiàng)D．第5項(xiàng)
三、填空題
5．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）展開式中項(xiàng)系數(shù)為 .
6．（22-23高三下·四川成都·開學(xué)考試）二項(xiàng)式的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 ．
參考答案：
1．D
【分析】利用二項(xiàng)式定理連續(xù)展開兩次，然后令，從而滿足題意的數(shù)組可以是：，將這些數(shù)組回代入通項(xiàng)公式即可運(yùn)算求解.
【詳解】的展開式通項(xiàng)為
，
令，得滿足題意的數(shù)組可以是：，
規(guī)定，
故所求為.
故選：D.
2．B
【分析】由22024=41012=3+11012，寫出3+11012的展開式，即可求出被除的余數(shù).
【詳解】因?yàn)?2024=41012=3+11012
=C10120×31012+C10121×31011+C10122×31010+?+C10121010×32+C10121×31+C10121012×30，
其中C10120×31012+C10121×31011+C10122×31010+?+C10121010×32
=C10120×31010+C10121×31009+C10122×31008+?+C10121010×30×32能被整除，
又C10121×31+C10121012×30=3037=9×337+4，
所以被除的余數(shù)為.
故選：B
3．BC
【分析】結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、系數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運(yùn)算計(jì)算即可得.
【詳解】，
對A：令，即，則，故A錯(cuò)誤；
對B：令，即，故各項(xiàng)系數(shù)之和為，故B正確；
對C：由，故二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值為，故C正確；
對D：，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
4．ACD
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的最值可得或，結(jié)合二項(xiàng)展開式分析求解.
【詳解】由題意可知：的展開式通項(xiàng)為，
因?yàn)橹械?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
當(dāng)為偶數(shù)，則，即，此時(shí)，
令為整數(shù)，可得，
即第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)為有理項(xiàng)，故C正確；
當(dāng)為奇數(shù)，則或，即或，
且，可得，此時(shí)，
令為整數(shù)，可得，
即第2項(xiàng)，第5項(xiàng)，第8項(xiàng)為有理項(xiàng)，故AD正確；
故選：ACD.
5．
【分析】可將轉(zhuǎn)化為，然后再利用二項(xiàng)式定理展開求解.
【詳解】由題意得可化簡為，
且其展開式通項(xiàng)為，
其中對于的展開式通項(xiàng)為，，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則的系數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則的系數(shù)為，
所以項(xiàng)系數(shù)為.
故答案為：.
6．
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式求，再由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)即可.
【詳解】由二項(xiàng)式的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，得，即．
所以．
令，得，
所以二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：
性質(zhì)
性質(zhì)描述
對稱性
與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增減性
二項(xiàng)式系數(shù)Ceq \\al(k,n)
當(dāng)k＜eq \f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞增的
當(dāng)k＞eq \f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞減的
二項(xiàng)式
系數(shù)最大值
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等且取得最大值
題號(hào)
1
2








答案
A
B








題號(hào)
1
2
3
4






答案
B
B
AC
ABD






題號(hào)
1
2
3
4






答案
A
C
CD
AD






題號(hào)
1
2
3
4






答案
A
C
BD
ACD






題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7



答案
A
D
C
B
AB
AC
ABD



題號(hào)
1
2
3
4






答案
D
B
BC
ACD






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