（藝考）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點題型突破練習(xí)專題26 空間向量與立體幾何的綜合應(yīng)用（2份，原卷版+解析版）

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一、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
1、兩向量夾角
已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，..，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作.
2、數(shù)量積定義
已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即.零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，.
3、空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：
，（交換律）；
（分配律）.
二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用
（1）設(shè)，，則；
；
；
；
；
.
（2）設(shè)，，則.
這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減起點的坐標(biāo).
（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式.
①已知，，則；
；
；
；
②已知，，則,
或者.其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式.
（4）向量在向量上的射影為.
（5）設(shè)是平面的一個法向量，，是內(nèi)的兩條相交直線，則，由此可求出一個法向量（向量及已知）.
（6）利用空間向量證明線面平行：設(shè)是平面的一個法向量，為直線的方向向量，證明，（如圖8-155所示）.已知直線（），平面的法向量，若，則.
（7）利用空間向量證明兩條異面直線垂直：在兩條異面直線中各取一個方向向量，，只要證明，即.
（8）利用空間向量證明線面垂直：即證平面的一個法向量與直線的方向向量共線.
（9）證明面面平行、面面垂直，最終都要轉(zhuǎn)化為證明法向量互相平行、法向量互相垂直.
（10）空間角公式.
①異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則.
②線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則.
③二面角公式：
設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中.
（11）點到平面的距離為，，為平面的法向量，則.
【典例例題】
例1．（2023春·河南濮陽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在直三棱柱中，，且，若直線與側(cè)面所成的角為，則異面直線與所成的角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·高一課時練習(xí)）在邊長為1的正方體中．平面與平面之間的距離為（ ）
A．B．1C．D．
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）長方體中，，，為的中點，則異面直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023秋·江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考期末）如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都相等，棱AC，A1C1的中點分別為M，N．
(1)求證：B1N⊥C1M；
(2)求異面直線BN與C1M所成角的余弦值；
(3)求平面A1BM與平面ABC1所成二面角的正弦值．
例5．（2023秋·廣東廣州·高二廣州空港實驗中學(xué)校考期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，．且
(1)證明：；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點C到平面的距離．
例6．（2023秋·北京·高三?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，， ，，，，．是棱上一點， 平面．
(1)求證：為的中點；
(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求四棱錐的體積．
條件 ①：點到平面的距離為；
條件 ②：直線與平面所成的角為．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校積極開展社團(tuán)活動，在一次社團(tuán)活動過程中，一個數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是正方形的三邊AB、CD、AD的中點，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB、CG就得到了一個“芻甍”（如圖2）．
(1)若是四邊形對角線的交點，求證：平面；
(2)若正方形的變成為2，且二面角是直二面角，求點到平面的距離．
例8．（2023秋·湖北·高二江夏一中校聯(lián)考期末）如圖，已知邊長為6的菱形與相交于，將菱形沿對角線折起，使．
(1)求平面與平面的夾角的余弦值；
(2)在三棱錐中，設(shè)點是上的一個動點，試確定點的位置，使得．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023秋·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，則直線與直線夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·吉林長春·高二長春吉大附中實驗學(xué)校?？计谀┮阎?，，，則點A到直線BC的距離為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
3．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)正方體的棱長為1，則點到的距離為______.
三、解答題
4．（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校聯(lián)考期末）如圖，在長方體中，四邊形是正方形，點N為AD的中點，且.
(1)求證；
(2)求二面角的余弦值.
5．（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點E為棱PC的中點，．
(1)證明：平面PAD；
(2)在棱PC上是否存在點F，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
6．（2023秋·吉林長春·高三長春市第二中學(xué)校考期末）如圖，等腰，，點是的中點，繞所在的邊逆時針旋轉(zhuǎn)至，．
(1)求旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
7．（2023秋·山東臨沂·高二臨沂第三中學(xué)校考期末）四棱錐的底面是矩形，側(cè)棱底面，是的中點，，，．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
8．（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方體中，為的中點．
(1)求：異面直線與所成角的大?。?br>(2)求：直線與平面所成角的正弦值．
9．（2023秋·河北秦皇島·高二秦皇島一中?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，，，，是的中點，求：
(1)求異面直線與所成角的余弦值；
(2)點到平面的距離；
(3)求與平面所成角的正弦值.
10．（2023秋·北京密云·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在多面體中，梯形與正方形所在平面互相垂直，，，.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)若點在線段上，且，求異面直線與所成角的余弦值.
11．（2023秋·廣西南寧·高三南寧二中?？计谀┤鐖D，四棱柱ABCD—的側(cè)棱⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為，AA1的中點.
(1)證明：B，E，D1，F(xiàn)四點共面；
(2)若求直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.
12．（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？计谀┤鐖D，在平面ABCD中，△ABD為正三角形，△BCD為直角三角形，且，以BD為折痕把△ABD和△CBD向上折起，使點A到達(dá)點E的位置，點C到達(dá)點F的位置，且滿足平面EBD⊥平面FBD．
(1)求證：；
(2)若，求直線DF與平面ABE所成角的正弦值.
13．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學(xué)校?？计谀┤鐖D，直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，是側(cè)棱上一點.
(1)若，求的值；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
14．（2023秋·北京豐臺·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，，，且．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)在棱上是否存在點G（G與P，B不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說明理由．
15．（2023秋·浙江·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，．
(1)若平面平面，求點P到平面的距離；
(2)若平面平面，平面，且，求平面與平面夾角的余弦值．
16．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考期末）如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，，PD⊥底面ABCD，，E是PC的中點，F(xiàn)是PB上的點，且．
(1)證明：PD//平面AEF；
(2)求二面角的正弦值；
(3)求三棱錐A－BEF的體積．
17．（2023秋·廣東廣州·高二廣州空港實驗中學(xué)?？计谀┤鐖D，正三棱柱中，D是的中點，．
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
18．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谀┤鐖D，四棱錐中，平面、底面為菱形，E為PD的中點．
(1)證明：平面；
(2)設(shè)，，菱形ABCD的面積為，求平面AED與平面AEC夾角的正切值．
19．（2023秋·吉林長春·高二校考期末）如圖所示，平面，點在以為直徑的上，，，點為線段的中點，點在半圓上（弧長小于弧長），且三棱錐的體積．
(1)求證：平面；
(2)平面平面；
(3)設(shè)二面角的大小為，求的值．
20．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是平行四邊形，平面，且，的中點為．
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
21．（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，為線段的中點，.
(1)求證：；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
22．（2023秋·北京朝陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，，點O是的中點．
(1)求證：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在棱上是否存在點M，使得平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由．
23．（2023秋·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谀┤鐖D，四邊形是邊長為1的正方形，平面平面，且.
(1)求證：平面
(2)在線段上是否存在點（不含端點），使得平面與平面的夾角為，若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.
24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，，底面ABCD是正方形．且平面平面ABCD，．
(1)若，，F(xiàn)為AB的中點，N為BC的中點，證明四邊形MENF為梯形；
(2)若點E為PC的中點，試判斷在線段AB上是否存在一點F？使得二面角平面角為．若存在，求出的值．若不存在，請說明理由．
25．（2023秋·湖北黃石·高二校聯(lián)考期末）在平行六面體 中，平面，，．
(1)證明：平面；
(2)求點 到平面 的距離．