1.(人A必二8.4節(jié)習(xí)題)若直線a不平行于平面α,且a?α,則下列結(jié)論成立的是(　　)A.α內(nèi)的所有直線與a是異面直線B.α內(nèi)不存在與a平行的直線C.α內(nèi)存在唯一一條直線與a平行D.α內(nèi)的所有直線與a都相交
解析 設(shè)a∩α=A,因?yàn)槠矫姒羶?nèi)過A點(diǎn)的直線與直線a共面,故A錯(cuò)誤;因?yàn)槠矫姒羶?nèi)不過A點(diǎn)的直線與直線a異面,故D錯(cuò)誤;若存在b?α,b∥a,由a?α,b?α,所以a∥α,這與已知矛盾,故B正確,C錯(cuò)誤.
2.(人A必二8.6.3節(jié)練習(xí))已知直線a,b與平面α,β,γ,能使α⊥β的充分條件是(　　)A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b?βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β
解析 由α⊥γ,β⊥γ,得α與β相交或平行,故A不正確;∵α∩β=a,b⊥a,b?β,∴b不一定垂直于α,∴α不一定垂直于β,故B不正確;∵a∥β,a∥α,則α與β相交或平行,故C不正確;∵a⊥β,a∥α,∴α中一定有一條直線垂直于β,∴α⊥β,故D正確.
3.(多選題)(人B必四11.4節(jié)習(xí)題改編)下列命題中假命題是(　　)A.a∥α,a⊥b?b⊥αB.a⊥b,a⊥α?b∥αC.a⊥α,b⊥β,a∥b?α∥βD.a∥α,α∥β,a⊥b?b⊥β
解析 當(dāng)b?α?xí)r,滿足a∥α,a⊥b,但此時(shí)b不垂直α,故A是假命題;當(dāng)b?α?xí)r,可滿足a⊥b,a⊥α,但此時(shí)b不平行于α,故B是假命題;∵a⊥α,a∥b,∴b⊥α.又b⊥β,根據(jù)垂直同一條直線的兩個(gè)平面平行,∴α∥β,故C是真命題; ∵a∥b,a⊥α,根據(jù)兩條平行線中的一條垂直一個(gè)平面,另一條也垂直這個(gè)平面,∴b⊥α.∵α∥β,故b⊥β.故D是真命題.
4.(北師大選必一第三章習(xí)題)如圖,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=3,BC=4, AB=5,AA'=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).求證:(1)AC⊥BC';(2)AC'∥平面CDB'.
證明 (1)在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=3,AB=5,BC=4,AA'=4,則AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,故AC,BC,CC'兩兩垂直.以C為原點(diǎn),CA,CB,CC'所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
1.(2024·天津,6)若m,n為兩條不同的直線,α為一個(gè)平面,則下列結(jié)論中正確的是(　　)A.若m∥α,n?α,則m∥nB.若m∥α,n∥α,則m∥nC.若m∥α,n⊥α,則m⊥nD.若m∥α,n⊥α,則m與n相交
解析 對(duì)于A,若m∥α,n?α,則m與n平行或異面,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若m∥α,n∥α,則m與n平行或異面或相交,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,已知m∥α,n⊥α,如圖,過直線m作平面β,使得α∩β=s.∵m?β,∴m∥s,又s?α,∴n⊥s,∴m⊥n,C正確;對(duì)于D,若m∥α,n⊥α,則m與n相交或異面,D錯(cuò)誤.故選C.
2.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長(zhǎng)度等于　　　　.?
3.(2024·全國(guó)甲,文19)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形,EF∥AD,BC∥AD,AD=4, AB=BC=EF=2,ED= ,M為AD的中點(diǎn).
(1)證明:BM∥平面CDE; (2)求M到平面FAB的距離.
(1)證明 由題意知MD=2,BC=2,MD∥BC,所以四邊形BCDM為平行四邊形,故BM∥CD,又因?yàn)锽M?平面CDE,所以BM∥平面CDE.(2)解 取AM的中點(diǎn)為G,連接FG,BG,FM,因?yàn)锽M=CD=AB,所以BG⊥AM,同理FG⊥AM.
考點(diǎn)一 空間位置關(guān)系的判定
例1(1)(2024·山東濟(jì)南二模)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點(diǎn),則(　　)A.A1D∥D1B,MN∥平面ABCDB.A1D∥D1B,MN⊥平面BB1D1DC.A1D⊥D1B,MN∥平面ABCDD.A1D⊥D1B,MN⊥平面BB1D1D
解析 由題知,AB⊥平面ADD1A1,A1D?平面ADD1A1,則AB⊥A1D.又AD1⊥A1D,AB∩AD1=A,AB,AD1?平面ABD1,所以A1D⊥平面ABD1.因?yàn)锽D1?平面ABD1,所以A1D⊥D1B,故A,B錯(cuò)誤;因?yàn)镸,N分別為AD1,BD1的中點(diǎn),所以MN∥AB.又MN?平面ABCD,AB?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD,故C正確;假設(shè)MN⊥平面BB1D1D,則MN⊥BD.又MN∥AB,所以AB⊥BD,明顯不成立,故D錯(cuò)誤.
(2)(多選題)(2024·湖北武漢模擬)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列四個(gè)命題正確的是(　　)A.若m?β,α⊥β,則m⊥αB.若m?β,α∥β,則m∥αC.若m⊥α,m⊥β,n⊥α,則n⊥βD.若m∥α,m∥β,n∥α,則n∥β
解析 對(duì)于A,沒說明直線m垂直于兩平面的交線,所以不能判斷m⊥α,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理,若m?β,α∥β,則m∥α,故B正確;對(duì)于C,垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,所以若m⊥α,m⊥β,則α∥β.若n⊥α,則n⊥β,故C正確;對(duì)于D,若m∥α,m∥β,則α,β平行或相交,若n∥α,則n∥β或n與β相交或n?β,故D錯(cuò)誤.故選BC.
2.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](1)(多選題)(2024·河北張家口三模)已知a,b,c為三條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,則下列說法正確的是(　　)A.若a∥b,a?α,b?β,α∩β=c,則a∥cB.若a⊥b,a⊥c,b?α,c?α,則a⊥αC.若a∥α,b∥α,a∩b=A,a?β,b?β,則α∥βD.若α⊥β,α∩β=c,a⊥c,則a⊥β
解析 因?yàn)閍∥b,a?α,所以b∥α.又b?β,α∩β=c,所以b∥c,所以a∥c,故A正確;當(dāng)b∥c時(shí),直線a不一定垂直于α,故B錯(cuò)誤;由面面平行的判定定理可知,C正確;由面面垂直的性質(zhì)定理可知,若直線a?α?xí)r,直線a不一定垂直于β,故D錯(cuò)誤.
(2)(多選題)(2024·安徽馬鞍山模擬)已知四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,(　　)A.若PC⊥BD,則AC⊥BDB.若AC⊥BD,則PB=PDC.若PB=PD,則AB=ADD.若AB=AD,則PC⊥BD
解析 因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB,AD,BD?平面ABCD,則PA⊥AB, PA⊥AD,PA⊥BD.若PC⊥BD,且PA∩PC=P,PA,PC?平面PAC,則BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC,所以AC⊥BD.同理,若AC⊥BD,可得PC⊥BD,即PC⊥BD等價(jià)于AC⊥BD.由AB=AD不能推出AC⊥BD,即AB=AD不能推出PC⊥BD,故A正確,D錯(cuò)誤;若PB=PD,可知Rt△PAB≌Rt△PAD,所以AB=AD,反之,AB=AD,可知Rt△PAB≌Rt△PAD,所以PB=PD,即PB=PD等價(jià)于AB=AD.由AC⊥BD不能推出AB=AD,即AC⊥BD不能推出PB=PD,故B錯(cuò)誤,C正確.故選AC.
考點(diǎn)二 幾何法證明空間平行、垂直
例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證:(1)PA⊥平面ABCD;(2)平面BEF⊥平面PCD.
證明 (1)∵平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA?平面PAD,∴PA⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn),∴AB∥DE,AB=DE,∴四邊形ABED為平行四邊形.∵AB⊥AD,∴四邊形ABED為矩形,∴BE⊥CD,AD⊥CD.∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.
又PA,AD?平面PAD,且PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∵PD?平面PAD,∴CD⊥PD.∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),∴PD∥EF,∴CD⊥EF.又CD⊥BE,EF∩BE=E,EF,BE?平面BEF,∴CD⊥平面BEF.∵CD?平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是B1C1的中點(diǎn),D是BC上一點(diǎn).(1)若D是BC的中點(diǎn),求證:平面AC1D∥平面A1BE;(2)若AD⊥C1D,求證:D是BC的中點(diǎn).
證明 (1)連接DE,因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是正三棱柱,所以BC∥B1C1,BC=B1C1,AA1∥BB1,AA1=BB1.因?yàn)镋是B1C1的中點(diǎn),D是BC的中點(diǎn),所以EC1∥BD,EC1=BD,B1E∥BD,B1E=BD,所以四邊形EC1DB,B1EDB均為平行四邊形,故BE∥C1D,BB1∥DE,且BB1=DE,所以AA1∥DE,AA1=DE,所以四邊形AA1ED是平行四邊形,所以A1E∥AD.因?yàn)锳1E?平面AC1D,AD?平面AC1D,所以A1E∥平面AC1D.同理BE∥平面AC1D.因?yàn)锳1E∩BE=E,A1E?平面A1BE,BE?平面A1BE,所以平面AC1D∥平面A1BE.
(2)因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是正三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,且△ABC為正三角形.因?yàn)锳D?平面ABC,所以CC1⊥AD.因?yàn)锳D⊥C1D,CC1∩C1D=C1,CC1?平面BB1C1C,C1D?平面BB1C1C,所以AD⊥平面BB1C1C.因?yàn)锽C?平面BB1C1C,所以AD⊥BC.又因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以D是BC的中點(diǎn).
考點(diǎn)三 向量法證明空間平行、垂直
例3如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.(1)證明:平面PQB⊥平面DCQ;(2)證明:PC∥平面BAQ.
證明 (1)由題意易知,DA,DP,DC兩兩互相垂直.如圖,以D為原點(diǎn),DA,DP,DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
又DQ∩DC=D,DQ,DC?平面DCQ,故PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQB,所以平面PQB⊥平面DCQ.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·四川成都模擬)如圖,棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上靠近C1的三等分點(diǎn).(1)求證:直線A1C與平面BDE不垂直;(2)在線段BE上是否存在一點(diǎn)F使得平面B1D1F⊥平面BDE?若存在,請(qǐng)計(jì)算 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)證明 以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則

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