考點(diǎn)一　空間直線、平面位置關(guān)系的判定
例1(1)(多選題)(2024廣東廣州二模)已知m,n是不同的直線,α,β是不同的平面,則下列說法正確的是(　　)A.若m∥α,n?α,則m∥nB.若m⊥α,n⊥β,m∥n,則α∥βC.若α∥β,m?α,則m∥βD.若α∥β,m?α,n?β,則m∥n
解析 對(duì)于A,當(dāng)m∥α,n?α?xí)r,m∥n或m,n異面,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,因?yàn)閙⊥α,n⊥β,所以m,n對(duì)應(yīng)的方向向量m,n分別是α,β的法向量.又m∥n,所以m∥n,所以α∥β,故B正確;對(duì)于C,由面面平行的性質(zhì)易知m∥β,故C正確;對(duì)于D,當(dāng)α∥β,m?α,n?β時(shí),m,n有可能異面,故D錯(cuò)誤.故選BC.
(2)(多選題)(2024福建廈門模擬)如圖,四棱錐A-BCDE是所有棱長均為2的正四棱錐,三棱錐A-CDF是正四面體,G為BE的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(　　)A.A,B,C,F四點(diǎn)共面B.FG⊥平面ACDC.FG⊥CDD.平面ABE∥平面CDF
解析 因?yàn)樗睦忮FA-BCDE各棱長都相等,且三棱錐A-CDF是正四面體,所以BC=AF,AB=CF,所以四邊形ABCF是平行四邊形,所以A,B,C,F四點(diǎn)共面,故A正確;如圖,取CD的中點(diǎn)H,連接AG,GH,FH,則易知AG=FH,AF=GH,所以四邊形AGHF是平行四邊形,AF=GH=2,AG=FH= .假設(shè)FG⊥平面ACD,因?yàn)锳H?平面ACD,所以FG⊥AH,所以四邊形AGHF是菱形,這與AG= ,GH=2矛盾,故B錯(cuò)誤;
由題可知CD⊥HG,CD⊥FH,FH∩HG=H,FH,HG?平面AGHF,所以CD⊥平面FGH.又FG?平面AGHF,所以FG⊥CD,故C正確;因?yàn)樗倪呅蜛BCF是平行四邊形,所以AB∥CF.由題可知四邊形BCDE為正方形,所以BE∥CD.又BE,AB?平面ABE,BE∩AB=B,CF,CD?平面CDF,CF∩CD=C,所以平面ABE∥平面CDF,故D正確.故選ACD.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](1)(2024湖南岳陽模擬)已知三條不重合的直線m,n,l,三個(gè)不重合的平面α,β,γ,下列說法正確的是(　　)A.若m∥n,n?α,則m∥αB.若l⊥α,m?β,l⊥m,則α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,則l⊥γD.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β
解析 對(duì)于A,若m∥n,n?α,則m∥α或m?α,故A不正確;對(duì)于B,若l⊥α,m?β,l⊥m,則α∥β或α與β相交,故B不正確;對(duì)于C,設(shè)α∩γ=a,β∩γ=b,在平面γ內(nèi)任取一點(diǎn)P(不在a,b上),作PA⊥a,PB⊥b,垂足分別為A,B,由面面垂直的性質(zhì)定理,可得PA⊥α,PB⊥β.又l?α,l?β,所以PA⊥l,PB⊥l.又因?yàn)镻A∩PB=P,PA,PB?γ,可得l⊥γ,故C正確;對(duì)于D,若m?α,n?α,m∥β,n∥β,只有m,n相交時(shí),才有α∥β,故D不正確.故選C.
(2)(多選題)(2024河北衡水模擬)如圖,在圓柱O1O中,軸截面ABCD為正方形,點(diǎn)F是 上的一點(diǎn),M為BD與軸O1O的交點(diǎn),E為MB的中點(diǎn),N為A在DF上的射影,且EF∥平面AMN,則下列說法正確的有(　　)A.CF∥平面AMNB.AN⊥平面DBFC.DB⊥平面AMND.F是 的中點(diǎn)
解析 由題意可知,點(diǎn)M是BD的中點(diǎn),所以點(diǎn)A,M,C三點(diǎn)共線,所以C∈AM,所以C∈平面AMN,所以CF∩平面AMN=C,則直線CF與平面AMN不平行,故A錯(cuò)誤;因?yàn)锳D⊥平面ABF,BF?平面ABF,所以AD⊥BF.因?yàn)锳BCD為圓柱軸截面,所以AB為☉O的直徑,所以BF⊥AF.又AD∩AF=A,AD,AF?平面ADF,所以BF⊥平面ADF.又BF?平面BDF,所以平面ADF⊥平面BDF.又平面ADF∩平面BDF=DF,AN?平面ADF,AN⊥DF,所以AN⊥平面DBF,故B正確;因?yàn)锳N⊥平面DBF,DB?平面DBF,所以AN⊥DB,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,點(diǎn)M是BD的中點(diǎn),所以AM⊥DB.又AM∩AN=A,AM,AN?平面AMN,所以DB⊥平面AMN,故C正確;
因?yàn)镈B⊥平面AMN,MN?平面AMN,所以DB⊥MN.因?yàn)镋F∥平面AMN,EF?平面DEF,平面DEF∩平面AMN=MN,所以EF∥MN,所以DB⊥EF.又E是MB的中點(diǎn),所以BF=MF.因?yàn)锽F⊥平面ADF,DF?平面ADF,所以
考點(diǎn)二　幾何法證明空間平行、垂直關(guān)系
例2如圖,在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,平面ADE⊥平面ABCD,EF=1,AE=DE= .
(1)求證:CD∥平面ABFE;(2)求證:平面ABFE⊥平面CDEF.
證明 (1)在五面體ABCDEF中,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AB∥CD.又CD?平面ABFE,AB?平面ABFE,所以CD∥平面ABFE.(2)因?yàn)锳E=DE= ,AD=2,所以AE2+DE2=AD2,所以AE⊥DE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AB⊥AD.因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面ADE.又DE?平面ADE,所以AB⊥DE.因?yàn)锳B∩AE=A,AB,AE?平面ABFE,所以DE⊥平面ABFE.又DE?平面CDEF,所以平面ABFE⊥平面CDEF.
延伸探究本例條件下,判斷在線段CD上是否存在點(diǎn)N,使得FN⊥平面ABFE?說明理由.
解 在線段CD上存在點(diǎn)N,使得FN⊥平面ABFE,理由如下:如圖,取CD的中點(diǎn)N,連接FN.由例2知,CD∥平面ABFE,又CD?平面CDEF,平面ABFE∩平面CDEF=EF,所以CD∥EF.因?yàn)镋F=1,ND= CD=1,所以EF=DN,所以四邊形EDNF是平行四邊形,所以FN∥DE.由例2知,DE⊥平面ABFE,所以FN⊥平面ABFE.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]如圖,已知直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直,∠AEB= ,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC.(1)求證:AB⊥DE.(2)求證:AE⊥平面BCE.(3)線段EA上是否存在點(diǎn)F,使EC∥平面FBD?若存在,求 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)證明 如圖,取AB的中點(diǎn)O,連接EO,DO.因?yàn)椤鰽BE為等腰直角三角形,∠AEB= ,所以EO⊥AB.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,所以四邊形OBCD為正方形,所以AB⊥OD.又OD∩OE=O,OD,OE?平面ODE,所以AB⊥平面ODE.又DE?平面ODE,所以AB⊥DE.(2)證明 因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,AB⊥BC,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE,所以BC⊥AE.又AE⊥BE,BC∩BE=B,BC,BE?平面BCE,所以AE⊥平面BCE.
(3)解 存在點(diǎn)F,且 時(shí),EC∥平面FBD,理由如下:如圖,連接AC交BD于點(diǎn)M,連接FM.
考點(diǎn)三　向量法證明空間平行、垂直關(guān)系
例3如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC, AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).求證:(1)BE⊥DC;(2)BE∥平面PAD;(3)平面PCD⊥平面PAD.
證明 依題意,以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E為棱PC的中點(diǎn),得E(1,1,1).
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直, AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M為CE的中點(diǎn).(1)求證:BM∥平面ADEF;(2)求證:BC⊥平面BDE.
證明 (1)因?yàn)锳DEF是正方形,所以AD⊥ED.又平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED?平面ADEF,所以ED⊥平面ABCD,從而可得DA,DC,DE兩兩垂直.以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DE所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

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