專(zhuān)題17 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）解析版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】2
【考點(diǎn)突破】10
【考點(diǎn)1】根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值10
【考點(diǎn)2】求已知函數(shù)的極值17
【考點(diǎn)3】由函數(shù)的極值求參數(shù)23
【考點(diǎn)4】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值31
【分層檢測(cè)】37
【基礎(chǔ)篇】37
【能力篇】49
【培優(yōu)篇】53
考試要求：
1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.
2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.
知識(shí)梳理
1.函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0.則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.
(2)函數(shù)的極大值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0.則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.
(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱(chēng)為極值.
2.函數(shù)的最大(小)值
(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：
如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：
①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；
②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.
1.求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類(lèi)討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值.
2.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒(méi)有必然的大小關(guān)系.
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高考真題）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）
A．B．C．D．1
2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）
A．B．C．D．
3．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
4．（2023·全國(guó)·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）．
A．B．C．D．
5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（）．
A．B．
C．是偶函數(shù)D．為的極小值點(diǎn)
6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，則（）
A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有三個(gè)零點(diǎn)
C．點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心D．直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)
三、填空題
7．（2022·全國(guó)·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是．
8．（2021·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的最小值為 .
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿(mǎn)足題意，即有．
故選：B.
2．C
【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,
[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時(shí)，，時(shí)，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，
當(dāng)時(shí)，得，則
當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線(xiàn)上，此時(shí)，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
3．D
【分析】
先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，畫(huà)出圖象，即可得到所滿(mǎn)足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).
【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故.
有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，a為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.
當(dāng)時(shí)，由，，畫(huà)出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.
當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫(huà)出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.
綜上所述，成立.
故選：D
【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.
4．BCD
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，
因此方程有兩個(gè)不等的正根，
于是，即有，，，顯然，即，A錯(cuò)誤，BCD正確.
故選：BCD
5．ABC
【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.
方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】方法一：
因?yàn)椋?br>對(duì)于A，令，，故正確.
對(duì)于B，令，，則，故B正確.
對(duì)于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，
對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無(wú)極值，故錯(cuò)誤.
方法二：
因?yàn)椋?br>對(duì)于A，令，，故正確.
對(duì)于B，令，，則，故B正確.
對(duì)于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，
故可以設(shè)，則，
當(dāng)肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.
故選：.
6．AC
【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.
【詳解】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱(chēng)中心，
將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，
所以點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；
令，可得，又，
當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線(xiàn)方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線(xiàn)方程為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
7．
【分析】法一：依題可知，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.
【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)
因?yàn)椋苑匠痰膬蓚€(gè)根為，
即方程的兩個(gè)根為，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方
當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方
，圖象顯然不符合題意，所以．
令，則，
設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線(xiàn)的切點(diǎn)為，
則切線(xiàn)的斜率為，故切線(xiàn)方程為，
則有，解得，則切線(xiàn)的斜率為，
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以，解得，又，所以，
綜上所述，的取值范圍為．
[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)
=0的兩個(gè)根為
因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
設(shè)函數(shù)，則，
若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在
上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)
且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；
若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿(mǎn)足，，即故，所以.
【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；
法二：通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．
8．1
【分析】由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.
【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)椋?br>∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；
又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，
∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；
∴
故答案為：1.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值
一、單選題
1．（21-22高三·北京西城·開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于兩點(diǎn)，函數(shù)，則對(duì)函數(shù)描述正確的是（）
A．有極小值點(diǎn)，沒(méi)有極大值點(diǎn)B．有極大值點(diǎn)，沒(méi)有極小值點(diǎn)
C．至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)D．至少有一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)
2．（21-22高二下·北京西城·期末）設(shè)函數(shù)的極小值為－8，其導(dǎo)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（－2，0），如圖所示，則＝（）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，其中R，則（）
A．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)有1個(gè)極值點(diǎn)
C．當(dāng)時(shí)，有0個(gè)極值點(diǎn)．
D．若，成立，則
4．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)和的圖像都是上連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，如果，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，那么下列情形可能出現(xiàn)的是（）
A．1是的極大值，也是的極大值B．1是的極大值，也是的極小值
C．1是的極小值，也是的極小值D．1是的極小值，也是的極大值
三、填空題
5．（2021·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋洳糠肿宰兞颗c函數(shù)值的對(duì)應(yīng)情況如表：
的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②有2個(gè)極大值點(diǎn)；
③的值域?yàn)椋?br>④如果時(shí)，的最小值是1，那么t的最大值為4．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．
6．（2023·陜西寶雞·二模）若函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
參考答案：
1．C
【分析】由題設(shè)，令與切點(diǎn)橫坐標(biāo)為且，由圖存在使，則有三個(gè)不同零點(diǎn)，結(jié)合圖象判斷的符號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)性，即可確定答案.
【詳解】由題設(shè)，，則，
又直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于兩點(diǎn)且橫坐標(biāo)為且，
所以的兩個(gè)零點(diǎn)為，由圖知：存在使，
綜上，有三個(gè)不同零點(diǎn)，
由圖：上，上，上，上，
所以在上遞減，上遞增，上遞減，上遞增.
故至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).
故選：C.
2．B
【分析】由題設(shè)，根據(jù)所過(guò)的點(diǎn)可得，結(jié)合圖象求出極小值點(diǎn)并代入求參數(shù)，即可得解析式，注意驗(yàn)證所得參數(shù)是否符合題設(shè).
【詳解】由題設(shè)，，則，故，
所以，
令，可得或，由圖知：且處有極小值，
所以，即，，經(jīng)驗(yàn)證滿(mǎn)足題設(shè)，
故.
故選：B
3．BD
【分析】求導(dǎo)，記，結(jié)合圖象討論可知函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分析可得答案.
【詳解】的定義域?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，顯然無(wú)極值，故A錯(cuò)誤；
記
由，即，解得
所以當(dāng)時(shí)，，即，
所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值，
當(dāng)或時(shí)，記的兩根為，且
則時(shí)，因?yàn)?，所以由圖可知
則時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減
所以此時(shí)在處有極大值，故B正確；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，由圖可知
或時(shí)，，時(shí)，，
所以在處有極大值，在處有極小值，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，由圖可知
時(shí)，時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
因?yàn)?，所以由上可知，要使，成立，必然有在上單調(diào)遞增，所以，故D正確.
故選：BD
4．ABC
【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)圖象滿(mǎn)足題干依次判定選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，構(gòu)造如圖所示圖象，則A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，構(gòu)造如圖所示圖象，則B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，構(gòu)造如圖所示圖象，則C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?是的極小值，則在1的附近存在，使得，
又1也是的極大值，則在1的附近存在，使得，
所以在1的附近存在與，使得，不合題意，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
5．③④
【分析】畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合作出判斷.
【詳解】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與表格，整理出函數(shù)的大致圖象，如圖所示．
對(duì)于①，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，有1個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，根據(jù)函數(shù)的極值和端點(diǎn)值可知，的值域?yàn)?，故③正確；
對(duì)于④，如果時(shí)，的最小值是1，那么t的最大值為4，故④正確．
綜上所述，所有正確結(jié)論的序號(hào)是③④．
故答案為：③④
6．
【分析】若函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，則導(dǎo)數(shù)無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，令，根據(jù)的正負(fù)得出其單調(diào)性，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)無(wú)變號(hào)零點(diǎn)列不等式求解，即可得出答案.
【詳解】，則，
若函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，
則無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，
令，
則，
當(dāng)時(shí)，，，，則，則，
當(dāng)時(shí)，，，，則，則，
則在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在處取得最小值，
若無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，則，解得：，
故答案為：.
反思提升：
由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).
【考點(diǎn)2】求已知函數(shù)的極值
一、單選題
1．（2024·寧夏銀川·一模）若函數(shù)在處取得極大值，則的極小值為（）
A．B．C．D．
2．（2024·四川成都·二模）函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（）
A．當(dāng)時(shí)，恒成立
B．當(dāng)時(shí)，存在唯一極小值點(diǎn)
C．對(duì)任意在上均存在零點(diǎn)
D．存在在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)
二、多選題
3．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知，，則（）
A．函數(shù)在上的最大值為3B．，
C．函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)D．函數(shù)的極值點(diǎn)有2個(gè)
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)t方程可能有（）個(gè)解.
A．3B．4C．5D．6
三、填空題
5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的奇函數(shù)滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，（為的導(dǎo)函數(shù)），且，則的極大值為．
6．（2023·西藏拉薩·一模）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù) ；當(dāng)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極大值為．
參考答案：
1．C
【分析】由題意求出的值，進(jìn)而求出，再解出極小值即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值，
則，且，
即，所以；
所以，，
令，則或，
由，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以函數(shù)在處取得極大值，.
故選：C.
2．C
【分析】對(duì)于A：代入，直接函數(shù)性質(zhì)判斷；對(duì)于B：代入，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性來(lái)判斷；對(duì)于CD：求出在上的單調(diào)性和極值，再來(lái)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)，，則，不能取等號(hào)，
所以恒成立，A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，則
令，則，由選項(xiàng)A得恒成立，
則在上單調(diào)遞增，又，
故存在使得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故存在唯一極小值點(diǎn)，B正確；
對(duì)于CD：令，當(dāng)，顯然不是零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，令，得，
則令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
此時(shí)有極小值，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
此時(shí)有極大值，
故選項(xiàng)C中任意均有零點(diǎn)，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D中，存在在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，
故選：C .
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一：對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題可以構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)解決；二：對(duì)于零點(diǎn)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.
3．AC
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得，.因?yàn)樵谏线f增，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性判斷零點(diǎn)在之間，設(shè)為，再代入計(jì)算可以求出函數(shù)在上的最值，判斷AB的真假；求的導(dǎo)數(shù)，得，，利用其單調(diào)性得至多一解，可判斷D；再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，可判斷C的真假.
【詳解】對(duì)A,B，因?yàn)椋?
所以，.
設(shè)，，則，因?yàn)?，所以在上恒成?
所以在上單調(diào)遞增，
且，，
所以，使得.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又，，
，因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?故A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)D，又，.
所以，.
設(shè)，則，，所以在恒成立.
所以在上單調(diào)遞增，
所以至多一個(gè)解，故D錯(cuò)誤；
對(duì)C，又因?yàn)椋?br>所以只有一解，在區(qū)間內(nèi).
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以在上無(wú)零點(diǎn).故C正確.
故選：AC
4．ABCD
【分析】方程得或，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷解的個(gè)數(shù).
【詳解】，有，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有極小值.
，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，有極大值.
由的圖象如圖所示，

由得或，
由圖象可知有3個(gè)解，可能有1，2，3，4個(gè)解，
若，則有3個(gè)解；
若，則方程可能有4，5，6，7個(gè)解.
故選：ABCD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
5．4
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的極大值即可.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
又，故．
由可知，時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，單調(diào)遞增，
故在上的極小值為，
又為奇函數(shù)，
所以的極大值為．
故答案為：4
6． /
【分析】因式分解得，然后根據(jù)零點(diǎn)互為相反數(shù)可得解析式；當(dāng)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求出解析式后利用導(dǎo)數(shù)求極值即可.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)為，另一個(gè)必為1，
于是；
當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與軸的交點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
所以0是函數(shù)的零點(diǎn)，
從而1也是函數(shù)的零點(diǎn)，
于是，
由，得，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為．
故答案為：；.
反思提升：
運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；
(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)；
(5)求出極值.
【考點(diǎn)3】由函數(shù)的極值求參數(shù)
一、單選題
1．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知函數(shù)在上無(wú)極值，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．若過(guò)原點(diǎn)可作函數(shù)的三條切線(xiàn)，則（）
A．恰有2個(gè)異號(hào)極值點(diǎn)B．若，則
C．恰有2個(gè)異號(hào)零點(diǎn)D．若，則
4．（2024·江蘇徐州·一模）已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)
C．若只有一個(gè)極值點(diǎn)，則或
D．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得
三、填空題
5．（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)的兩相鄰對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為1，且為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn).若方程在上的所有根之和等于2024，則滿(mǎn)足條件中整數(shù)的值構(gòu)成的集合為
6．（2024·陜西銅川·三模）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
參考答案：
1．D
【分析】求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，討論x的取值范圍可得結(jié)果.
【詳解】由題意得，，故，
因?yàn)楹瘮?shù)在上無(wú)極值，
所以在R上恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而，故，
當(dāng)時(shí)，，則.
綜上，.
故選：D.
2．A
【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再進(jìn)行參數(shù)的討論即可.
【詳解】解法一由題意得．
因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
又，，
所以，則，故選A．
解法二由題意得．
因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．令，得，
令，則直線(xiàn)與曲線(xiàn)在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
又，當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于，
當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，所以可作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，
若直線(xiàn)與曲線(xiàn)在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：A．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查已知函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，常常利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合思想來(lái)求解．求解這類(lèi)問(wèn)題的步驟：
（1）構(gòu)造函數(shù)，并求其定義域，這是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)；
（2）求導(dǎo)，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；
（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)情況，進(jìn)而求解．
3．BD
【分析】利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判斷AC，設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)方程，代入原點(diǎn)方程有三解，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，由數(shù)形結(jié)合求解即可判斷BD.
【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故AC錯(cuò)誤；
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的函數(shù)的切線(xiàn)的切點(diǎn)為，則切線(xiàn)的斜率，
所以切線(xiàn)方程為，
即，
因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)，所以，
化簡(jiǎn)得，即方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
令，則，
當(dāng)時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以極大值，極小值為，如圖，
所以與相交有三個(gè)交點(diǎn)需滿(mǎn)足，故B正確；
同理，當(dāng)時(shí)，可知極大值，極小值為，如圖，

可得時(shí)，與相交有三個(gè)交點(diǎn)，故D正確.
故選：BD
4．ABD
【分析】對(duì)于A：求導(dǎo)，確定單調(diào)性，然后利用零點(diǎn)存在定理判斷；對(duì)于B：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性；對(duì)于C：直接驗(yàn)證時(shí)的極值情況；對(duì)于D：求導(dǎo)，作出的圖象，觀察圖象可得.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，令，得，
令，得，即在上單調(diào)遞增，
又，，由零點(diǎn)存在定理可得在上有唯一零點(diǎn)，即有唯一零點(diǎn)，A正確；
對(duì)于B：，
令，得，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，又當(dāng)時(shí),，所以恒成立，即當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，B正確；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，由B知，即，所以，即在上單調(diào)遞減，無(wú)極值，C 錯(cuò)誤；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，，
令，得，
令，則，
當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，
即恒成立，
所以單調(diào)遞減，又，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
可得的大致圖象如下：
由圖可知對(duì)任意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得，D正確；
故選：ABD.
5．
【分析】先根據(jù)題意求出；再作出和的圖象，分析函數(shù)圖像的特點(diǎn)及交點(diǎn)情況；最后列出關(guān)系式求解即可.
【詳解】函數(shù)的兩相鄰對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為1，且為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)
，而，解得，
則.
在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出和的圖象，如圖所示：

顯然和的圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則它們圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
又因?yàn)閰^(qū)間的中點(diǎn)是，方程在上的所有根之和等于2024.
所以函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)為偶數(shù)個(gè)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)按從小到大記為.
則，，
即
即，解得.
所以函數(shù)和圖象在有個(gè)交點(diǎn)，506對(duì)交點(diǎn).
由圖象可知函數(shù)和圖象在區(qū)間上無(wú)交點(diǎn)，在，，……上各有兩個(gè)交點(diǎn)，且的周期為.
故，解得
所以滿(mǎn)足條件中整數(shù)的值構(gòu)成的集合為
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查方程根與函數(shù)圖像交點(diǎn)之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是先求出函數(shù)的解析式；再數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)圖像的特點(diǎn)及交點(diǎn)情況；最后結(jié)合函數(shù)是周期函數(shù)及無(wú)限接近軸的特點(diǎn)，即可列出關(guān)系式.
6．
【分析】將導(dǎo)數(shù)方程參變分離，轉(zhuǎn)化為與由兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，觀察變化趨勢(shì)，作出草圖，由圖象即可得解.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>，
令，得.
令，則.
令，則，即，即.
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
，
又當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，
作出的草圖如圖，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正根，從而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題，通常參變分離，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象相交問(wèn)題，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出草圖即可得解，其中需要注意觀察函數(shù)的變化趨勢(shì).
反思提升：
1.已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.
【考點(diǎn)4】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
一、單選題
1．（2022·福建福州·三模）已知函數(shù)，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）
A．是偶函數(shù)B．有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)
C．的最小值為D．的最大值為
2．（2024·浙江金華·三模）若存在直線(xiàn)與曲線(xiàn)，都相切，則a的范圍為（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（）
A．若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，則
B．若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
C．若，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
D．若，則的取值范圍為
4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)取極小值
B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)
C．，
D．若在區(qū)間上的最小值是0，則
三、填空題
5．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）若，關(guān)于的不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的最大值為 .
6．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù).設(shè)k為正數(shù)，對(duì)于任意x，若，二者中至少有一個(gè)大于2，則的取值范圍是 .
參考答案：
1．C
【分析】由奇偶性定義可判斷出A正確；令可確定B正確；根據(jù)定義域?yàn)?，，可知若最小值為，則是的一個(gè)極小值點(diǎn)，根據(jù)可知C錯(cuò)誤；由時(shí)，取得最大值，取得最小值可確定D正確.
【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)?，?br>為偶函數(shù)，A正確；
對(duì)于B，令，即，，解得：，
有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，B正確；
對(duì)于C，，若的最小值為，則是的一個(gè)極小值點(diǎn)，則；
，，
不是的極小值點(diǎn)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，；
則當(dāng)，，即時(shí)，取得最大值，D正確.
故選：C.
2．A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分別求得與相切的切線(xiàn)方程，可得，進(jìn)而可得有解，從而利用導(dǎo)數(shù)可求的范圍.
【詳解】設(shè)直線(xiàn)與相切與點(diǎn)，因?yàn)椋?br>所以切線(xiàn)方程，即，
設(shè)直線(xiàn)與相切與點(diǎn)，
因?yàn)?，所以切線(xiàn)方程，即，
，
所以有解，
令，，
所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以，所以?br>的范圍為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查曲線(xiàn)公切線(xiàn)相關(guān)問(wèn)題的求解，求解曲線(xiàn)公切線(xiàn)的基本思路是假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求得兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，根據(jù)切線(xiàn)方程的唯一性構(gòu)造方程組來(lái)進(jìn)行求解.
3．BD
【分析】由，可判定A錯(cuò)誤；當(dāng)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)遞增區(qū)間，可判定B正確；當(dāng)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的的單調(diào)性，求得在上的最小值為，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)題意，分和、，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，以及，可判定D正確.
【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)楹瘮?shù)，可得，
則，所以，解得，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，若，則，
當(dāng)時(shí)，可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以B正確；
對(duì)于C中，若，則，
令，解得或（舍去），
當(dāng)，即時(shí)，在上，可得，在上是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上的最小值為；
當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上的最小值為，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
則，所以成立；
當(dāng)時(shí)，由C項(xiàng)知：當(dāng)時(shí)，，則成立；
當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上存在使得，
則不成立，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以D正確.
故選：BD.
【點(diǎn)睛】方法技巧：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值等問(wèn)題的求解策略：
1、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，在得到函數(shù)的極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值；
2、若所給函數(shù)含有參數(shù)，則需通過(guò)對(duì)參數(shù)分離討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而的函數(shù)的最值；
3、若函數(shù)在區(qū)間上有唯一的極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是函數(shù)的最值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常使用.
4．AC
【分析】A.首先判斷函數(shù)是偶函數(shù)，并且判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；
B.令，求解方程，即可判斷選項(xiàng)；
C.恒成立，即，，轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可判斷選項(xiàng)；
D. ，，參變分離后，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)，的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
令，，，，在上單調(diào)遞增，又是偶函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，假設(shè)恒成立，函數(shù)是偶函數(shù)，則必有，，即，∴，令，，，，故C正確；
對(duì)于D，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是0，∴，，故當(dāng)，；
當(dāng)時(shí)，，令，，
再令，，
∴，即，∴在上單調(diào)遞增，∴，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
5．
【分析】先將不等式同構(gòu)變形為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判單調(diào)性轉(zhuǎn)化為解不等式0或，令，求導(dǎo)求得最大值小于等于0即可求解.
【詳解】，即，
令，則.
設(shè)，其中，
則，令，得，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，又，
所以存在，使得，
所以若，則或，即0或恒成立，
當(dāng)，故不可能，
，
所以在上，單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，
所以，所以只有才能滿(mǎn)足要求，
即，又，解得，所以正實(shí)數(shù)的最大值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)隱零點(diǎn)的處理思路：
第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過(guò)合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取值范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換，超越函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.
6．
【分析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)在定義域的單調(diào)性及極值點(diǎn)，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可.
【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>導(dǎo)函數(shù)為，
令，解得或，
令，解得，
所以函數(shù)在和單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞減，
所以的極大值為，極小值為，如圖①所示.
函數(shù)的圖象如圖②所示，令，解得或或，
所以當(dāng)或或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以或時(shí)，.
因?yàn)闉檎龜?shù)，且向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，
如圖③所示，當(dāng)時(shí)，在或成立，
即，二者至少有一個(gè)大于2，
所以向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，，二者至少有一個(gè)大于2，
所以的取值范圍為：.
故答案為：.
反思提升：
1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的一般步驟：
(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值.
(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b).
(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.
2.求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為函數(shù)（其中）的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，若不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
2．（2024·江西鷹潭·二模）已知函數(shù)，，則下列命題不正確的是（）
A．有且只有一個(gè)極值點(diǎn)B．在上單調(diào)遞增
C．存在實(shí)數(shù)，使得D．有最小值
3．（2024·四川雅安·三模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，則正數(shù)的最小值為；
③若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最小值為；
④若函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為.
A．1B．2C．3D．4
4．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最小值為0，則函數(shù)的零點(diǎn)為（）
A．0B．C．D．
二、多選題
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則（）
A．B．C．D．
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)既存在極大值點(diǎn)又存在極小值點(diǎn)，則（）
A．B．
C．D．對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題意
7．（2024·江西·二模）若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）
A．0B．C．D．
三、填空題
8．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)．
9．（2022·北京海淀·一模）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)；③的最小值為；④的最大值為1.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為 .
10．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù) ，若存在最小值，且最小值為，則實(shí)數(shù) 的值為
四、解答題
11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
12．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)極值；
(2)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1．A
【分析】導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，為對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩根，由，代入函數(shù)解析式，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以
解法一：由，得，
即．
將的值代入（*）式，得，解得，
故選：A．
解法二：函數(shù)為奇函數(shù)，圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，
則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為
設(shè)，
，
比較系數(shù)，有，
解得
所以函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，
即若存在兩個(gè)相異的極值點(diǎn)，則其對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)，即．
由題設(shè)得，即，即，
所以解得.
故選: A．
2．C
【分析】由條件可得函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，然后求導(dǎo)判斷其單調(diào)性與極值，即可得到結(jié)果.
【詳解】由得，令，
則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，
因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，，
由得，列表如下：
由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在時(shí)，取得極小值（最小值），
所以在上單調(diào)遞增，即B正確；
在時(shí)，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯(cuò)誤.
故選：C
3．B
【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，由圖象分析判斷①；由正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷②③；由極大值的意義結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷④.
【詳解】依題意，，函數(shù)，
對(duì)于①：，令，即，
作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，如圖，

觀察圖象知，兩個(gè)函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，①正確；
對(duì)于②：為奇函數(shù)，則，
，即正數(shù)的最小值為，②正確；
對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，
得，解得，正數(shù)有最大值，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，，而在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，解得，因此的取值范圍是，④錯(cuò)誤.
綜上，共2個(gè)正確，
故選：B.
4．B
【分析】由，確定，由的最小值為0，得出的解析式，進(jìn)一步求出函數(shù)的零點(diǎn).
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)，所以，c為常數(shù)，
設(shè)，則恒成立，在R上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，即，所以在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，即，所以在單調(diào)遞增，
所以在處取得最小值，即，故，
所以，故，
令，解得，函數(shù)的零點(diǎn)為.
故選：B.
5．AB
【分析】先利用求導(dǎo)公式得到，再根據(jù)函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)位于區(qū)間得到，得到的大小關(guān)系，即可判斷A，B，C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)題圖得到，然后對(duì)取特殊值，說(shuō)明即可得到D錯(cuò)誤.
【詳解】選項(xiàng)A，B，C：由題意知，
令，解得或或，
由題圖可知函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)位于區(qū)間，
因此，又，所以，故，因此A，B正確，C錯(cuò)誤.
選項(xiàng)D：由題圖可知，
若取，則，解得，因此D錯(cuò)誤.
故選：AB
6．AD
【分析】根據(jù)給定條件，分類(lèi)討論，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】由題意，得.令，得.
令，則.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.
，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)既存在極大值點(diǎn)又存在極小值點(diǎn).故A正確，B不正確.
當(dāng)時(shí)，由知，當(dāng)時(shí)，，故C不正確.
對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使得成立，故D正確.
故選：AD.
7．ABD
【分析】分類(lèi)討論的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系即可求解．
【詳解】由題知，，
①當(dāng)時(shí)，在恒成立，
②當(dāng)時(shí)，由，則，即恒成立，
設(shè)，則，令得，
所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，
所以，則，
所以，即滿(mǎn)足題意；
③當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，令，，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞增，且，，
所以，使得；
當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，
則，所以在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，即，設(shè)，
則，設(shè)，
，設(shè)，
則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，解得，
又，所以，
綜上，，
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)時(shí)，，使得，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求得最小值；當(dāng)時(shí)，設(shè)，求得最小值，令即可．
8．2
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可判定.
【詳解】由
，
令，則或，
顯然當(dāng)時(shí)，，則或，
滿(mǎn)足的根為或，端點(diǎn)值不能做為極值點(diǎn)，舍去；
滿(mǎn)足的根有兩個(gè)，
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知時(shí)，，時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).
故答案為：2
9．①②④
【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義、零點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以該函?shù)是偶函數(shù)，因此結(jié)論①正確；
令，所以結(jié)論②正確；
，因?yàn)?，?br>所以函數(shù)的最小值不可能為，因此結(jié)論③不正確；
，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此有，所以結(jié)論④正確，
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用函數(shù)極值與最值的關(guān)系進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵.
10．
【分析】求得，令，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極大值，分和，兩種情況討論，轉(zhuǎn)化為，求得，即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，可得，
令，可得，令，可得，
當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)的極大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以，可得，如圖所示，
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，記為，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在處取得極大值，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，記為，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在處取得極小值，也是最小值，
綜上可得，在內(nèi)取得最小值，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，
所以，即，即，
解得或（舍去），所以.
故答案為：.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)或；
②，構(gòu)造函數(shù)或；
③，構(gòu)造函數(shù)或.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由的單調(diào)遞增區(qū)間為，得出函數(shù)在處取到極值，即可求解；
（2）由（1），令得，令得，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí),令的單調(diào)性即可求解．
【詳解】（1）由題，的定義域?yàn)椋?br>由于函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
因此函數(shù)在處取得極值，
故，解得．
因此，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，符合題意，
故，
所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即．
（2）由（1）知，
則，
令，得．
令，
則，整理得．
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的最大值為，即．
若有兩個(gè)零點(diǎn)，則直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí),
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，
易知若有兩個(gè)零點(diǎn)，則直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，
因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
12．(1)極大值，無(wú)極小值；
(2).
【分析】（1）把代入，并求出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)探討極值即可得解.
（2）變形給定不等式，證明并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即得.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
求導(dǎo)得，由，得，由，得，由，得，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，無(wú)極小值.
（2）函數(shù)，，，
設(shè)，，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，即，因此，
令，，求導(dǎo)得，
令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，即，因此函數(shù)在上是增函數(shù)，，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）若函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，則下列關(guān)系式一定成立的是（）
A．a(chǎn)>0，b

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