知識點一：三角函數(shù)基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；
②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負角和零角．
（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．
（3）象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．
3、任意角的三角函數(shù)
（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．
（2）推廣：三角函數(shù)坐標法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設點到原點的距離為，則，，
三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：
記憶口訣 INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學\\A版理\\右括.TIF" \* MERGEFORMATINET ：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函數(shù)線
如下圖，設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T．
知識點二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系
1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系：．
（2）商數(shù)關(guān)系：；
知識點三：三角函數(shù)誘導公式
【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設三角函數(shù)在該象限的正負；（3）當為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．
【典型例題】
例1．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】顯然為等腰三角形，，則，，
即，于是，
所以璜身的面積近似為.
故選：C
例2．（2024·北京懷柔·模擬預測）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式建筑、園林建筑等，如圖所示的亭子帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其底面積為，屋頂?shù)捏w積為，算得側(cè)面展開圖的圓心角約為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】底面圓的面積為，得底面圓的半徑為，
所以底面圓周長為，即圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長為，
屋頂?shù)捏w積為，由得圓錐的高，
所以圓錐母線長，即側(cè)面展開圖扇形半徑，
得側(cè)面展開圖扇形的圓心角約為.
故選：C.
例3．（2024·高一·四川內(nèi)江·期末）已知，，則的終邊在（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因為，，
所以為第二象限角，即，
所以，
則的終邊所在象限為所在象限，
即的終邊在第一、二、四象限.
故選：D.
例4．（2024·高三·海南省直轄縣級單位·階段練習）若是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為是第一象限角，所以是第四象限角，
則是第一象限角，故A錯誤；是第二象限角，故B錯誤；
是第四象限角，故C正確；是第一象限角，故D錯誤.
故選：C.
例5．（2024·高三·上海靜安·期末）設是第一象限的角，則所在的象限為（ ）
A．第一象限B．第三象限
C．第一象限或第三象限D(zhuǎn)．第二象限或第四象限
【答案】C
【解析】因為是第一象限的角，
所以，，
所以，
當時，，為第一象限角；
當時，，為第三象限角.
故選：C
例6．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】對于A，B，，中角度和弧度混用，不正確；
對于C，因為與是終邊相同的角，
故與角的終邊相同的角可表示為，C正確；
對于D，，不妨取，則表示的角與終邊不相同，D錯誤，
故選：C
例7．（2024·高三·安徽·階段練習）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間（如圖）．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為，肩寬約為，“弓”所在圓的半徑約為，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）

A．1.012mB．1.768mC．2.043mD．2.945m
【答案】B
【解析】如圖所示，由題意知“弓”所在的弧 的長，其所對圓心角，
則兩手之間的距離．
故選：B．
例8．（2024·高三·全國·階段練習）的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
故選：D.
例9．（2024·遼寧·一模）若，則（ ）
A．或2B．或C．2D．
【答案】C
【解析】或，
代入tanα求得值均為：2.
故選：C.
例10．（2024·全國·一模）若，則（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】.
因，則.
故選：A
例11．（2024·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，所以.
故選：D.
例12．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）已知直線：的傾斜角為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知，，，
則，解得，或（舍），
所以.
故選：B
例13．（2024·廣東江門·一模）已知角α的終邊上有一點，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意知角α的終邊上有一點，則，
故，則，
故選：A
例14．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若，則 ．
【答案】
【解析】，
因為x是第二象限角，若，所以是第一象限角，
所以，
所以.
故答案為：
例15．（2024·高三·廣東云浮·開學考試）已知，則 ．
【答案】/
【解析】.
故答案為：
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2024·陜西安康·模擬預測）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧所在圓的半徑分別是6和12，且，則該圓臺的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設圓臺上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，
，解得，作出圓臺的軸截面，如圖所示：
圖中，
過點向作垂線，垂足為，則，
所以圓臺的高，
則圓臺上下底面面積為，
由圓臺的體積計算公式可得：
故選：D．
2．（2024·高三·山東青島·開學考試）中國傳統(tǒng)折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形環(huán)（扇形環(huán)是一個圓環(huán)被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開時，其扇形環(huán)扇面尺寸（單位：cm）如圖所示，則該扇面的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設福字下面的小扇形所在圓的半徑為，
則，解得：，
所以扇形環(huán)的面積為.
故選：A
3．（2024·高一·山東棗莊·期末）已知集合鈍角，第二象限角，小于的角，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因為鈍角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故選項C正確，
又第二象限角的范圍為，
不妨取，此時是第二象限角，但，所以選項ABD均錯誤，
故選：C.
4．（2024·全國·模擬預測）已知角第二象限角，且，則角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】A
【解析】因為角第二象限角，所以，
所以，所以角是第一象限角或第三象限角．
又因為，即，所以角是第一象限角，
故選：A．
5．（2024·高三·貴州·階段練習）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】A
【解析】因為，
所以
.
故選：A
6．（2024·高三·全國·專題練習）若是第二象限角，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】若α是第二象限角，則，故A錯誤；
為第一、三象限角，則，故B正確；
，故C錯誤；
，故D錯誤.
故選：B.
7．（2024·高三·四川·階段練習）若角的終邊位于第二象限，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由誘導公式有：，
因為角的終邊位于第二象限，則，
所以.
故選：D.
8．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·開學考試）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
故選：C.
9．（2024·高三·河南·專題練習）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，.
故選:C.
二、填空題
10．（2024·全國·模擬預測）已知是第二象限角，且其終邊經(jīng)過點，則 ．
【答案】
【解析】因為是第二象限角，可得，
則，所以，
又因為的終邊經(jīng)過點，可得，可得，
解得或（舍去）．
故答案為：.
11．（2024·高三·浙江金華·期末）已知一圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為且半徑為1的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為 ．
【答案】/
【解析】圓錐的側(cè)面積即是側(cè)面展開圖對應的扇形的面積，
所以側(cè)面積.
故答案為：.
12．（2024·高三·全國·專題練習）已知扇形的周長為，則這個扇形的面積為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為 ．
【答案】或
【解析】設扇形半徑為，
由題意可知：扇形的弧長為，
則扇形的面積為，解得或2，
可得扇形的弧長為或3，所以該扇形圓心角的弧度數(shù)為或.
故答案為：或.
13．（2024·云南昆明·一模）已知，，則 ．
【答案】
【解析】由，，，
，
.
故答案為：.
14．（2024·高三·江蘇連云港·階段練習）已知，則 .
【答案】/
【解析】因為，
所以.
故答案為：.
15．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知，則
【答案】/0.8
【解析】由所以
故答案為：.
16．（2024·高三·上?！ｎ}練習）角的終邊在直線上，則的值是 .
【答案】
【解析】∵角的終邊在直線，
∴，
根據(jù)，解得，
當角的終邊在第一象限時，，
當角的終邊在第三象限時，，
即
故答案為：
17．（2024·高三·全國·專題練習）已知，，則
【答案】
【解析】∵，，∴，，
∴．
故答案為：
18．（2024·全國·模擬預測）已知，則 .
【答案】
【解析】因為，可得，
所以.
故答案為：.
19．（2024·高三·全國·專題練習）已知，則的值為 ．
【答案】/1.5
【解析】由題意知，
則,
故答案為：
20．（2024·廣東惠州·一模）若角的終邊在第四象限，且，則 ．
【答案】
【解析】由可得，
又角的終邊在第四象限，可得，即；
所以.
即.
故答案為：
21．（2024·高一·甘肅武威·開學考試）點在角終邊上，則 ．
【答案】
【解析】∵點在角終邊上，
∴，，
∴，
故答案為：.
三角函數(shù)
定義域
第一象限符號
第二象限符號
第三象限符號
第四象限符號
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
三角函數(shù)線
INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學\\A版理\\4-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\張紅\\f\\原文件\\2019\\一輪\\數(shù)學\\A版理\\4-2.TIF" \* MERGEFORMATINET
有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口訣
函數(shù)名不變，符號看象限
函數(shù)名改變，符號看象限

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