專題05 反比例函數(shù)中的等腰直角三角形 1．如圖，在平面直角坐標系中，將直線 SKIPIF 1 < 0 向上平移3個單位，與 SKIPIF 1 < 0 軸、 SKIPIF 1 < 0 軸分別交于點A、B，以線段AB為斜邊在第一象限內作等腰直角三角形ABC．若反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 的圖象經過點C，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（????） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】過點C作CE⊥x軸于點E，作CF⊥y軸于點F，根據(jù)等腰直角三角形的性質可證出△ACF≌△BCE（AAS），從而得出S矩形OECF＝S四邊形OBCA＝S△AOB＋S△ABC，根據(jù)直線AB的表達式利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點A、B的坐標，結合勾股定理可得出AB的長度，再根據(jù)三角形的面積結合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即可求出k值，此題得解． 【詳解】解：過點C作CE⊥x軸于點E，作CF⊥y軸于點F，如圖所示， ∵CE⊥x軸，CF⊥y軸， ∴∠ECF＝90°． ∵△ABC為等腰直角三角形， ∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC， ∴∠ACF＝∠BCE． 在△ACF和△BCE中，  SKIPIF 1 < 0 ， ∴△ACF≌△BCE（AAS）， ∴S△ACF＝S△BCE， ∴S矩形OECF＝S四邊形OBCA＝S△AOB＋S△ABC． ∵將直線y＝?3x向上平移3個單位可得出直線AB， ∴直線AB的表達式為y＝?3x＋3， ∴點A（0，3），點B（1，0）， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∵△ABC為等腰直角三角形， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝ SKIPIF 1 < 0 ×1×3＋ SKIPIF 1 < 0 ＝4． ∵反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象經過點C， ∴k＝4， 故選C． 【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、全等三角形的判定與性質、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象與幾何變換、等腰直角三角形以及三角形的面積，根據(jù)等腰直角三角形的性質結合角的計算，證出△ACF≌△BCE（AAS）是解題的關鍵． 2．如圖， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在第一象限的圖象經過點B，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積差為（????）． A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】已知反比例函數(shù)的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)系數(shù)k的代數(shù)意義，設函數(shù)圖象上點B的坐標為(m， SKIPIF 1 < 0 )再結合已知條件求解即可； 【詳解】解：如圖，設點C(n，0)，因為點B在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，所以設點B(m， SKIPIF 1 < 0 )． ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴點A的坐標為(n，n)，點D的坐標為(n， SKIPIF 1 < 0 )， 由AD=BD，得n? SKIPIF 1 < 0 =m?n，化簡整理得m2?2mn=?16． ∴S△OAC?S△BAD= SKIPIF 1 < 0 n2? SKIPIF 1 < 0 (m?n)2=? SKIPIF 1 < 0 m2+mn=? SKIPIF 1 < 0 (m2?2mn)， 即S△OAC?S△BAD=8． 故選C 【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、等腰三角形的性質以及面積公式，解題的關鍵是掌握反比例函數(shù)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 的幾何意義． 3．如圖， SKIPIF 1 < 0 …是分別以 SKIPIF 1 < 0 …為直角頂點，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點 SKIPIF 1 < 0 …均在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象上，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（??） ?? A． SKIPIF 1 < 0  B．20 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0  【答案】B 【分析】作輔助線如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點依次求出 SKIPIF 1 < 0 點的縱坐標，找到規(guī)律，再求和即可． 【詳解】解：過 SKIPIF 1 < 0 分別作x軸的垂線，垂足分別為 SKIPIF 1 < 0  其斜邊的中點 SKIPIF 1 < 0 在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 上 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0  ∴ SKIPIF 1 < 0  設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 ，帶入 SKIPIF 1 < 0  解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  同理 SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  ……  SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  故選：B． 【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點、等腰直角三角形的性質以及一元二次方程的解法等知識，熟練掌握相關知識、找到規(guī)律是解題的關鍵． 4．如圖，一次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與x軸、y軸的交點分別為A、B，△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，其中，直角頂點C在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，則k的值是（??） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】作 SKIPIF 1 < 0 于D， SKIPIF 1 < 0 于E，根據(jù)一次函數(shù)性質求出A、B，證明 SKIPIF 1 < 0 ，得到CD＝OD，即可得到結果． 【詳解】 解：作 SKIPIF 1 < 0 于D， SKIPIF 1 < 0 于E， ∵一次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與x軸、y軸的交點分別為B、A， ∴B（5，0），A（0，﹣1）， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ∵ SKIPIF 1 < 0 是以AB為斜邊的等腰直角三角形， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∵ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， 設C（m，m），則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴C（2，2）， ∵直角頂點C在反比例函數(shù)y＝ SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象上， ∴k＝2×2＝4， 故選：A． 【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形的性質，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形全等的判定和性質，求得C的坐標是解題的關鍵． 5．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，A點坐標（－2，0），B點坐標為（1，1），點C在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 上，則k的值為（????） A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0  【答案】C 【分析】作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，通過證得 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的坐標，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值． 【詳解】解：作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 點坐標 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 點坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 點 SKIPIF 1 < 0 在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 上，  SKIPIF 1 < 0 ， 故選：C． 【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，利用了數(shù)形結合思想．求得點 SKIPIF 1 < 0 的坐標是解題的關鍵． 6．如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分別以B1，B2，B3，…為直角頂點，斜邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其直角頂點B1（x1，y1），B2（x2，y2），B3（x3，y3），…均在反比例函數(shù)y＝ SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象上，則y1+y2+y3+…+y10的值為（　?。? A． SKIPIF 1 < 0  B．6 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0  【答案】A 【分析】根據(jù)點 SKIPIF 1 < 0 的坐標，確定 SKIPIF 1 < 0 ，可求反比例函數(shù)關系式，由點 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形的直角頂點，可以得到 SKIPIF 1 < 0 的長，然后再設未知數(shù)，表示點 SKIPIF 1 < 0 的坐標，確定 SKIPIF 1 < 0 ，代入反比例函數(shù)的關系式，建立方程解出未知數(shù)，表示點 SKIPIF 1 < 0 的坐標，確定 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 然后再求和． 【詳解】解：如圖，過 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別作 SKIPIF 1 < 0 軸的垂線，垂足分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0  則 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 直角頂點 SKIPIF 1 < 0 在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0  此時 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， 解得： SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ， 同理： SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 ， 故選：A． 【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質等知識，通過計算有一定的規(guī)律，推斷出一般性的結論，得出答案． 7．如圖，點A在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像上，以 SKIPIF 1 < 0 為一邊作等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ，其中∠ SKIPIF 1 < 0 =90°， SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 長的最小值是（????） A．1 B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D．4 【答案】C 【分析】如圖，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸，交y軸于M，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸，垂足為D，交MA于H，則 SKIPIF 1 < 0  證明 SKIPIF 1 < 0  可得 SKIPIF 1 < 0  設 SKIPIF 1 < 0  則 SKIPIF 1 < 0  可得  SKIPIF 1 < 0  再利用勾股定理建立函數(shù)關系式，結合完全平方公式的變形可得答案． 【詳解】解：如圖，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸，交y軸于M，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸，垂足為D，交MA于H，則 SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  設 SKIPIF 1 < 0  則 SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  而當 SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  ∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是8， ∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0  故選：C． 【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，反比例函數(shù)的性質，完全平方公式的變形應用，勾股定理的應用，掌握“ SKIPIF 1 < 0 的變形公式”是解本題的關鍵． 8．如圖， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，直角頂點與坐標原點重合，若點B在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，則經過點A的反比例函數(shù)表達式為____________． 【答案】 SKIPIF 1 < 0  【分析】如圖所示，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，證明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，設點B的坐標為（a，b），則點A的坐標為（-b，a），再由點B在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可得到答案． 【詳解】解：如圖所示，過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，則∠ACO=∠ODB=90°， 由題意得OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠CAO=∠DOB， ∴△ACO≌△ODB（AAS）， ∴AC=OD，OC=BD， 設點B的坐標為（a，b），則AC=OD=a，OC=BD=b， ∴點A的坐標為（-b，a）， ∵點B在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴經過點A的反比例函數(shù)表達式為 SKIPIF 1 < 0 ， 故答案為： SKIPIF 1 < 0 ． 【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質與判定，熟知相關知識是解題的關鍵． 9．如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B關于原點O對稱，以線段AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，點C在第四象限，反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象經過點C，若點B的坐標為(－1，－3)，則k的值為___． 【答案】-3 【分析】利用等腰直角三角形，構造全等三角形，如圖， SKIPIF 1 < 0 ，然后得到對應邊相等，而直角邊的長度可以用點的橫縱坐標來表示， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)對應邊相等，建立方程組，即可求解． 【詳解】解：過點C作x軸的垂線，與過點A作y軸的垂線交于點D，與過點B作y軸的垂線交于點E，如圖，  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形ABC，  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 設 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，點A、點B關于原點O對稱，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 ． 故答案為：-3． 【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、點的坐標特征以及用點的坐標來表示長度． 10．如圖，在平面直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 中，矩形 SKIPIF 1 < 0 的頂點A，C分別在x軸，y軸上，D是BC的中點，過點D的反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象交AB于點E，連接DE．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)若點P在x軸上，且以P，A，E為頂點的三角形是等腰直角三角形，請直接寫出P點坐標． 【答案】(1) SKIPIF 1 < 0  (2)P點坐標 SKIPIF 1 < 0  【解析】（1） ∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形 ∴ SKIPIF 1 < 0 ， 在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， ∵ SKIPIF 1 < 0  ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0  把 SKIPIF 1 < 0 代人 SKIPIF 1 < 0 得， ∴ SKIPIF 1 < 0  ∴反比例函數(shù)的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ； （2） ∵點D是CB中點， ∴B（8,3） 當x=8時  SKIPIF 1 < 0  ∴E（8， SKIPIF 1 < 0 ） 當AEP構成等腰三角形時，只能是PA=EA= SKIPIF 1 < 0  P點可位于E點左邊或右邊 當P點位于E點左邊時： P的橫坐標x=8- SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0  當P點位于E點右邊時： P的橫坐標為x=8+ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0  故P點坐標 SKIPIF 1 < 0  【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)表達式、矩形性質在求坐標中的應用，等腰三角形性質，掌握這些才能解出此題． 11．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝x+b的圖象經過點A（0，1），與反比例函數(shù)y＝ SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象交于B（m，2）． （1）求k和b的值； （2）在雙曲線y＝ SKIPIF 1 < 0 （x＞0）上是否存在點C，使得△ABC為等腰直角三角形？若存在，求出點C坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）k＝2，b＝1；（2）C（2，1）． 【分析】（1）將點A坐標代入直線y=x+b中求出b，進而求出點B坐標，最后代入反比例函數(shù)解析式中，求出k； （2）先求出AB的長，再分三種情況，利用等腰直角三角形的性質求出點C的坐標，判斷即可得出結論． 【詳解】（1）將A（0，1）代入y＝x+b中得，0+b＝1 ∴b＝1 將B（m，2）代入y＝x+1中得，m+1＝2 ∴m＝1 ∴B（1，2） 將B（1，2）代入y＝ SKIPIF 1 < 0 中得，k＝1×2＝2 ∴k＝2，b＝1； （2）∵A（0，1），B（1，2）， ∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 ， 由（1）知，b＝1， ∴直線AB的解析式為y＝x+1， 分情況討論： △ABC是等腰直角三角形 ①當∠CAB＝90°時，AC＝AB， ∴直線AC的解析式為y＝﹣x+1， 設C（c，﹣c+1）， ∴AC＝ SKIPIF 1 < 0 ， ∴c＝±1， ∴C為（﹣1，2）或（1，0）， 將點C代入 SKIPIF 1 < 0 中判斷出都不在雙曲線上，． ②當∠ABC＝90°時，同①的方法得，C為（2，1）或（0，3）， 將點C坐標代入 SKIPIF 1 < 0 中得，判斷出點C（2，1）在雙曲線上， ③當∠ACB＝90°時， ∵A（0，1），B（1，2）， 易知，C為（1，1）或（0，2）， 將點C坐標代入 SKIPIF 1 < 0 中判斷出都不在雙曲線上， ∴C（2，1）． 【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點間的距離公式，等腰直角三角形的性質，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵． 12．如圖，反比例y= SKIPIF 1 < 0 的圖象與一次函數(shù)y=kx﹣3的圖象在第一象限內交于A（4，a）． （1）求一次函數(shù)的解析式； （2）若直線x=n（0＜n＜4）與反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象分別交于點B，C，連接AB，若△ABC是等腰直角三角形，求n的值． 【答案】（1）y=x﹣3（2）1 【分析】（1）由已知先求出a，得出點A的坐標，再把A的坐標代入一次函數(shù)y=kx-3求出k的值即可求出一次函數(shù)的解析式； （2）易求點B、C的坐標分別為（n， SKIPIF 1 < 0 ），（n，n-3）．設直線y=x-3與x軸、y軸分別交于點D、E，易得OD=OE=3，那么∠OED=45°．根據(jù)平行線的性質得到∠BCA=∠OED=45°，所以當△ABC是等腰直角三角形時只有AB=AC一種情況．過點A作AF⊥BC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出BF=FC，依此得出方程 SKIPIF 1 < 0 -1=1-（n-3），解方程即可． 【詳解】解：（1）∵反比例y= SKIPIF 1 < 0 的圖象過點A（4，a）， ∴a= SKIPIF 1 < 0 =1， ∴A（4，1）， 把A（4，1）代入一次函數(shù)y=kx﹣3，得4k﹣3=1， ∴k=1， ∴一次函數(shù)的解析式為y=x﹣3； （2）由題意可知，點B、C的坐標分別為（n， SKIPIF 1 < 0 ），（n，n﹣3）． 設直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點D、E，如圖， 當x=0時，y=﹣3；當y=0時，x=3， ∴OD=OE， ∴∠OED=45°． ∵直線x=n平行于y軸， ∴∠BCA=∠OED=45°， ∵△ABC是等腰直角三角形，且0＜n＜4， ∴只有AB=AC一種情況， 過點A作AF⊥BC于F，則BF=FC，F(xiàn)（n，1）， ∴ SKIPIF 1 < 0 ﹣1=1﹣（n﹣3）， 解得n1=1，n2=4， ∵0＜n＜4， ∴n2=4舍去， ∴n的值是1． 【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質，難度適中． 13．如圖，已知反比例函數(shù)y＝ SKIPIF 1 < 0 的圖象與一次函數(shù)y＝k2x＋b的圖象交于A，B兩點，A點橫坐標為1，B(－ SKIPIF 1 < 0 ，－2)． (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； (2)在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y= SKIPIF 1 < 0 ；一次函數(shù)解析式為y=2x-1．（2）（ SKIPIF 1 < 0 ，0），（- SKIPIF 1 < 0 ，0），（2，0），（1，0）． 【詳解】試題分析：（1）先把B點坐標代入 SKIPIF 1 < 0 可求得k1=2，則可得到反比例函數(shù)解析式為y= SKIPIF 1 < 0 ；再把A（1，n）代入y= SKIPIF 1 < 0 求得n=1，得到A點坐標為（1，1），然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式． （2）以O為圓心，OA為半徑，交x軸于兩點，這兩點均符合點P的要求．以A為圓心，AO為半徑，交x軸于一點，作AO的垂直平分線，交x軸于一點，因此共有4個符合要求的點． 試題解析：（1）把B（- SKIPIF 1 < 0 ，-2）代入 SKIPIF 1 < 0 得k1=2×（- SKIPIF 1 < 0 ）×（-2）=2， 所以反比例函數(shù)解析式為y= SKIPIF 1 < 0 ； 把A（1，n）代入y= SKIPIF 1 < 0 得n=1， 所以A點坐標為（1，1）， 把A（1，1）、B（- SKIPIF 1 < 0 ，-2）代入y=k2x+b得  SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， 所以一次函數(shù)解析式為y=2x-1． （2）存在符合條件的點P． 若OA=OP，則P（ SKIPIF 1 < 0 ，0）或（- SKIPIF 1 < 0 ，0）， 若AP=OA，則P（2，0）， 若OP=AP，則（1，0）， 可求出點P的坐標為（ SKIPIF 1 < 0 ，0），（- SKIPIF 1 < 0 ，0），（2，0），（1，0）． 考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 14．如圖，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸、交反比例的數(shù) SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 的圖象于點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為頂點， SKIPIF 1 < 0 為直角邊作等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ．點 SKIPIF 1 < 0 恰好落在反比例函數(shù)圖象上． （1）求反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的解析式； （2）連接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積． 【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ． 【分析】（1）過點A作AD SKIPIF 1 < 0 x軸于點D，過點C作CE SKIPIF 1 < 0 AD于點E，求證 SKIPIF 1 < 0 AOD≌ SKIPIF 1 < 0 CAE，可得CE=AD，故C點的坐標為(4,2)，且C點在反比例函數(shù)上，所以反比例函數(shù)的k值可求得； （2）過點C作CF SKIPIF 1 < 0 AB交AB延長線于點F，因為AB SKIPIF 1 < 0 x軸，A點坐標已知，所以B點的縱坐標與A點縱坐標相同，且B在反比例函數(shù)上，則B點坐標可求得，線段AB的長度可通過A、B兩點橫坐標之差求得，且由（1）可知C的縱坐標，CF的長度也可求得， SKIPIF 1 < 0 ABC的面積即為 SKIPIF 1 < 0 ． 【詳解】解：（1）如圖所示，過點A作AD SKIPIF 1 < 0 x軸于點D，過點C作CE SKIPIF 1 < 0 AD于點E， ∵A點坐標為(1,3)， ∴OD=1，CD=3， 又∵ SKIPIF 1 < 0 AOC為等腰直角三角形， ∴AO=AC，∠OAC=90°， ∴∠OAD+∠EAC=∠EAC+∠ACE=90° ∴∠OAD=∠ACE， 在 SKIPIF 1 < 0 AOD和 SKIPIF 1 < 0 CAE中，  SKIPIF 1 < 0  ∴ SKIPIF 1 < 0 AOD≌ SKIPIF 1 < 0 CAE（AAS）， ∴AE=OD=1，CE=AD=3， ∴C點坐標為(4,2)， ∴k=4 SKIPIF 1 < 0 2=8， ∴反比例函數(shù)的解析式為： SKIPIF 1 < 0 ． （2）∵A點坐標為(1,3)，AB SKIPIF 1 < 0 x軸 ∴B點縱坐標為3， 又∵點B在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像上， ∴B點橫坐標為 SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， 過點C作CF SKIPIF 1 < 0 AB交AB延長線于點F，F(xiàn)點的縱坐標為3， ∵C點坐標為(4,2)， ∴CF=3-2=1， ∴ SKIPIF 1 < 0 ． 【點睛】本題考察了全等三角形的證明、反比例函數(shù)比例系數(shù)的求解，根據(jù)圖形對應求出各點坐標是解題的關鍵，并根據(jù)反比例函數(shù)的性質，推得其余未知點的坐標． 15．如圖， SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，斜邊 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上，一次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像經過點 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于點 SKIPIF 1 < 0 ，反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的圖像也經過點 SKIPIF 1 < 0 ． （1）求反比例函數(shù)的解析式； （2）過 SKIPIF 1 < 0 點作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 點，求 SKIPIF 1 < 0 的值； （3）若點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 軸上的動點，點 SKIPIF 1 < 0 在反比例函數(shù)的圖像上使得 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形？直接寫出所有符合條件的點 SKIPIF 1 < 0 的坐標． 【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． 【分析】（1）根據(jù)題意 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，過點 SKIPIF 1 < 0 分別作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，則設 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)一次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像經過點 SKIPIF 1 < 0 ,求得 SKIPIF 1 < 0 的值，進而求得 SKIPIF 1 < 0 的坐標,即可求得反比例函數(shù)解析式； （2）根據(jù)在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ①，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ②，①－②即可求得； （3）分三種情況討論①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如圖，連接 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，進而求得 SKIPIF 1 < 0 ，從而求得 SKIPIF 1 < 0 的坐標，即可求得 SKIPIF 1 < 0 點的坐標；②若 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 分別作 SKIPIF 1 < 0 軸，垂足分別為 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可求得 SKIPIF 1 < 0 點坐標；③若 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可求得 SKIPIF 1 < 0 點坐標；綜合①②③即可求得所有 SKIPIF 1 < 0 的坐標． 【詳解】（1）過點 SKIPIF 1 < 0 分別作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，  SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，  SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，  SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 設 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，  SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的圖像經過點 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 反比例函數(shù)的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 , 把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ①， 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ②， ①-②,得 SKIPIF 1 < 0 ， （3）①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如圖，連接 SKIPIF 1 < 0 ， 在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 又 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， ②若 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 分別作 SKIPIF 1 < 0 軸，垂足分別為 SKIPIF 1 < 0 ， 在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， 由 SKIPIF 1 < 0 ， 可得 SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 ， 經檢驗，m是原方程的解，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， ③若 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ， 在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， 由 SKIPIF 1 < 0 ， 可得 SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 ， 經檢驗，m是原方程的解，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ， 綜上所述，存在 SKIPIF 1 < 0 點符合題意，其坐標為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． 【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，等腰直角三角形的性質，勾股定理，三角形全等的性質與判定，解可化為一元二次方程的分式方程，掌握以上知識是解題的關鍵． 16．如圖，一次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象與反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點，與x軸交于D點，且C、D兩點關于y軸對稱． （1）求一次函數(shù)的解析式以及點C的坐標． （2）在x軸上是否存在點P，使得 SKIPIF 1 < 0 的值最??？若存在，求出點P的坐標，并求出最小值；若不存在，請說明理由． （3）將 SKIPIF 1 < 0 沿x軸左右平移，頂點D的對應點為 SKIPIF 1 < 0 ．在平移過程中，將該角繞點 SKIPIF 1 < 0 旋轉，使它的一邊始終經過點A，另一邊與直線AC交于點 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，求此時點 SKIPIF 1 < 0 的坐標． 【答案】（1）y＝?x＋4，C（?4，0）；（2）PD+2PA的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，P點坐標為（ SKIPIF 1 < 0 ，0）；（3）點C′坐標為（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（?8，?12）或（4，24）或（?5，?3）． 【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)解析式可求出點A，B的坐標，然后利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)的解析式，令y=0可得D點坐標，然后根據(jù)軸對稱的性質可得點C的坐標； （2）作直線DE與x軸夾角為30°，過點P作PN⊥DE，連接AP，則PN= SKIPIF 1 < 0 PD，將求PD+2PA的最小值轉化為求 SKIPIF 1 < 0 PD+PA的最小值，即PN+PA的最小值，進而得到所求的是A、P、N三點共線時PN+PA的值，過點A作AM⊥x軸于點M，根據(jù)點A和點D坐標，分別在Rt△AMP和Rt△DPN中，解直角三角形求出MP、DP、PA以及PN即可； （3）當邊AD經過點A時有兩種情形： ①如圖，將線段CA繞點C順時針旋轉90°得到線段CF，連接AF交x軸于點D′，則F（2，?2）．由∠AD′C′＝45°，可知當D′C′⊥AC時，△AC′D′是等腰直角三角形； ②如圖，當D′A⊥AC時，△AD′C′是等腰直角三角形，分別求解即可； 當邊AC經過點A時，有兩種情形： ③當△AD′C′是等腰直角三角形時，作AF⊥x軸于F，C′⊥AF交FA的延長線于E； ④當AC′＝C′D′，△AD′C′是等腰直角三角形時，作C′F⊥x軸于F，C′E∥x軸，AE⊥A′E，則△C′FD′≌△C′EA，分別求解即可. 【詳解】解：（1）∵A（?2，m）、B（6，n）兩點在 SKIPIF 1 < 0 的圖象上， ∴m＝6，n＝?2， ∴A（?2，6），B（6，?2）， 把A（?2，6），B（6，?2）代入y＝kx＋b， 則有 SKIPIF 1 < 0 ， 解得： SKIPIF 1 < 0 ， ∴一次函數(shù)的解析式為y＝?x＋4， 令y＝0，得到x＝4， ∴D（4，0）， ∵C，D關于y軸對稱， ∴C（?4，0）； （2）作直線DE與x軸夾角為30°，過點P作PN⊥DE，連接AP，則PN= SKIPIF 1 < 0 PD，而求PD+2PA的最小值可轉化為求 SKIPIF 1 < 0 PD+PA的最小值，即PN+PA的最小值， ∴當A、P、N三點共線時PN+PA取最小值， 過點A作AM⊥x軸于點M， ∵A（?2，6），D（4，0）， ∴AM=6，AD=6， ∵∠PDN=30°， ∴∠MAP=30°， ∴MP= SKIPIF 1 < 0 ， ∴DP=6- SKIPIF 1 < 0 ，PA= SKIPIF 1 < 0 ， ∴PN= SKIPIF 1 < 0 ， ∴PN+PA= SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 PD+PA的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ， ∴PD+2PA的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，P點坐標為（ SKIPIF 1 < 0 ，0）； ； （3）當邊AD經過點A時有兩種情形： ①如圖，將線段CA繞點C順時針旋轉90°得到線段CF，連接AF交x軸于點D′，則F（2，?2）． ∵∠AD′C′＝45°， ∴當D′C′⊥AC時，△AC′D′是等腰直角三角形， ∵A（?2，6），C（?4，0）， ∴直線AC的解析式為y＝3x＋12，直線AF的解析式為y＝?2x＋2， ∴D′（1，0）， ∴直線D′C′的解析式為y＝? SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 ， 由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， ∴C′（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）； ②如圖，當D′A⊥AC時，△AD′C′是等腰三角形． ∵直線AC的解析式為y＝3x＋12， ∴直線AD′的解析式為y＝? SKIPIF 1 < 0 x+ SKIPIF 1 < 0 ， ∴D′（16，0）， 設C′（m，3m＋12）， ∵AC′＝AD′， ∴（m＋2）2＋（3m＋12?6）2＝（16＋2）2＋62， 解得m＝?8或?4（舍棄）， ∴C′（?8，?12）， 當邊AC經過點A時，有兩種情形： ③當△AD′C′是等腰直角三角形時，作AF⊥x軸于F，C′E⊥AF交FA的延長線于E． ∵D′（16，0）， ∴OD′＝18，OA＝6， ∵△AFD′≌C′EA， ∴EC′＝6，AE＝FD′＝18， ∴C′（4，24）； ④當AC′＝C′D′時，作C′F⊥x軸于F，C′E∥x軸，AE⊥A′E，則△C′FD′≌△C′EA． 設C′（m，3m＋12）， ∵C′F＝C′E， ∴?3m?12＝?2?m， ∴m＝?5， ∴C′（?5，?3）， 綜上所述，滿足條件的點C′坐標為（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（?8，?12）或（4，24）或（?5，?3）． 【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題． 17．如圖，在平面直角坐標系中，等腰三角形ABO的底邊OA在x軸上，頂點B在反比例函數(shù)y=  SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象上．當?shù)走匫A上的點A在x的正半軸上自左向右移動時，頂點B也隨之在反比例函數(shù)y=  SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象上滑動，但點O始終位于原點． ??????????①???????????????????????????②??? （1）如圖①，若點A的坐標為（6，0）時，求點B的坐標； （2）當點A移動到什么位置時，三角形ABO變成等腰直角三角形，請說明理由； （3）在（2）中，如圖②，△PA1A是等腰直角三角形，點P在反比例函數(shù)y=  SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象上，斜邊A1A都在x軸上，求點A1的坐標 【答案】（1）（3，4）（2）點A移動到（ SKIPIF 1 < 0 ，0）時，△ABO變成等腰直角三角形（3）（ SKIPIF 1 < 0 ，0） 【詳解】試題分析：（1）過點B作BC⊥x軸于點C，由等腰三角形的三線合一，可得OC=AC=3，然后由頂點B在反比例函數(shù)y=  SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象上，即可求得點B的坐標；（2）點A移動到（ SKIPIF 1 < 0 ，0）時，△ABO變成等腰直角三角形，過點B作BC⊥x軸于點C，由等腰直角三角形的性質，可得OC=BC，設點B（a，a），然后由頂點B在反比例函數(shù)y=  SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象上，求得點B的坐標，繼而求得點A的坐標；（3）首先過點P作PD⊥x軸于點D，易得AD=PD，則可設AD=b，則點P（4 SKIPIF 1 < 0 +b，b），又由點P在反比例函數(shù)y=  SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象上，求得b的值，繼而求得答案． 試題解析： （1）過點B作BC⊥OA于C，則OC= SKIPIF 1 < 0 OA=3． ∴B的橫坐標是3，把x=3代入y= SKIPIF 1 < 0  得：y=4． 則B的坐標是（3，4）． （2）點A移動到（ SKIPIF 1 < 0 ，0）時，△ABO變成等腰直角三角形． 理由：如圖②，過點B作BC⊥x軸于點C， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴BC=OC=  SKIPIF 1 < 0 , 設點B（a，a）， ∵頂點B在反比例函數(shù)y=  SKIPIF 1 < 0 （x＞0）的圖象上， ∴a=  SKIPIF 1 < 0 ， 解得：a=± SKIPIF 1 < 0 （負值舍去）， ∴OC= SKIPIF 1 < 0 ， ∴OA=2OC= SKIPIF 1 < 0 ， ∴點A移動到（ SKIPIF 1 < 0 ，0）時，△ABO變成等腰直角三角形； （3）如圖②，過點P作PD⊥x軸于點D， ∵△PA1A是等腰直角三角形， ∴PD=AD， 設AD=b，則點P  SKIPIF 1 < 0  ∵點P在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0  （x＞0）的圖象上， SKIPIF 1 < 0  解得： SKIPIF 1 < 0 (負的舍去) ∴ SKIPIF 1 < 0  ∴OA1=OA+AA1=  SKIPIF 1 < 0  ∴點A1的坐標是（ SKIPIF 1 < 0 ，0） 點睛：本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了點與圖象的關系、等腰三角形的性質以及等腰直角三角形性質．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用． 18．如圖1，在平面直角坐標系中，直線l：y=－2x+2與x軸交于點A，將直線l繞著點A順時針旋轉45°后，與y軸交于點B，過點B作BC⊥AB，交直線l于點C． (1)求點A和點C的坐標； (2)如圖2，將△ABC以每秒3個單位的速度沿y軸向上平移t秒，若存在某一時刻t，使A、C兩點的對應點D、F恰好落在某反比例函數(shù)的圖象上，此時點B對應點E，求出此時t的值； (3)在（2）的情況下，若點P是x軸上的動點，是否存在這樣的點Q，使得以P、Q、E、F四個點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合題意的點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】(1)A（1，0），C（3，-4） (2)t=2s (3)存在，點Q的坐標為（2，-1）或（4，-1）或（ SKIPIF 1 < 0 ，1）或（ SKIPIF 1 < 0 ，1）或Q（ SKIPIF 1 < 0 ，5）． 【分析】（1）過點C作CH⊥y軸于點H，利用AAS證明△AOB≌△BHC，得BH=AO=1，CH=BO，設OB=a，則OH=a+1，從而得出點C的坐標，代入直線解析式即可； （2）根據(jù)平移的性質表示出D、F的坐標，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征得出方程即可； （3）由（2）知E（0，3），F(xiàn)（3，2），設P（b，0），根據(jù)對角線進行分類，利用兩點之間的距離公式列出方程，解方程可得答案． （1） 解：∵y=-2x+2與x軸交于點A， ∴0=-2x+2，得x=1， ∴點A（1，0）； 過點C作CH⊥y軸于點H， ∴∠CHB=∠BOA=90°， ∵將直線l繞著點A順時針旋轉45°后，與y軸交于點B， ∴∠BAC=45°， 又∵BC⊥AB， ∴∠BAC=∠ACB=45°， ∴AB=BC， ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠CBH=90°， ∴∠OAB=∠CBH， 在△AOB和△BHC中 SKIPIF 1 < 0 ， ∴△AOB≌△BHC（AAS）， ∴BH=AO=1，CH=BO， 設OB=a，則OH=a+1， ∴點C（a，-a-1）， ∵點C在直線l上， ∴-a-1=-2a+2， ∴a=3， ∴C（3，-4）； （2） 解：將△ABC以每秒3個單位的速度沿y軸向上平移t秒， A（1，0），B（0，-3），C（3，-4）， ∴點D（1，3t），點E（0，-3+3t），點F（3，-4+3t）， ∵點A、C兩點的對應點D、F正好落在某反比例函數(shù)的圖象上， ∴1×3t=3×（-4+3t）， ∴t=2； （3） 解：由（2）知E（0，3），F(xiàn)（3，2）， 設P（b，0）， 則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 當EF為對角線時，則PE=PF，即 SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， 解得：b= SKIPIF 1 < 0 ， ∴P（ SKIPIF 1 < 0 ，0）， 點P（ SKIPIF 1 < 0 ，0）向左平移 SKIPIF 1 < 0 個單位、向上平移3個單位到E（0，3）， ∴點F（3，2）向左平移 SKIPIF 1 < 0 個單位、向上平移3個單位到Q（3- SKIPIF 1 < 0 ，2+3）， ∴Q（ SKIPIF 1 < 0 ，5）； 當EP為對角線時，則EF=PF，即 SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， 解得：b= SKIPIF 1 < 0 +3或 SKIPIF 1 < 0 +3， ∴P（ SKIPIF 1 < 0 +3，0）或（ SKIPIF 1 < 0 +3，0）， 當P（ SKIPIF 1 < 0 +3，0）時，同理得Q（ SKIPIF 1 < 0 ，1）； 當P（ SKIPIF 1 < 0 +3，0）時，同理得Q（ SKIPIF 1 < 0 ，1）； 當EQ為對角線時，則EF=PF，即 SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， 解得：b=1或-1， ∴P（1，0）或（-1，0）， 當P（1，0）時，同理得Q（4，-1）； 當P（-1，0）時，同理得Q（2，-1）； 綜上所述：點Q的坐標為（2，-1）或（4，-1）或（ SKIPIF 1 < 0 ，1）或（ SKIPIF 1 < 0 ，1）或Q（ SKIPIF 1 < 0 ，5）． 【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點的坐標的特征，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，平移的性質，勾股定理，菱形的性質等知識，運用方程思想是解題的關鍵．

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