第二十八章　銳角三角函數(shù) 得分________　卷后分________　評(píng)價(jià)________ 一、選擇題(每小題3分，共30分) 1．2cos 30°＝( B ) 　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A．1 B． eq \r(3)  C． eq \r(2)  D． eq \f(\r(3),2)  2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，那么∠A的三角函數(shù)值為 eq \f(3,5) 的是( B ) A．sin A B．cos A C． eq \f(1,cos A)  D．tan A 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ eq \f(1,5) ，則tan A等于( A ) A．2 eq \r(6)  B． eq \f(\r(6),2)  C． eq \f(2\r(6),5)  D．24 4．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中點(diǎn)，BC＝4，tan ∠CAB＝ eq \f(1,2) ，則AD的長(zhǎng)為( C ) A．1 B．2 C．4 D．8 5．如圖，以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的弧交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，P是 eq \x\to(AB) 上一點(diǎn)(不與A，B重合)，連接OP，設(shè)∠POB＝α，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( C ) A．(sin α，sin α) B．(cos α，cos α) C．(cos α，sin α) D．(sin α，cos α)  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖)) 　  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖)) 　  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))  6．無人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測(cè)．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機(jī)對(duì)一塊試驗(yàn)田進(jìn)行監(jiān)測(cè)作業(yè)時(shí)，在距地面高度為135 m的A處測(cè)得試驗(yàn)田右側(cè)邊界N處俯角為43°，無人機(jī)垂直下降40 m至B處，又測(cè)得試驗(yàn)田左側(cè)邊界M處俯角為35°，則M，N之間的距離為( C ) (參考數(shù)據(jù)：tan 43°≈0.9，sin 43°≈0.7，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，結(jié)果保留整數(shù)) A．188 m B．269 m C．286 m D．312 m 7．一艘貨輪從小島A正南方向的點(diǎn)B處向西航行30 km到達(dá)點(diǎn)C處，然后沿北偏西60°方向航行20 km到達(dá)點(diǎn)D處，此時(shí)觀測(cè)到小島A在北偏東60°方向，則小島A與出發(fā)點(diǎn)B之間的距離為( B ) A．20 eq \r(3)  km B．(10 eq \r(3) ＋20) km C．(10 eq \r(3) ＋10) km D．(20 eq \r(3) ＋10) km 8．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，連接PO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)C，D，若CD＝12，PA＝8，則sin ∠ADB的值為( A ) A． eq \f(4,5)  B． eq \f(3,5)  C． eq \f(3,4)  D． eq \f(4,3)   eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))  9．如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos ∠APC的值為( B ) A． eq \f(\r(3),5)  B． eq \f(2\r(5),5)  C． eq \f(2,5)  D． eq \f(\r(5),5)  10．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC平分∠BAD，ED⊥AD，BC⊥AC，且cos ∠CBE＝ eq \f(15,16) ，∠ABE＝30°，則 eq \f(AD,AC) 的值為( D ) A． eq \f(\r(3),3)  B． eq \f(\r(3)－1,2)  C． eq \f(1,2)  D． eq \f(8,15)  解析：過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F.∵AC平分∠BAD，ED⊥AD，∴∠DAE＝∠CAB，EF＝ED.∵∠EFB＝90°，∠ABE＝30°，∴BE＝2EF.∵BC⊥AC，∴∠BCA＝∠EDA＝90°.∵cos ∠CBE＝ eq \f(BC,BE) ＝ eq \f(15,16) ，∴ eq \f(BC,DE) ＝ eq \f(15,8) ，即 eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(8,15) .∵∠EAD＝∠BAC，∠ADE＝∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(8,15) ，故選D 二、填空題(每小題3分，共18分) 11．一條上山直道的坡度為1∶7，沿這條直道上山，每前進(jìn)100米所上升的高度為__10 eq \r(2) __米． 12．已知α為銳角，且cos (90°－α)＝ eq \f(\r(2),2) ，則α＝__45°__． 13．如圖，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝ eq \f(60,x) 的圖象上，PH⊥x軸于點(diǎn)H，若cos ∠POH＝ eq \f(12,13) ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__(12，5)__ .  eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15題圖))  14．如圖，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與射線OA交于點(diǎn)B，再以B為圓心，BO長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線OC，則sin ∠AOC的值為__ eq \f(\r(3),2) __． 15．如圖，在△ABC中，sin B＝ eq \f(1,3) ，tan C＝2，AB＝3，則AC的長(zhǎng)為__ eq \f(\r(5),2) __． 16．如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB＝2 eq \r(2) ，BC＝4，點(diǎn)E在BC上，CE＝AE，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF，則(1)EF＝__ eq \r(17) __；(2)sin ∠CEF＝__ eq \f(8\r(34),51) __． 解析：(1)∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC.根據(jù)翻折可得∠ECA＝∠FCA，∠BAC＝∠CAF.∵四邊形ABCD是矩形，∴DA∥CB，∴∠ECA＝∠CAD，∴∠EAC＝∠CAD，∴∠DAF＝∠BAE.∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝90°.設(shè)CE＝AE＝x，則BE＝4－x，在△BAE中，根據(jù)勾股定理可得BA2＋BE2＝AE2，即(2 eq \r(2) )2＋(4－x)2＝ x2，解得x＝3.在Rt△EAF中，EF＝ eq \r(AF2＋AE2) ＝ eq \r(17) 　(2)過點(diǎn)F作FG⊥BC交BC于點(diǎn)G.設(shè)CG＝y(tǒng)，則GE＝3－y.∵FG2＝FC2－CG2＝FE2－EG2，F(xiàn)C＝4，F(xiàn)E＝ eq \r(17) ，即16－y2＝17－(3－y)2，解得y＝ eq \f(4,3) ，∴FG＝ eq \r(FC2－CG2) ＝ eq \f(8\r(2),3) ，∴sin ∠CEF＝ eq \f(FG,EF) ＝ eq \f(8\r(34),51)  三、解答題(共72分) 17．(8分)計(jì)算：sin 30°·tan 45°＋sin260°－2cos60°. 解：原式＝ eq \f(1,2) ×1＋( eq \f(\r(3),2) )2－2× eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,4)  18．(8分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ eq \f(2,5) ，D為AC上的一點(diǎn)，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的長(zhǎng)． 解：∵∠BCA＝90°，∠BDC＝45°，∴∠DBC＝45°，∴CD＝CB＝6.又∵sin A＝ eq \f(2,5) ，∴ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(2,5) ，∴AB＝15 19．(10分)如圖，為了測(cè)量一條河流的寬度，一測(cè)量員在河岸邊相距180 m的P和Q兩點(diǎn)分別測(cè)定對(duì)岸一棵樹T的位置，T在P的正南方向上，在Q的南偏西50°的方向上，求河寬．(結(jié)果精確到1 m，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84) 解：在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°－50°＝40°，∴PT＝PQ·tan ∠PQT＝180×tan40°≈151(m).答：河寬約為151 m 20．(10分)如圖，某校無人機(jī)興趣小組利用無人機(jī)測(cè)量旗桿的高度，無人機(jī)在位于C點(diǎn)時(shí)距離地面MN的高度CH為30米，測(cè)得旗桿頂部A點(diǎn)的俯角為30°，測(cè)得旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°，求旗桿的高度．(結(jié)果保留根號(hào)) 解：作AD⊥CH，垂足為D.根據(jù)題意得，∠CBH＝45°，∠CAD＝30°.在Rt△BHC中，∵∠BHC＝90°，∠CBH＝∠BCH＝45°，∴BH＝30米．∵∠ABH＝∠BHD＝∠ADH＝90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴BH＝AD＝30米，AB＝DH.在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，∴CD＝AD·tan ∠CAD＝10 eq \r(3) (米)，∴AB＝DH＝(30－10 eq \r(3) )米．答：旗桿的高度為(30－10 eq \r(3) )米 21．(12分)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC.點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC交BC于點(diǎn)E.延長(zhǎng)ED至點(diǎn)F，使得DF＝DE，連接AE，AF，CF. (1)求證：四邊形AECF是菱形； (2)若 eq \f(BE,EC) ＝ eq \f(1,4) ，求tan ∠BCF的值． 解：(1)證明：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD.∵DF＝DE，∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵DE⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形　(2)∵ eq \f(BE,EC) ＝ eq \f(1,4) ，∴CE＝4BE.設(shè)BE＝a，則CE＝4a.由(1)可知，四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF.∵∠ABC＝90°，∴AB＝ eq \r(AE2－BE2) ＝ eq \r(（4a）2－a2) ＝ eq \r(15) a，∴tan ∠BCF＝tan ∠BEA＝ eq \f(AB,BE) ＝ eq \f(\r(15)a,a) ＝ eq \r(15)  22．(12分)閱讀下列材料： 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，求證： eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) . 證明：如圖①，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則： 在Rt△BCD中，CD＝a sin B，在Rt△ACD中，CD＝b sin A，∴a sin B＝b sin A，∴ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) . 根據(jù)上面的材料解決下列問題： (1)如圖②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，求證： eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ； (2)如圖③，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求這片區(qū)域的面積．(結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9) 解：(1)證明：如圖②，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.∵在Rt△ABD中，AD＝c sin B，在Rt△ACD中，AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C，∴ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C)  (2)如圖③，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.在Rt△ACE中，AE＝AC·sin60°＝80× eq \f(\r(3),2) ＝40 eq \r(3) (米)，又∵ eq \f(AC,sin B) ＝ eq \f(BC,sin ∠BAC) ，即 eq \f(80,0.8) ≈ eq \f(BC,0.9) ，∴BC≈90米，∴S△ABC≈ eq \f(1,2) ×90×40 eq \r(3) ＝1 800 eq \r(3) (平方米) 23．(12分)圖①是太陽能熱水器裝置的示意圖．利用玻璃吸熱管可以把太陽能轉(zhuǎn)化為熱能，玻璃吸熱管與太陽光線垂直時(shí)，吸收太陽能的效果最好，假設(shè)某用戶要求根據(jù)本地區(qū)冬至正午時(shí)刻太陽光線與地面水平線的夾角(θ)確定玻璃吸熱管的傾斜角(太陽光線與玻璃吸熱管垂直)，請(qǐng)完成以下計(jì)算： 如圖②，AB⊥BC，垂足為B，EA⊥AB，垂足為A，CD∥AB，CD＝10 cm，DE＝120 cm，F(xiàn)G⊥DE，垂足G. (1)若∠θ＝37°50′，則AB的長(zhǎng)約為__83.2__cm；(參考數(shù)據(jù)：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78) (2)若FG＝30 cm，∠θ＝60°，求CF的長(zhǎng)． 解：(1)作EP⊥BC于點(diǎn)P，作DQ⊥EP于點(diǎn)Q， 則CD＝PQ＝10，∠2＋∠3＝90°.∵∠1＋∠θ＝90°，且∠1＝∠2，∴∠3＝∠θ＝37°50′，則EQ＝DE·sin ∠3＝120×sin37°50′，∴AB＝EP＝EQ＋PQ＝120×sin37°50′＋10≈83.2(cm) (2)延長(zhǎng)ED，BC交于點(diǎn)K，由(1)知∠θ＝∠3＝∠K＝60°.在Rt△CDK中，CK＝ eq \f(CD,tan K) ＝ eq \f(10\r(3),3) (cm)，在Rt△KGF中，KF＝ eq \f(GF,sin K) ＝20 eq \r(3) (cm)，則CF＝KF－CK＝ eq \f(50\r(3),3) (cm)　　

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