一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.[2024·浙江名校聯(lián)考]已知i為虛數(shù)單位，則eq \f(1＋2i,2＋i)在復平面上對應的點在( )
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
2.[2024·嘉興模擬]在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝3eq \(FD,\s\up6(→))，記eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，則eq \(EF,\s\up6(→))＝( )
A.－eq \f(3,4)a＋eq \f(1,3)b B.eq \f(3,4)a＋eq \f(1,3)bC.eq \f(3,4)a－eq \f(1,3)b D.－eq \f(1,4)a＋eq \f(1,3)b
3.[2024·廣東六校聯(lián)考]設復數(shù)z＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，其中i是虛數(shù)單位，eq \(z,\s\up6(－))是z的共軛復數(shù)，下列結論中錯誤的是( )
A.zeq \(z,\s\up6(－))＝1
B.z2＝eq \(z,\s\up6(－))
C.z是方程x2－x＋1＝0的一個根
D.滿足zn∈R的最小正整數(shù)n為3
4.[2024·安徽名校聯(lián)考]已知向量a＝(1，2)，b＝(2，x)，若a⊥b，則|2a＋b|＝( )
A.3eq \r(2) B.4 C.5 D.4eq \r(2)
5.[2024·惠州質檢]已知向量a＝(2eq \r(3)，2)，向量e＝(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，則向量a在向量e上的投影向量為( )
A.(eq \r(3)，3) B.(－eq \r(3)，1) C.(1，eq \r(3)) D.(eq \f(1,4)，eq \f(\r(3),4))
6.[2024·廣州調研]已知復數(shù)z滿足|z－1|＝|z＋i|(i為虛數(shù)單位)，在復平面內，記z0＝2＋i對應的點為點Z0，z對應的點為點Z，則點Z0與點Z之間距離的最小值為( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2) C.eq \f(3\r(2),2) D.2eq \r(2)
7.[2024·南京質檢]△ABC中，AH為BC邊上的高且eq \(BH,\s\up6(→))＝3eq \(HC,\s\up6(→))，動點P滿足eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))2，則點P的軌跡一定過△ABC的( )
A.外心 B.內心 C.垂心 D.重心
8.[2024·泉州模擬]人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技術.在人臉識別中，主要應用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則曼哈頓距離d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，余弦距離e(A，B)＝1－cs(A，B)，其中cs(A，B)＝cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))〉(O為坐標原點).已知M(2，1)，d(M，N)＝1，則e(M，N)的最大值近似等于( )
(參考數(shù)據(jù)：eq \r(2)≈1.41，eq \r(5)≈2.24)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.[2024·湖南六校聯(lián)考]已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(1，1).在下列各組向量中，可以作為平面內所有向量的一個基底的是( )
A.{a，c} B.{a，b－c}C.{c，a＋b} D.{a＋b，b－c}
10.[2024·濱州質檢]歐拉公式eix＝cs x＋isin x(e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系，在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，則下列結論中正確的是( )
A.復數(shù)eieq \f(π,2)為純虛數(shù)
B.復數(shù)ei2對應的點位于第二象限
C.復數(shù)eieq \f(π,3)的共軛復數(shù)為eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i
D.復數(shù)eiθ(θ∈R)在復平面內對應的點的軌跡是圓
11.[2024·?？谫|檢]如圖所示，在邊長為3的等邊三角形ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，且點P在以AD的中點O為圓心，OA為半徑的半圓上，若eq \(BP,\s\up6(→))＝xeq \(BA,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))，則( )
A.eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(13,2)
C.eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))存在最大值 D.x＋y的最大值為1＋eq \f(\r(7),7)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.[2024·遼陽模擬]寫出一個滿足①z2的實部為5；②z的虛部不為0這兩個條件的復數(shù)：z＝________.
13.[2024·濰坊模擬]如圖所示，A，B，C，D是正弦函數(shù)y＝sin x圖象上四個點，且在A，C兩點函數(shù)值最大，在B，D兩點函數(shù)值最小，則(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))＝________.
14.[2024·南京調研]如圖是構造無理數(shù)的一種方法：線段OA1＝1；第一步，以線段OA1為直角邊作直角三角形OA1A2，其中A1A2＝1；第二步，以OA2為直角邊作直角三角形OA2A3，其中A2A3＝1；第三步，以OA3為直角邊作直角三角形OA3A4，其中A3A4＝1……如此延續(xù)下去，可以得到長度為無理數(shù)的一系列線段，如OA2，OA3，OA5，…，則eq \(OA2,\s\up6(→))·eq \(OA4,\s\up6(→))＝________.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)[2024·濟寧模擬]已知復數(shù)z1＝t＋(t2－1)i，z2＝sin θ＋(2cs θ＋1)i，其中t∈R，θ∈[0，π].
(1)若z1，z2∈R，且z1＞z2，求t的值；
(2)若z1＝z2，求θ.
16.(15分) [2024·聊城模擬]如圖，在平面直角坐標系中，三個向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))滿足條件：|eq \(OA,\s\up6(→))|＝2|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2，eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為α，且tan α＝2，eq \(OB,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為45°.
(1)求點A，B，C的坐標；
(2)若點P為線段OC上的動點，當eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))取得最小值時，求點P的坐標.
17.(15分)[2024·佛山模擬]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c·sin A＝a·cs C，設△ABC的面積為S，S＝eq \f(\r(2),4)bc.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，過△ABC的重心G的直線l與邊a，c的交點分別為E，F(xiàn)，eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))＝μeq \(BF,\s\up6(→))，
請計算λ＋μ的值.
18.(17分) [2023·鎮(zhèn)江模擬]數(shù)學中處處存在著美，機械學家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形.如圖所示，已知AB＝2，O為BC的中點，點P，Q分別在弧AC、弧AB上，設∠PBC＝∠ACQ＝θ.
(1)當θ＝eq \f(π,6)時，求|eq \(PQ,\s\up6(→))|；
(2)求eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))的取值范圍.
19.(17分)[2024·廣州質檢]已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m＝(b，a＋c)，n＝(b－c，c－a)，m⊥n.
(1)若a＝8，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝8，D為邊BC的中點，求中線AD的長度；
(2)若E為邊BC上一點，且AE＝1，BE∶EC＝2c∶b，求2b＋c的最小值.
平面向量、復數(shù)
1.A [eq \f(1＋2i,2＋i)＝eq \f(（1＋2i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq \f(4＋3i,5)，其在復平面上對應的點的坐標為(eq \f(4,5)，eq \f(3,5))，位于第一象限.故選A.]
2.A [因為eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝3eq \(FD,\s\up6(→))，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→))－eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))＝
－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(3,4)a＋eq \f(1,3)b.故選A.]
3.B [對于A，z·eq \(z,\s\up6(－))＝(eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i)(eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i)＝1，故A正確；
對于B，z2＝(eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i)2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，
eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i，z2＝－eq \(z,\s\up6(－))，故B錯誤；
對于C，(eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i)2－(eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i)＋1＝
－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i＋1＝0，則z是方程x2－x＋1＝0的一個根，故C正確；
對于D，z＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，z2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，z3＝z2·z＝－(eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i)(eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i)＝－1，故D正確.故選B.]
4.C [因為a⊥b，所以a·b＝1×2＋2x＝0，
所以x＝－1，則2a＋b＝2(1，2)＋(2，－1)＝(4，3)，所以|2a＋b|＝eq \r(42＋32)＝5.故選C.]
5.A [向量a在向量e上的投影向量為eq \f(a·e,|e|2)e＝2eq \r(3)×(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))＝(eq \r(3)，3).故選A.]
6.C [設z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－1|＝|z＋i|，
得(x－1)2＋y2＝x2＋(y＋1)2，即y＝－x，
所以點Z0(2，1)與點Z(x，y)之間的距離
d＝eq \r(（x－2）2＋（y－1）2)＝eq \r(2x2－2x＋5)
＝eq \r(2（x－\f(1,2)）2＋\f(9,2))≥eq \f(3\r(2),2)，
當且僅當x＝eq \f(1,2)時取等號.選C.]
7.A [如圖，以點H為坐標原點建立平面直角坐標系，
設|BC|＝4a，|AH|＝b，則H(0，0)，A(0，b)，B(－3a，0)，C(a，0)，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(4a，0).
設P(x，y)，則eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y－b)，
所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝4ax，
則由eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))2，
得4ax＝－4a2，所以x＝－a，所以點P在線段BC的垂直平分線上，所以點P的軌跡一定過△ABC的外心，故選A.]
8.B [設N(x，y)，由題意可得：
d(M，N)＝|2－x|＋|1－y|＝1，
即|x－2|＋|y－1|＝1，
可知|x－2|＋|y－1|＝1表示正方形ABCD，其中A(2，0)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，1)，如圖所示，
即點N在正方形ABCD的邊上運動.
因為eq \(OM,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(ON,\s\up6(→))＝(x，y)，
由圖可知：當cs(M，N)＝cs〈eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))〉取到最小值，即〈eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))〉最大，點N有如下兩種可能：
①點N為點A，
則eq \(ON,\s\up6(→))＝(2，0)，
可得cs(M，N)＝cs〈eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))〉
＝eq \f(4,\r(5)×2)＝eq \f(2\r(5),5)；
②點N在線段CD上運動時，此時eq \(ON,\s\up6(→))與eq \(DC,\s\up6(→))同向，不妨取eq \(ON,\s\up6(→))＝(1，1)，
則cs(M，N)＝cs〈eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))〉
＝eq \f(3,\r(5)×\r(2))＝eq \f(3\r(10),10).
因為eq \f(3\r(10),10)＞eq \f(2\r(5),5)，
所以e(M，N)的最大值為1－eq \f(2\r(5),5)≈0.104.
故選B.]
9.AD [對于A，因為a＝(1，0)，c＝(1，1)，所以1×1≠0×1，所以a與c不共線，所以{a，c}可以作為平面內所有向量的一個基底，所以選項A正確；
對于B，b＝(0，1)，c＝(1，1)，則b－c＝(－1，0)，又a＝(1，0)，所以b－c＝－a，
即(b－c)∥a，所以{a，b－c}不可以作為平面內所有向量的一個基底，所以選項B錯誤；
對于C，a＋b＝(1，1)＝c，所以(a＋b)∥c，所以{c，a＋b}不可以作為平面內所有向量的一個基底，所以選項C錯誤；
對于D，a＋b＝(1，1)，b－c＝(－1，0)，所以1×0≠1×(－1)，所以a＋b與b－c不共線，所以{a＋b，b－c}可以作為平面內所有向量的一個基底，所以選項D正確.綜上，選AD.]
10.ABD [對A：因為復數(shù)eieq \f(π,2)＝cseq \f(π,2)＋
isin eq \f(π,2)＝i為純虛數(shù)，故選項A正確；
對B：復數(shù)ei2＝cs 2＋isin 2，
因為cs 2＜0，sin 2＞0，所以復數(shù)ei2對應的點為(cs 2，sin 2)位于第二象限，B正確；
對C：復數(shù)eieq \f(π,3)＝cs eq \f(π,3)＋isin eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i的共軛復數(shù)為eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i，故選項C錯誤；
對D：復數(shù)eiθ＝cs θ＋isin θ(θ∈R)在復平面內對應的點為(cs θ，sin θ)，因為cs2θ＋sin2θ＝1，所以復數(shù)eiθ(θ∈R)在復平面內對應的點的軌跡是圓，故選項D正確.故選ABD.]
11.ABC [對于A，因為eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，且點P在以AD的中點O為圓心，OA為半徑的半圓上，所以OA＝OD＝DC＝eq \f(1,3)AC，則eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，故A正確；
eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
則eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BO,\s\up6(→))＝(eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→)))·(eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,9)eq \(BA,\s\up6(→))2＋eq \f(2,9)eq \(BC,\s\up6(→))2＋eq \f(5,9)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2＋2＋eq \f(5,9)×3×3×eq \f(1,2)＝eq \f(13,2)，故B正確；
如圖，以點O為原點，CA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則A(1，0)，B(－eq \f(1,2)，eq \f(3\r(3),2))，C(－2，0).因為點P在以AD的中點O為圓心，OA為半徑的單位圓上，且在x軸的下半部分，
所以設P(cs α，sin α)，α∈[π，2π]，
則eq \(BP,\s\up6(→))＝(cs α＋eq \f(1,2)，sin α－eq \f(3\r(3),2))，
又eq \(BC,\s\up6(→))＝(－eq \f(3,2)，－eq \f(3\r(3),2))，
所以eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)cs α－eq \f(3,4)－eq \f(3\r(3),2)sin α＋eq \f(27,4)＝－3cs(α－eq \f(π,3))＋6.
因為α∈[π，2π]，所以α－eq \f(π,3)∈[eq \f(2π,3)，eq \f(5π,3)]，
所以當α－eq \f(π,3)＝π，即α＝eq \f(4π,3)時，eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))取得最大值9，故C正確；
因為eq \(BP,\s\up6(→))＝xeq \(BA,\s\up6(→))＋yeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))＝(eq \f(3,2)，－eq \f(3\r(3),2))，所以(cs α＋eq \f(1,2)，sin α－eq \f(3\r(3),2))＝
x(eq \f(3,2)，－eq \f(3\r(3),2))＋y(－eq \f(3,2)，－eq \f(3\r(3),2))，
即(cs α＋eq \f(1,2)，sin α－eq \f(3\r(3),2))
＝(eq \f(3,2)(x－y)，－eq \f(3\r(3),2)(x＋y))，
所以sin α－eq \f(3\r(3),2)＝－eq \f(3\r(3),2)(x＋y)，
所以x＋y＝－eq \f(2\r(3),9)sin α＋1.
因為α∈[π，2π]，所以當α＝eq \f(3π,2)時，x＋y取得最大值eq \f(2\r(3),9)＋1，故D錯誤.故選ABC.]
12.3＋2i(答案不唯一) [設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi，依題意可得a2－b2＝5，b≠0.故可取a＝3，b＝2，z＝3＋2i.(答案不唯一)]
13.12π2 [由題圖知，A(eq \f(π,2)，1)，B(eq \f(3π,2)，－1)，C(eq \f(5π,2)，1)，D(eq \f(7π,2)，－1)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝(eq \f(π,2)，1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(eq \f(3π,2)，－1)，
eq \(OC,\s\up6(→))＝(eq \f(5π,2)，1)，eq \(OD,\s\up6(→))＝(eq \f(7π,2)，－1)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝(2π，0)，eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝(6π，0)，
所以(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))＝2π×6π＋0×0＝12π2.]
14.2－eq \f(\r(6),3) [由題意，得OA2＝eq \r(OAeq \\al(2,1)＋A1Aeq \\al(2,2))＝eq \r(2)，
所以OA3＝eq \r(OAeq \\al(2,2)＋A2Aeq \\al(2,3))＝eq \r(3)，OA4＝eq \r(OAeq \\al(2,3)＋A3Aeq \\al(2,4))＝2，
所以cs ∠A2OA3＝eq \f(OA2,OA3)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3)，
sin ∠A2OA3＝eq \f(A2A3,OA3)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
cs ∠A3OA4＝eq \f(OA3,OA4)＝eq \f(\r(3),2)，
sin ∠A3OA4＝eq \f(A3A4,OA4)＝eq \f(1,2)，
所以cs ∠A2OA4＝cs(∠A2OA3＋∠A3OA4)
＝cs ∠A2OA3cs ∠A3OA4－sin ∠A2OA3·
sin ∠A3OA4
＝eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),6)，
所以eq \(OA2,\s\up6(→))·eq \(OA4,\s\up6(→))＝|eq \(OA2,\s\up6(→))||eq \(OA4,\s\up6(→))|·
cs ∠A2OA4
＝eq \r(2)×2×(eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),6))＝2－eq \f(\r(6),3).]
15.解 (1)∵z1∈R，∴t2－1＝0，t＝±1.
∵z2∈R，∴2cs θ＋1＝0，cs θ＝－eq \f(1,2)，
又θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(2π,3).
又z1＞z2，則t＞sin θ＝sin eq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，
故t＝1.
(2)∵z1＝z2，∴t＝sin θ，
且t2－1＝2cs θ＋1，
則sin2θ－1＝2cs θ＋1，則cs2θ＋2cs θ＋1＝0，
即(cs θ＋1)2＝0，得cs θ＝－1，所以θ＝π.
16.解 (1)由tan α＝2知α為銳角，
則sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5)，
∴cs(45°＋α)＝－eq \f(\r(10),10)，
sin(45°＋α)＝eq \f(3\r(10),10)，
∴點A，B，C的坐標分別是(2，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)，\f(3\r(10),10)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))).
(2)設eq \(OP,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))(0≤t≤1)，
由(1)知，
eq \(OP,\s\up6(→))＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)t，\f(2\r(5),5)t))，
eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)t，－\f(2\r(5),5)t))，
eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(5),5)t，－\f(2\r(5),5)t))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PO,\s\up6(→))
＝－eq \f(\r(5),5)teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(5),5)t))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)t))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)t))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,5)，
又∵0≤t≤1，
∴當t＝eq \f(\r(5),5)時，eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))有最小值為－eq \f(1,5)，
此時點P的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(2,5))).
17.解 (1)在△ABC中，根據(jù)正弦定理
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，結合條件
c·sin A＝a·cs C，
可得sin C·sin A＝sin A·cs C.
因為A∈(0，π)，
所以sin A≠0，
可得sin C＝cs C，
即有tan C＝1，
又C∈(0，π)，故C＝eq \f(π,4).
又因為S＝eq \f(1,2)ab·sin C＝eq \f(\r(2),4)ab＝eq \f(\r(2),4)bc，
可得a＝c，
即可得A＝C＝eq \f(π,4).
根據(jù)A＋B＋C＝π，由此即可得B＝eq \f(π,2).
(2)設AC的中點為D，連接BD(圖略)，
利用“重心”的性質可得eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(BG,\s\up6(→))，
又eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
故根據(jù)條件eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))＝μeq \(BF,\s\up6(→))，
可得eq \f(3,2)eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \f(λ,2)eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \f(μ,2)eq \(BF,\s\up6(→))，
即eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \f(λ,3)eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \f(μ,3)eq \(BF,\s\up6(→))，
又因為點G，E，F(xiàn)在一條直線上，從而可得eq \f(λ,3)＋eq \f(μ,3)＝1，故λ＋μ＝3.
18.
解 (1)當θ＝eq \f(π,6)時，設BP與CQ的交點為M，連接OQ，OP，PQ，
則CQ⊥AB，
BP⊥AC，
故∠QMP＝∠BMC＝eq \f(2π,3)，
BM＝eq \f(2\r(3),3)，MP＝MQ＝2－eq \f(2\r(3),3)，
故QP＝2×eq \f(\r(3),2)MP＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2\r(3),3)))
＝2eq \r(3)－2，
即|eq \(PQ,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)－2.
(2)eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→)))
＝－1＋eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(CQ,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(CQ,\s\up6(→))
＝－1＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))＋2cs θ＋2×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \r(3)sin θ＋3cs θ－3
＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))－3，
由θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，得θ＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))，
則eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2\r(3)－3)).
即eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2\r(3)－3)).
19.解 (1)∵向量m＝(b，a＋c)，
n＝(b－c，c－a)，m⊥n，
∴m·n＝b2－bc＋c2－a2＝0，
即b2＋c2－a2＝bc，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，
又A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
∵D為邊BC的中點，a＝8，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝8，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝bccs A＝eq \f(1,2)bc＝8，
∴eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))2
＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))2)
＝eq \f(1,4)(c2＋2×8＋b2)，
又b2＋c2－a2＝bc，bc＝16，a＝8，
∴b2＋c2＝a2＋bc＝64＋16＝80，
∴eq \(AD,\s\up6(→))2＝eq \f(1,4)(c2＋2×8＋b2)
＝eq \f(1,4)(80＋16)＝24，
即|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2eq \r(6)，∴中線AD的長度為2eq \r(6).
(2)∵E為邊BC上一點，BE∶EC＝2c∶b，
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2c,2c＋b)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2c,2c＋b)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2c,2c＋b)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(b,2c＋b)eq \(AB,\s\up6(→))，
即(2c＋b)eq \(AE,\s\up6(→))＝2ceq \(AC,\s\up6(→))＋beq \(AB,\s\up6(→))，
∴(2c＋b)2eq \(AE,\s\up6(→))2＝(2ceq \(AC,\s\up6(→))＋beq \(AB,\s\up6(→)))2，
又AE＝1，∴(2c＋b)2＝(2ceq \(AC,\s\up6(→))＋beq \(AB,\s\up6(→)))2
＝4c2b2＋2b2c2＋b2c2＝7b2c2，
∴2c＋b＝eq \r(7)bc，即eq \f(2,b)＋eq \f(1,c)＝eq \r(7)，
∴2b＋c＝eq \f(1,\r(7))(2b＋c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,b)＋\f(1,c)))
＝eq \f(1,\r(7))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋1＋\f(2b,c)＋\f(2c,b)))≥
eq \f(1,\r(7))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(2b,c)·\f(2c,b))))＝eq \f(9\r(7),7)，
當且僅當eq \f(2b,c)＝eq \f(2c,b)，
即b＝c＝eq \f(3\r(7),7)時取等號，
故2b＋c的最小值為eq \f(9\r(7),7).
題號
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