一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.[2024·黃山模擬]直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：ax＋y＋2＝0平行，則a＝( )
A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2) C.2 D.－2
2.[2024·綿陽(yáng)診斷]與橢圓eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,6)＝1有公共焦點(diǎn)，且離心率e＝eq \f(3,2)的雙曲線的方程為( )
A.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,13)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1
3.[2024·錦州模擬]南宋晩期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3 cm，則該杯盞的高度為( )
A.eq \f(23,6) cm B.eq \f(13,4) cmC.eq \f(11,3) cm D.eq \f(7,2) cm
4.[2024·南京模擬]某研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，由雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線所成的角可求離心率e的大小，聯(lián)想到反比例函數(shù)y＝eq \f(k,x)(k≠0)的圖象也是雙曲線，據(jù)此可進(jìn)一步推斷雙曲線y＝eq \f(5,x)的離心率為( )
A.eq \r(2) B.2 C.eq \r(5) D.5
5.[2024·石家莊模擬]“a≥eq \f(\r(2),2)”是“圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切線”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6.[2024·泉州模擬]已知拋物線C的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線m與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在l上的投影為D.若|AB|＝|BD|，則eq \f(|AF|,|BF|)＝( )
A.eq \f(3,2) B.2 C.eq \f(5,2) D.3
7.[2024·鄭州模擬]已知直線l：3x＋4y－11＝0與橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m2)＝1交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P(1，2)恰為弦AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率是( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(6),3)
8.[2024·青島模擬]已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝eq \r(3)x與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形AF1BF2為矩形，則C的離心率為( )
A.eq \f(\r(3)＋1,2) B.3 C.eq \r(3)＋1 D.eq \r(5)＋1
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.[2024·長(zhǎng)沙模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.若a≠0，則點(diǎn)O在圓C外
B.圓C與x軸相切
C.若圓C截y軸所得弦長(zhǎng)為4eq \r(2)，則a＝1
D.點(diǎn)O到圓C上一點(diǎn)的最大距離和最小距離的乘積為a2
10.[2024·南京六校聯(lián)考]已知雙曲線C：mx2＋ny2＝1，其焦點(diǎn)(0，10)到漸近線的距離為6，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝100
B.雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq \f(4,3)x
C.雙曲線C的離心率為eq \f(5,4)
D.雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為2
11.[2024·蘇北四市聯(lián)考]已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F(1，0)，過(guò)F的直線l與C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則( )
A.|AB|的最小值為2 B.以AB為直徑的圓與直線x＝－1相切
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－3 D.eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.[2024·南昌模擬]已知圓C：(x－1)2＋y2＝1與圓E：x2＋(y－eq \r(3))2＝1，寫(xiě)出圓C和圓E的一條公切線的方程________.
13.[2024·石家莊模擬]如圖1是一個(gè)“雙曲狹縫”模型，直桿旋轉(zhuǎn)時(shí)形成雙曲面，雙曲面的邊緣為雙曲線.已知某模型(如圖2)左、右兩側(cè)的兩段曲線AB與CD中間最窄處間的距離為10 cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D均關(guān)于該雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)，且AB＝30 cm，AD＝20 cm，則該雙曲線的離心率是________.
14.[2024·溫州模擬]已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.(13分)[2024·成都模擬]如圖，已知圓M：(x－2)2＋y2＝81，圓N：(x＋2)2＋y2＝1.動(dòng)圓S與這兩個(gè)圓均內(nèi)切.
(1)求圓心S的軌跡C的方程；
(2)若P(2，3)，Q(2，－3)是曲線C上的兩點(diǎn)，A，B是曲線C上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).若直線AB的斜率為eq \f(1,2)，求四邊形APBQ面積的最大值.
16.(15分)[2024·紹興質(zhì)檢]已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F斜率為1的直線與拋物線相交所截得的弦長(zhǎng)為2.
(1)求p的值并寫(xiě)出拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
(2)設(shè)點(diǎn)P是拋物線外任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的切線，切點(diǎn)分別為Q，R，探究：是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形PQR？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
17.(15分)[2024·煙臺(tái)模擬]已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4，點(diǎn)(eq \r(6)，1)在C上.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，斜率為k(k≠0)且不過(guò)F1的直線l與C交于點(diǎn)A，B，若k為直線AF1，BF1斜率的等差中項(xiàng)，求F2到直線l的距離d的取值范圍.
18.(17分)[2024·深圳模擬]已知定點(diǎn)F(2，0)，關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的動(dòng)點(diǎn)P，Q到定直線l：x＝4的距離分別為dP，dQ，且eq \f(|PF|,dP)＝eq \f(|QF|,dQ)，記P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程，并說(shuō)明曲線C是什么曲線？
(2)已知點(diǎn)M，N是直線m：x＝eq \f(1,k)y＋2與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)，M，N在x軸上的射影分別為M1，N1(M1，N1不同于原點(diǎn)O)，且直線M1N與直線l：x＝4相交于點(diǎn)R，求△RMN與△RM1N1面積的比值.
19.(17分)[2023·武漢調(diào)研]已知過(guò)點(diǎn)(4，2)的動(dòng)直線l與雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l與x軸平行時(shí)，|MN|＝4eq \r(2)，當(dāng)l與y軸平行時(shí)，|MN|＝4eq \r(3).
(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)點(diǎn)P是直線y＝x＋1上一定點(diǎn)，設(shè)直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，若k1k2為定值，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
平面解析幾何
1.A [由題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1×1－2a＝0，,1×2＋a≠0，))
解得a＝eq \f(1,2).故選A.]
2.B [橢圓eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,6)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)，(3，0)，在雙曲線中c＝3，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)，所以a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以雙曲線的方程為eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.故選B.]
3.C [以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
對(duì)稱(chēng)軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意可得A(eq \f(9,2)，3)，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p＞0)，
則eq \f(81,4)＝6p，解得p＝eq \f(27,8)，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq \f(27,4)y.
可設(shè)B(eq \f(3,2)，t)，代入拋物線方程得
eq \f(9,4)＝eq \f(27,4)t，可得t＝eq \f(1,3)，
所以該杯盞的高度為3－eq \f(1,3)＋1＝eq \f(11,3) cm.
故選C.]
4.A [雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，所以?xún)蓷l漸近線所在直線的斜率分別為－eq \f(b,a)，eq \f(b,a).
設(shè)雙曲線y＝eq \f(5,x)的實(shí)軸長(zhǎng)為2a′，虛軸長(zhǎng)為2b′，焦距為2c′，因?yàn)殡p曲線y＝eq \f(5,x)的兩條漸近線分別為x軸，y軸，即兩條漸近線互相垂直，所以－eq \f(b′,a′)·eq \f(b′,a′)＝－1，即eq \f(b′2,a′2)＝1，所以離心率e＝eq \f(c′,a′)＝eq \r(1＋（\f(b′,a′)）2)＝eq \r(2)，故選A.]
5.A [記圓C1、圓C2的半徑分別為r1，r2，由題意可知C1(0，0)，r1＝2，C2(a，－a)，r2＝1，連接C1C2，當(dāng)且僅當(dāng)圓C1和圓C2內(nèi)含時(shí)，兩圓沒(méi)有公切線，即圓C1和圓C2有公切線的充要條件為|C1C2|≥r1－r2＝2－1＝1，即eq \r(2a2)≥1，解得a≤－eq \f(\r(2),2)或a≥eq \f(\r(2),2).因?yàn)椤癮≥eq \f(\r(2),2)”是“a≤－eq \f(\r(2),2)或a≥eq \f(\r(2),2)”的充分不必要條件，所以“a≥eq \f(\r(2),2)”是“圓C1與圓C2有公切線”的充分不必要條件，故選A.]
6.B [如圖，
過(guò)B作BE⊥l，垂足為E，過(guò)B作BH⊥AD，垂足為H.
因?yàn)锳D⊥l，所以四邊形BEDH為矩形，
所以|BE|＝|DH|.
因?yàn)閨AB|＝|BD|，
所以|DH|＝|AH|，
所以|AD|＝2|DH|＝2|BE|.
由拋物線的定義，可得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，
所以|AF|＝2|BF|，
即eq \f(|AF|,|BF|)＝2.故選B.]
7.A [依題意，直線l的斜率為－eq \f(3,4)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(3,4)，
且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝4，))
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),4)＋\f(yeq \\al(2,1),m2)＝1,\f(xeq \\al(2,2),4)＋\f(yeq \\al(2,2),m2)＝1))兩式相減得：
eq \f(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2),4)＝－eq \f(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2),m2)，
于是eq \f(m2,4)＝－eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,1)＝eq \f(3,2)，解得m2＝6，
此時(shí)橢圓C為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,6)＝1，顯然點(diǎn)P(1，2)在橢圓C內(nèi)，符合要求，
所以橢圓C的離心率e＝eq \f(\r(2),\r(6))＝eq \f(\r(3),3).故選A.]
8.C [法一 若四邊形AF1BF2是矩形，
則|AB|＝|F1F2|＝2c.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1))消去y，
得(b2－3a2)x2＝a2b2，
解得x1＝－eq \f(ab,\r(b2－3a2))，x2＝eq \f(ab,\r(b2－3a2))，
則|AB|＝eq \r(1＋（\r(3)）2)·|x1－x2|＝eq \f(4ab,\r(b2－3a2))，則eq \f(4ab,\r(b2－3a2))＝2c，
又c2＝a2＋b2，整理得b4－6a2b2－3a4＝0，
即(eq \f(b2,a2))2－6·eq \f(b2,a2)－3＝0，
得eq \f(b2,a2)＝3＋2eq \r(3)，則e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(4＋2\r(3))＝eq \r(3)＋1，故選C.
法二 由y＝eq \r(3)x，知該直線的傾斜角為60°，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠BOF2＝60°，所以△BOF2是邊長(zhǎng)為c的等邊三角形，所以|BF2|＝c，在△BOF1中，|OB|＝|OF1|＝c，∠BOF1＝120°，故|BF1|＝eq \r(3)c，
又|BF1|－|BF2|＝2a，故eq \r(3)c－c＝2a，
則eq \f(c,a)＝eq \r(3)＋1，故選C.]
9.ABD [對(duì)于A，因?yàn)閍≠0，所以將原點(diǎn)(0，0)代入圓的方程可得a2＞0 ，所以點(diǎn)O在圓C外，故A正確；
對(duì)于B，將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，
得(x－a)2＋(y－3)2＝9，其圓心為C(a，3)，半徑r＝3，則圓心C到x軸的距離為3，等于半徑，所以圓C與x軸相切，故B正確；
對(duì)于C，圓心C(a，3)到y(tǒng)軸的距離為|a|，
則由題意，得4eq \r(2)＝2eq \r(32－a2)，
解得a＝±1，故C不正確；
對(duì)于D，當(dāng)a＝0時(shí)，圓C：x2＋(y－3)2＝9，所以圓心在y軸上，且點(diǎn)O在圓C上，所以點(diǎn)O到圓C上一點(diǎn)的最小距離為0，最大距離為2r＝6，其乘積等于a2；當(dāng)a≠0時(shí)，由選項(xiàng)A知，點(diǎn)O在圓C外，|OC|＝eq \r(a2＋9)，所以點(diǎn)O到圓C上一點(diǎn)的最大距離為|OC|＋r，最小距離為|OC|－r，乘積為|OC|2－r2＝a2＋9－32＝a2.故D正確.綜上所述，選ABD.]
10.BCD [由雙曲線C的焦點(diǎn) (0，10)到漸近線的距離為6，可得雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則雙曲線C的半焦距c＝10，b＝6，所以a2＝c2－b2＝100－36＝64，
得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.
對(duì)于A，m＝－eq \f(1,36)，n＝eq \f(1,64)，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝－36＋64＝28，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，雙曲線C的漸近線方程為
y＝±eq \f(8,6)x＝±eq \f(4,3)x，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，雙曲線C的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(10,8)＝eq \f(5,4)，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，雙曲線C上的所有點(diǎn)中上、下頂點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離最小，所以最小值為c－a＝10－8＝2，所以選項(xiàng)D正確.綜上，選BCD.]
11.BC [因?yàn)閽佄锞€C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F(1，0)，
所以p＝2，拋物線C的方程為y2＝4x，所以準(zhǔn)線方程為x＝－1.設(shè)直線l的傾斜角為α，則|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(4,sin2α)，所以當(dāng)α＝90°時(shí)，|AB|取得最小值，最小值為4，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
由拋物線的定義可知|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，
|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，則AB的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離d＝eq \f(x1＋x2＋p,2)＝eq \f(|AB|,2)，所以以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，又直線x＝－1是拋物線C：y2＝4x的準(zhǔn)線，所以以AB為直徑的圓與直線x＝－1相切，所以選項(xiàng)B正確；
設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，與拋物線方程y2＝4x聯(lián)立，得y2＝4(my＋1)，
即y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4，則x1x2＝eq \f(yeq \\al(2,1),4)·eq \f(yeq \\al(2,2),4)＝eq \f(（y1y2）2,16)＝eq \f(16,16)＝1，
又eq \(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3，
所以選項(xiàng)C正確.故選BC.]
12.x－eq \r(3)y＋1＝0或eq \r(3)x＋y－eq \r(3)－2＝0或eq \r(3)x＋y－eq \r(3)＋2＝0(寫(xiě)一條即可). [設(shè)兩圓的公切線方程為y＝kx＋b，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(|k＋b|,\r(k2＋1))＝1,\f(|b－\r(3)|,\r(k2＋1))＝1))?
|k＋b|＝|b－eq \r(3)|，k＝－eq \r(3)或k＝eq \r(3)－2b，
代入求解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\r(3),b＝\r(3)±2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝\f(\r(3),3),k＝\f(\r(3),3)))，
所以切線方程為：y＝－eq \r(3)x＋eq \r(3)＋2，
或y＝－eq \r(3)x＋eq \r(3)－2或x－eq \r(3)y＋1＝0(寫(xiě)一條即可).]
13.2 [如圖，
以雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
則a＝eq \f(10,2)＝5.
易得A(10，15)，所以eq \f(102,52)－eq \f(152,b2)＝1，
解得b＝5eq \r(3)，所以c2＝a2＋b2＝25＋75＝100，所以c＝10，
所以雙曲線的離心率e＝eq \f(c,a)＝2.]
14.eq \f(\r(2),2) [因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，
所以|MF1|＋|MF2|＝2a，
則|MF1|＝2a－|MF2|(a－c≤|MF2|≤a＋c)，
所以|MF1|·|MF2|＝(2a－|MF2|)|MF2|＝－(|MF2|－a)2＋a2，所以當(dāng)|MF2|＝a時(shí)，|MF1|·|MF2|有最大值a2，
當(dāng)|MF2|＝a－c或|MF2|＝a＋c時(shí)，
|MF1|·|MF2|有最小值a2－c2.
因?yàn)閨MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，所以a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，所以e2＝eq \f(1,2)，所以e＝eq \f(\r(2),2).]
15.解 (1)如圖1，設(shè)動(dòng)圓S與兩個(gè)已知圓的切點(diǎn)分別為T(mén)1，T2，因?yàn)閨ST1|＝|ST2|，
所以9－|SM|＝|SN|＋1，
所以|SM|＋|SN|＝8＞2＋2＝4，
所以點(diǎn)S的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，
所以2a＝8，a＝4，2c＝4，c＝2，
b2＝a2－c2＝16－4＝12，
所以點(diǎn)S的軌跡方程為eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.

圖1 圖2
(2)如圖2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝eq \f(1,2)x＋t，
代入eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1中，
整理得x2＋tx＋t2－12＝0，Δ＝t2－4(t2－12)＞0，解得－4＜t＜4，
又A，B在直線PQ兩側(cè)，
故－4＜t＜2，x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12，
四邊形APBQ的面積S＝eq \f(1,2)×6×|x1－x2|
＝3×eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝3eq \r(48－3t2)，
當(dāng)t＝0時(shí)，Smax＝12eq \r(3)，
所以四邊形APBQ面積的最大值為12eq \r(3).
16.解 (1)依題意，設(shè)直線方程為y＝x＋eq \f(p,2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋\f(p,2),x2＝2py))，消去x，
得y2－3py＋eq \f(p2,4)＝0，
則y1＋y2＝3p，|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4p＝2，解得p＝eq \f(1,2)，
所以拋物線方程為x2＝y(tǒng)，F(xiàn)(0，eq \f(1,4)).
(2)假設(shè)符合條件的等腰直角三角形存在，于是設(shè)點(diǎn)Q(x3，xeq \\al(2,3))，R(x4，xeq \\al(2,4))，
則由y′＝2x可得，切線PQ為y＝2x3x－xeq \\al(2,3)，
切線PR為
y＝2x4x－xeq \\al(2,4)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x3x－xeq \\al(2,3),y＝2x4x－xeq \\al(2,4)))，
解得x＝eq \f(x3＋x4,2)，y＝x3x4，
所以P(eq \f(x3＋x4,2)，x3x4).
設(shè)線段PR的中點(diǎn)M，
則點(diǎn)M(eq \f(x3＋3x4,4)，eq \f(x3x4＋xeq \\al(2,4),2))，
且kQM＝eq \f(2（2x3＋x4）,3)，kPR＝2x4，kQR＝x3＋x4，kPQ＝2x3，
聯(lián)立方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kPQ·kRQ＝－1,kPR·kQM＝－1))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x3·（x3＋x4）＝－1,2x4·\f(2（2x3＋x4）,3)＝－1))，
解得x3＝－1或x3＝1，
所以存在點(diǎn)Q(－1，1)或Q(1，1).
17.解 (1)因?yàn)辄c(diǎn)(eq \r(6)，1)在C上，
所以eq \f(6,a2)－eq \f(1,b2)＝1.①
由題意知，2c＝4，c＝2，
所以a2＋b2＝4.②
由①②解得a2＝3，b2＝1，
故雙曲線C的方程為eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝kx＋m，
聯(lián)立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)－y2＝1，))消y可得，
(1－3k2)x2－6kmx－3(m2＋1)＝0，
由根與系數(shù)關(guān)系可得，x1＋x2＝eq \f(6km,1－3k2)，x1x2＝－eq \f(3（m2＋1）,1－3k2)，且Δ＝36k2m2＋12·
(1－3k2)(m2＋1)＞0，得m2＋1＞3k2.
因?yàn)閗為直線AF1，BF1的斜率的等差中項(xiàng)，
所以eq \f(y1,x1＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)＝2k，將y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入可得(kx1＋m)(x2＋2)＋(kx2＋m)(x1＋2)＝2k(x1＋2)(x2＋2)，
整理可得(m－2k)(x1＋x2＋4)＝0，
當(dāng)m－2k＝0時(shí)，直線l為y＝k(x＋2)，此時(shí)直線過(guò)焦點(diǎn)F1，不合題意，
所以x1＋x2＝－4，即eq \f(6km,1－3k2)＝－4，
可得m＝2k－eq \f(2,3k)，代入m2＋1＞3k2化簡(jiǎn)可得，9k4－15k2＋4＞0，
解得eq \f(1,3)＜k2＜eq \f(4,3)，
又因?yàn)閐＝eq \f(|2k＋m|,\r(1＋k2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4k－\f(2,3k))),\r(1＋k2))＝eq \f(4－\f(2,3k2),\r(1＋\f(1,k2)))，
令eq \r(1＋\f(1,k2))＝t∈(eq \f(\r(7),2)，2)可得，
eq \f(1,k2)＝t2－1，
所以d＝eq \f(14,3t)－eq \f(2t,3)，在(eq \f(\r(7),2)，2)上單調(diào)遞減，所以d∈(1，eq \r(7)).
綜上，F(xiàn)2到直線l的距離d的取值范圍是(1，eq \r(7)).
18.解 (1)設(shè)P(x，y)，Q(－x，－y).
由eq \f(|PF|,dP)＝eq \f(|QF|,dQ)得
eq \f(\r(（x－2）2＋y2),|x－4|)＝eq \f(\r(（－x－2）2＋（－y）2),|－x－4|)，
|x|≠4，
兩邊平方得
(x＋4)2(x2＋y2＋4－4x)＝(x－4)2(x2＋y2＋4＋4x)，化簡(jiǎn)得x(x2＋2y2－8)＝0，
即曲線C的方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1或x＝0.
曲線C是以點(diǎn)(－2，0)，(2，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4eq \r(2)的橢圓與y軸組成的曲線.
(2)設(shè)直線m與橢圓相交于M(x1，y1)，
N(x2，y2)兩點(diǎn)，則M1(x1，0)，N1(x2，0).
令eq \f(1,k)＝t，將x＝ty＋2代入eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1并整理得(t2＋2)y2＋4ty－4＝0，
y1＋y2＝－eq \f(4t,t2＋2)，y1y2＝－eq \f(4,t2＋2).
直線M1N的方程為：y＝eq \f(y2,x2－x1)(x－x1).
設(shè)R(4，y0)，則y0＝eq \f(y2（4－x1）,x2－x1)＝eq \f(y2（2－ty1）,x2－x1)，
同理設(shè)直線MN1與直線l：x＝4相交于點(diǎn)R′(4，y′0)，則y′0＝eq \f(y1（2－ty2）,x1－x2).
y0－y′0＝eq \f(y2（2－ty1）,x2－x1)－eq \f(y1（2－ty2）,x1－x2)＝eq \f(2（y2＋y1）－2ty2y1,x2－x1)，
其中2(y2＋y1)－2ty2y1
＝－eq \f(8t,t2＋2)＋eq \f(8t,t2＋2)＝0.
從而y0＝y(tǒng)′0，R與R′重合.
因?yàn)镸M1∥NN1，
所以S△MM1N1＝S△MM1N.
又S△RM1N1＝S△MM1N1＋S△RMM1，S△RMN＝S△MN1N＋S△RMM1，則eq \f(S△RMN,S△RM1N1)＝1.
所以△RMN與△RM1N1面積的比值為1.
19.解 (1)根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，可知雙曲線E過(guò)點(diǎn)(±2eq \r(2)，2)和點(diǎn)(4，±2eq \r(3))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(8,a2)－\f(4,b4)＝1，,\f(16,a2)－\f(12,b2)＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝4，))
故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)＋2(k≠±1)，與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，得(k2－1)x2－(8k2－4k)x＋16k2－16k＋8＝0，Δ＞0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則x1＋x2＝eq \f(8k2－4k,k2－1)，
x1x2＝eq \f(16k2－16k＋8,k2－1).
設(shè)P(t，t＋1)，
則k1k2＝eq \f(（y1－t－1）（y2－t－1）,（x1－t）（x2－t）)
＝eq \f(（kx1－4k－t＋1）（kx2－4k－t＋1）,（x1－t）（x2－t）)
＝eq \f(k2x1x2－k（4k＋t－1）（x1＋x2）＋（4k＋t－1）2,x1x2－t（x1＋x2）＋t2)
＝eq \f(k2（16k2－16k＋8）－k（4k＋t－1）（8k2－4k）＋（4k＋t－1）2（k2－1）,16k2－16k＋8－t（8k2－4k）＋t2（k2－1）)
＝eq \f(（t2＋2t－11）k2－8（t－1）k－（t－1）2,（t－4）2k2＋4（t－4）k－（t2－8）).
當(dāng)t＝4時(shí)，不滿足k1k2為定值.
當(dāng)t≠4時(shí)，若k1k2為定值，
則eq \f(t2＋2t－11,（t－4）2)＝eq \f(－8（t－1）,4（t－4）)＝eq \f(－（t－1）2,－（t2－8）)，
解得t＝3，此時(shí)k1k2＝4.
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
對(duì)P(3，4)，也滿足k1k2＝4.
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，4).
題號(hào)
1
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答案

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