一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.[2024·北京懷柔區(qū)調(diào)研]已知函數(shù)f(x)＝sin x＋cs x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則( )
A.f′(x)＝sin x＋cs x B.f′(x)＝sin x－cs x
C.f′(x)＝－sin x＋cs x D.f′(x)＝－sin x－cs x
2.[2024·上海靜安區(qū)調(diào)研]已知物體的位移S(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系S＝2sin (πt)，則物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為( )
A.2π(m/s) B.－2π(m/s)C.2(m/s) D.－2(m/s)
3.[2024·濰坊模擬]設(shè)f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1）－f（1＋2Δx）,Δx)＝－2，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為( )
A.2 B.－1 C.1 D.－eq \f(1,2)
4.[2024·佛山模擬]若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(x)的解析式可能為( )
A.f(x)＝3cs x B.f(x)＝sin(2x＋1)
C.f(x)＝x＋eq \f(1,x) D.f(x)＝ex＋x
5.[2024·合肥模擬]已知直線l與曲線f(x)＝ln x＋x2相切，則下列直線中與l垂直的是( )
A.x－4y＝0 B.eq \r(2)x＋5y＝0
C.eq \r(2)x＋3y＝0 D.eq \r(2)x－y＝0
6.[2023·遼陽質(zhì)檢]現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x，f(x))處的曲率K＝eq \f(|f″（x）|,（1＋（f′（x））2）\f(3,2)).函數(shù)f(x)＝3ln x的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的曲率為( )
A.eq \f(3,1 000) B.eq \f(3,100) C.eq \f(\r(30),100) D.eq \f(3\r(10),100)
7.[2024·安康模擬]已知函數(shù)f(x)＝sin 2x－xf′(0)，則該函數(shù)的圖象在x＝eq \f(π,2)處的切線方程為( )
A.3x＋y－π＝0 B.3x－y－π＝0
C.x＋3y－π＝0 D.3x＋y＋π＝0
8.[2023·上海普陀宜川中學(xué)模擬]如果函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( )
A.y＝cs x B.y＝ln x
C.y＝ex D.y＝x3
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.[2024·漳州調(diào)研]已知函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是( )

10.[2023·嘉興模擬]已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝2x，則下列說法正確的是( )
A.若F(x)＝f(x)g(x)，則F′(x)＝2＋2ln x
B.若G(x)＝f(g(x))，則G′(x)＝eq \f(1,2x)
C.若H(x)＝eq \f(f（x）,g（x）)，則H′(x)＝eq \f(1－ln x,2x2)
D.方程f(x)＝g(x)－2有唯一實(shí)數(shù)根
11.[2023·長沙長郡中學(xué)模擬]已知函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則( )
A.f(2 023)＝2 B.f′(x)的一個(gè)周期是4
C.f′(x)是偶函數(shù) D.f′(1)＝1
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.[2024·寧德模擬]已知函數(shù)f(x)滿足如下條件：①定義域?yàn)镽；②存在x0∈R，使得f(x0)＝f′(x0)＝0 ；③f(x)≤0，試寫出一個(gè)符合上述要求的函數(shù)f(x)＝__________.
13.[2024·黃岡模擬]拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，內(nèi)容為：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，那么在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)f(x)＝ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”為__________.
14.[2023·無錫質(zhì)檢]定義：若函數(shù)f(x)圖象上存在相異的兩點(diǎn)P，Q滿足曲線y＝f(x)在P和Q處的切線重合，則稱f(x)是“重切函數(shù)”，P，Q為曲線y＝f(x)的“雙重切點(diǎn)”，直線PQ為曲線y＝f(x)的“雙重切線”.由上述定義可知曲線f(x)＝x3＋eq \f(1,x)的“雙重切線”的方程為____________.
導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義
1.C [由f(x)＝sin x＋cs x可得，
f′(x)＝cs x－sin x，故選C.]
2.A [因?yàn)槲矬w的位移S(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系S＝2sin (πt)，所以S′＝2πcs(πt)，令t＝2，得S′＝2πcs(2π)＝2π.故選A.]
3.C [f′(1)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1）－f（1＋2Δx）,－2Δx)
＝－eq \f(1,2)eq^\(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（1）－f（1＋2Δx）,Δx)＝1.
故曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為1.故選C.]
4.C [對于A，由f(x)＝3cs x可得f′(x)＝－3sin x，顯然f′(x)＝－3sin x的圖象不關(guān)于y軸對稱，所以A錯(cuò)誤；
對于B，由f(x)＝sin(2x＋1)可得f′(x)＝2cs(2x＋1)，顯然f′(x)＝2cs(2x＋1)的圖象不關(guān)于y軸對稱，所以B錯(cuò)誤；
對于C，由f(x)＝x＋eq \f(1,x)可得定義域?yàn)閤∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f′(x)＝1－eq \f(1,x2)，顯然f′(x)＝f′(－x)，圖象關(guān)于y軸對稱，所以C正確；
對于D，由f(x)＝ex＋x可得f′(x)＝ex＋1，顯然f′(x)＝ex＋1的圖象不關(guān)于y軸對稱，所以D錯(cuò)誤.故選C.]
5.B [∵f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋2x≥2eq \r(2)，
即直線l的斜率k≥2eq \r(2).
設(shè)與l垂直的直線的斜率為m，則k＝－eq \f(1,m)，∴－eq \f(1,m)≥2eq \r(2)，∴－eq \f(\r(2),4)≤m＜0.故選B.]
6.D [因?yàn)閒(x)＝3ln x，
所以f′(x)＝eq \f(3,x)，f″(x)＝－eq \f(3,x2)，
所以f′(1)＝3，f″(1)＝－3，
所以K＝eq \f(|f″（1）|,（1＋（f′（1））2）\f(3,2))＝eq \f(3,（1＋9）\f(3,2))
＝3×10－eq \f(3,2)＝eq \f(3\r(10),100).故選D.]
7.A [因?yàn)閒′(x)＝2cs 2x－f′(0)，
所以f′(0)＝2cs 0－f′(0)，解得f′(0)＝1，
所以f(x)＝sin 2x－x，f(eq \f(π,2))＝－eq \f(π,2)，
f′(x)＝2cs 2x－1，f′(eq \f(π,2))＝－3，
即切點(diǎn)(eq \f(π,2)，－eq \f(π,2))，k＝－3，所以切線方程為：y＋eq \f(π,2)＝－3(x－eq \f(π,2))，即3x＋y－π＝0.故選A.]
8.A [由題意知y＝f(x)具有T性質(zhì)，即存在x1，x2，使得f′(x1)·f′(x2)＝－1.
對于A，y′＝－sin x，存在x1＝eq \f(π,2)，x2＝－eq \f(π,2)，
使得f′(x1)·f′(x2)
＝(－sin eq \f(π,2))[－sin(－eq \f(π,2))]＝－1，
A正確；
對于B，y＝ln x的定義域?yàn)?0，＋∞)，y′＝eq \f(1,x)＞0，故不存在x1，x2，使得f′(x1)·f′(x2)＝－1，B錯(cuò)誤；
對于C，y′＝ex＞0，故不存在x1，x2，
使得f′(x1)·f′(x2)＝－1，C錯(cuò)誤；
對于D，y′＝3x2≥0，故不存在x1，x2，使得
f′(x1)·f′(x2)＝－1，D錯(cuò)誤.故選A.]
9.BD [從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)在x0處切線斜率相同，可以排除C，再由導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的切線斜率大小，可明顯看出y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的值在減小，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的值在增大，∴曲線f(x)切線斜率應(yīng)該慢慢變小，曲線g(x)切線斜率應(yīng)該慢慢變大，排除A，選項(xiàng)BD中的圖象，都符合題意.故選BD.]
10.AC [F(x)＝f(x)g(x)＝2xln x，
故F′(x)＝2(ln x＋x·eq \f(1,x))＝2ln x＋2，故A正確；
因?yàn)镚(x)＝f(g(x))＝ln(2x)，
所以G′(x)＝eq \f(1,2x)·(2x)′＝eq \f(1,x)，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)镠(x)＝eq \f(f（x）,g（x）)＝eq \f(ln x,2x)，H′(x)＝eq \f(\f(1,x)·（2x）－（ln x）·2,（2x）2)＝eq \f(1－ln x,2x2)，故C正確；
f(x)＝g(x)－2，即ln x－2x＋2＝0，
令h(x)＝ln x－2x＋2，x＞0，
則h′(x)＝eq \f(1,x)－2，
故當(dāng)0＜x＜eq \f(1,2)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞eq \f(1,2)時(shí)，h(x)單調(diào)遞減，
h(x)max＝h(eq \f(1,2))＝ln eq \f(e,2)＞0，
h(1)＝0，h(e)＝3－2e＜0，故方程f(x)＝g(x)－2有兩個(gè)實(shí)根，故D錯(cuò)誤.故選AC.]
11.BC [因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，
f(x＋2)＝f(－x)，
所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期為4，
所以f′(x＋4)＝f′(x)，
故f′(x)的一個(gè)周期為4，故B項(xiàng)正確；
f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以－f′(－x)＝－f′(x)，
即f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)為偶函數(shù)，故C項(xiàng)正確；
因?yàn)閒(x＋2)＝f(－x)，
所以f′(x＋2)＝－f′(－x)，
令x＝－1，可得f′(1)＝－f′(1)，
解得f′(1)＝0，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選BC.]
12.f(x)＝－x2(答案不唯一) [設(shè)f(x)＝－x2 ，則函數(shù)定義域?yàn)镽，f′(x)＝－2x，f(0)＝f′(0)＝0，f(x)≤0，故f(x)＝－x2符合要求(答案不唯一).]
13.e－1 [由f(x)＝ln x可得f′(x)＝eq \f(1,x)，
令x0為函數(shù)f(x)＝ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”，
則eq \f(1,x0)＝eq \f(f（e）－f（1）,e－1)＝eq \f(1,e－1)，解得x0＝e－1.]
14.y＝2x [f(x)＝x3＋eq \f(1,x)，
所以f′(x)＝3x2－eq \f(1,x2)，
其定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞).
因?yàn)閒′(－x)＝f′(x)，所以函數(shù)f′(x)＝3x2－eq \f(1,x2)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上為偶函數(shù).
令h(x)＝f′(x)＝3x2－eq \f(1,x2)，
則h′(x)＝6x＋eq \f(2,x3)，
當(dāng)x＞0時(shí)，h′(x)＞0，所以h(x)＝f′(x)＝3x2－eq \f(1,x2)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
又f′(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上為偶函數(shù)，
所以必存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得f′(x1)＝f′(x2), 且x1＋x2＝0，
不妨設(shè)兩切點(diǎn)為P(x1，xeq \\al(3,1)＋eq \f(1,x1))，Q(x2，xeq \\al(3,2)＋eq \f(1,x2))，且 x1≠x2，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3＋eq \f(1,x)，f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)＝x3＋eq \f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)為奇函數(shù)，
又x1＋x2＝0，所以兩切點(diǎn)P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對稱，即此時(shí)切線斜率 k＝f′(x1)＝kPQ＝kPO，
又f′(x1)＝3xeq \\al(2,1)－eq \f(1,xeq \\al(2,1))， kPO＝eq \f(xeq \\al(3,1)＋\f(1,x1)－0,x1－0)，
即3xeq \\al(2,1)－eq \f(1,xeq \\al(2,1))＝eq \f(xeq \\al(3,1)＋\f(1,x1)－0,x1－0)，整理得xeq \\al(4,1)＝1，
解得x1＝1或x1＝－1，所以存在兩點(diǎn)(1，2)，(－1，－2)滿足條件，所以兩點(diǎn)(1，2)，(－1，－2)確定的直線方程即為曲線f(x)＝x3＋eq \f(1,x)的“雙重切線”的方程，由直線的兩點(diǎn)式方程可得y＝2x.]

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