一、單選題
1．如圖，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，設，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平面向量的加減、數乘運算求解即可.
【詳解】，
.
故選：D
2．函數的部分圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據函數的解析式，結合函數的奇偶性，以及函數零點的特征，函數值的正負區(qū)間，即可判斷選項.
【詳解】函數的定義域，且，所以函數是奇函數，函數圖象關于原點對稱，排除D，
當，，則函數值，即原點右側開始的函數值是正數，排除B，
時，，即，存在滿足不等式，所以當時，函數的零點都是變號零點，并不恒為正數，排除C.
故選：A
3．已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】設出復數的代數形式，利用復數模的意義列出方程即可判斷得解．
【詳解】令，
因為，所以，
即點在以為圓心，1為半徑的圓上，該圓在第四象限內，
所以在復平面內對應的點位于第四象限，
故選：D
4．已知角，滿足，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】運用拆角變換由和求得，再將拆角后展開，代入以上結論即得.
【詳解】由，
因，代入可得，，
則.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查和（差）角公式在求解函數值上的應用，屬于難題.
解題的關鍵在于兩次拆角變換，①，利用題設求得；②，利用已知和所得結論求解.
5．如圖，是水平放置的斜二測畫法的直觀圖，的邊，，則原中角A的角平分線長度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由的直觀圖可得，，，再利用角平分線定理可求得，再由勾股定理可得結論.
【詳解】易知為直角三角形，且，，由勾股定理可得，
設角A的角平分線交BC于D，如下圖所示：

根據角平分線性質知，
又因為，所以，，
所以，
故選：D．
6．圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為4．已知P為該圓臺某條母線的中點，若一質點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側面運動一圈后又回到點P，則該質點運動的最短路徑長為（ ）
A．B．6C．D．
【答案】A
【分析】利用側面展開結合圖形求解最短距離.
【詳解】P為圓臺母線AB的中點，分別為上下底面的圓心，把圓臺擴成圓錐，如圖所示，
則，，，
由，有，，，
圓錐底面半徑，底面圓的周長為，母線長，
所以側面展開圖的扇形的圓心角為，即，如圖所示，
質點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側面運動一圈后又回到點P，則運動的最短路徑為展開圖弦，
，，有.
故選：A
7．已知，則角所在的區(qū)間可能是
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】令，則，又由，得，解得，舍去，則，在第二或第四象限，排除A和D，又而，當時，排除B，只有C答案滿足，故選C.
點睛：本題主要考查了三角恒等式的應用，三角函數在各象限內的符號，以及排除法在選擇題中的應用，具有一定難度；令，可將已知等式轉化為關于的一元二次方程，結合三角函數的有界性可得，即和的符號相反，可排除A和D，當時，可求出與所求矛盾，排除B.
8．已知“水滴”的表面是一個由圓錐的側面和部分球面（常稱為“球冠”）所圍成的幾何體.如圖所示，將“水滴”的軸截面看成由線段和優(yōu)弧所圍成的平面圖形，其中點所在直線與水平面平行，和與圓弧相切.已知“水滴”的“豎直高度”與“水平寬度”（“水平寬度”指的是平行于水平面的直線截軸截面所得線段的長度的最大值）的比值為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設圓心為O，連接OA，OB，OC，設球冠的半徑為，根據幾何性質可得，從而可得，根據同角三角函數的基本關系與二倍角公式即可得的值.
【詳解】
設優(yōu)弧所在圓的圓心為，半徑為，連接，如圖所示．
易知“水滴”的“豎直高度”為，“水平寬度”為，由題意知，解得，
因為與圓弧相切于點，所以，
在中，，
又，所以，
由對稱性知，，則，
所以，
故選：D.
二、多選題
9．“虛數”這個詞是世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創(chuàng)制的，當時的觀念認為這是不存在的數.人們發(fā)現即使使用全部的有理數和無理數，也不能解決代數方程的求解問題，像這樣最簡單的二次方程，在實數范圍內沒有解.引進虛數概念以后，代數方程的求解問題才得以解決.設是方程的根，則（ ）
A．B．
C．是該方程的根D．是該方程的根
【答案】ABD
【分析】根據每個選項的描述進行判斷，即可得出結果.
【詳解】解：對于A選項，由于是方程的根，則，
而，故，選項A正確；
對于B選項，由虛根成對定理可知，也是方程的根，故，選項B正確；
對于C，且，故不是該方程的根，選項C錯誤；
對于D，，而，代入方程得，，
是該方程的根，即是該方程的根，選項D正確.
故選：ABD.
10．函數在一個周期內的圖象如圖所示，則（ ）．

A．該函數的解析式為
B．該函數圖象的對稱軸方程為，
C．該函數的單調遞增區(qū)間是，
D．把函數的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，可得到該函數圖象
【答案】ACD
【分析】對于選項A：根據圖像和已知條件求出和最小正周期，然后利用正弦型函數的最小正周期公式求出，通過代點求出即可；對于選項BC：結合正弦函數的性質，利用整體代入法求解即可；對于選項D：利用伸縮變換即可求解.
【詳解】由題圖可知，，周期，
所以，則，
因為當時，，即，
所以，，即，，
又，故，
從而，故A正確；
令，，得，，故B錯誤；
令，，
得，，故C正確；
函數的圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，
可得到，故D正確．
故選:ACD
11．如圖，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行.已知船在靜水中的速度的大小，水流方向為正東方向，其速度的大小為，這艘船到達河對岸的時間精確到0.1min，采用四舍五入法.則（ ）
參考數據：

A．這艘船到達河對岸的渡河時間最短時，
B．這艘船到達河對岸的渡河時間最短為3min
C．這艘船到達河對岸的渡河時間最短為3.1min
D．這艘船到達河對岸的航程最短時，渡河時間最短
【答案】AB
【分析】討論的大小，分別求出過河的時間，從而判斷ABC；由平行四邊形法則結合勾股定理判斷D.
【詳解】對于A：設與的夾角為，船行駛的時間為，
，

當為鈍角時，
當為銳角時，
當為直角時，
則當為鈍角時，，
當為銳角時，，
所以當船垂直于對岸行駛，即，所用時間最短，故A正確；
對于B：由A可知，這艘船到達河對岸的渡河時間最短為，故B正確，C錯誤；
對于D：設點是河對岸一點，與河岸垂直，
那么當這艘船實際沿著方向行駛時，船的航程最短，
由下圖可知，設，則，
此時，船的航行時間，故D錯誤；

故選：AB
三、填空題
12．已知復數滿足:，則 .
【答案】3
【分析】借助復數的乘方運算與四則運算法則計算后，結合復數模長公式計算即可得.
【詳解】因為，
所以，故.
故答案為：3.
13．已知平面向量，滿足，，且在上的投影向量為，則為 .
【答案】
【分析】由條件結合投影向量公式可求，根據向量模的性質及數量積運算律求.
【詳解】因為在上的投影向量為，
所以，又，
所以，又 ，
所以.
故答案為：.
14．若，則 .
【答案】
【分析】由二倍角公式求解即可．
【詳解】
，
故答案為：
四、解答題
15．已知的內角的對應邊分別為，且．
(1)求角A；
(2)若的面積為，周長為15，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理結合正弦的和角公式化簡計算即可；
（2）利用三角形面積公式結合余弦定理建立方程計算即可.
【詳解】（1）因為，．
由正弦定理得，
則，
即．
在中，，故．
因為，所以．
（2）因為的面積為，
所以，得．
由余弦定理得，則．
又，所以，
解得．
16．如圖，設E、F、G分別是正方體的共點的三條棱、、的中點，過這三個點的平面截正方體得到的一個“角”是四面體. 設正方體的棱長為1.

(1)在四面體中，求頂點到底面的距離；
(2)如果將正方體按照題設的方法截去八個“角”，那么剩余的多面體有幾個頂點、幾條棱、幾個面？并求這個剩余多面體的表面積與體積.
【答案】(1)
(2)12個頂點，24條棱，共14個面，表面積為，體積為
【分析】（1）利用等體積法求解；
（2）利用數形結合法得到幾何體，再求表面積和體積.
【詳解】（1）解：設點到底面的距離為，
則，
即，得；
（2）如圖所示：

將正方體按照題設的方法截去八個“角”后
其有12個頂點，24條棱，共14個面，
其中6個面是以為邊長的正方形，8個面是以為邊長的正三角形，
故其表面積為；
體積為.
17．已知函數.
(1)求的值域；
(2)求在上所有實數根的和.
【答案】(1)0,4
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換整理可得，再根據正弦型函數的性質可求值域；
（2）利用與有4個交點，利用正型函數的對稱性可求所有實數根之和..
【詳解】（1），
因為的值域為，所以的值域為0,4.
（2）由，得，
畫出在上的圖象如圖，
與有4個交點，4個交點中有兩對交點均關于對稱，
令，解得，
故4個實數根之和為.
18．如圖，在平行四邊形中，，，，為中點，且，.設，.
(1)當時，用，表示，；
(2)若，求實數的值；
(3)求的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的線性運算求解即可.
（2）將問題轉化為，利用向量垂直關系求解即可；
（3）由于，則，結合二次函數的最值問題求解即可.
【詳解】（1） .
（2）若，則，
因為，，，
則，
所以.
（3））由題可得： ，
，
∵，當時，的最大值為，
當時，最小值為，
所以.
19．我們知道復數有三角形式，其中為復數的模，為輻角主值.由復數的三角形式可得出，若，，則. 其幾何意義是把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋? 已知在復平面的上半平面內有一個菱形，其邊長為，，點所對應的復數分別為，，.
(1)若，求出，；
(2)如圖，若，以為邊作正方形.
（?。┤粼谙路剑欠翊嬖趶蛿凳沟瞄L度為，若存在，求出復數；若不存在，說明理由；
（ⅱ）若在上方，且向量，求證：.
【答案】(1)，
(2)（?。┐嬖?，；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）根據復數三角形式運算的幾何意義與運算法則求復數，.
（2）（ⅰ）設，，借助復數三角形式的運算，用表示出點的坐標，求的長度，根據長度為，看看是否存在即可.
（ⅱ）根據，把表示成與有關的三角函數，結合角的取值范圍，求函數值域即可.
【詳解】（1）連接，因為四邊形，，
所以，又，所以，即OA=OB=OC，
因為，
所以，
，
所以，.
（2）設，，則，
設對應的復數為，則，
（ⅰ）設對應的復數為，，
設對應的復數為，所以，
所以，
由已知可得，
所以，又，所以，所以.
（ⅱ）設對應的復數為，
所以，
所以，又，，，
所以
所以，
所以，所以，又，
所以，所以的范圍為.
【點睛】方法點睛：求函數最值的問題，常用的方法有：
（1）轉化為二次函數在給定區(qū)間上的值域，求解；
（2）利用基本（均值）不等式求解；
（3）通過換元，轉化成三角函數的值域問題求解；
（4）分析函數的單調性，利用單調性求值域.

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