寧波市北侖中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷                      （全年級使用） 第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合，，則（       ）A． B．C． D．2．若，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（       ）A． B．C． D．3．的二項(xiàng)展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)為（　?。?/span>A． B． C． D．4．某興趣小組有5名學(xué)生，其中有3名男生和2名女生，現(xiàn)在要從這5名學(xué)生中任選2名學(xué)生參加活動(dòng)，則選中的2名學(xué)生的性別相同的概率是（       ）A． B． C． D．5．函數(shù)f（x）＝的圖象大致為（       ）A．B．C．D．6．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的最大值為（       ）A． B． C． D．17．若，則（       ）A． B． C． D．8．設(shè)表示函數(shù)在閉區(qū)間I上的最大值．若正實(shí)數(shù)a滿足，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（       ）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9．以下關(guān)于正弦定理或其變形正確的有（　?。?/span>A．在ABC中，a：b：c＝sin A：sin B：sin CB．在ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則a＝bC．在ABC中，若sin A＞sin B，則A＞B，若A＞B，則sin A＞sin B都成立D．在ABC中，10．下列說法正確的是（       ）A．命題“”的否定是“”.B．命題“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要條件.D．“”是“關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根”的充要條件11．現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說法正確的是（ ）A．所有可能的方法有種B．若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C．若同學(xué)A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種12．已知函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)可能為（       ）A．2 B．6 C．5 D．4第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．__________．14．已知函數(shù)在定義域上是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，并且，則的取值范圍是____________.15．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_____________．16．設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù)，若對于一切，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___四、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）已知展開式有7項(xiàng)．（1）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)． 18．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.    19．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，對任意a，恒有，且當(dāng)時(shí)，有．1求；2求證：在R上為增函數(shù)；3若關(guān)于的不等式對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．   20．（本小題滿分12分）函數(shù)（其中 ，，）的部分圖象如圖所示，先把函數(shù) 的圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)圖象的對稱中心.（2）當(dāng)時(shí)，求 的值域.（3）當(dāng)時(shí)，方程 有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.  21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式；(3)若不等式對一切恒成立，求m的取值范圍．            22．（本小題滿分12分）設(shè)兩實(shí)數(shù)不相等且均不為.若函數(shù)在時(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，就稱區(qū)間為的一個(gè)“倒域區(qū)間”.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)所有“倒域區(qū)間”的圖象作為函數(shù)的圖象，是否存在實(shí)數(shù)，使得與恰好有2個(gè)公共點(diǎn)?若存在，求出的取值范圍：若不存在，請說明理由.
北侖中學(xué)2021學(xué)年第二學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)試卷參考答案：1．B【解析】【分析】解不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】，，.故選：B.2．D【解析】【分析】先化簡命題，再根據(jù)是的充分不必要條件得到的取值范圍.【詳解】由題得，因?yàn)?/span>是的充分不必要條件，所以對應(yīng)的集合是對應(yīng)的集合的真子集，所以.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)的范圍，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.3．B【解析】【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式中含項(xiàng)的系數(shù)【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為令，則所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為故選：B4．B【解析】【分析】由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式和排列組合公式計(jì)算可得滿足題意的概率值.【詳解】由題意可知，選中的2名學(xué)生的性別相同的概率是：.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型計(jì)算公式，排列組合的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5．C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式及奇偶性的定義判斷的奇偶性，再由上知的大致圖象.【詳解】根據(jù)題意，，其定義域?yàn)?/span>且，∴，則為奇函數(shù)，排除A、D，在區(qū)間上，，必有，排除B，故選：C.6．C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的對稱性，及在區(qū)間上的單調(diào)性，可知，又的圖像與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從而得，進(jìn)而可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，并且在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，又，得，令，得，所以在上的圖象與直線的第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，第二個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，綜上所述，.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)于三角函數(shù)中的取值范圍問題，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲盗嘘P(guān)于的不等式，從而求解出答案.7．D【解析】【分析】設(shè)，利用作差法結(jié)合的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，因?yàn)?/span>所以，所以，所以.，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有.故選：D.【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.8．A【解析】【分析】作圖分析函數(shù)的特點(diǎn)，再分類討論.【詳解】函數(shù)的圖像如下：的對稱軸為x=2，，；分類討論如下：①當(dāng)時(shí)，，依題意，，而函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，，，故不可能；②當(dāng)時(shí)，，依題意，，即，令，解得：，，，，如圖；則有：并且，解得：；或者并且，無解；故選：A.9．ACD【解析】【分析】對于A，由正弦定理得a：b：c＝sinA：sinB：sinC，故該選項(xiàng)正確；對于B，由題得A＝B或2A+2B＝π，即得a＝b或a2+b2＝c2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，在ABC中，由正弦定理可得A＞B是sinA＞sinB的充要條件，故該選項(xiàng)正確；對于D，由正弦定理可得右邊＝＝左邊，故該選項(xiàng)正確.【詳解】對于A，由正弦定理，可得a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故該選項(xiàng)正確；對于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，∴a＝b或a2+b2＝c2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，在ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB?a＞b?A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要條件，故該選項(xiàng)正確；對于D，由正弦定理，可得右邊＝＝左邊，故該選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理及其變形，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.10．BD【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題判斷A,B選項(xiàng)，根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷C,D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，命題“”的否定是“，”，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，命題“，”的否定是“，”，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根,所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件,故D選項(xiàng)正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定，充要條件的判斷，考查邏輯推理能力，是中檔題.本題D選項(xiàng)解題的關(guān)鍵在于根據(jù)韋達(dá)定理和判別式得等價(jià)條件，進(jìn)而解不等式求得討論即可.11．BCD【解析】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理判斷AC選項(xiàng)的正確性，利用分類加法計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)計(jì)算判斷B選項(xiàng)的正確性，利用排列數(shù)計(jì)算判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】所有可能的方法有種，A錯(cuò)誤.對于B，分三種情況：第一種：若有1名同學(xué)去工廠甲，則去工廠甲的同學(xué)情況為，另外兩名同學(xué)的安排方法有種，此種情況共有種，第二種：若有兩名同學(xué)去工廠甲，則同學(xué)選派情況有，另外一名同學(xué)的排法有3種，此種情況共有種，第三種情況，若三名同學(xué)都去工甲，此種情況唯一，則共有種安排方法，B正確.對于C，若A必去甲工廠，則B，C兩名同學(xué)各有4種安排，共有種安排，C正確.對于D，若三名同學(xué)所選工廠各不同，則共有種安排，D正確.故答案為：BCD 12．ACD【解析】【分析】先畫出的圖象，再討論方程的根，求得的范圍，再數(shù)形結(jié)合，得到答案.【詳解】畫出的圖象如圖所示：令，則，則，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，由圖與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)，A正確；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，則故，，當(dāng)時(shí)，即，則有2解，當(dāng)時(shí)，若，則有3解；若，則有2解，故方程的根的個(gè)數(shù)為5個(gè)或4個(gè)，CD正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的根的個(gè)數(shù)問題，函數(shù)圖象的畫法，考查了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，難度較大.13．【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由指數(shù)冪和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得.故答案為：.14．.【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的對稱性求出,再利用函數(shù)的單調(diào)性及偶函數(shù)得到不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是偶函數(shù)，所以，解得，所以可得又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增,因?yàn)?/span>，所以由可得，解得.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了偶函數(shù)的定義域，偶函數(shù)的單調(diào)性，不等式的解法，屬于難題.15．9【解析】【詳解】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16．【解析】【分析】由題可得，當(dāng)時(shí)，，分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值，化簡恒成立問題為最值問題即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，故不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，顯然當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故，當(dāng)時(shí)，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知為增函數(shù)，故，故在上，，故，故；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，故，故無解，綜上所述，．故答案為：．17．1n=6    由通項(xiàng)公式，令，可得：．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；是偶數(shù)，展開式共有7項(xiàng)則第四項(xiàng)最大展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．18．(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】【詳解】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，則B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得詳解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因?yàn)?/span>，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因?yàn)?/span>a<c，故．因此，所以，點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍．19．（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】Ⅰ根據(jù)題意，由特殊值法分析：令，則，變形可得的值，Ⅱ任取，，且設(shè)，則，結(jié)合，分析可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案；Ⅲ根據(jù)題意，原不等式可以變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，令，則原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即對任意恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．【詳解】Ⅰ根據(jù)題意，在中，令，則，則有；Ⅱ證明：任取，，且設(shè)，則，，又由，則，則有，故在R上為增函數(shù)．Ⅲ根據(jù)題意，，即，則，又由，則，又由在R上為增函數(shù)，則，令，，則，則原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即對任意恒成立，令，只需，而，，當(dāng)時(shí)，，則．故t的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的恒成立問題，涉及抽象函數(shù)的單調(diào)性以及求值，其中解答中合理利用函數(shù)的單調(diào)性和合理完成恒成立問題的轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵，同時(shí)注意特殊值法的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．20．（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）觀察圖象，由函數(shù)最值求出，由周期求出，再將代入得出，即可求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而得出函數(shù)的解析式以及對稱中心；（2）由的范圍結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的值域；（3）將已知方程參變分離，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求出值域，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】（1）根據(jù)圖象可知，，∴，∴，，將代入得，，即，解得，，∵，∴，，∴.函數(shù)的圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），可得，曲線再向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位得令，解得∴此函數(shù)圖象的對稱中心為.（2）當(dāng)時(shí)，，，即的值域?yàn)?/span>.（3），令，由（2）知，，因此m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查有解問題的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是將已知方程化簡，參變分離，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求出對應(yīng)函數(shù)的值域，進(jìn)而得出參數(shù)的取值范圍，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題．21．(1)；(2)答案見解析；(3).【解析】【分析】（1）對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的判別式即可容易求得結(jié)果；（2），對，與分類討論，可分別求得其解集（3），通過分離常數(shù)與利用基本不等式結(jié)合已知即可求得m的取值范圍．(1)根據(jù)題意，當(dāng)，即時(shí)，，不合題意； 當(dāng)，即時(shí)，的解集為R，即的解集為R，即，故時(shí)，或.故 ．(2)，即，即，當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，，，解集為或；當(dāng)，即時(shí)，，，解集為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或.(3)，即，恒成立，，設(shè)則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，．【點(diǎn)睛】本題考察二次函數(shù)恒成立問題，以及含參二次函數(shù)不等式的求解，其中正確的分類討論，是解決本題的關(guān)鍵，屬綜合困難題.22．（1）   （2）存在, 【解析】【分析】（1）根據(jù)倒域區(qū)間的定義,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,解方程即可求得的值,可得函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”.（2）結(jié)合倒域區(qū)間的定義,先求得函數(shù)的解析式.根據(jù)兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),即可得關(guān)于的方程,分離參數(shù)得的表達(dá)式,根據(jù)打勾函數(shù)的圖像及性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由二次函數(shù)性質(zhì)可知, 在時(shí)單調(diào)遞減設(shè),則其值域?yàn)?/span>所以,化簡可得因式分解可得解得,因?yàn)?/span>所以即倒域區(qū)間為（2）兩實(shí)數(shù)不相等且均不為.且滿足時(shí),函數(shù)值的取值區(qū)間恰為則,所以與符號(hào)相同,即同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)因?yàn)槎x域?yàn)?/span>所以存在兩種可能:與當(dāng)時(shí),由二次函數(shù)的圖像可知所以滿足,即所以.由（1）可知其倒域區(qū)間為當(dāng)時(shí),由二次函數(shù)的圖像可知所以滿足,即所以,根據(jù)倒域區(qū)間的定義,同理可求得其倒域區(qū)間為綜上可知, 因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí),令則畫出與的圖像可知沒有交點(diǎn).若兩個(gè)函數(shù)恰有2個(gè)公共點(diǎn),則兩個(gè)函數(shù)圖像在有2個(gè)交點(diǎn).即在上有兩個(gè)不同交點(diǎn).化簡可得,即為打鉤函數(shù).畫出函數(shù)圖像如下圖所示.則當(dāng),即時(shí)取得最小值,最小值為當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí), 因?yàn)?/span>所以為有兩個(gè)交點(diǎn),則的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,新定義內(nèi)容的理解和應(yīng)用,函數(shù)圖像的綜合用法,利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍,綜合性較強(qiáng),屬于難題.
   

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