1．（5分）將37°30′化為弧度是（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知角θ的終邊過點（5，﹣12），則＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知向量滿足，，則在方向上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）將函數(shù)y＝f（x）圖象向左平移個單位長度，縱坐標不變，得到函數(shù)，則f（x）＝（ ）
A．cs4xB．
C．D．
5．（5分）函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（5分）在[0，2π]內(nèi)函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知等邊三角形ABC的邊長為2，點P為△ABC內(nèi)切圓上一動點，若＝x，則3x+3y的最小值為（ ）
A．2B．1C．D．﹣1
8．（5分）已知且3sinβ＝sin（2α+β），則tanβ的最大值為（ ）
A．B．C．1D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。
（多選）9．（6分）已知平面向量，下列說法不正確的有（ ）
A．若，，則B．
C．||≤||+||D．若，則
（多選）10．（6分）已知函數(shù)，則（ ）
A．曲線y＝f（x）的一個對稱中心為
B．函數(shù)f（x）在區(qū)間單調(diào)遞增
C．函數(shù)為偶函數(shù)
D．函數(shù)f（x）在[0，2π]內(nèi)有4個零點
（多選）11．（6分）已知，則下列選項正確的有（ ）
A．
B．xsiny＜ysinx
C．
D．若siny＝y(tǒng)csx，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）一個扇形的周長為24+8π，面積為48π，則此扇形的圓心角為 ．（用弧度制表示）
13．（5分）設(shè)、是平面內(nèi)不共線的一組基底，，，，若A、B、D三點共線 ．
14．（5分）已知函數(shù)，其中ω＞0，在（2，則ω的范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點M為AB中點，P在線段BD上，滿足＝，設(shè)，．
（1）用，表示向量；
（2）若，，，求．
16．（15分）已知α∈（0，π），，，．
（1）分別求cs（β﹣α）和sin（α+β）的值；
（2）求csβ的值．
17．（15分）已知函數(shù)．
（1）若A是三角形中一內(nèi)角，且，求A的值；
（2）若函數(shù)在有唯一零點，求m的范圍．
18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝2cs（ωx+φ）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知f（x）在的值域為，求m的取值范圍；
（Ⅲ）將f（x）圖象上所有點縱坐標縮短為到原來的（橫坐標不變），再將所得到圖象向右平移（x）的圖像．已知關(guān)于x的方程f（x）+g（x），π）內(nèi)有兩個不同的解α，β．
（1）求實數(shù)n的取值范圍；
（2）求cs（2α﹣2β）的值（用n表示）．
19．（17分）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)
（1）已知sinhθ＝1，求cshθ；
（2）類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數(shù)（或雙曲余弦函數(shù)）的一個正確的結(jié)論（即求sinh2x或csh2x）；
（3）已知f（x）＝（csh2x+5+m）2+（λ?cshx+m）2，對任意的m∈R和任意的x∈[﹣1，1]，都有，求λ的取值范圍．
2024-2025學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）將37°30′化為弧度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先將角統(tǒng)一成度的形式，然后利用角度與弧度的互化公式求解即可．
【解答】解：由題意可得37°30′＝37.5×＝．
故選：A．
【點評】本題主要考查弧度制，是基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知角θ的終邊過點（5，﹣12），則＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式計算即可．
【解答】解：因為角θ的終邊過點（5，﹣12），
所以，
所以＝．
故選：C．
【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知向量滿足，，則在方向上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由向量模的求法建立方程，求得，再由投影向量的定義式計算即可．
【解答】解：因為，，
所以，
即，解得，
所以則在方向上的投影向量為．
故選：D．
【點評】本題考查投影向量的求法，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）將函數(shù)y＝f（x）圖象向左平移個單位長度，縱坐標不變，得到函數(shù)，則f（x）＝（ ）
A．cs4xB．
C．D．
【分析】由題意將函數(shù)的圖橫坐標變?yōu)榈皆瓉淼模v坐標不變，再向右平移個單位長度，可得f（x）的解析式．
【解答】解：由題意將函數(shù)的圖橫坐標變?yōu)榈皆瓉淼模傻脃＝cs（4x﹣），
再向右平移個單位長度）﹣），
即函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝cs（4x﹣）．
故選：B．
【點評】本題考查函數(shù)的伸縮，平移變換，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝與y＝的交點個數(shù)，作出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可得答案．
【解答】解：令＝0，
則有＝，
則函數(shù)y＝f（x）的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝與y＝，
作出兩函數(shù)y＝與y＝，如圖所示：
由此可得兩函數(shù)有8個交點，
所以函數(shù)y＝f（x）有3個零點．
故選：B．
【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
6．（5分）在[0，2π]內(nèi)函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由題意可得函數(shù)的定義域滿足的不等式組，進而可得函數(shù)的定義域．
【解答】解：由題意可得定義域滿足的條件：，即，
可得，
解得4≤x＜或＜x≤π．
所以函數(shù)的定義域為[0，）∪（．
故選：C．
【點評】本題考查函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知等邊三角形ABC的邊長為2，點P為△ABC內(nèi)切圓上一動點，若＝x，則3x+3y的最小值為（ ）
A．2B．1C．D．﹣1
【分析】由已知建立平面直角坐標系，寫出點的坐標，設(shè)P（，），利用向量相等求得x，y，再由三角函數(shù)求3x+3y的最小值．
【解答】解：如圖，
以△ABC內(nèi)切圓的圓心為坐標原點，以平行于AB的中心為x軸建立如圖所示平面直角坐標系，
則A（﹣1，），B（1，），），
三角形內(nèi)切圓的方程為，可設(shè)P（，），
則，，，
由＝x，得2x+y＝，，
可得，y＝，
則7x+3y＝＝≥6．
∴3x+3y的最小值為4．
故選：B．
【點評】本題考查平面向量的坐標運算，考查運算求解能力，是中檔題．
8．（5分）已知且3sinβ＝sin（2α+β），則tanβ的最大值為（ ）
A．B．C．1D．
【分析】先利用和差角公式對已知等式進行化簡，然后結(jié)合和差角的正切公式及基本不等式即可求解．
【解答】解：因為且3sinβ＝sin（3α+β），
所以3sin（α+β﹣α）＝sin（α+β+α），
所以3sin（α+β）csα﹣4sinαcs（α+β）＝sin（α+β）csα+sinαcs（α+β），
即sin（α+β）csα＝2sinαcs（α+β），
所以tan（α+β）＝2tanα，
則tanβ＝tan（α+β﹣α）＝＝＝，
當且僅當2tanα＝，即tanα＝．
 故選：A．
【點評】本題主要考查了和差角公式及同角基本關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。
（多選）9．（6分）已知平面向量，下列說法不正確的有（ ）
A．若，，則B．
C．||≤||+||D．若，則
【分析】舉反例＝可判斷A，利用向量數(shù)量積的定義可判斷BD，利用向量模長性質(zhì)可判斷C．
【解答】解：對于A，若＝，則不一定與，故A錯誤；
對于B，表示與，表示與，
所以與不一定相等；
對于C，||＝|（）|≤||，故C正確；
對于D，若，則（）2＝，
所以＝，
即＝0．
故選：AB．
【點評】本題主要考查了共線向量的性質(zhì)，考查了向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．（6分）已知函數(shù)，則（ ）
A．曲線y＝f（x）的一個對稱中心為
B．函數(shù)f（x）在區(qū)間單調(diào)遞增
C．函數(shù)為偶函數(shù)
D．函數(shù)f（x）在[0，2π]內(nèi)有4個零點
【分析】先結(jié)合二倍角公式及輔助角公式對已知函數(shù)解析式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：＝sin（3x﹣）﹣5
＝sin（2x﹣sin（3x﹣，
因為f（）＝﹣1，﹣1）；
當﹣時，﹣，此時f（x）單調(diào)遞增；
＝sin（2x+﹣cs2x﹣1為偶函數(shù)；
令f（x）＝4可得sin（2x﹣）＝，
則2x﹣＝或2x﹣，k∈Z，
則x＝或x＝，
當0≤x≤2π時，x＝，，，．
故選：BCD．
【點評】本題主要考查了二倍角公式及輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
（多選）11．（6分）已知，則下列選項正確的有（ ）
A．
B．xsiny＜ysinx
C．
D．若siny＝y(tǒng)csx，則
【分析】設(shè)∠AOB＝x，，扇形的半徑為1，則弧長＝x，利用面積法證明sinx＜x＜tanx，進而可得，可判斷A，得到在上為減函數(shù)，可判斷B，由已知可得lgxsinθ＞lgxtanθ＞0，利用利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；利用二倍角的正弦可得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D．
【解答】解：設(shè)∠AOB＝x，，扇形的半徑為3＝x，
過A作AC⊥OA交OB的延長線于點C，由圖形可得S△AOB＜S扇形AOB＜S△AOC，
由題意△AOB的邊OA上的高為sinx，所以，
所以sinx＜x＜tanx，
對于A，因為sinx＜x，所以，故A正確；
對于B，因為上均勻增加，
而y＝sinx在上增加速度是由快變慢在上為減函數(shù)，
又0＜x＜y＜1，所以，故B正確；
對于C，由，則0＜sinθ＜csθ＜7，
又0＜x＜1，則lgxsinθ＞lgxtanθ＞5，
所以，故C錯誤；
對于D，由siny＝y(tǒng)csx，又，
則，所以，
所以，又y＝csx在，所以．
故選：ABD．
【點評】本題主要考查函數(shù)值大小的比較，函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．（5分）一個扇形的周長為24+8π，面積為48π，則此扇形的圓心角為 或 ．（用弧度制表示）
【分析】設(shè)該扇形的半徑與圓心角分別為r、α，根據(jù)題意利用扇形的弧長公式與面積公式，建立關(guān)于r、α的方程組，解之即可得到本題的答案．
【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為α，
由于扇形的周長為24+8π，面積為48π，
所以，解得或．
綜上所述，此扇形的圓心角為或．
故答案為：或．
【點評】本題主要考查扇形的弧長公式與面積公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）設(shè)、是平面內(nèi)不共線的一組基底，，，，若A、B、D三點共線 ．
【分析】由三點共線得到向量，再由共線向量定理建立方程即可求得．
【解答】解：因為，，，
所以，，
因為A、B、D三點共線，
所以存在實數(shù)λ使得，即，
因為、是平面內(nèi)不共線的一組基底，解得．
故答案為：．
【點評】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）已知函數(shù)，其中ω＞0，在（2，則ω的范圍為 {ω|或} ．
【分析】由已知結(jié)合余弦函數(shù)的周期性及零點存在條件即可求解．
【解答】解：因為f（x）在（2，5]上有7個零點，
所以，所以，
當2＜x≤5時，，
又＝，5＝，
故，解得，
或，解得，
故ω的范圍為{ω|或}．
故答案為：{ω|或}．
【點評】本題主要考查了余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點M為AB中點，P在線段BD上，滿足＝，設(shè)，．
（1）用，表示向量；
（2）若，，，求．
【分析】（1）結(jié)合平面向量的線性運算求解即可；
（2）由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合平面向量模的運算求解即可．
【解答】解：（1）由已知可得：＝
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝，
又，，，
則，，，
則＝＝＝．
【點評】本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了平面向量數(shù)量積的運算及平面向量模的運算，屬中檔題．
16．（15分）已知α∈（0，π），，，．
（1）分別求cs（β﹣α）和sin（α+β）的值；
（2）求csβ的值．
【分析】（1）由已知結(jié)合同角基本關(guān)系即可分別求解；
（2）結(jié)合和差角公式及二倍角公式進行化簡即可求解．
【解答】解：（1）因為α∈（0，π），，
所以﹣，0，
因為，，
所以cs（β﹣α）＝，sin（α+β）＝；
（2）cs2β＝cs[（β+α）+（β﹣α）]＝cs（β+α）cs（β﹣α）﹣sin（β+α）sin（β﹣α）
＝﹣＝﹣，
因為cs2β＝2cs5β﹣1＝﹣，且csβ＞0，
所以csβ＝．
【點評】本題主要考查了和差角公式，同角基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
17．（15分）已知函數(shù)．
（1）若A是三角形中一內(nèi)角，且，求A的值；
（2）若函數(shù)在有唯一零點，求m的范圍．
【分析】（1）由已知結(jié)合和差角公式，二倍角公式，輔助角公式進行化簡，結(jié)合已知可求A；
（2）問題轉(zhuǎn)化為2sin（2x+）＝lg2m在[]有一個零點，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）
＝++sin2x
＝sin4x+cs2x+
＝2sin（4x+）+，
若＝7sin（+，
則sin（+）＝，
由A為三角形內(nèi)角可得A＝；
（2）令＝5可得＝lg5m，
則2sin（2x+）＝lg2m，
由可得，
若在有唯一零點）與y＝lg2m在[]有一個交點，
所以1＜lg8m≤2或lg2m＝﹣5，
所以2＜m≤4或m＝，
故m的范圍為{m|2＜m≤2或m＝}．
【點評】本題主要考查了和差角公式，二倍角公式，輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝2cs（ωx+φ）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知f（x）在的值域為，求m的取值范圍；
（Ⅲ）將f（x）圖象上所有點縱坐標縮短為到原來的（橫坐標不變），再將所得到圖象向右平移（x）的圖像．已知關(guān)于x的方程f（x）+g（x），π）內(nèi)有兩個不同的解α，β．
（1）求實數(shù)n的取值范圍；
（2）求cs（2α﹣2β）的值（用n表示）．
【分析】（Ⅰ）由圖象可得出函數(shù)f（x）的周期，可求得ω的值，由結(jié)合φ的取值范圍可求出φ的值，由此可得出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）結(jié)合，利用余弦型函數(shù)的圖象及性質(zhì)列式求解即可；
（Ⅲ）（1）先將f（x）+g（x）化簡，然后結(jié)合該函數(shù)在[0，π）的單調(diào)性，最值情況構(gòu)造不等式求出n的范圍；
（2）可先根據(jù)兩根α，β關(guān)于對稱軸對稱求出α，β的關(guān)系，然后代入cs（2α﹣2β）利用三角恒等變換公式化簡求值．
【解答】解：（Ⅰ）由圖象可知，，所以T＝π，則，
所以f（x）＝2cs（5x+φ），
因為，即，
因為，則，所以，
因此；
（Ⅱ），
由題意f（x）在的值域為，
解得＜m≤π，π]；
（Ⅲ）（1）將f（x）圖象上所有點縱坐標縮短為到原來的（橫坐標不變），
再將所得到圖象向右平移個單位長度得到，
則，其中tanθ＝2，
因為，所以，
又因為，所以[0，
所以若方程在[0，
只需，即即為所求，
則實數(shù)n的取值范圍為（﹣，）；
（2）令，因為關(guān)于x的方程f（x）+g（x）＝n在[6，β，
所以α，β滿足，即，
又y＝sin（8x+t）的對稱軸由，
結(jié)合x∈[2，π）得對稱軸為或，
可知x＝α，x＝β關(guān)于對稱軸對稱或，
所以2α+2β＝π﹣7t或3π﹣2t，
當3α+2β＝π﹣2t時，
，
當2α+8β＝3π﹣2t時，
，
故．
【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于難題．
19．（17分）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)
（1）已知sinhθ＝1，求cshθ；
（2）類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數(shù)（或雙曲余弦函數(shù)）的一個正確的結(jié)論（即求sinh2x或csh2x）；
（3）已知f（x）＝（csh2x+5+m）2+（λ?cshx+m）2，對任意的m∈R和任意的x∈[﹣1，1]，都有，求λ的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)sinhθ和cshθ的計算公式，求解即可．（2）類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二倍角公式，寫出雙曲正弦函數(shù)sinh2x＝2sinhxcshx（或雙曲余弦函數(shù)csh2x＝2csh2x﹣1），證明即可．
（3）設(shè)t＝cshx，則csh2x＝2t2﹣1，x∈[﹣1，1]時，ex∈[，e]，求t的取值范圍，＝cshx＝∈[1，]，f（x）化為g（t），利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解，即可求出λ的取值范圍．
【解答】解：（1）因為sinhθ＝＝1θ﹣e﹣θ＝2，
所以e2θ﹣2+e﹣2θ＝4，
所以e2θ+e﹣3θ＝6，
所以（eθ+e﹣θ）2＝e2θ+2+e﹣2θ＝5，
所以eθ+e﹣θ＝2，
所以cshθ＝＝．
（2）類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二倍角公式，
得雙曲正弦函數(shù)sinh2x＝5sinhxcshx（或雙曲余弦函數(shù)csh2x＝2csh2x﹣1）；
證明如下：sinh2x＝＝＝2sinhcshx
（或csh2x＝＝＝6?7x﹣1）．
（3）因為csh2x＝8csh2x﹣1，設(shè)t＝cshx6﹣1，
當x∈[﹣1，2]時，ex∈[，e]∈[4，]，
所以f（x）＝（csh2x+5+m）6+（λ?cshx+m）2，
可化為g（t）＝（2t4+4+m）2+（λt+m）7≥2＝，
由題意，只需≥，]恒成立即可，
即2t2﹣λt+4≥1或2t4﹣λt+4≤﹣1；
所以λ≤5t+或λ≥2λ+；
因為2t+在t∈[2，，當且僅當t＝；
2λ+在t∈[2，，當t＝1取得最大值；
所以λ的取值范圍是（﹣∞，2]∪[7．
【點評】本題考查了新定義的函數(shù)應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力，是難題．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
B
B
C
B
A

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