浙江省寧波市九校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上
無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
選擇題部分
一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩集合中元素的特征，判斷集合中的任意一個元素都是集合中的元素，從而可得答案.
【詳解】集合中的元素是所有奇數(shù)，
集合中的元素是所有被 4 整除余 1 的數(shù)，
因為任意一個被 4 整除余 1 的數(shù)都是奇數(shù)，
即集合中的任意一個元素都是集合中的元素，所以，，
A 選項錯誤，D 選項正確；
且，C 選項錯誤；
，B 選項錯誤.
故選：D.
2. 已知函數(shù) ，則的零點所在區(qū)間為（）
A. B.
C. D.
第 1頁/共 19頁
【答案】C
【解析】
【分析】利用零點存在性定理判斷各區(qū)間端點處的符號即可得出結(jié)論.
【詳解】易知函數(shù) 在上單調(diào)遞增，
易知，
，
滿足，因此的零點所在區(qū)間為 .
故選：C
3. 函數(shù) 的定義域為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域，利用整體思想，建立不等式，可得答案.
【詳解】因為，所以 .
則函數(shù) 的定義域為
故選：A.
4. 下列命題為真命題的是（）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】通過舉反例可排除 A，B，C；利用作差法可推得 D 正確.
第 2頁/共 19頁
【詳解】對于 A，因，取，則，有，故 A 是假
命題；
對于 B，當(dāng) 時，，故 B 是假命題；
對于 C，取，，滿足，但，故 C 是假命題；
對于 D，由，由，所以，故 D 是真命題.
故選：D.
5. “函數(shù) 在上單調(diào)”的一個充分不必要條件是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出在上單調(diào)時的范圍，結(jié)
合選項找出該范圍的一個充分不必要條件，即得答案.
【詳解】因為函數(shù) 在不可能單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)等價于：
① 在上單調(diào)遞增，② ，
所以，解得，
結(jié)合選項可知是的充分不必要條件，
故選：B.
6. 若不等式對任意的恒成立，則的最小值為（）
A. 3 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
第 3頁/共 19頁
【分析】由不等式恒成立，確定，且，再由基本不等式即可求解．
【詳解】不等式可化為，
當(dāng) 時，不等式為，不滿足對任意的恒成立；
當(dāng) 時，，圖象開口向下，不滿足題意，
所以，且，所以，
所以，且，；
所以，當(dāng)且僅當(dāng) ，即時等號成立，
所以的最小值為 4．
故選：C
7. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng) 時，，則在上的最大值
為（）
A. B. C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù) 得，利用奇函數(shù)定義求出時，，再由單調(diào)性求解
最大值即可.
【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，
則當(dāng) 時，，
若時，則，，
所以，
由和在 R 上單調(diào)遞減，知在上單調(diào)遞減，
故當(dāng) 時，所以 .
故選：B
第 4頁/共 19頁
8. 已知函數(shù) （，），為的零點，為圖象
的對稱軸，且在上單調(diào)，則的最大值為（）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)零點和對稱軸列式求得，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)依次
判斷和，即可得解.
【詳解】由題意知，，所以，又因為，所以
.
當(dāng) 時，，因為，所以，此時，
經(jīng)檢驗，在上不單調(diào)，舍去；
當(dāng) 時，，因為，所以，此時，
經(jīng)檢驗，在上單調(diào)遞減.
故選：C
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目
要求.全部選對的得 6 分，有選錯的得 0 分，部分選對部分得分.
9. 下列命題中正確的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】AC
【解析】
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【分析】在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象，即可判斷 AB；再由同一坐標(biāo)系中和的
圖象，可判斷 CD.
【詳解】在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象，如下圖所示：
顯然對于，圖象在上方，即，，即 A 正確；
當(dāng) 時，圖象在下方，即，因此 B 錯誤；
在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象，如下圖所示：
由圖可知，時的圖象在的下方，即，，可得 C 正確；
當(dāng) 時，的圖象在的上方，所以，即 D 錯誤.
故選：AC
10. 設(shè)函數(shù) ，則（）
A. 是周期函數(shù) B. 的圖象有對稱中心
C. 的圖象關(guān)于直線對稱 D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】ABD
【解析】
【分析】化簡函數(shù)解析式，根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷 A，根據(jù)對稱性的定義判斷 BC，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性
判斷 D.
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【詳解】函數(shù) 的定義域為，
又，
所以，
所以，
所以，
所以，其中，
所以，
所以函數(shù) 為周期函數(shù)，A 正確；
因為，
所以函數(shù) 的圖象關(guān)于點中心對稱，B 正確；
因為，，
即當(dāng) 時不成立，
所以的圖象不關(guān)于直線對稱，C 錯誤；
因為函數(shù) 在上單調(diào)遞減，且時，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，在上單調(diào)遞減，
即區(qū)間上單調(diào)遞減，D 正確；
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故選：ABD.
11. 已知函數(shù) ，若關(guān)于 x 的方程有四個不同的實數(shù)解，
它們從小到大依次記為，，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，探求出函數(shù) 的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，令， ,利用
二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系解決即可.
【詳解】令，則，
當(dāng) 時，，在單調(diào)遞減，，
在單調(diào)遞增，；
當(dāng) 時，，在單調(diào)遞減，，
在單調(diào)遞增，，作出的圖象如下：
若關(guān)于 x 的方程有四個不同的實數(shù)解，結(jié)合圖像可知，在
只有一個解，
記，
①當(dāng) 有兩個零點時，則一個零點為負(fù)數(shù)，另一個零點在，
由題意，有，解得；
第 8頁/共 19頁
②當(dāng) 有且僅有一個零點時，，即或時，需要才行，無解，
所以綜上①②，a 的取值范圍是，故 D 正確.
因為，由得，所以，故 B 正確；
又，根據(jù)韋達(dá)定理可知中，
，，
所以，故 C 錯誤，A 正確.
故選：ABD
【點睛】思路點睛：涉及給定函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形
結(jié)合推理作答.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知扇形的周長為，圓心角為，則扇形的面積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)扇形半徑為，由條件結(jié)合弧長公式求，再由扇形面積公式求結(jié)論.
【詳解】設(shè)扇形半徑為，
則，解得，
所以
故答案為： .
13. 設(shè)矩形（）的周長為，把沿向折疊，折過去后交于
點，則的最大面積是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意設(shè) ，用表示，以及面積，結(jié)合基本不等式即可求得結(jié)果
【詳解】由題意可知，矩形的周長為，
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設(shè) ，則，
設(shè) ，則， ,故，
而為直角三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴
.
當(dāng)且僅當(dāng) ，即時，此時，滿足，
即時，的面積取最大值，最大值為 .
故答案： .
14. 已知，若對于任意的，
恒成立，則 a 的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)偶函數(shù)定義得是偶函數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞
增，從而利用單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù) 和分別求解 a
的范圍，最后求交集即可.
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【詳解】對于函數(shù) ，因為，
所以恒成立，其定義域為 R，
又，
且，
所以為 R 上的偶函數(shù).
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，
所以等價于，即，即 .
當(dāng) 時，恒成立，所以；
當(dāng) 時，恒成立，所以 .
綜上， .
故答案為：
四、解答題：本大題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. （1）計算：；
（2）已知，，求的值..
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)及對數(shù)的運算性質(zhì)化簡計算即可；
（2）解方程求，再利用平方關(guān)系及商的關(guān)系將所求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，代入的值可
得結(jié)論..
【詳解】（1）因為，，
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，，
所以原式；
（2）因為，所以或，
又，所以，
原式 .
16. 已知，
（1）若，求；
（2）若，則求實數(shù) m 的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式化簡，利用集合補集和并集定義計算即可；
（2）由知，利用集合間關(guān)系求的范圍.
【小問 1 詳解】
，
當(dāng) 時，，
，，
.
【小問 2 詳解】
∵ ，∴ .
當(dāng) 時，，；
第 12頁/共 19頁
當(dāng) 時，即，即 .
∴ .
17. 已知函數(shù) （），且 .
（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若將的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2 倍（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù) 的圖象，則求不等式的解集
【答案】（1），， .
（2），
【解析】
【分析】（1）將函數(shù)解析式整理，由根據(jù) 的范圍，求出，得到，結(jié)合
正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，列出不等式求解，即可求出的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)題中條件，得到變換后的函數(shù)解析式，將所求不等式化為，
求解，即可得出結(jié)果.
【小問 1 詳解】
，
因為，
所以，，
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又因為，所以，則，
令，，得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為， .
【小問 2 詳解】
由（1）知，
將的圖象向左平移個單位，可得的圖象，
再將其圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2 倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象，
所以
因為，所以，解得，
所以的解集為， .
18. 已知函數(shù) ，，，；
（1）當(dāng) 時，求函數(shù) 的值域；
（2）當(dāng) 時，恒成立，求的取值范圍；
（3）若存在，使得不等式對任意，恒成立，求的取
值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
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【分析】（1）首先求出的取值范圍，再對勾函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù) 的值域；
（ 2）令，依題意可得在上恒成立，結(jié) 合函數(shù) 的單調(diào) 性求出
，即可得解；
（3）依題意可得對任意，恒成立，即，令
，，分、、、四種情況討論，分別求出的最值，
從而得到不等式，即可求出參數(shù) 的取值范圍.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時，，且在上單調(diào)遞增，
又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為，，，
所以
【小問 2 詳解】
令，因為，所以，
依題意可得在上恒成立，
即在上恒成立，
又函數(shù) 在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng) 時，
所以 .
【小問 3 詳解】
由（1）知，在上的最大值為，
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所以對任意，恒成立，即，
令，，
① ，即時，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以；
② ，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以；
③ ，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以；
④ ，即時，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，所以
綜上可得，的取值范圍為 .
19. 和都是定義在上的函數(shù)，若它們滿足如下性質(zhì)：① 為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；②
（，）；則稱為類正弦函數(shù)，為類余弦函數(shù).
（1）求類正弦函數(shù)和類余弦函數(shù)的解析式；
（2）求證：
（ⅰ）；
（ⅱ）；
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（3）解關(guān)于的不等式：，其中為非零常數(shù).
【答案】（1），
（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析
（3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和得到，聯(lián)立求出答案；
（2）（?。┯桑?）所得解析式，求，即可證明；
（ⅱ）根據(jù)函數(shù) 的解析式求，，由此證明結(jié)論；
（3）令，原不等式可化為，分別在條件，
，，，條件下，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式可得結(jié)論，
【小問 1 詳解】
由性質(zhì)②知，所以，
由性質(zhì)①知，，所以，
解得，
【小問 2 詳解】
（?。┳C明：因為，
，
所以
（ⅱ）證明：因為，
第 17頁/共 19頁
，
所以，
【小問 3 詳解】
由（2）知，原式等價于，
令
則原式等價于，，
當(dāng) 時，
① 時，無解；
② 時，，又，所以，
即，
解得，
所以解集為；
③ 時，，無解；
④ 時，，無解；
⑤ 時，，又，所以，即，
解得，
所以解集為 .
綜上，若，則
第 18頁/共 19頁
當(dāng) 或時，無解；
當(dāng) 時，解集為；
當(dāng) 時，解集為 .
同理可得若時，
當(dāng) 或時，無解；
當(dāng) 時，解集；
當(dāng) 時，解集為 .
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三小問解決的關(guān)鍵在于根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點通過換元將其轉(zhuǎn)化為二次不等
式問題求解.

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