命題：高二備課組 審題：高二備課組
一. 單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知直線l過(guò)點(diǎn)和，則l的傾斜角為（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得其斜率，再根據(jù)傾斜角與斜率之間的關(guān)系可得結(jié)果.
【詳解】易知直線l的斜率為，
設(shè)l的傾斜角為，則，由，可得.
故選：D
2. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 18
【答案】B
【解析】
分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列公比，進(jìn)而求出.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，，而，，則，解得，
所以.
故選：B
3. “”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)方程表示雙曲線求出參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】若方程表示雙曲線，則，解得，
所以由推不出方程表示雙曲線，故充分性不成立，
由方程表示雙曲線推得出，故必要性成立，
所以“”是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件.
故選：B
4. 已知點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓的方程及點(diǎn)在圓外有且，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)，圓，則①，
由點(diǎn)在圓外，則有②，
聯(lián)立①②得：或
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為
故選：C
5. 若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由恒成立，分離常數(shù)，利用基本不等式求得的取值范圍.
【詳解】依題意，即對(duì)任意恒成立，
即恒成立，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），
所以.
故選：D
6. 已知在棱長(zhǎng)為的正四面體中，，則直線和夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用線線角的向量法，即可求解.
【詳解】如圖，設(shè)，易知，，
因?yàn)?，所以，?br>則，
又，得到，
，得到,
設(shè)和的夾角為，則,
故選：C.
7. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且,則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合條件，得到在上單調(diào)遞減，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.
【詳解】令，則，
又，，所以，即在上單調(diào)遞減，
對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)D，，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：B.
8. 如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中.“果圓”與軸的交點(diǎn)分別為，與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)為半橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若存在，則半橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)從而得到向量坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)表示數(shù)量積得到相應(yīng)等量關(guān)系，再由點(diǎn)的變化范圍得到相應(yīng)不等式，進(jìn)而求得取值范圍.
【詳解】
設(shè)，
因?yàn)椋?br>又點(diǎn)為半橢圓上一點(diǎn)，所以，
所以
，
因?yàn)榇嬖冢?br>所以，
即在上有解，
因?yàn)椋?br>且，
所以在上有解，
即在上有解，所以
又因?yàn)椋?
所以，
即，解得，
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是采用設(shè)點(diǎn)法，再代入計(jì)算相關(guān)向量數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為在上有解，從而得到不等式組，解出即可
二. 多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但選不全對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則（ ）
A. 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3B. 橢圓的離心率為
C. 的最大值為5D. 存在點(diǎn)，使得
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)、半焦距，再逐項(xiàng)判斷得解.
【詳解】橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，
對(duì)于A，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，橢圓的離心率為，B正確；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，，以線段為直徑的圓在橢圓內(nèi)，因此不存在點(diǎn)，使得，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 為等比數(shù)列
B. 的通項(xiàng)公式為
C. 為遞增數(shù)列
D. 的前n項(xiàng)和
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項(xiàng)結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)即可判斷B；作差判斷的符號(hào)即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以+3，所以，
又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；
，即，故B正確；
因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以?br>所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；
，
則，故D正確.
故選：ABD.
11. 已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別滿足.甲?乙?丙?丁四名同學(xué)利用《空間向量與立體幾何》這一章的知識(shí)對(duì)其進(jìn)行研究，各自得出一個(gè)結(jié)論：
甲：當(dāng)時(shí)，存在，使得；
乙：當(dāng)時(shí)，存在，，使得；
丙：當(dāng)時(shí)，滿足的的關(guān)系為；
?。寒?dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.
其中得出正確結(jié)論的同學(xué)有（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】ABD
【解析】
【分析】由題意分析可知：點(diǎn)為底面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），建系，設(shè).對(duì)于甲丙?。航Y(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解；對(duì)于乙：取點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，結(jié)合對(duì)稱性分析判斷.
【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br>可得，所以點(diǎn)為底面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），
則，設(shè)，
對(duì)于甲同學(xué)，當(dāng)時(shí)，，則，，
若，則，整理得，
得，則點(diǎn)存在，此時(shí)，所以存在，使得，故選項(xiàng)A正確，
對(duì)于乙同學(xué)，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，
連接，則，

所以，
所以存在點(diǎn)，使得，即存在，使得，故B正確，
對(duì)于丙同學(xué)，當(dāng)時(shí)，，可得，
由，得，即，
所以點(diǎn)的軌跡為中平行于邊的中位線，
當(dāng)為該中位線的中點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)不為該中位線的中點(diǎn)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于丁同學(xué)，當(dāng)時(shí)，，
可得，
由，得0，整理得，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓與正方形相交的圓弧，如圖2所示，
取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，
所以，由圓與正方形的對(duì)稱性知，，
所以，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以選項(xiàng)D正確，

故選：ABD.
【點(diǎn)晴】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在于利用向量的線性運(yùn)算，得，點(diǎn)為底面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界）.
三. 填空題：本題共3小題，每小題5分. 共15分.
12. 拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是________.
【答案】
【解析】
【分析】將轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程形式，即可求解.
【詳解】由，得到，所以，
所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.
故答案為：.
13. 已知,分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得，再結(jié)合條件，即可求解.
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，
所以，又，
所以，
故答案為：.
14. 已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】
【分析】法一：依題可知，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.
【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)
因?yàn)椋苑匠痰膬蓚€(gè)根為，
即方程的兩個(gè)根為，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方
當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方
，圖象顯然不符合題意，所以．
令，則，
設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，
則切線的斜率為，故切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以，解得，又，所以，
綜上所述，的取值范圍為．
[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)
=0的兩個(gè)根為
因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
設(shè)函數(shù)，則，
若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)
且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；
若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿足，，即故，所以.
【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；
法二：通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．
四．解答題：本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知圓C的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切，直線過(guò)點(diǎn)．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與圓C相切，求直線的方程．
（3）若直線被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．
【答案】（1）
（2），或
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離求出半徑，即可得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論直線斜率不存在與存在的情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線，利用點(diǎn)到直線距離等于半徑求出斜率，即可求解；
（3）分類討論直線斜率不存在與存在的情況，利用圓的垂徑定理，列出弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.
【小問(wèn)1詳解】
圓心到直線的距離，
所以圓的半徑為，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，圓心到直線的距離為，不相切．
直線斜率存在，設(shè)直線，
由，得所以切線方程為，或．
【小問(wèn)3詳解】
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，
由，解得：，
故的方程是，即，
綜上所述，直線的方程為或
16. 設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)即可求出；
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．
【小問(wèn)1詳解】
因，
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，
化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>，
兩式相減得，
，
，即，．
17. 如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．
（1）若為線段中點(diǎn)，求證：平面．
（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
取的中點(diǎn)為，接，則，
而，故，故四邊形為平行四邊形，
故，而平面，平面，
所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，故，故?br>故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
則
設(shè)平面法向量為，
則由可得，取，
設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為
18. 已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓所過(guò)的點(diǎn)及四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，從而可求的范圍，注意判別式的要求.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)，故，
因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成四邊形的面積為，故，即，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）
設(shè)，
因?yàn)橹本€的斜率存在，故，
故直線，令，則，同理.
直線，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
故即，
綜上，或.
19. 已知函數(shù)
（1）若，且，求的最小值；
（2）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；
（3）若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出后根據(jù)可求的最小值；
（2）設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，可證關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為也在函數(shù)的圖像上，從而可證對(duì)稱性；
（3）根據(jù)題設(shè)可判斷即，再根據(jù)在上恒成立可求得.
【小問(wèn)1詳解】
時(shí)，，其中，
則，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值為.，
【小問(wèn)2詳解】
的定義域?yàn)椋?br>設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，
關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
因?yàn)樵趫D象上，故，
而，
，
所以也在圖象上，
由的任意性可得圖象為中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個(gè)解，
所以即，
先考慮時(shí)，恒成立.
此時(shí)即為在上恒成立，
設(shè)，則在上恒成立，
設(shè)，
則，
當(dāng)，，
故恒成立，故在上為增函數(shù)，
故即在上恒成立.
當(dāng)時(shí)，，
故恒成立，故在上為增函數(shù)，
故即在上恒成立.
當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，
故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；
綜上，在上恒成立時(shí).
而當(dāng)時(shí)，
而時(shí)，由上述過(guò)程可得在遞增，故的解為，
即的解為.
綜上，.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一個(gè)函數(shù)不等式成立的充分必要條件就是函數(shù)不等式對(duì)應(yīng)的解，而解的端點(diǎn)為函數(shù)對(duì)一個(gè)方程的根或定義域的端點(diǎn)，另外，根據(jù)函數(shù)不等式的解確定參數(shù)范圍時(shí)，可先由恒成立得到參數(shù)的范圍，再根據(jù)得到的參數(shù)的范圍重新考慮不等式的解的情況.

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2022-2023學(xué)年浙江省寧波市北侖中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析
2022-2023學(xué)年浙江省寧波市北侖中學(xué)高二（1班）下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市北侖中學(xué)高二（1班）下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析
2021-2022學(xué)年浙江省寧波市北侖中學(xué)高二下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022學(xué)年浙江省寧波市北侖中學(xué)高二下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題含解析
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