一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的
1. 下列求導正確的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用導數(shù)加法運算法則判斷 A；根據(jù)復合函數(shù)的導數(shù)判斷 B；根據(jù)導數(shù)除法運算法則判斷 C；根據(jù)
導數(shù)乘法運算法則判斷 D.
【詳解】 ，A 不正確；
，B 不正確；
，C 不正確；
，D 正確.
故選：D.
2. 直線 的傾斜角的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題可得直線斜率，即可得直線傾斜角.
【詳解】由題 ，則直線的斜率為 ，
第 1頁/共 25頁
（北京）股份有限公司因斜率角范圍為大于等于 小于 ， ，則傾斜角為 .
故選：A
3. 已知函數(shù) 在 處有極大值，則 的值為（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由題可得 或 ，然后分別驗證可得答案.
【詳解】由題 ，
因函數(shù) 在 處有極大值，則 或 .
若 ， ， ，
，則 在 上遞增，在 上遞減，
此時 在 處有極小值，故 不滿足題意；
若 ， ， ，
，則 在 上遞增，在 上遞減，
此時 在 處有極大值，故 滿足題意.
故選：C
4. 已知 是空間的一個基底，則下列向量中與向量 ， 能構(gòu)成空間基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量基本定理依次判斷各選項中的向量是否與向量 ， 共面即可，不共面的則
可作為平面的一個基底.
【詳解】對于 A，因 ，
第 2頁/共 25頁
（北京）股份有限公司即 與向量 ， 共面，故不能構(gòu)成基底，即 A 錯誤；
對于 B，因 ，
即 與向量 ， 共面，故不能構(gòu)成基底，即 B 錯誤；
對于 C，不妨設 ，
則有 ，方程組無解，即 與向量 ， 不共面，故可構(gòu)成基底，故 C 正確；
對于 D，因 ，
即 與向量 ， 共面，故不能構(gòu)成基底，即 D 錯誤.
故選：C.
5. 已知正項數(shù)列 的前 項積為 ，滿足 ，則 時的 的最小值為（ ）
A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023
【答案】B
【解析】
【分析】先令 求出 ，當 時，利用 和 兩式相除，經(jīng)過適
當?shù)淖冃蔚贸鰯?shù)列 是公差為 的等差數(shù)列，進而求出 ，最后解不等式即可得出答案.
【詳解】由題意 ，當 時，則 ，
當 時， ①可得 ②，① ②得：
，
所以數(shù)列 是公差為 的等差數(shù)列，故 ，
令 ，又 ，所以 的最小值為 .
故選：B
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（北京）股份有限公司6. 已知雙曲線 ： 的左右焦點分別為 ，過點 作垂直于 軸的直線交雙曲線 于
兩點， 的內(nèi)切圓圓心分別為 ，則 的周長是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得到 的內(nèi)切圓與 軸的切點為雙曲線右焦點，并求出 ，由雙曲線定義得到
，利用 的面積得到方程，求出其內(nèi)切圓半徑，并得到 ，再由 的面積得
到方程，求出其內(nèi)切圓半徑，并由勾股定理得到 ，由對稱性得到 ，求出三角形
周長.
【詳解】由題意得 ，解得 ，故 ，
設 的內(nèi)切圓與 軸的切點為 ，
由切線長定理得 ，
由雙曲線定義知， ，
即 ，
設 ，則 ， ，
故 ，故 ，解得 ，
故 為雙曲線 的右頂點，
第 4頁/共 25頁
（北京）股份有限公司中，令 得 ，故 ，
故 ，解得 ，
則 Rt 的面積為 ，
設 的內(nèi)切圓半徑為 ，
則 ，即 ，
解得 ，即 ，
由對稱性可知， 關于 軸對稱，設 與 軸交點為 ，
則 ，故 ，
設 的內(nèi)切圓半徑為 ，
又 ， ，
故 ，
即 ，解得 ，
由對稱性可知， 平分 ，
故 內(nèi)切圓圓心在 軸上，且與 切于點 ，
其中 ，
故 ， ，
由勾股定理得 ，
故 ，則 的周長為 .
故選：C
【點睛】結(jié)論點睛：雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標為 或 .
第 5頁/共 25頁
（北京）股份有限公司7. 在如圖所示的試驗裝置中，正方形框 的邊長為 2，長方形框 的長 ，且它們所
在平面形成的二面角 的大小為 ，活動彈子 分別在對角線 和 上移動，且始終保
持 ，則 的長度最小時 的取值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出點 在線段 上的投影，利用空間向量運算求出 長的函數(shù)關系，進而求出最小值.
【詳解】在正方形 內(nèi)過 作 于 ，則 ， ， ，
在矩形 內(nèi)過 作 于 ，則 ， ， ，
，由二面角 的大小為 ，
得 ，又 ，
因此
，當且僅當 時取等號，
所以當 的長度最小值時， .
故選：A
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（北京）股份有限公司8. 已知 ，方程 有實數(shù)根，則 的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 化 簡 方 程 得 ， 接 著 利 用 柯 西 不 等 式 得
，再利用導數(shù)求出函數(shù) 在 上的 即可得解.
【詳解】由題得 ，
所以 ，
所以由柯西不等式得 ，
所以 ，所以 ，
又 在 上恒成立，
所以 在 上單調(diào)遞增，所以 ，
所以 及 的最小值為 .
故選：B
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（北京）股份有限公司【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是利用柯西不等式得到不等式 .
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題
目要求．全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得 0 分．
9. 已知函數(shù) ，則下列選項中正確的是（ ）
A. 函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增
B. 函數(shù) 在的值域為
C. 函數(shù) 在點 處的切線方程為
D. 關于 的方程 有 2 個不同的根當且僅當
【答案】BC
【解析】
【分析】A 通過判斷 在 上是否恒大于等于 0 可得選項正誤；B 利用導數(shù)求出 在 上
的單調(diào)性，據(jù)此可得值域；C 由導數(shù)知識可得在點 處的切線；D 將問題轉(zhuǎn)化為 圖象與直線
有兩個交點.
【詳解】對于 A， ， ，則 在 上單調(diào)遞減，故 A 錯誤；
對于 B，由 A 分析， ，則 在 上單調(diào)遞增，
則 ，
故函數(shù) 在 上的值域為 ；
對于 C，由題， ，
則點 處的切線方程為 ，故 C 正確；
對于 D，即 圖象與直線 有兩個交點，由上述分析可得 大致圖象如下，
則要使 圖象與直線 有兩個交點， ，故 D 錯誤.
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（北京）股份有限公司故選：BC
10. 已知橢圓 ： （ ）的左、右焦點分別為 ， ，下列命題正確的是（ ）
A. 若橢圓 上存在一點 使 ，則橢圓離心率的取值范圍是
B. 若橢圓 上存在四個點 使得 ，則 的離心率的取值范圍是
C. 若橢圓 上恰有 6 個不同的點 ， 使得 為等腰三角形，則橢圓 的離心率的取值范圍是
D. 若任意以橢圓 的上頂點為圓心的圓與橢圓 至多 3 個公共點，則橢圓 的離心率的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于 A，設 ， ，根據(jù)橢圓的定義和結(jié)合余弦定理得到 ，
利用均值不等式得到 ，即可作出判斷；對于 B，由 得， ，故若
為直徑的圓與橢圓有 4 個交點，則 ，即可求 的取值范圍；對于 C，分等腰三角形 以 為底
或一腰兩種情況討論，在第一種情況下，直接確定點 為橢圓短軸的端點，在第二種情況下，分析可知，
在每個象限內(nèi)均存在點 ，使得 或 ，設點 在第一象限，結(jié)合兩點間的
距離公式可得出關于 、 的不等式，即可求出該橢圓離心率的取值范圍；對于 D， ，先假設圓與
第 9頁/共 25頁
（北京）股份有限公司橢圓的公共點有 個，利用對稱性及已知條件知 軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點 ， ，滿足
，由此求得 ，得到 的取值范圍，進而可得任意以點 為圓心的圓與橢圓至多
有 個公共點時橢圓離心率 的取值范圍．
【詳解】對于 A，設 ， ，則 ， ，
即 ， ，即 ，當且僅當 時等號成立，
故 ，即 ， .故 A 正確；
對于 B，由 得， ，若存在點四個點 使得 ，以 為直徑的圓
與橢圓有 4 個交點，∴ ，即 ，∴ ，即 ，故 B 不正確；
對于 C，（1）當點 與橢圓短軸的頂點重合時， 是以 為底邊的等腰三角形，
此時，有 個滿足條件 等腰 ；
（2）當 構(gòu)成以 為一腰的等腰三角形時，
則 或 ，此時點 在第一或第四象限，
由對稱性可知，在每個象限內(nèi)，都存在一個點 ，使得 是以 為一腰的等腰三角形，
不妨設點 在第一象限，則 ，其中 ，
則 ，
或 ，
由 可得 ，所以， ，解得 ，
由 可得 ，所以， ，解得 ，
綜上所述，該橢圓的離心率的取值范圍是 .
第 10頁/共 25頁
（北京）股份有限公司對于 D，橢圓 上頂點為 ,假設圓與橢圓的公共點有 個，由對稱性可設 軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同
的點 ， ，滿足 ．
記直線 ， 的斜率分別為 ， ，且 ， ， ．
由 得 ，故 ， ．
因此 ，
同理 .
故 ，即
所以
由于 ， ， 得，
因此 ， ①
因為①式關于 ， 的方程有解的充要條件是 ，
所以 ，則 ，
因此，任意以點 為圓心的圓與橢圓至多有 個公共點的充要條件為離心率的取值范圍為
．故 D 正確.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：
第 11頁/共 25頁
（北京）股份有限公司（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得 、 的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率 的值；
（2）齊次式法：由已知條件得出關于 、 的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關于 的方程求解；
（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.
11. 已知定義域為 上的函數(shù) 滿足 ，且 ，記 ，則
下列選項中正確的有（ ）
A.
B. 當 時，
C. 當 時，
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】令 ，可求出 ，再令 ，可得 .對于 A，由裂項求和法可判斷
選項正誤；對于 B，由 可判斷選項正誤；對于 C，通過舉反例可完成判斷；對
于 D，利用 ，結(jié)合裂項相消法可得答案.
【詳解】令 ，則 ，
再令 ，則 ，
即 為以 1 為首項，公差為 1 的等差數(shù)列，則 .
對于 A，因 ，則
，故 A 正確；
第 12頁/共 25頁
（北京）股份有限公司對于 B， 時， ，
因 ，則 ，故 B 正確；
對于 C，當 時， ，
因 ，則 ，故 C 錯誤；
對于 D，由題 ，下證 ，即證 ，
由基本不等式這顯然成立，則 ，對于任意 成立，當且僅當 取等號.
故
，注意到 ，
則 ，故 D 正確.
故選：ABD
【點睛】關鍵點睛：對于函數(shù)與數(shù)列綜合題目，賦值法是有力工具；對于數(shù)列不等式的證明，放縮是常用
手段.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 已知 和 分別是等差數(shù)列 與等比數(shù)列 的前 項和，且 ， ， ，
則 _____．
【答案】9 或 18
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義求得公比，再利用兩數(shù)列各項之間的關系計算可得結(jié)果.
【詳解】設等比數(shù)列 的公比為 ，
由 ， 可得 ，即 ，
解得 或 ；
第 13頁/共 25頁
（北京）股份有限公司當 時，可得 ，又 ，所以 ；
此時 ；
當 時，，可得 ，又 ，所以 ；
此時 ；
綜上可得， 或 18.
故答案為：9 或 18
13. 已知底面重合的兩個正四面體 和 ， 為 的重心，記 ，
則向量 用向量 表示為_____
【答案】
【解析】
【分析】利用空間向量的加減法結(jié)合正三棱錐的幾何特征求解即可.
【詳解】設 H 為 BC 的中點，連接 AD，交平面 OBC 與 I，
由題意得
第 14頁/共 25頁
（北京）股份有限公司故答案 ： .
14. 已知函數(shù) ，對任意 ， 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先可得 ，依題意可得 對任意 恒成立，從而得到 對任
意 恒成立，則 對任意 恒成立，利用導數(shù)求出 ，即可求出參數(shù)的取值
范圍.
【詳解】因為 對任意 恒成立，顯然 ，
所以 對任意 恒成立，
即 對任意 恒成立，
即 對任意 恒成立，
令 ， ，
則 ，所以 在 上單調(diào)遞增，
所以 對任意 恒成立，
又當 時 ，當 時 ， ，
當 時 ， ，顯然滿足 對任意 恒成立，
當 時不等式 對任意 恒成立，
等價于 對任意 恒成立；
綜上可得，即 對任意 恒成立，
即 對任意 恒成立，
第 15頁/共 25頁
（北京）股份有限公司令 ， ，則 ，
所以當 時 ，當 時 ，
所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以 ，
所以 ，則 ，即實數(shù) 的取值范圍是 .
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是同構(gòu)得到 對任意 恒成立，從而得到 對
任意 恒成立.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在平面直角坐標系 中，圓心為 的圓 C 與 y 軸相切，動直線 過點 .
（1）當 時，直線 被圓所截得的弦長為 ，求直線 的方程；
（2）圓 C 上存在點 滿足 ，求實數(shù) 的取值范圍.
【答案】（1） 或 .
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用弦長公式求得圓心 到直線 的距離，然后根據(jù)直線 的斜率存在與不存在分類討論，
利用點到直線距離公式列出關于 k 的方程，求解即可；
（2）設 ，由題意利用數(shù)量積的坐標運算求得 M 的軌跡方程，然后利用兩圓有公共點列不等式求解
即可.
【小問 1 詳解】
當 時，圓心 為 ，圓 的方程 ，
則圓心 到直線 的距離為 .
若直線 的斜率不存在時，則 ，此時直線 與圓 相切，不符合題意；
若直線 的斜率存在，可設直線 的方程為 ，即 .
第 16頁/共 25頁
（北京）股份有限公司則 ，得 ，解得 ，
所以直線 的方程為 或 .
【小問 2 詳解】
記圓 的半徑為 ，因為 ，則 ，
設 ，由 得 ，
化簡得： ，即 ，
所以 的軌跡為圓，記圓心為 ，半徑為 ，
圓 上存在點 滿足 ，即圓 和圓 有公共點，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，因為 ，所以 ，
所以實數(shù) 的取值范圍為 .
16. 已知數(shù)列 的前 項和 滿足 ，令 .
（1）證明：數(shù)列 為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列 的前 項和 .
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 與 的關系式，結(jié)合題意可得 ，從而得證；
（2）利用分組求和法與錯位相減法可得答案.
【小問 1 詳解】
第 17頁/共 25頁
（北京）股份有限公司當 時，
當 時， ，
兩式相減可得： ，
又 ，
則當 時， ，
是等比數(shù)列；
【小問 2 詳解】
由（1）有 是等比數(shù)列，且公比為 2，首項為 ，
，
則 ，
記 ，則 ，
兩式相減得，
，
，
數(shù)列 的前項和為 .
17. 如圖五面體 中，四邊形 是菱形， 是以角 為頂角的等腰直角三角形，點 為棱
的中點，點 為棱 的中點
第 18頁/共 25頁
（北京）股份有限公司（1）求證： 平面
（2）若點 在平面 的射影恰好是棱 的中點，點 是線段 上的一點且滿足 ，求平
面 與平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）取 的中點 ，利用線面平行的判定定理分別證明 平面 與 平面 ，
再結(jié)合面面平行的判定定理證得平面 平面 ，因 平面 ，即可證得 平面 ；
（ 2） 由 已 知 結(jié) 合 投 影 性 質(zhì) 與 等 腰 直 角 三 角 形 性 質(zhì) ， 可 得 直 線 兩 兩 互 相 垂 直 ， 且
，建立空間直角坐標系，求得平面 與平面 的法向量，即可代入公式求解答案.
【小問 1 詳解】
證明：取 的中點 ，連接 ，如圖所示，
是 的中點，點 為棱 的中點，
，
而 平面 ， 平面 ，
平面 ,
菱形 ， ， ，
第 19頁/共 25頁
（北京）股份有限公司又 分別是 的中點，
四邊形 是平行四邊形
，而 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 ， 平面 ,
平面 平面 ，而 平面 ，
平面 .
【小問 2 詳解】
因為點 在平面 的射影恰好是棱 的中點，所以取 的中點 ，
連接 ，則 平面 ，因為 是以角 為頂角的等腰直角三角形，所以 .
故以 點為坐標原點， 分別為 軸建立空間直角坐標系 ，如圖所示.
根據(jù) ，可得 ，不妨設 ，
則 ，
，所以 ，
，
,
平面 的法向量為 ，
設平面 法向量為 ，
第 20頁/共 25頁
（北京）股份有限公司， ,
設平面 與平面 所成角 ，則
則 ，
所以平面 與平面 所成角的余弦值為 .
18. 已知 是拋物線 的焦點，過焦點的最短弦長為 ．
（1）求拋物線 的方程；
（2）過動點 作拋物線 的兩條切線，切點為 ， ，直線 與拋物線交于
（ 在第一象限）．
①求證：點 在定直線上；
②記 的面積分別為 ，當 時，求點 的坐標．
【答案】（1）
（2）①證明見解析；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件可得 ，即可求解；
（2）①設 ，利用導數(shù)的幾何意義，求得兩切線方程為 ，
，進而可得到直線 的方程為 ，再結(jié)合條件，即可求解；②利用①中結(jié)果，
可得直線 ，直線 ，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理得到 ， 間的關
系，再結(jié)合條件 ，得到 ，再聯(lián)立方程，即可求解.
【小問 1 詳解】
第 21頁/共 25頁
（北京）股份有限公司由題知拋物線中過焦點最短的弦長為通徑，即 ，得到 ，
故拋物線 的標準方程為 .
【小問 2 詳解】
①設 ，由 ，得到 ，所以 ，
得到 ，即 ，同理， ，
又點 在線上，所以 ，故直線 的方程為 ，即 ，
因為 ，所以 ，又 ，所以 ，得到 ，
所以點 在定直線 上.
② ，由①有直線 ，過點 ，直線 ，
聯(lián)立 ，消 得到 ，所以 ，
又由 ，消 得到 ，所以 ，
又因為 ，
因為 在第一象限，所以 ，
第 22頁/共 25頁
（北京）股份有限公司又 ，且 ， ，得到 ，兩式相乘可得
，
又 ，所以 ，得到 ，
所以 ，即 ，
由 ，解得 或 ，
當 時， ，當 時， ，
又 ，所以 ，得到 .
【點睛】關鍵點點晴，本題的關鍵在于第（2）問中的①：利用導數(shù)的幾何意義，求出過點的切線方程；②
根據(jù)條件得到 ，再聯(lián)立直線 與拋物線方程及聯(lián)立 與拋物線方程，
用方程思想求解即可.
19. 對定義在數(shù)集 上的可導函數(shù) ，若數(shù)列 滿足 ，其中 為 的導
函數(shù)，則稱 為 在 上的“牛頓列”．
（1）若 為 的“牛頓列”， ，求 的通項公式；
（2）若 為 的“牛頓列”，其中 ， ，求證： ，
；
（3）若 為 的“牛頓列”，求證： 且 ， ，其中 為
的唯一零點．
【答案】（1）
第 23頁/共 25頁
（北京）股份有限公司（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可知 為等差數(shù)列，公差為 ，即可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意可得 ，利用反證法可知對 ， ，可得 ，利
用累積法分析證明；
（3）根據(jù)題意可得 ，根據(jù)零點可知 ，且 ，根據(jù)正弦函數(shù)有
界性以及三角恒等變換分析證明.
【小問 1 詳解】
由題意可知： ，
則 ，可知 等差數(shù)列，公差為 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
由題意可知： ，
則 ，可知 ， 同號，
且 ，所以 ， ，
又因為 ，則 ．
假設存在 ， ，則 ，
這與 矛盾，可知對 ， ，
可得 ，
所以 .
第 24頁/共 25頁
（北京）股份有限公司【小問 3 詳解】
由題意可知： ，
則 ，且 在 上單調(diào)遞增，
且 ， ，則 在 上有唯一零點 ，且 ，
則
，
因為 ，
可得 ，
又因為 ，
所以 ．
【點睛】方法點睛：對于新定義問題，根據(jù)“牛頓數(shù)列”的定義，可得 與 關系，根據(jù)遞推關系研究數(shù)
列的性質(zhì)，進而分析問題.
第 25頁/共 25頁

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2022-2023學年浙江省寧波市九校高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題含解析
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2022-2023學年浙江省寧波市九校高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

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