性質(zhì)：?外接圓的圓心性質(zhì)?：三角形的外接圓的圓心是三角形任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)被稱為外心。
?銳角三角形?：銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部。
?直角三角形?：直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)上。
?鈍角三角形?：鈍角三角形的外心在三角形外部。
1．（2024春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若平行于x軸的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，與拋物線的對(duì)稱軸交于H點(diǎn)，若點(diǎn)H到x軸的距離是線段MN的，求線段MN的長(zhǎng)；
（3）拋物線的頂點(diǎn)為D，過(guò)定點(diǎn)Q的直線y＝kx﹣k+3與二次函數(shù)交于E、F，△DEF外接圓的圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，求該拋物線的解析式．
2．（2024?興化市二模）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，連接AC，BC，若點(diǎn)M在拋物線上，且M的橫坐標(biāo)為，連接CM，∠ACB與∠BCM相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)N是線段AB上任意一點(diǎn)（N不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)N作NE⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)E，連接AE，作△ABE的外接圓⊙P，延長(zhǎng)EN交⊙P于點(diǎn)F．試說(shuō)明點(diǎn)F在某條定直線上．
3．（2024春?龍華區(qū)月考）已知：二次函數(shù)．
（1）求證：不論k為何實(shí)數(shù)時(shí)，此二次函數(shù)與x軸總有交點(diǎn)；
（2）設(shè)k＜0，當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B間的距離為4時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為C，過(guò)y軸上一點(diǎn)M（0，m）作y軸的垂線l，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)？
4．（2023?翠屏區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝ax2（a＞0）的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），OA＝1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，△ABD的面積為5．
（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)Q是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OQ，F(xiàn)Q，設(shè)△OQF外接圓的圓心為M，當(dāng)sin∠OQF最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（直接寫(xiě)答案）．
5．（2023秋?宿豫區(qū)校級(jí)期中）定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸所有交點(diǎn)的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓．
（1）已知點(diǎn)P（2，2），以P為圓心，為半徑作圓，請(qǐng)判斷⊙P是不是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標(biāo)圓，并說(shuō)明理由；
（2）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點(diǎn)為A，交y軸于點(diǎn)C，則該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓的圓心為P在 上；
（3）求△POA周長(zhǎng)最小值．
6．（2023秋?雨花區(qū)期末）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），點(diǎn)E為二次函數(shù)第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，EH⊥x軸于點(diǎn)H，交直線BC于點(diǎn)F，以EF為直徑的圓⊙M與BC交于點(diǎn)R．
（1）求b，c的值；
（2）當(dāng)△EFR周長(zhǎng)最大時(shí)，求此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)及△EFR周長(zhǎng)；
（3）連接CE、BE，當(dāng)△ERC∽△BRE時(shí)，求出E點(diǎn)坐標(biāo)．
7．（2024?沂源縣二模）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A在B的左側(cè)，OA：OB＝1：3；與y軸的正半軸交于點(diǎn)C；與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象交于A、D兩點(diǎn)，連接BD，tan∠ADB＝．
（1）求b的值；
（2）求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（3）在拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以P為圓心的圓與直線AD和x軸都相切．若存在，求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
8．（2023秋?中山市期中）如圖，y關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M，圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)D．以AB為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C，定點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，0），連接ED．（m＞0）
（1）求用m表示的A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，點(diǎn)M在直線ED上？判定此時(shí)直線ED與圓的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)m變化時(shí)，用m表示△AED的面積．
9．（2023秋?阜寧縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2）和點(diǎn)D（4，﹣2），點(diǎn)E是直線y＝﹣x+2的圖象與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME，求四邊形COEM面積的最大值；
（3）如圖②，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
10．（2024?龍湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣6x+8的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線l是對(duì)稱軸．點(diǎn)P在函數(shù)圖象上，其橫坐標(biāo)大于4，連接PA，PB，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M，以點(diǎn)M為圓心，作半徑為r的圓，PT與⊙M相切，切點(diǎn)為T(mén)．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）若以⊙M的切線長(zhǎng)PT為邊長(zhǎng)的正方形的面積與△PAB的面積相等，且⊙M不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2），求PM長(zhǎng)的取值范圍．
11．（2024?市中區(qū)校級(jí)模擬）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，﹣3）與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求b，c的值；
（2）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)該二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓．問(wèn)：在該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，以點(diǎn)Q為圓心，為半徑作⊙Q，使⊙Q是二次函數(shù)的坐標(biāo)圓？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖所示，點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MP∥y軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)P，以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出的值．

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