A．c＝﹣2
B．
C．當(dāng)x＝t時(shí)，y1+y2＝﹣2t
D．不論x取何值，y1+y2＝0
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝a（x+m）2+n＝ax2+2am+am2+n，它的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y＝﹣a（x﹣m）2﹣n＝﹣ax2+2am﹣am2﹣n，
∴如果二次函數(shù)y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y2＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）是互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴y1+y2＝（b1+b2）x，
∴如果二次函數(shù)與（b、c是常數(shù)）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則，
解得b＝﹣，c＝2，
∴y1+y2＝（b﹣c）x＝﹣x，
∴當(dāng)x＝t時(shí)，y1+y2＝﹣2t，
故A、B、D錯(cuò)誤，不合題意，C正確符合題意．
故選：C．
2．（2023秋?潁東區(qū)期中）定義：[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征數(shù)．下面給出特征數(shù)為[1，m﹣2，2m+1]的二次函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸；②當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)圖象過原點(diǎn)；③當(dāng)m＜0且x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小；④當(dāng)m＝2時(shí)，若A（﹣1，y1），B（3，y2），則y1＜y2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由特征數(shù)的定義可知：特征數(shù)為[1，m﹣2，2m+1]的二次函數(shù)的解析式為y＝x2+（m﹣2）x+2m+1，
①當(dāng)m＝2時(shí)，二次函數(shù)解析式為y＝x2+5，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸，故①正確；
②當(dāng)m＝2時(shí)，二次函數(shù)解析式為y＝x2+5，開口向上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，5），函數(shù)圖象不過原點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)m＜0且x＜1時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y＝x2+（m﹣2）x+2m+1，對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1﹣＞1，函數(shù)圖象開口向上，x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，故③正確；
④當(dāng)m＝2時(shí)，二次函數(shù)解析式為y＝x2+5，y軸為對(duì)稱軸，A（﹣1，y1），B（3，y2），距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，所以y1＜y2，故④正確；
正確的有：①③④三個(gè)．
故選：C．
3．（2023秋?南崗區(qū)期中）定義：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個(gè)函數(shù)為“和諧”函數(shù)；如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）滿足a﹣b+c＝0，那么我們稱這個(gè)函數(shù)為“美好”函數(shù)；如果一個(gè)二次函數(shù)既是“和諧”函數(shù)又是“美好”函數(shù)，則此二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為 2 ．
【解答】解：根據(jù)題意二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（﹣1，0），
所以二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為1﹣（﹣1）＝2．
故答案為：2．
4．（2024秋?信陽期中）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)y＝ax2+（a﹣b）x﹣b叫作一次函數(shù)y＝ax﹣b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax﹣b叫作二次函數(shù)y＝ax2+（a﹣b）x﹣b的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且a≠0）．若一次函數(shù)y＝ax﹣b的“滋生函數(shù)”是y＝ax2﹣4x+a+2，則二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+a+2的“本源函數(shù)”是 y＝﹣3x﹣1 ．
【解答】解：∵y＝ax﹣b的“滋生函數(shù)”是y＝ax2﹣4x+a+2，
∴y＝ax2﹣4x+a+2＝ax2+（a﹣b）x﹣b，即，
解得，
∴y＝ax2﹣4x+a+2的“本源函數(shù)”是y＝﹣3x﹣1，
故答案為：y＝﹣3x﹣1．
5．（2024秋?大連月考）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，我們稱這個(gè)點(diǎn)為“友好點(diǎn)”，例如A（a，2a）就是“友好點(diǎn)”；若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為“友好點(diǎn)”，則我們稱這個(gè)二次函數(shù)為“友好二次函數(shù)”，例如二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函數(shù)”．
（1）直線y＝4x﹣1上的“友好點(diǎn)”坐標(biāo)為 ；
（2）若“友好二次函數(shù)”y＝﹣x2+bx+c的圖象與y軸的交點(diǎn)是“友好點(diǎn)”，求這個(gè)“友好二次函數(shù)”的表達(dá)式；
（3）若“友好二次函數(shù)”的圖象過點(diǎn)（﹣2，8），且頂點(diǎn)在第一象限．
①當(dāng)m﹣1≤x≤m時(shí)，這個(gè)“友好二次函數(shù)”的最小值為6，求m的值；
②已知點(diǎn)M（5，4），N（1，n），當(dāng)線段MN與這個(gè)“友好二次函數(shù)”的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出n的取值范圍．
【解答】解：（1）設(shè)直線y＝4x﹣1上的“友好點(diǎn)”的坐標(biāo)為（b，2b），
∴2b＝4b﹣1，
解得：，
∴，
∴直線y＝4x﹣1上的“友好點(diǎn)”坐標(biāo)為，
故答案為：；
（2）∵函數(shù)y＝﹣x2+bx+c是“友好二次函數(shù)”，設(shè)它的頂點(diǎn)為（h，2h），
∴y＝﹣（x﹣h）2+2h，
由題意知，“友好二次函數(shù)”y＝﹣x2+bx+c的圖象與y軸的交點(diǎn)是“友好點(diǎn)”，
∴與y軸交點(diǎn)為（0，0），
將（0，0）代入y＝﹣（x﹣h）2+2h得：
0＝﹣h2+2h，
解得：h1＝0，h2＝2，
當(dāng)h＝0時(shí)，y＝﹣x2；
當(dāng)h＝2時(shí)，y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，
∴這個(gè)“友好二次函數(shù)”的表達(dá)式為y＝﹣x2或y＝﹣x2+4x；
（3）“友好二次函數(shù)”的圖象過點(diǎn)（﹣2，8），且頂點(diǎn)在第一象限．設(shè)“友好二次函數(shù)”的解析式為，
∴，
解得h1＝2，h2＝﹣14，
∵這個(gè)“友好二次函數(shù)”的圖象頂點(diǎn)在第一象限，
∴h＞0，
∴h＝2，
∴．
①∵“友好二次函數(shù)”，，圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），
當(dāng)m≤2時(shí)，m﹣1≤x≤m在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝m時(shí)，函數(shù)有最小值6，
∴，
解得：，，
∵m≤2，
∴，
當(dāng)，即2＜m≤3時(shí)，函數(shù)的最小值為4，
∴不存在最小值為6；
當(dāng)m﹣1＞2，即m＞3時(shí)，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝m﹣1時(shí)，函數(shù)有最小值6，
∴，
解得：，，
∵m＞3，
∴，
綜上所述，m的值為或；
②．已知點(diǎn)M（5，4），N（1，n），線段MN與這個(gè)“友好二次函數(shù)”的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖，
∵N（1，n），
∴點(diǎn)N在直線x＝1上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)直線x＝1與“友好二次函數(shù)”交于點(diǎn)C，
當(dāng)x＝1時(shí)，，
∴，
設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為A，
∴A（2，4），
∵M(jìn)（5，4），
∴當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4）時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B、A、M共線且與二次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)C上方時(shí)，線段MN與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)B時(shí)，線段MN與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)線段MN與這個(gè)“友好二次函數(shù)”的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，n的取值范圍為或n＝4．
6．（2024?錦江區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中給出以下定義：點(diǎn)A（m，n），點(diǎn)B（m2，n2），m2＝3m，n2＝﹣6n，則我們稱B是A的“跳躍點(diǎn)”，若二次函數(shù)y＝ax2﹣5ax﹣6a（x≥0）的圖象上恰有兩個(gè)點(diǎn)的“跳躍點(diǎn)“在直線y＝﹣2x+36上，則a的取值范圍為 0＜a≤1且a≠ ．
【解答】解：設(shè)二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)為點(diǎn)C、D，
由題意得點(diǎn)C（m，n）的“跳躍點(diǎn)”為（3m，﹣6n），
將（3m，﹣6n）代入y＝﹣2x+36，得：n＝m﹣6，
∴C（m，m﹣6），則點(diǎn)C在直線y＝x﹣6上，同理點(diǎn)D也在直線y＝x﹣6上，
對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2﹣5ax﹣6a（x＞0），
令y＝0，則ax2﹣5ax﹣6a＝0，
解得：x＝﹣1或x＝6，
∴拋物線與x軸交于（﹣1，0）和（6，0），
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線與直線CD的大致圖象如圖：
聯(lián)立直線CD和拋物線的表達(dá)式得到：
ax2﹣5ax﹣6a＝x﹣6，
∴a（x﹣6）（x+1）＝x﹣6，
∴（x﹣6）[a（x+1）﹣1]＝0，
解得：x＝6或x＝，
∵a＞0，x≥0，
∴1﹣a≥0，
∴a≤1，
對(duì)于ax2﹣5ax﹣6a＝x﹣6，化簡(jiǎn)為：ax2﹣（5a+1）x+6﹣6a＝0，
而直線CD和拋物線在x≥0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，故△＞0，
∴Δ＝（5a+1）2﹣4a（6﹣6a）＝49a2﹣14a+1＝（7a﹣1）2＞0，
∴a≠，
∴0＜a≤1且a≠，
當(dāng)a＜0時(shí)，如圖：
直線CD不可能與拋物線在x≥0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，故舍，
綜上：0＜a≤1且a≠．
7．（2023?鹽城）定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，并且都在坐標(biāo)軸上，則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)．
【初步理解】
（1）現(xiàn)有以下兩個(gè)函數(shù)：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， ① 為函數(shù)y＝x﹣1的軸點(diǎn)函數(shù)．（填序號(hào)）
【嘗試應(yīng)用】
（2）函數(shù)y＝x+c（c為常數(shù)，c＞0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，其軸點(diǎn)函數(shù)y＝ax2+bx+c 與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．若OB＝OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如圖，函數(shù)y＝x+t（t為常數(shù)，t＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于M，C兩點(diǎn)，在x軸的正半軸上取一點(diǎn)N，使得ON＝OC．以線段MN的長(zhǎng)度為長(zhǎng)、線段MO的長(zhǎng)度為寬，在x軸的上方作矩形MNDE．若函數(shù)y＝x+t（t為常數(shù)，t＞0）的軸點(diǎn)函數(shù)y＝mx2+nx+t的頂點(diǎn)P在矩形MNDE的邊上，求n的值．
【解答】解：（1）∵函數(shù)y＝x﹣1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），
函數(shù)y＝x2﹣1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），
函數(shù)y＝x2﹣x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），
∴函數(shù)y＝x2﹣1為函數(shù)y＝x﹣1的軸點(diǎn)函數(shù)，函數(shù)y＝x2﹣x不是函數(shù)y＝x﹣1的軸點(diǎn)函數(shù)，
故答案為：①；
（2）令y＝0，得x+c＝0，
解得：x＝﹣c，
∴A（﹣c，0），
令x＝0，得y＝c，
∴函數(shù)y＝x+c（c為常數(shù)，c＞0）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，c），
∵其軸點(diǎn)函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，且c＞0，
∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1，
∴y＝ax2+（ac+1）x+c，
設(shè)B（x′，0），
則x′（﹣c）＝，
∴x′＝﹣，
∴B（﹣，0），
∴OB＝||，OA＝c，
∵OB＝OA，
∴||＝c，
∴ac＝±4，
∴b＝5或﹣3；
（3）由題意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），
∵四邊形MNDE是矩形，ME＝OM＝2t，
∴D（t，2t），E（﹣2t，2t），
當(dāng)m＞0時(shí)，軸點(diǎn)函數(shù)y＝mx2+nx+t的頂點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，即P（﹣2t，0），如圖，
∴，
∴n2﹣n＝0，且n≠0，
∴n＝1；
當(dāng)m＜0時(shí)，軸點(diǎn)函數(shù)y＝mx2+nx+t的頂點(diǎn)P在DE邊上，即P（x，2t），如圖，
∴，
消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，
解得：n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1，
∵函數(shù)y＝mx2+nx+t的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，
∴n與m同號(hào)，即n＜0，
∴n＝﹣﹣1；
當(dāng)m＜0時(shí)，軸點(diǎn)函數(shù)y＝mx2+nx+t的頂點(diǎn)P在DN邊上，即P（t，s），如圖，
∴，
∴n＝，
綜上所述，n的值為1或﹣﹣1或．
8．（2024?鹽城一模）我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)與，則稱函數(shù)y1與函數(shù)y2互為“共贏”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問題：
（1）若關(guān)于x的二次函數(shù)與互為“共贏”函數(shù)，則k＝ ﹣1 ；m＝ 2 ；n＝ ﹣3 ．
（2）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)r、s，點(diǎn)P（r，t）與點(diǎn)Q（s，t）（r≠s）始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，函數(shù)y2與y1互為“共贏”函數(shù)．
①求函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱軸；
②函數(shù)y2的圖象與直線交于A、B兩點(diǎn)，且AB長(zhǎng)為，求y2的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)與它的“共贏”函數(shù)y2的圖象頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B．若函數(shù)y1，y2的圖象交于不同兩點(diǎn)C，D，且四邊形ACBD為菱形，∠CAD＝60°，請(qǐng)求出該菱形面積的取值范圍．
【解答】解：（1） 與為“共贏”函數(shù)，
∴a＝﹣3＝n，b＝k＝﹣1，c＝2＝m，
故答案為：﹣1，2，﹣3；
（2）①∵點(diǎn)P（r，t）與點(diǎn)Q（s，t）始終在關(guān)于x的函數(shù) 的圖象上運(yùn)動(dòng)，
∴對(duì)稱軸為，
∴s＝﹣3r，
∴，
∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝；
②聯(lián)立得：
，
∴xA+xB＝﹣，xA?xB＝＝﹣．
∵，
∴|xA﹣xB|＝1，
∴＝1，
∴＝1．
∴，
即：（5r+1）（r﹣1）＝0，
解得：r＝1或r＝﹣，
將它們分別代入中得： 1或 ．
（3）解：∵，，
∴，．
同理：，．
聯(lián)立， 得：
（a﹣c）x2+2bx+c﹣a＝0，
∴．
∵四邊形ACBD是菱形，
∴xC+xD＝xA+xB，
∴，
∴（a+c）2＝0，
∴c＝﹣a，
∴xA＝xB，
即：AB∥y軸，
設(shè)a＞0，
∵∠CAD＝60°，
∴，
∴，
將a＝﹣c代入（a﹣c）x2+2bx+c﹣a＝0得：
ax2+bx﹣a＝0，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：（b2+4a2）（b2+4a2﹣12）＝0，
∵b2+4a2≠0，
∴b2+4a2﹣12＝0，
即：b2+4a2＝12，
∴，，
∴S＝AB?CD?，
∵b2+4a2＝12，
∴0＜a2≤3，
∴．
∴．
該菱形面積的取值范圍為：．
9．（2023?長(zhǎng)沙）我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝a1x2+b1x+c1與y2＝a2x2+b2x+c2同時(shí)滿足+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，則稱函數(shù)y1與函數(shù)y2互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問題：
（1）若關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝2x2+kx+3與y2＝mx2+x+n互為“美美與共”函數(shù)，求k，m，n的值；
（2）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)r，s，點(diǎn)P（r，t）與點(diǎn)Q（s，t）（r≠s）始終在關(guān)于x的函數(shù)y1＝x2+2rx+s的圖象上運(yùn)動(dòng)，函數(shù)y2與y1互為“美美與共”函數(shù)．
①求函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱軸；
②函數(shù)y2的圖象是否經(jīng)過某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過某兩個(gè)定點(diǎn)，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由；
（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c與它的“美美與共”函數(shù)y2的圖象頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，點(diǎn)B，函數(shù)y1的圖象與x軸交于不同兩點(diǎn)C，D，函數(shù)y2的圖象與x軸交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)CD＝EF時(shí)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）由題意可知，a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，
∴m＝3，n＝2，k＝﹣1．
答：k的值為﹣1，m的值為3，n的值為2．
（2）①∵點(diǎn)P（r，t）與點(diǎn)Q（s，t）（r≠s）始終在關(guān)于x的函數(shù)y1＝x2+2rx+s的圖象上運(yùn)動(dòng)，
∴對(duì)稱軸為x＝，
∴s＝﹣3r，
∴，
∴對(duì)稱軸為x＝．
答：函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱軸為x＝﹣．
②，
令3x2+2x＝0，
解得，
∴過定點(diǎn)（0，1），（）．
答：函數(shù)y2的圖象過定點(diǎn)（0，1），（）．
（3）由題意可知，，
∴，
∴CD＝，EF＝，
∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0，
∴|a|＝|c|．
1°若a＝﹣c，則，
要使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，
則△CAD，△CBD為等腰直角三角形，
∴CD＝2|yA|，
∴，
∴，
∴b2+4a2＝4，
∴，
∵b2＝4﹣4a2＞0，
∴0＜a2＜1，
∴S正＞2，
2°若a＝c，則A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成正方形，
綜上，當(dāng)a＝﹣c時(shí)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，此時(shí)S＞2．
10．（2024?張店區(qū)二模）我們定義：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與y＝﹣ax2+bx﹣c（a≠0）關(guān)于原點(diǎn)O互為“伴隨函數(shù)”．
（1）請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象上，請(qǐng)證明點(diǎn)P′（﹣m，﹣n）在該二次函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)圖象上．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與y＝﹣ax2+bx﹣c（a≠0）關(guān)于原點(diǎn)O互為“伴隨函數(shù)”．
∴二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3關(guān)于原點(diǎn)O互為“伴隨函數(shù)”為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象上，
∴n＝m2﹣2m﹣3，
該二次函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)為y＝﹣x2﹣2x+3，
當(dāng)x＝﹣m時(shí)，y＝﹣（﹣m）2﹣2（﹣m）+3＝﹣m2+2m+3＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣n，
∴點(diǎn)P′（﹣m，﹣n）在該二次函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)圖象上；
11．（2024?鐵東區(qū)二模）定義：若二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象交于兩點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)間的線段為此二次函數(shù)與一次函數(shù)的“頂點(diǎn)截線段”．
在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師展示圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝﹣x+4交于P，A兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且點(diǎn)P是拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)C，點(diǎn)D不重合），直線y＝﹣x+4分別與x軸，y軸交于D，C兩點(diǎn)．老師要求同學(xué)們探究此情境下頂點(diǎn)截線段的長(zhǎng)是否存在規(guī)律？
【形成猜想】
智慧小組同學(xué)分別畫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，2，3時(shí)的圖象，并量出相應(yīng)的“頂點(diǎn)截線段”長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)它們的長(zhǎng)度相等，進(jìn)而形成猜想“頂點(diǎn)截線段”PA的長(zhǎng)是定值．
【進(jìn)行驗(yàn)證】
智慧小組同學(xué)通過計(jì)算求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，2，3時(shí)“頂點(diǎn)截線段”PA的值，驗(yàn)證了他們的猜想．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，請(qǐng)你求出拋物線的解析式（化為一般式）及“頂點(diǎn)截線段”PA的長(zhǎng)度．
【推理證明】
（2）智慧小組同學(xué)得到的猜想：二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c與一次函數(shù)y＝﹣x+4的“頂點(diǎn)截線段”PA的長(zhǎng)度為定值，是否正確？請(qǐng)你判斷，并說明理由．
【拓展延伸】
老師在同學(xué)們分析、探究后，提出下面問題：
（3）點(diǎn)Q為射線CD上一點(diǎn)（點(diǎn)Q與點(diǎn)C，點(diǎn)D不重合），且點(diǎn)Q為二次函數(shù)L1：y＝a1x2+b1x+c1與二次函數(shù)L2：y＝a2x2+b2x+c2的頂點(diǎn)，二次函數(shù)L1和L2與一次函數(shù)y＝﹣x+4的“頂點(diǎn)截線段”分別為線段QC，線段QD，二次函數(shù)L2的圖象與x軸另一交點(diǎn)為點(diǎn)E，若a2＝3a1，求△CDE的面積．
【解答】解：（1）由題意得，點(diǎn)P（2，2.5），
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣2）2+2.5＝﹣x2+4x﹣1.5，
聯(lián)立上式和y＝﹣x+4得：﹣x+4＝﹣x2+4x﹣1.5，
解得：x＝2或，
則|xA﹣xP|＝，
由直線AP的表達(dá)式知，tan∠CDO＝，則cs∠COD＝，
設(shè)AP和水平線的夾角為α，則csα＝，
則AP＝＝×＝；
（2）為定值，理由：
設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t+4），
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣t）2﹣t+4，
聯(lián)立上式和y＝﹣x+4得：﹣x+4＝﹣（x﹣t）2﹣t+4，
整理得：4x2﹣（8t+3）x+4t2+3t＝0，
則x1+x2＝，x1x2＝，
則（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝，
即|xP﹣xA|＝，
由（1）知，AP＝為定值；
（3）由題意畫圖如下：
設(shè)a2＝3a1＝a，點(diǎn)Q（t，﹣t+4），
則L1的表達(dá)式為：y＝a（x﹣t）2﹣t+4，
將點(diǎn)C（0，4）代入上式得：4＝a（0﹣t）2﹣t+4，
則at2＝t，
∵t≠0，則at＝；
則L2的表達(dá)式為：y＝3a（x﹣t）2﹣t+4，
將點(diǎn)D（，0）代入上式得：
0＝3a（﹣t）2﹣t+4，
則3a（﹣t）2﹣t+4＝0，
則3at2+a﹣32at﹣t+4＝0，
將at＝代入上式得：
t+﹣20＝0，
即9t﹣512×﹣120＝0，
即9t﹣﹣120＝0，
即3t2﹣40t+128＝0，
解得：t＝8（負(fù)值已舍去），
則xQ﹣xD＝8﹣＝，則DE＝，
則△CDE的面積＝DE×CO＝4×＝．
12．（2023秋?嘉興期中）定義：二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的兩個(gè)二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同軸二次函數(shù)為y＝﹣x2﹣2x﹣5．
（1）函數(shù)y＝﹣3x2+3x+1的對(duì)稱軸為 x＝ ，其友好同軸二次函數(shù)為 y＝4x2﹣4x+1 ，兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系是 和為1 ；
（2）已知二次函數(shù)C1y＝ax2+4ax+4（其中a≠0且a≠1且a≠），其友好同軸二次函數(shù)記為C2．
①若函數(shù)C1的圖象與函數(shù)C2的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)），求線段AB的長(zhǎng)；
②當(dāng)﹣3≤x≤0時(shí)，函數(shù)C2的最大值與最小值的差為8，求a的值．
【解答】解：（1）由函數(shù)y＝﹣3x2+3x+1的對(duì)稱軸為直線x＝＝﹣，
根據(jù)定義：其友好同軸二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為1﹣（﹣3）＝4，
∵對(duì)稱軸為直線x＝＝，
∴一次項(xiàng)系數(shù)為：，常數(shù)項(xiàng)為：1
∴其友好同軸二次函數(shù)為：y＝4x2﹣4x+1，
則二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，
故答案為：4x2﹣4x+1；二次項(xiàng)系數(shù)之和為1；
（2）①∵C1y＝ax2+4ax+4（其中a≠0且a≠1且a≠），
∴其友好同軸二次函數(shù)C2為y＝（1﹣a）x2+4（1﹣a）x+4，
∵函數(shù)C1的圖象與函數(shù)C2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，
∴ax2+4ax+4＝（1﹣a）x2+4（1﹣a）x+4，
即（2a﹣1）x2+4（2a﹣1）x＝0，
∴x2+4x＝0，
解得：x＝0或x＝﹣4，
則y＝4或y＝4，
則A（﹣4，4），B（0，4），
∴AB＝4；
②由①知：C2：y＝（1﹣a）x2+4（1﹣a）x+4，
則對(duì)稱軸為：x＝﹣2，
∵﹣3≤x≤0，
當(dāng)1﹣a＞0時(shí)，即a＜1，
∴開口向上，則x＝﹣2時(shí)，C2：y取最小值為4a，
∴x＝0時(shí)，C2：y取最大值為4，
∵函數(shù)C2最大值與最小值的差為8，
∴4﹣4a＝8，
解得：a＝﹣1，
當(dāng)1﹣a＜0時(shí)，即 a＞1，
∴開口向下，則x＝﹣2時(shí)，C2：y取最大值為4a，
∵﹣3≤x≤0，
當(dāng)x＝0時(shí)，C2：y取最小值為4，
∵函數(shù)C2最大值與最小值的差為8，
∴4a﹣4＝8，
解得：a＝3．
綜上所述：a＝﹣1或3．
13．（2020秋?景德鎮(zhèn)期末）定義：若二次函數(shù)y＝a1（x﹣h）2+k的圖象記為C1，其頂點(diǎn)為A（h，k），二次函數(shù)y＝a2（x﹣k）2+h的圖象記為C2，其頂點(diǎn)為B（k，h），我們稱這樣的兩個(gè)二次函數(shù)互為“反頂二次函數(shù)”．
分類一：若二次函數(shù)C1：y＝a1（x﹣h）2+k經(jīng)過C2的頂點(diǎn)B，且C2：y＝a2（x﹣k）2+h經(jīng)過C1的頂點(diǎn)A，我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數(shù)”．
（1）所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是 假 命題．（填“真”或“假”）
（2）試求出y＝x2﹣4x+5的“反頂伴侶二次函數(shù)”．
（3）若二次函數(shù)C1與C2互為“反頂伴侶二次函數(shù)”，試探究a1與a2的關(guān)系，并說明理由．
分類二：若二次函數(shù)C1：y＝a1（x﹣h）2+k可以繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)C2：y＝a2（x﹣k）2+h，我們就稱它們互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”．
①任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”是 真 命題．（填“真”或“假”）
②互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”的對(duì)稱中心點(diǎn)M有什么特點(diǎn)？
③如圖，C1，C2互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”，點(diǎn)E，F(xiàn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)Q，G，且EF∥GQ∥x軸，當(dāng)四邊形EFQG為矩形時(shí)，試探究二次函數(shù)C1，C2的頂點(diǎn)有什么關(guān)系．并說明理由．
【解答】解：分類一：
（1）不是所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”，如y＝（x﹣3）2+8的頂點(diǎn)（3，8）不在y＝﹣（x﹣8）2+3的圖象上，y＝（x﹣3）2+8沒有“反頂伴侶二次函數(shù)”，
故答案為：假；
（2）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴y＝x2﹣4x+5的“反頂伴侶二次函數(shù)”為y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1；
即y＝x2﹣4x+5的“反頂伴侶二次函數(shù)”為y＝﹣x2+2x+1；
（3）∵二次函數(shù)C1：y＝a1（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)A（h，k）在y＝a2（x﹣k）2+h的圖象上，
∴k＝a2（h﹣k）2+h，即k﹣h＝a2（h﹣k）2，
∵二次函數(shù)C2：y＝a2（x﹣k）2+h的頂點(diǎn)B（k，h）在y＝a1（x﹣h）2+k的圖象上，
∴h＝a1（k﹣h）2+k，即k﹣h＝﹣a1（k﹣h）2，
∴a2（h﹣k）2＝﹣a1（k﹣h）2，
若k≠h，即則二次函數(shù)C1與C2的頂點(diǎn)不重合時(shí)，a2＝﹣a1，
∴y＝a1（x﹣h）2+k與y＝a2（x﹣k）2+h互為“反頂伴侶二次函數(shù)”，a1與a2的關(guān)系是a2＝﹣a1；
分類二：
①任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”，
故答案為：真；
②∵二次函數(shù)C1：y＝a1（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)為A（h，k），二次函數(shù)y＝a2（x﹣k）2+h的頂點(diǎn)為B（k，h），而對(duì)稱中心點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，
∴M的坐標(biāo)為（，），即M的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，
∴對(duì)稱中心點(diǎn)M在直線y＝x上；
③如圖：
∵EF∥GQ∥x軸，
∴E，F(xiàn)關(guān)于二次函數(shù)C1：y＝a1（x﹣h）2+k的對(duì)稱軸直線x＝h對(duì)稱，G，Q關(guān)于二次函數(shù)C2：y＝a1（x﹣k）2+h的對(duì)稱軸直線x＝k對(duì)稱，
設(shè)E（x1，m），F(xiàn)（x2，m），由E，F(xiàn)關(guān)于直線x＝h對(duì)稱得x1+x2＝2h，
∵四邊形EFQG為矩形，
∴E，G的橫坐標(biāo)相同，F(xiàn)，Q的橫坐標(biāo)相同，
設(shè)G（x1，n），Q（x2，n），由G，Q關(guān)于直線x＝k對(duì)稱有x1+x2＝2k，
∴2h＝2k，
∴h＝k，
∵二次函數(shù)C1：y＝a1（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)為（h，k），二次函數(shù)C2：y＝a1（x﹣k）2+h的頂點(diǎn)為（k，h），
∴二次函數(shù)C1：y＝a1（x﹣h）2+k與二次函數(shù)C2：y＝a1（x﹣k）2+h的頂點(diǎn)重合．
14．（2021秋?山西月考）閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題．
小聰在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：
定義：若二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
求函數(shù)y＝2x2﹣3x+1的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．小聰是這樣思考的．由函數(shù)y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個(gè)函數(shù)的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．
請(qǐng)思考小聰?shù)姆椒ń鉀Q下面問題：
（1）寫出函數(shù)y＝x2﹣4x+3的旋轉(zhuǎn)函數(shù)；
（2）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，試證明：經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
【解答】（1）解：由函數(shù)y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）證明：化簡(jiǎn)y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，
令x＝0，則y＝﹣6，
令y＝0，則2x2+4x﹣6＝0，
解得x1＝﹣3，x1＝1，
∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
設(shè)經(jīng)過A1、B1、C1三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+c，
則，
解得，
∴經(jīng)過A1、B1、C1三點(diǎn)的函數(shù)解析式為y＝﹣2x2+4x+6，
∵2+（﹣2）＝0，4＝4，﹣6+6＝0，
∴y＝﹣2x2+4x+6與原函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）是旋轉(zhuǎn)函數(shù)．
15．（2024秋?昆山市期中）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“2倍點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（2，4）是函數(shù)y＝x+2的圖象的“2倍點(diǎn)”．
（1）一次函數(shù)y＝3x+1的圖象的“2倍點(diǎn)”的坐標(biāo)是 （1，3） ，二次函數(shù)y＝x2﹣3的圖象的“2倍點(diǎn)”的坐標(biāo)是 （2，6）或（﹣1，﹣2） ；
（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+3x+2﹣c（c為常數(shù)）的圖象在上存在兩個(gè)“2倍點(diǎn)”，求c的取值范圍；
（3）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y＝x2+m的圖象上有且只有一個(gè)“2倍點(diǎn)”為點(diǎn)A，關(guān)于x的函數(shù)y＝x2﹣2nx﹣x+4n+2（n為常數(shù)且n＞1）的圖象上有兩個(gè)“2倍點(diǎn)”分別為點(diǎn)B，點(diǎn)C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），且BC＝3AB，求m，n的值．
【解答】解：（1）由新定義知，“2倍點(diǎn)”在函數(shù)y＝2x上，
聯(lián)立上式和y＝3x+1得：3x+1＝2x，則x＝﹣1，
故“2倍點(diǎn)”的坐標(biāo)是（﹣1，2）；
同理可得：x2﹣3＝2x，則x＝3或﹣1，
即“2倍點(diǎn)”的坐標(biāo)是（3，6）或（﹣1，﹣2），
故答案為：（﹣1，2）；（3，6）或（﹣1，﹣2）；
（2）聯(lián)立二次函數(shù)的表達(dá)式和y＝2x得：x2+3x+2﹣c＝2x，
則Δ＝1﹣4（2﹣c）＞0，
解得：c＞；
（3）聯(lián)立y＝2x和y＝x2+m得：x2+m＝2x，
則Δ＝4﹣4m＝0，則m＝1，
則點(diǎn)A（1，2）；
聯(lián)立y＝2x和y＝x2﹣2nx﹣x+4n+2得：2x＝x2﹣2nx﹣x+4n+2，
則x＝2或2n+1，
∵n＞1，點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，
即點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（2，0）、（2n﹣1），
由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)得：BC＝2n﹣1，AB＝，
由BC＝3AB得：2n﹣1＝3，
解得：n＝，
即m＝1，n＝．
16．（2024秋?長(zhǎng)沙期中）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)“縱橫值”給出如下定義：點(diǎn)A（x，y）是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為點(diǎn)A的“縱橫值”．函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的“縱橫值”中的最大值稱為函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”．例如：點(diǎn)A（1，3）在函數(shù)y＝2x+1圖象上，點(diǎn)A的“縱橫值”為3﹣1＝2，函數(shù)y＝2x+1圖象上所有點(diǎn)的“縱橫值”可以表示為y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，當(dāng)3≤x≤6時(shí)，x+1的最大值為6+1＝7，所以函數(shù)y＝2x+1（3≤x≤6）的“最優(yōu)縱橫值”為7．
根據(jù)定義，解答下列問題：
（1）①點(diǎn)B（﹣5，1）的“縱橫值”為 6 ；
②函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”為 ﹣1 ；
（2）若二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c圖象的頂點(diǎn)在直線上，且“最優(yōu)縱橫值”為3，求c的值；
（3）若二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2+k圖象的頂點(diǎn)在直線y＝x+9上，當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”為7，求h的值．
【解答】解：（1）①點(diǎn)B（﹣5，1）的“縱橫值”為1﹣（﹣5）＝6，
故答案為：6；
②∵y＝+x，
∴y﹣x＝，
∵﹣3≤x≤﹣1，
∴x＝﹣3時(shí)，y﹣x的最大值是﹣1，
∴函數(shù)y＝+x（﹣3≤x≤﹣1），的“最優(yōu)縱橫值”為﹣1；
故答案為：﹣1；
（2）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線x＝上，
∴﹣＝，
∴b＝5，
∴y＝﹣x2+5x+c，
∴y﹣x＝﹣x2+5x+c﹣x＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c，
∵最優(yōu)縱橫值為3，
∴4+c＝3，
∴c＝﹣1；
（3）∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)在直線y＝x+9上，
∴k＝h+9，
∴y＝﹣（x﹣h）2+h+9，
∴y﹣x＝﹣（x﹣h）2+h+9﹣x＝﹣（x﹣h+）2+，
∵當(dāng)﹣1?x?4時(shí)，二次函數(shù)的最優(yōu)縱橫值為7，
當(dāng)h﹣≥4，即h≥時(shí)，則x＝4時(shí)，有最大值為7，
∴﹣（4﹣h+）2+＝7，
解得h＝6或h＝3（舍去），
當(dāng)h﹣≤﹣1，即h≤﹣時(shí)，則x＝﹣1時(shí)，有最大值為7，
∴﹣（﹣1﹣h+）2+＝7，
解得h＝﹣2或h＝1（舍去）．
故h的值為﹣2或6．
17．（2024秋?思明區(qū)校級(jí)月考）【定義與性質(zhì)】
如圖，記二次函數(shù)y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的圖象分別為拋物線C和C1．定義：若拋物線C1的頂點(diǎn)Q（p，q）在拋物線C上，則稱C1是C的伴隨拋物線．
性質(zhì)：①一條拋物線有無數(shù)條伴隨拋物線；
②若C1是C的伴隨拋物線，則C也是C1的伴隨拋物線，即C的頂點(diǎn)P（b，c）在C1上．
【理解與運(yùn)用】
（1）若二次函數(shù)和的圖象都是拋物線的伴隨拋物線，則m＝ 2 ，n＝ ±1 ．
【思考與探究】
（2）設(shè)函數(shù)y＝x2﹣2kx+4k+5的圖象為拋物線C2．
①若函數(shù)y＝﹣x2+dx+e的圖象為拋物線C0，且C2始終是C0的伴隨拋物線，求d，e的值；
②若拋物線C2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），請(qǐng)直接寫出x1的取值范圍．
【解答】解：（1）二次函數(shù)和的圖象都是拋物線的伴隨拋物線，
∴點(diǎn)在的伴隨拋物線上，
代入得：，，
解得：m＝2，n＝±1，
故答案為：2；±1；
（2）①y＝x2﹣2kx+4k+5＝x2﹣2kx+k2﹣k2+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（k，﹣k2+4k+5），
∵函數(shù)y＝﹣x2+dx+e的圖象為拋物線C0，且C2始終是C0的伴隨拋物線，
∴﹣k2+4k+5＝﹣k2+dk+e，
整理得：4k+5＝dk+e，
∴d＝4，e＝5；
②∵C2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（x1，0），（x2，0），
由①得：函數(shù)y＝﹣x2+4x+5的圖象為拋物線C0，且C2始終是C0的伴隨拋物線，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9圖象上滑動(dòng)，
頂點(diǎn)為（2，9），
當(dāng)﹣x2+4x+5＝0時(shí)，
解得：x＝﹣1或x＝5，
拋物線與x軸交（﹣1，0）（5，0）兩個(gè)點(diǎn)，
當(dāng)頂點(diǎn)在（﹣1，0）下方時(shí)，拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，x1＜﹣1，
∵若C1是C的伴隨拋物線，則C也是C1的伴隨拋物線，即C的頂點(diǎn)P（b，c）在C1上．
∴（2，9）在 C2上，
當(dāng)頂點(diǎn)在（5，0）下方時(shí)，2＜x1＜5；
綜上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1．
18．（2024秋?獻(xiàn)縣月考）定義：如果二次函數(shù)（a1≠0，a1＝2，b1，c1為常數(shù)）與（a2≠0，a2，b2，c2為常數(shù)）滿足a1+a2＝0，且過相同的兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)函數(shù)l1，l2稱為“可對(duì)稱函數(shù)”．
二次函數(shù)與它的“可對(duì)稱函數(shù)”l2均過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求l2的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)二次函數(shù)l1，l2的頂點(diǎn)分別為D，E，在（1）的條件下．
①如圖1，將拋物線l2向右平移，當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線l1上時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為G，連接DG，求DG的長(zhǎng)度；
②如圖2，連接AD，過點(diǎn)E作EF∥AD交圖象l1于點(diǎn)F，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【解答】（1）二次函數(shù)與它的“可對(duì)稱函數(shù)”l2均過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），將點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得：
，
解得，
∴，
設(shè)，將點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：
，
解得，
∴；
（2）①y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
當(dāng)y＝4時(shí)，x2﹣2x﹣3＝4，
解得，（不合題意，舍去），
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），
過點(diǎn)G作GH∥y軸，DH∥x軸，GH與DH交于點(diǎn)H，如圖1，
∴∠DHG＝90°，GH＝4﹣（﹣4）＝8，，
在Rt△DHG中，；
②設(shè)直線AD的解析式為y＝cx+d，將點(diǎn)A，點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：
，
解得，
∴直線AD的解析式為y＝﹣2x﹣2，
∵EF∥AD，
∴直線EF的解析式為y＝﹣2x+k，把（1，4）代入得﹣2+k＝4，
解得：k＝6，
∴直線EF的解析式為y＝﹣2x+6，
聯(lián)立，
解得或，
∴F（3，0）或（﹣3，12）．
19．（2024秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）新定義：如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），那么稱此二次函數(shù)的圖象為“定點(diǎn)拋物線”．
（1）試判斷二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣3x+6的圖象是否為“定點(diǎn)拋物線”；
（2）若定點(diǎn)拋物線y＝x2+（m+1）x+2﹣k與直線y＝x只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值；
（3）若一次函數(shù)y＝（2﹣n）x+4﹣2n的圖象與定點(diǎn)拋物線y＝﹣x2﹣x+2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1和x2，且x1＜3＜x2，求n的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意，∵當(dāng)x＝﹣2時(shí)，對(duì)于二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣3x+6，
∴y＝﹣3×4+6+6＝0．
∴該二次函數(shù)過（﹣2，0）．
∴二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣3x+6的圖象是“定點(diǎn)拋物線”．
（2）由題意，∵定點(diǎn)拋物線y＝x2+（m+1）x+2﹣k與直線y＝x只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴可得方程x＝x2+（m+1）x+2﹣k，即x2+mx+2﹣k＝0滿足Δ＝m2﹣4（2﹣k）＝0．
又y＝x2+（m+1）x+2﹣k為定點(diǎn)拋物線，
∴4﹣2（m+1）+2﹣k＝0，則k＝4﹣2m．
∴m2﹣4（﹣2+2m）＝0．
∴m＝4±2．
（3）令﹣x2﹣x+2＝（2﹣n）x+4﹣2n，
則（x+2）（x﹣1）＝（n﹣2）（x+2），
∴（x+2）（x﹣1﹣n+2）＝（x+2）（x﹣n+1）＝0．
∴交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2和n﹣1．
∵x1＜3＜x2，
∴n﹣1＞3．
∴n＞4．
20．（2024秋?諸暨市校級(jí)月考）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的﹣2倍的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“逆倍點(diǎn)”．
（1）若點(diǎn)M（a，﹣2a）是二次函數(shù)y＝x2+2x的圖象上的“逆倍點(diǎn)”，則a＝ 0或﹣4 ．
（2）若點(diǎn)P（p，2）是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上唯一的“逆倍點(diǎn)”，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象過點(diǎn)（0，2），且圖象上存在兩個(gè)不同的“逆倍點(diǎn)”A（x1，﹣2x1），B（x2，﹣2x2），且滿足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果z＝b2+4b+1，請(qǐng)求出z的取值范圍．
【解答】解：（1）將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：﹣2a＝a2+2a，
解得：a＝0或﹣4，
故答案為：0或﹣4；
（2）點(diǎn)P（p，﹣2）是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上唯一的“逆倍點(diǎn)”，
即拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣2x的唯一交點(diǎn)為P（﹣1，2），
∴方程x2+bx+c＝﹣2x的根為：x1＝x2＝﹣1，
即方程x2+（b+2）x+c＝0可寫為（x+1）2＝0，
∴x2+（b+2）x+c＝x2+2x+1．
∴b＝0，c＝1，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+1；
（3）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象過點(diǎn)（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵圖象上存在兩個(gè)不同的“逆倍點(diǎn)”A（x1，﹣2x1），B（x2，﹣2x2），
∴﹣2x1＝+bx1+2，﹣2x2＝+bx2+2，
∴+（b+2）x1+2＝0，+（b+2）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b+2）x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣，x1?x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣）2﹣4×＝4，
∴b2+4b+4﹣8a＝4a2，
∴z＝b2+4b+1＝4（a+1）2﹣7，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝﹣2或x2﹣x1＝2，
∵﹣1＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3，
∴﹣3＜x1?x2＜3，
∴﹣3＜＜3，
∵a＞0，
∴a＞，
∴4（a+1）2﹣7＜4×（+1）2﹣7＝，
∴z＞．
21．（2024秋?番禺區(qū)校級(jí)月考）我們定義：把y2＝ax叫做函數(shù)y＝ax2的伴隨函數(shù)．比如：y2＝x就是y＝x2的伴隨函數(shù)．?dāng)?shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)函數(shù)的一種重要方法，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2（a≠0的常數(shù)），若點(diǎn)（m，n）在函數(shù)y＝ax2的圖象上，則點(diǎn)（﹣m，n）也在其圖象上，即從數(shù)的角度可以知道它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．解答下列問題：
（1）y2＝x的圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱；
（2）①直接寫出函數(shù)y＝4x2的伴隨函數(shù)的表達(dá)式 y2＝4x ；
②在如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝4x2的伴隨函數(shù)的大致圖象；
（3）若直線y＝kx﹣3k（k≠0）與y＝4x2的伴隨函數(shù)圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），連接OA、OB，且△ABO的面積為12，求k的值；
【解答】解：（1）∵點(diǎn)（m，n）和點(diǎn)（m，﹣n）都在y2＝x的圖象上，
∴y2＝x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，
故答案為：x；
（2）①由伴隨函數(shù)的定義可得：函數(shù)y＝4x2的伴隨函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)2＝4x；
②在y2＝4x中，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0；
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝±2，
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝±4，
描點(diǎn)連線繪制函數(shù)圖象如下：
故答案為：y2＝4x；
（3）由，消去x得到ky2﹣4y﹣12k＝0，
∴，y1?y2＝﹣12，
∴，
在y＝kx﹣3k中，令y＝0，則kx﹣3k＝0，
解得x＝3，
∴C（3，0），
∴，即，
解得：k＝±1．
22．（2023秋?洪澤區(qū)校級(jí)期中）小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：
定義：如果二次函數(shù)（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求y＝﹣x2+3x﹣2函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
小明是這樣思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函數(shù)可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2，b2，c2，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
請(qǐng)參考小明的方法解決下面的問題：
（1）寫出函數(shù)y＝﹣x2+3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
（2）若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+n）2023的值；
（3）已知函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1．試證明經(jīng)過點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
【解答】（1）解：∵a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，
∴﹣1+a2＝0，b2＝3，﹣2+c2＝0，
∴a2＝1，b2＝3，c2＝2，
∴函數(shù)y＝﹣x2+3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y＝x2+3x+2；
（2）解：根據(jù)題意得，﹣3+n＝0，解得m＝﹣4，n＝3，
∴（m+n）2023＝（﹣4+3）2023＝﹣1；
（3）證明：當(dāng)x＝0時(shí)，，則C（0，﹣2），
當(dāng)y＝0時(shí)，，
解得x1＝1，x2＝﹣4，
則A（1，0），B（﹣4，0），
∵點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（4，0），C1（0，2），
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為y＝a2（x+1）（x﹣4），
把C1（0，2）代入得a2?1?（﹣4）＝2，
解得，
∴經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為，
而，
∴，，c1+c2＝﹣2+2＝0，
∴經(jīng)過點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
23．（2023秋?天寧區(qū)校級(jí)月考）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)圖象上到一條坐標(biāo)軸的距離等于a（a≥0），到另一條坐標(biāo)軸的距離不大于a的點(diǎn)叫做該函數(shù)圖象的“a級(jí)方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（2，3）為雙曲線的“3級(jí)方點(diǎn)”，點(diǎn)為直線的“級(jí)方點(diǎn)”．
（1）下列函數(shù)中，其圖象的“1級(jí)方點(diǎn)”恰有兩個(gè)的是 ①③ （只填序號(hào)）；
①y＝x；
②；
③．
（2）已知y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，
①當(dāng)a＝2時(shí)，該函數(shù)圖象的“2級(jí)方點(diǎn)”的坐標(biāo)是 （2，1）或（0，2）或（﹣1，﹣2） ；
②當(dāng)該函數(shù)圖象的“a級(jí)方點(diǎn)”恰有三個(gè)時(shí)，求a的值．
【解答】解：（1）函數(shù)圖象的“1級(jí)方點(diǎn)”是指函數(shù)圖象上落在以原點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為2且一邊平行于x軸的正方形上的點(diǎn)，
①直線y＝x與正方形有兩個(gè)交點(diǎn)（1，1）和（﹣1，﹣1）；
②反比例函數(shù)與正方形沒有交點(diǎn)；
③拋物線與正方形有兩個(gè)交點(diǎn)和．
故答案為：①③；
（2）①把a(bǔ)＝2代入y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2得：
y＝﹣（x﹣1）2+3（2﹣1）2﹣3（2﹣1）+2＝﹣（x﹣1）2+2，
∵函數(shù)圖象的“2級(jí)方點(diǎn)”是指函數(shù)圖象上落在以原點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為4且一邊平行于x軸的正方形上的點(diǎn)，
∴把x＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：y＝1，
把x＝﹣2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：y＝﹣7，
把y＝2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：2＝﹣（x﹣1）2+2，
解得：x＝0，
把y＝﹣2代入y＝﹣（x﹣1）2+2得：﹣2＝﹣（x﹣1）2+2，
解得：x＝3或x＝﹣1，
∴當(dāng)a＝2時(shí)，該函數(shù)圖象的“2級(jí)方點(diǎn)”的坐標(biāo)是（2，1）或（0，2）或（﹣1，﹣2）．
②∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣a+1）2+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2，
∴拋物線的開口向下，頂點(diǎn)為[a﹣1，3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2]，
當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在y＝a時(shí)，拋物線恰有三個(gè)“a級(jí)方點(diǎn)”，如圖，

則3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，
解得；
②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（a，a）時(shí)，拋物線恰有三個(gè)“a級(jí)方點(diǎn)”，
則﹣1+3（a﹣1）2﹣3（a﹣1）+2＝a，
解得（不合題意，舍去），
∴a的值為2，，．
24．（2023秋?鯉城區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)恰好是橫坐標(biāo)的倍，那么我們就把這個(gè)點(diǎn)定義為“萌點(diǎn)”．
（1）若一次函數(shù)y＝kx+2k﹣1的圖象上有一個(gè)“萌點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是﹣3，求k值；
（2）若二次函數(shù)的圖象上沒有“萌點(diǎn)”，求k的取值范圍．
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+2k﹣1的圖象上有一個(gè)“萌點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是﹣3，
∴該“萌點(diǎn)”坐標(biāo)為，
∴，
解得：；
（2）設(shè)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，
∴，
即，
根據(jù)題意可知，點(diǎn)不是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，
∴一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解，
∴，
解得：．
25．（2023秋?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）定義：將函數(shù)C的圖象繞點(diǎn)P（0，n）旋轉(zhuǎn)180°，得到新的函數(shù)C1的圖象，我們稱函數(shù)C1是函數(shù)C關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．例如：當(dāng)n＝1時(shí)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P（0，1）的相關(guān)函數(shù)為．
（1）當(dāng)n＝0時(shí)，
①二次函數(shù)y＝x2關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為 y＝﹣x2 ；
②點(diǎn)A（2，3）在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值；
（2）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)是，則n＝ ﹣ ；
（3）當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣2x2+4nx﹣n2的相關(guān)函數(shù)的最小值為﹣1，求n的值．
【解答】解：（1）①n＝0時(shí)，點(diǎn)P（0，0），則相關(guān)函數(shù)為：y＝﹣x2，
故答案為：y＝﹣x2；
②二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+a的頂點(diǎn)為：（1，0），
∴新函數(shù)的頂點(diǎn)為（﹣1，0），
則新函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣a（x+1）2，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：；
（2）兩個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)分別為：、（0，，
由中點(diǎn)公式得：，
解得：；
故答案為：﹣；
（3）函數(shù)y＝﹣2x2+4nx﹣n2＝﹣2（x﹣n）2+n2，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n2），
則相關(guān)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣n，2n﹣n2），
則相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式為y＝2（x+n）2+2n﹣n2，
①當(dāng)﹣n＜﹣1，即n＞1時(shí)，
函數(shù)在x＝﹣1時(shí)，取得最小值，
即2（﹣1+n）2+2n﹣n2＝﹣1，
無解，故舍去；
②當(dāng)﹣1≤﹣n≤2，即﹣2≤n≤1時(shí)，
函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值，即2n﹣n2＝﹣1，
解得（舍）或，
③當(dāng)﹣n＞2，即n＜﹣2時(shí)，
函數(shù)在x＝2時(shí)，取得最小值，
即2（2+n）2+2n﹣n2＝﹣1，
解得n＝﹣1（舍）或﹣9；
綜上，或﹣9．
26．（2023秋?石峰區(qū)月考）定義：已知y是x的函數(shù)，若函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)P（a，a+2），則稱點(diǎn)P為函數(shù)圖象上的“沉毅點(diǎn)”．例如：直線y＝3x﹣2上存在的“沉毅點(diǎn)”是P（2，4）．
（1）判斷直線y＝﹣x+4上是否有“沉毅點(diǎn)”？若有，直接寫出其坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由；
（2）若拋物線y＝x2+3x+2﹣k上存在兩個(gè)“沉毅點(diǎn)”A（x1，y1）和B（x2，y2）且|x1﹣x2|＝2，求k的值；
（3）若二次函數(shù)的圖象上存在唯一的“沉毅點(diǎn)”，且當(dāng)﹣2≤m≤3時(shí)，n的最小值為t+4，求t的值．
【解答】解：（1）有，理由如下：
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：a+2＝﹣a+4，
解得：a＝1，
即直線y＝﹣x+4上有“沉毅點(diǎn)”，是（1，3）；
（2）由題意得方程x2+3x+2﹣k＝x+2有兩個(gè)根，即方程x2+2x﹣k＝0有兩個(gè)根，
∴Δ＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∴，
∴，，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴，
∴，
∴，
∴4（k+1）＝4，
解得：k＝0；
（3）∵二次函數(shù)的圖象上存在唯一的“沉毅點(diǎn)”，
∴二次方程有兩個(gè)相同的根，
變形為，
∴，
∴n＝（m﹣t）2﹣t+2，
該函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線m＝t，
①當(dāng)對(duì)稱軸是直線m＝t≥3時(shí)，函數(shù)在m＝3時(shí)，取得最小值t+4，
即：n＝（3﹣t）2﹣t+2＝t+4，
解得：t1＝7，t2＝1（舍去）；
②當(dāng)對(duì)稱軸是m＝t≤﹣2時(shí)，函數(shù)在m＝﹣2時(shí)，取得最小值t+4，
即：n＝（﹣2﹣t）2﹣t+2＝t+4，
∴（t+1）2＝﹣1，此方程無解；
③當(dāng)對(duì)稱軸是﹣2＜m＝t＜3時(shí)，函數(shù)在m＝t時(shí)，取得最小值t+4，
即：n＝（t﹣t）2﹣t+2＝t+4，
解得：t＝﹣1．
綜上所述，t的值為7或﹣1．
27．（2022?荔城區(qū)校級(jí)開學(xué)）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“等值點(diǎn)”．
（1）若二次函數(shù)y＝x2+bx+2的圖象上存在唯一的“等值點(diǎn)”，求b的值；
（2）若將函數(shù)y＝﹣x2+2的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，翻折后的部分與圖象其余部分組成新的圖象，求該圖象上的所有“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；
（3）若將函數(shù)y＝﹣x2+2的圖象在直線y＝m下方的部分沿直線y＝m翻折，翻折后的部分與圖象的其余部分組成新的圖象，當(dāng)該圖象上恰好有三個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，請(qǐng)直接寫出的m值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：方程x＝x2+bx+2只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
整理得：x2+（b﹣1）x+2＝0，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4×2＝0，
解得：；
（2）對(duì)于y＝﹣x2+2，
當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣x2+2，
∴，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
∴翻折后的函數(shù)解析式為或或，
當(dāng)x＝x2﹣2時(shí)，解得：x1＝2，x2＝﹣1（舍去），
當(dāng)x＝﹣x2+2時(shí)，解得：x1＝1，x2＝﹣2（舍去），
∴該圖象上的所有“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)為（2，2），（1，1）；
（3）該圖象上恰好有三個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，即可理解為翻折后的部分與圖象的其余部分組成新的圖象與直線y＝x有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x＝﹣x2+2時(shí)，解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴函數(shù)y＝﹣x2+2的圖象上的“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），（1，1），
如圖，當(dāng)m＝﹣2時(shí)，該圖象與直線y＝x有三個(gè)交點(diǎn)，即該圖象上恰好有三個(gè)“等值點(diǎn)”
∴m＝﹣2符合題意，
如圖，當(dāng)m＜﹣2時(shí)，該圖象與直線y＝x有四個(gè)交點(diǎn)，即該圖象上恰好有四個(gè)“等值點(diǎn)”
∴m＜﹣2不符合題意，
如圖，當(dāng)m＞﹣2時(shí)，該圖象與直線y＝x的交點(diǎn)少于三個(gè)，即該圖象上的“等值點(diǎn)”少于三個(gè)，
∴m＞﹣2不符合題意，
綜上所述，當(dāng)該圖象上恰好有三個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，m＝﹣2．
28．（2024?岳麓區(qū)校級(jí)三模）若定義縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)平方的差為常數(shù)的點(diǎn)為“晨點(diǎn)”．
（1）當(dāng)這個(gè)常數(shù)為1時(shí)，下列函數(shù)存在“晨點(diǎn)”的請(qǐng)劃“√”，不存在的請(qǐng)劃“×”．
①y＝x﹣3（ × ）；
②（ √ ）；
③y＝﹣x2（ × ）．
（2）若二次函數(shù)y＝﹣x2+4ax+a有且只有一個(gè)“晨點(diǎn)”，且點(diǎn)（2，5）關(guān)于該二次函數(shù)的“晨點(diǎn)”的對(duì)稱點(diǎn)恰好也是“晨點(diǎn)”，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）已知A（a，0），B（b，0），其中a＜0＜b，“晨點(diǎn)”C在y軸上，直線AC和直線BC上的另一個(gè)“晨點(diǎn)”分別為D，E，若四邊形ABDE能組成平行四邊形，且有四邊形ABDE面積不超過4，則四邊形周長(zhǎng)是否存在最大值，如果存在，請(qǐng)求出最大值，如果不存在請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）①y﹣x2＝x﹣3﹣x2＝1，即：x2﹣x+4＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×4＝﹣15＜0，
∴x2﹣x+4＝0無實(shí)根，
∴y＝x﹣3不存在常數(shù)為1的“晨點(diǎn)”；
②y﹣x2＝8﹣x2＝1，即：，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y＝2隨x增大而減小，y＝x2+1隨x增大而增大，必然存在交點(diǎn)，
∴ 存在常數(shù)為1的“晨點(diǎn)”，
③y﹣x2＝﹣x2﹣x2＝1，即：2x2+1＝0，
∵Δ＝﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴2x2+1＝0無實(shí)根，
∴y＝﹣x2不存在常數(shù)為1的“晨點(diǎn)”，
故答案為：×；√；×，
（2）設(shè)常數(shù)為b，則：y﹣x2＝﹣x2+4ax+a﹣x2＝b，即：2x2﹣4ax+b﹣a＝0，整理得：2（x﹣a）2﹣2a2+b﹣a＝0，
∵二次函數(shù)y＝﹣x2+4ax+a有且只有一個(gè)“晨點(diǎn)”，
∴方程2（x﹣a）2﹣2a2+b﹣a＝0只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)x＝a，且b＝2a2+a時(shí)，y＝﹣a2+4a?a+a＝3a2+a，
∴該二次函數(shù)的“晨點(diǎn)”坐標(biāo)為（a，3a2+a），
設(shè)點(diǎn)（2，5）關(guān)于該二次函數(shù)的“晨點(diǎn)”的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo) 為（m，n），則：，即：，
∵（m，n）也是“晨點(diǎn)”，
∴n﹣m2＝b，代入得：b＝6a2+2a﹣5﹣（2a﹣2）2＝2a2+10a﹣9，
∴b＝2a2+10a﹣9＝2a2+a，解得：a＝1，
故答案為：y＝﹣x2+4x+1；
（3）設(shè)C（0，c），
∵C（0，c）是“晨點(diǎn)”，
∴常數(shù)為：c﹣02＝c，
設(shè)直線AC的解析式為：y＝k1x+b1，則：，解得 ，
∴直線AC的解析式為：y＝﹣x+c，
設(shè)直線BC的解析式為：y＝k2x+b2，則：，解得：，
∴直線BC的解析式為：y＝﹣，
∵直線AC和直線BC上的另一個(gè)“晨點(diǎn)”分別為D，E，設(shè) ，，則：﹣，﹣，整理得：d（d+）＝0，，
∵d≠0，e≠0，
∴d＝﹣，e＝﹣，
∴ （﹣，+c），
當(dāng)四邊形ABDE能組成平行四邊形時(shí)，
，整理得，，
∵a﹣b≠0，
∴ab+c＝0，且a+b＝0，
∴a＝﹣b，c＝﹣ab，
則：A（﹣b，0），B（b，0），D（b，2b2），E（﹣b，2b2），
∴ABDE是矩形，
∴AB＝DE＝b﹣（﹣b）＝2b，BD＝AE＝2b2﹣0＝2b2，
∴，解得：b≤1，
∴四邊形ABDE的周長(zhǎng)為：2（AB+BD）＝2（2b+2b2）＝4b2+4b≤8，
∴四邊形ABDE的周長(zhǎng)最大值為8．
29．二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的圖象是拋物線，定義一種變換，先作這條拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線y′，再將得到的對(duì)稱拋物線y′向上平移m（m＞0）個(gè)單位，得到新的拋物線ym，我們稱ym叫做二次函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m階變換．
（1）二次函數(shù)y＝2（x+3）2﹣2的頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 （3，2）， ，這個(gè)拋物線的2階變換的解析式為 y＝﹣2（x﹣3）2+4 ；
（2）若二次函數(shù)M的5階變換的關(guān)系式為．
①二次函數(shù)M的解析式為 y＝﹣（x﹣1）2+1 ；
②若二次函數(shù)M的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，與x軸相交的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)交點(diǎn)為B，P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出使△PAB周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）二次函數(shù)y＝2（x+3）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），
∴該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（3，2），
作這條拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線y′，
則有y′＝﹣2（x﹣3）2+2，
將拋物線y′＝﹣2（x﹣3）2+2向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得，
所以原拋物線的2階變換的解析式為y＝﹣2（x﹣3）2+4，
故答案為：（3，2），y＝﹣2（x﹣3）2+4；
（2）①將拋物線向下平移5個(gè)單位得到，
此時(shí)該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），
該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（1，1），
即二次函數(shù)M的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴二次函數(shù)M的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+1．
故答案為：y＝﹣（x﹣1）2+1；
②如圖，
對(duì)于拋物線M：y＝﹣（x﹣1）2+1，
其頂點(diǎn)坐標(biāo)A的坐標(biāo)為（1，1），
令y＝0，可有﹣（x﹣1）2+1＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
∵與x軸相交的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)交點(diǎn)為B，
∴B（2，0），
作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，則B′（﹣2，0），
∴BP＝B′P，
∴△PAB周長(zhǎng)＝AB+BP+AP＝AB+AP+B′P，
∴當(dāng)點(diǎn)A、P、B′三點(diǎn)共線時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線AB′的解析式為y＝kx+b，
將點(diǎn)A（1，1），B′（﹣2，0）代入，
可得，解得，
∴直線AB′的解析式為，
令x＝0，則有，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
30．（2023秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）【定義】在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線x＝m，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)圖象，把該圖象在直線x＝m上的點(diǎn)以及直線x＝m右邊的部分向上平移n個(gè)單位長(zhǎng)度（n＞0），再把直線x＝m左邊的部分向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線x＝m的“n分移函數(shù)”．例如：函數(shù)y＝x關(guān)于直線x＝0的“1分移函數(shù)”為y＝．
【概念理解】
（1）已知點(diǎn)P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4），其中在函數(shù)y＝x﹣2關(guān)于直線x＝2的“2分移函數(shù)”圖象上的點(diǎn)有 P1，P3 ；
【拓展探究】
（2）若二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+6關(guān)于直線x＝3的“n分移函數(shù)”與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，是否存在n，使得這三個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，若存在請(qǐng)求出n的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【深度思考】
（3）已知，B（0，2），C（4，0），D（0，﹣2），若函數(shù)y＝x2﹣bx（b＞0）關(guān)于直線x＝0的“3分移函數(shù)”圖象與四邊形ABCD的邊恰好有4個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出b的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)y＝x﹣2關(guān)于直線x＝2的“2分移函數(shù)”為y＝，代入點(diǎn)P1（3，3）、P2（3，4）、P3（0，﹣4）分別驗(yàn)證，得到在圖象上的點(diǎn)有P1，P3．
故答案為：P1，P3；
（2）二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+6關(guān)于直線x＝3的“n分移函數(shù)”為y＝，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝7﹣n；把x＝3代入y＝﹣x2+2x+6﹣n得y＝3﹣n，圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，必須滿足，
∴3＜n＜7，
設(shè)函數(shù)圖象與x軸的三個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2、x3且x1＜x2＜3≤x3，
∵y＝﹣x2+2x+6﹣n的對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴（x1，0）與（x2，0）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，
∴x1+x2＝2，
∵三個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為3+2，
∴x3＝1+2，
把（1+2，0）代入y＝﹣x2+2x+6+n得n＝5；
（3）函數(shù)y＝x2﹣bx（b＞0）關(guān)于直線x＝0的“3分移函數(shù)”為y＝，
∵y＝x2﹣bx+3＝（x﹣）2﹣+3，
∴頂點(diǎn)為（，﹣+3），
把x＝4代入y＝x2﹣bx+3＝19﹣4b，把A（，0）代入y＝x2﹣bx﹣3得b＝，
①當(dāng)b＝時(shí)，﹣+3＝﹣＜﹣2，且19﹣4b＝﹣3＜0，此時(shí)共三個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；
②當(dāng)b＞時(shí)，﹣+3＜﹣＜﹣2，且19﹣4b＜﹣3＜0，此時(shí)共四個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；
③當(dāng)0＜b＜時(shí)，b越大頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)﹣+3越小，
設(shè)直線CD的表達(dá)式為y＝kx﹣2，代入C（4，0）得k＝，
∴y＝x﹣2，
y＝x﹣2與y＝x2﹣bx+3聯(lián)立得，
∴x﹣2＝x2﹣bx+3，
∴x2﹣（b+）x+5＝0，
∴Δ＝（b+）2﹣20＝0，
∴b＝2﹣或b＝﹣2﹣（舍），
圖象與四邊形ABCD的邊恰好有4個(gè)公共點(diǎn)，應(yīng)滿足：
，
∴2﹣＜b＜，
綜上，b的取值范圍為b＞或2﹣＜b＜．
31．（2023?同安區(qū)二模）定義：對(duì)于給定的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），把形如y＝的函數(shù)稱為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)聯(lián)函數(shù)．如圖，已知矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（1，3），C（﹣3，3），D（﹣3，1）．
（1）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c，若點(diǎn)Q（0，4）在這個(gè)二次函數(shù)圖象上，求該二次函數(shù)的對(duì)聯(lián)函數(shù)；
（2）在（1）的條件下，求出這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)聯(lián)函數(shù)圖象與矩形ABCD的邊的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)二次函數(shù)y＝x2﹣bx（b＞0）的對(duì)聯(lián)函數(shù)的圖象與矩形ABCD只有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍．
【解答】解：（1）把點(diǎn)Q（0，4）代入二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c，解得c＝4，
∴二次函數(shù)為y＝x2﹣2x+4，
∴二次函數(shù)y＝x2﹣2x+4（a≠0）的對(duì)聯(lián)函數(shù)為y＝．
（2）把y＝1和y＝3分別代入對(duì)聯(lián)函數(shù)y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3和y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5，
y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
y＝1時(shí)，x2﹣2x+4＝1無實(shí)數(shù)根．
y＝3時(shí)，x2﹣2x+4＝3，得x＝1．
∴交點(diǎn)為點(diǎn)B（1，3），
y＝1和y＝3分別代入y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5，
﹣x2﹣2x+4＝1，﹣x2﹣2x+4＝3，
解得：x＝1和﹣3，x＝﹣1+，x＝﹣1﹣，
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，1）（1，1）（﹣1+，3）（﹣1﹣，3）．
綜上所述：這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)聯(lián)函數(shù)圖象與矩形ABCD的邊的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）、（﹣3，1）、（1，1）、（﹣1+，3）、（﹣1﹣，3）．
（3））y＝x2﹣bx＝（x﹣）2﹣把點(diǎn)A（1，1）時(shí)，代入的b＝0，不合題意．當(dāng)b＞0時(shí)，圖象向右下方平移，此時(shí)與矩形ABCD沒有交點(diǎn)．
對(duì)聯(lián)函數(shù)y＝﹣x2﹣bx＝﹣（x+）2+，當(dāng)＝1時(shí)，拋物線與矩形ABCD的AD邊有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)b＝2；
當(dāng)y＝﹣x2﹣bx＝﹣（x+）2+與BC邊相切時(shí)，此時(shí)＝3，可得b＝2．當(dāng)b＞2時(shí)．拋物線向上平移到過點(diǎn)C時(shí)與矩形ABCD的邊有三個(gè)交點(diǎn)．此時(shí)b＝4，
當(dāng)b＞4時(shí)，拋物線與矩形ABCD的CB和AD邊各有一個(gè)交點(diǎn)．
∴b的取值范圍是2＜b＜2和b＞4．
32．定義：如果二次函數(shù)是常數(shù)）與是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
（1）寫出函數(shù)y＝x2﹣4x+3的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．
（2）若函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，求（2m+n）2025的值．
（3）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1，試求證：經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
【解答】（1）解：由題意，設(shè)所求旋轉(zhuǎn)函數(shù)為y＝ax2+bx+c，
∴．
∴．
∴所求旋轉(zhuǎn)函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2﹣4x﹣3．
（2）解：由題意得，，
∴．
∴（2m+n）2025＝（﹣4+3）2025＝（﹣1）2025＝﹣1．
（3）證明：由題意得，A（1，0），B（3，0），C（0，﹣6），
∴A1（﹣1，0），B1（﹣3，0），C1（0，6）．
又y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
且經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)為y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x2+4x+6，
∵，
∴兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
33．（2024?長(zhǎng)沙模擬）定義：如果實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，且m≠n，t為常數(shù)，那么稱點(diǎn)P（m，n）為“改革創(chuàng)新點(diǎn)”，例如點(diǎn)（﹣2，0）是“改革創(chuàng)新點(diǎn)”．
（1）（1，1），（5，﹣3），（﹣3，1）三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn) （﹣3，1） 是“改革創(chuàng)新點(diǎn)”；
（2）設(shè)函數(shù)（x＜0），y＝x﹣b（b＞0）的圖象的“改革創(chuàng)新點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為3時(shí)，求b的值；
（3）若點(diǎn)Q（a，b）是“改革創(chuàng)新點(diǎn)”，用含t的表達(dá)式表示ab，并求二次函數(shù)y＝t2﹣3t+3的函數(shù)值y的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意，對(duì)于（1，1），12﹣2×1＝﹣1，12﹣2×1＝﹣1，1＝1，
∴（1，1）不是“改革創(chuàng)新點(diǎn)”．
對(duì)于（5，﹣3），52﹣2×（﹣3）＝31，（﹣3）2﹣2×5＝﹣1，31≠﹣1，5≠﹣3，
∴（5，﹣3）不是“改革創(chuàng)新點(diǎn)”．
對(duì)于（﹣3，1），（﹣3）2﹣2×1＝7，12﹣2×（﹣3）＝7，﹣3≠1，
∴（﹣3，1）是“改革創(chuàng)新點(diǎn)”．
故答案為：（﹣3，1）．
（2）由題意，∵m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，
∴m2﹣2n＝n2﹣2m．
∴m2﹣n2+2m﹣2n＝0．
∴（m﹣n）（m+n+2）＝0．
∵m≠n，
∴m﹣n≠0．
∴m+n+2＝0．
∴n＝﹣m﹣2．
又m≠n，
∴m≠﹣1，n≠﹣1．
∴“改革創(chuàng)新點(diǎn)”（m，n）在直線y＝﹣x﹣2（x≠﹣1）上．
∴A、B分別為y＝﹣x﹣2與函數(shù)y＝﹣及y＝x﹣b的交點(diǎn)．
聯(lián)列方程組，
∴或（x＜0，舍去）．
∴A（﹣3，1）．
又聯(lián)列方程組，
∴．
∴B（b﹣1，﹣b﹣1）．
過點(diǎn)A作AM⊥直線BC于M，
∴AM＝|xB﹣xA|＝|b+2|＝b+2（∵b＞0，∴b+2＞0．）
∵b＞0，
∴﹣b＜0．
∴﹣b﹣1＜﹣1．
∴yB＝﹣b﹣1＜﹣1＜1．
∴CB＝|yB|＝﹣yB＝b+1．
∴S△ABC＝CB?AM＝（b+1）（b+2）＝3．
∴b＝2或b＝﹣8（舍去）．
∴此時(shí)xB＝b﹣1＝0，B在y軸上．
∴C與O重合，M在y軸上．
∴b＝2．
（3）由題意可得，a+b＝﹣2，
∴（a+b）2＝4．
又2t＝t+t＝a2﹣2b+b2﹣2a＝a2+b2﹣2（a+b）
＝a2+b2+4，
∴a2+b2＝2t﹣4．
又∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝4，
∴2ab＝4﹣（a2+b2）＝4﹣（2t﹣4）＝8﹣2t．
∴ab＝4﹣t．
∵a+b＝﹣2，
∴b＝﹣2﹣a．
∴ab＝a（﹣2﹣a）＝﹣（a2+2a）＝﹣（a+1）2+1．
∵s≠b≠﹣1，
∴（a+1）2≠0．
∴（a+1）2＞0．
∴﹣（a+1）2＜0．
∴ab＜1．
∴4﹣t＜1．
∴t＞3．
∴y＝t2﹣3t+3＝t2﹣3t++＝（t﹣）2+．
∵t＞3，
∴t﹣＞．
∴（t﹣）2＞．
∴y＝（t﹣）2+＞+＝3．
∴y＞3．
綜上所述，ab＝4﹣t，y＞3．
34．（2024?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）【定義】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)“縱橫值”給出如下定義：
點(diǎn)A（x，y）是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差“y﹣x”稱為點(diǎn)A的“縱橫值”．
函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的“縱橫值”中的最大值稱為函數(shù)的“最優(yōu)縱值”．
【舉例】已知點(diǎn)A（1，3）在函數(shù)y＝2x+1圖象上．
點(diǎn)A（1，3）的“縱橫值”為y﹣x＝3﹣1＝2；
函數(shù)y＝2x+1圖象上所有點(diǎn)的“縱橫值”可以表示為y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，當(dāng)3≤x≤6時(shí)，x+1的最大值為6+1＝7，所以函數(shù)y＝2x+1（3≤x≤6）的“最優(yōu)縱橫值”為7．
【問題】根據(jù)定義，解答下列問題：
（1）①點(diǎn)B（﹣6，2）的“縱橫值”為 8 ；
②求出函數(shù)y＝+x（2≤x≤4）的“最優(yōu)縱橫值”；
（2）若二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線x＝上，且最優(yōu)縱橫值為5，求c的值；
（3）若二次函數(shù)y＝﹣x2+（2b+1）x﹣b2+3，當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)的最優(yōu)縱橫值為2，直接寫出b的值．
【解答】解：（1）①∵B（﹣6，2），
∴2﹣（﹣6）＝8，
∴點(diǎn)B（﹣6，2）的“縱橫值”為8，
故答案為：8；
②y﹣x＝+x﹣x＝，
∵2≤x≤4，
∴1≤y≤2，
∴函數(shù)y＝+x（2≤x≤4）的“最優(yōu)縱橫值”為2；
（2）∵拋物線的頂點(diǎn)在直線x＝上，
∴b＝3，
∴y＝﹣x2+3x+c，
∴y﹣x＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，
∵最優(yōu)縱橫值為5，
∴c+1＝5，
解得c＝4；
（3）∵y﹣x＝﹣x2+2bx﹣b2+3＝﹣（x﹣b）2+3，
∴當(dāng)x＝b時(shí)，y﹣x有最大值3，
當(dāng)b＞4時(shí)，﹣16+8b﹣b2+3＝2，解得b＝5或b＝3（舍）；
當(dāng)b＜﹣1時(shí)，﹣1﹣2b﹣b2+3＝2，解得b＝0（舍）或b＝﹣2；
綜上所述：b的值為5或﹣2．
35．（2024春?雨花區(qū)期末）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象與直線y＝﹣x有交點(diǎn)，該函數(shù)就稱為“零和函數(shù)”，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)稱為“零和點(diǎn)”，例如：y＝x+2圖象與y＝﹣x的交點(diǎn)是（﹣1，1），則y＝x+2是“零和函數(shù)”，交點(diǎn)（﹣1，1）是“零和點(diǎn)”．
（1）以下兩個(gè)函數(shù)：①y＝2x﹣1，②y＝x2+x+4，是“零和函數(shù)”的是 ① （填寫序號(hào)）；
（2）一個(gè)“零和函數(shù)”y＝x2+mx+n（m，n均為常數(shù)）圖象與x軸有交點(diǎn)（2，0），頂點(diǎn)恰好是“零和點(diǎn)”，求該二次函數(shù)的解析式；
（3）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c均為常數(shù)，且a＜0）的圖象上有兩個(gè)不同的“零和點(diǎn)”A（x1，y1）和B（x2，y2），且，該二次函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，若已知，求M的取值范圍．
【解答】解：（1）若一個(gè)函數(shù)圖象與直線y＝﹣x有交點(diǎn)，該函數(shù)就稱為“零和函數(shù)”，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)稱為“零和點(diǎn)”，據(jù)此聯(lián)立得：
，
解得，即函數(shù)y＝2x﹣1的圖象與直線y＝﹣x有交點(diǎn)，為，由“零和函數(shù)”定義可得①是“零和函數(shù)”；
聯(lián)立，
則x2+2x+4＝0，由Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，得方程組無解，即函數(shù)y＝x2+x+4的圖象與直線y＝﹣x無交點(diǎn)，由“零和函數(shù)”定義可得②不是“零和函數(shù)”；
故答案為：①；
（2）一個(gè)“零和函數(shù)”y＝x2+mx+n（m，n均為常數(shù)）圖象與x軸有交點(diǎn)（2，0），頂點(diǎn)恰好是“零和點(diǎn)”，
∴的頂點(diǎn)為，
∴，
∵y＝x2+mx+n（m，n均為常數(shù)）圖象與x軸有交點(diǎn)（2，0），
∴4+2m+n＝0，
聯(lián)立，
則m2+10m+16＝0，即（m+2）（m+8）＝0，解得m＝﹣2或m＝﹣8，∵y＝x2+mx+n是“零和函數(shù)”，
∴或，
∴該二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣2x或y＝x2﹣8x+12；
（3）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c均為常數(shù)，且a＜0）的圖象上有兩個(gè)不同的“零和點(diǎn)”A（x1，y1）和B（x2，y2），
∴聯(lián)立，
則﹣x＝ax2+bx+c，即ax2+（b+1）x+c＝0，
∴，，
∵，
∴，
∵二次函數(shù)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，
∴，則（b+1）2＝5a2﹣15a，
∴
＝
＝
＝
＝a﹣a2+3a+5
＝﹣a2+4a+5
＝﹣（a﹣2）2+9，
∵有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝（b+1）2+30a＞0，
∴b2+2b+1+30a＞0，
∴（ 5a2﹣15a﹣1）+1+30a＞0，
∴a2+3a＞0，
∴a（a+3）＞0，
∵題中已知條件a＜0，
∴a＜﹣3，
∴M的取值范圍是M＜﹣16，
∴當(dāng)a＜0時(shí)，M隨著a的增大而增大，即M的取值范圍是M＜﹣16．
36．（2024春?長(zhǎng)沙期末）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：對(duì)于函數(shù)y，若當(dāng)a≤x≤b，函數(shù)值y的取值范圍是m≤y≤n，且滿足n﹣m＝t（b﹣a），則稱此函數(shù)為“t系郡園函數(shù)”．
（1）已知正比例函數(shù)y＝ax（1≤x≤4）為“1系郡園函數(shù)”，則a的值為多少？
（2）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2ax+a2，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y是“t系郡園函數(shù)”，求t的取值范圍；
（3）已知一次函數(shù)y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）為“2系郡園函數(shù)”，P（x，y）是函數(shù)y＝kx+1上的一點(diǎn)，若不論m取何值二次函數(shù)y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1的圖象都不經(jīng)過點(diǎn)P，求滿足要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）在正比例函數(shù)y＝ax中，令x＝1得y＝a，令x＝4得y＝4a，
①當(dāng)a＞0時(shí)，4a＞a，
∴4a﹣a＝1×（4﹣1），
解得a＝1，
②當(dāng)a＜0時(shí)，a＞4a，
∴a﹣4a＝1×（4﹣1），
∴a＝﹣1，
綜上所述，a的值是±1；
（2）二次函數(shù) y＝﹣x2+2ax+a2 的對(duì)稱軸為直線x＝a，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a2+2a﹣1，
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝a2+6a﹣9，
當(dāng)x＝a，y＝2a2；
①當(dāng)a≥3時(shí)，n＝a2+6a﹣9，m＝a2+2a﹣1，
∵y是“t系郡園函數(shù)”，
∴（3﹣1）t＝n﹣m＝（a2+6a﹣9）﹣（a2+2a﹣1）＝4a﹣8，
∴t＝2a﹣4，
∵a≥3，
∴2a﹣4≥2，
∴t≥2；
②當(dāng)2≤a＜3時(shí)，n＝2a2，m＝a2+2a﹣1，
∴（3﹣1）t＝n﹣m＝2a2﹣（a2+2a﹣1）＝a2﹣2a+1，
∴，
∵2≤a＜3，
∴；
③當(dāng)1＜a＜2時(shí)，n＝2a2，m＝a2+6a﹣9，
∴2t＝n﹣m＝a2﹣6a+9，
∴，
∴；
④當(dāng)a≤1時(shí)，n＝a2+2a﹣1，m＝a2+6a﹣9，
∴2t＝n﹣m＝﹣4a+8，
∴t＝﹣2a+4，
∴t≥2，
綜上所述，t的取值范圍為；
（3）∵一次函數(shù)y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）為“2系郡園函數(shù)”，
∴（kb+1）﹣（ka+1）＝2（b﹣a），
解得k＝2，
∴一次函數(shù)解析式為y＝2x+1，
∵y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1＝m（x2+x﹣2）﹣2x+1，
∴當(dāng)x2+x﹣2＝0 時(shí)，y是定值，即函數(shù)圖象過定點(diǎn)，
由x2+x﹣2＝0得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴y1＝﹣1，y2＝5，
∴拋物線過定點(diǎn)（1，﹣1），（﹣2，5），
在y＝2x+1中，令x＝1得y＝3，令x＝﹣2得y＝﹣3，
∴直線y＝2x+1過點(diǎn)（1，3），（﹣2，﹣3），
∴P為（1，3），（﹣2，﹣3），
由待定系數(shù)法知，過點(diǎn) （1，﹣1），（﹣2，5）的直線為y＝﹣2x+1，
聯(lián)立，
解得，
∴兩直線y＝﹣2x+1，y＝2x+1相交于（0，1），
∴拋物線也不會(huì)過點(diǎn)（0，1），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3），（﹣2，﹣3），（0，1）．
37．（2024?焦作模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為n（n為正整數(shù)），點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上．若點(diǎn)M（x，y）在正方形OABC的邊上，且x，y均為整數(shù)，定義點(diǎn)M為正方形OABC的“LS點(diǎn)”．
若某函數(shù)的圖象與正方形OABC只有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)均是正方形OABC的“LS點(diǎn)”，定義該函數(shù)為正方形OABC的“LS函數(shù)”．
例如：如圖1，當(dāng)n＝2時(shí)，某函數(shù)的圖象C1經(jīng)過點(diǎn)（0，1）和（2，2），則該函數(shù)是正方形OABC的“LS函數(shù)”．
（1）當(dāng)n＝1時(shí)，若一次函數(shù)y＝kx+t（k≠0）是正方形OABC的“LS函數(shù)”，則一次函數(shù)的表達(dá)式是 y＝x（答案不唯一） （寫出一個(gè)即可）；
（2）如圖2，當(dāng)n＝3時(shí)，正方形OABC的“整點(diǎn)函數(shù)的圖象經(jīng)過BC邊上的點(diǎn)D，與邊AB相交于點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出m的值 3或6 ．
（3）當(dāng)n＝4時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．若該函數(shù)是正方形OABC的“LS函數(shù)”，求a的取值范圍；
【解答】解：（1）當(dāng)t＝0時(shí)，y＝kx，
當(dāng)k＝1時(shí)，一次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x，
該函數(shù)和正方形的交點(diǎn)為（0，0）、（1，1），符合題意，
故答案為：y＝x（答案不唯一）；
（2）當(dāng)反比例函數(shù)過點(diǎn)B（3，3）時(shí)，此時(shí)m＝3×3＝9，
故符合題意的m＜9，
則點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為：（m，3）、（3，m），
要使D、E點(diǎn)的坐標(biāo)均為整數(shù)且m＜9，
則m的值為3或6，
故答案為：3或6；
（3）∵n＝4，
∴B（4，4）代入拋物線表達(dá)式得：4＝16a+4b+4，則b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+4，
∴頂點(diǎn)（2，4﹣4a），
圖象過B（4，4）和C（0，4）為L(zhǎng)S函數(shù)
①當(dāng)a＜0時(shí)，頂點(diǎn)恒在BC上方，
∴一定是LS函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時(shí)為L(zhǎng)S函數(shù)．
∴，
∴0＜a＜1，
綜上，a＜1且a≠0．
38．（2024?本溪二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差即y﹣x的值稱為點(diǎn)P的“坐標(biāo)差”，例如：點(diǎn)A（3，7）的“坐標(biāo)差”為7﹣3＝4，而圖象上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為該圖象的“特征值”．
理解：
（1）求二次函數(shù)y＝﹣x2+7x+1的圖象的“特征值”；
運(yùn)用：（2）若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣bx+c（c≠0）的“特征值”為﹣1，點(diǎn)B與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸，y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，求此二次函數(shù)解析式；
拓展：（3）如圖，矩形ODEF，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7，4），點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)F在y軸上，二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象的頂點(diǎn)在“坐標(biāo)差”為3的函數(shù)圖象1上．
①當(dāng)二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象與矩形的邊只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式；
②當(dāng)二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象與矩形的邊有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出p的取值范圍．
參考公式：y＝ax2+bx+c（c≠0）＝a（x+）2+．
【解答】解：（1）∵y﹣x＝﹣x2﹣7x+1﹣x＝﹣（x﹣3）2+10，
∴y＝﹣x2﹣7x+1的“特征值”為10；
（2）由題意得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c），
∵點(diǎn)B和點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣c，0），
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式y(tǒng)＝﹣x2﹣bx+c得：b＝c﹣1，
則y＝﹣x2﹣（c﹣1）x+c，
∵y＝﹣x2﹣bx+c（c≠0）的“特征值”為﹣1，
∴y﹣x＝﹣x2﹣（c﹣1）x+c﹣x＝﹣（x+c）2+，
則＝﹣1，解得：c＝﹣2，
∴b＝﹣3，
∴解析式為y＝﹣x2+3x﹣2；
（3）①∵“坐標(biāo)差”為3的一次函數(shù)，
∴y﹣x＝3，
∴y＝x+3，
∴設(shè)y＝﹣x2+px+q為：y＝﹣（x﹣m）2+m+3，
∵直線y＝x+3與EF交于點(diǎn)M（1，4），
第一種情況：為拋物線頂點(diǎn)當(dāng)為M時(shí)，拋物線與矩形有三個(gè)交點(diǎn)．
把（1，4）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+3，
解得：m1＝1，m2＝2（不合題意舍去），
∴m＝1，
∴解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
第二種情況：當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，拋物線與矩形有三個(gè)交點(diǎn)．
把（7，4）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+3，
解得：m1＝5，m2＝10（不合題意舍去）
∴m＝5，
∴解析式為y＝﹣（x﹣5）2+8＝﹣x2+10x﹣17；
②∵當(dāng)m＝1時(shí)，p＝2，當(dāng)m＝5時(shí)，p＝10，
∴2＜p＜10．
39．（2024?丹東二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)R的圖象經(jīng)過Rt△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，則函數(shù)R是Rt△ABC的“勾股函數(shù)”，函數(shù)R經(jīng)過直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2，當(dāng)自變量x滿足x1≤x≤x2時(shí)，此時(shí)函數(shù)R的最大值記為ymax，最小值記為ymin，h＝，則h是Rt△ABC的“DX”值．
已知：在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC∥y軸．
（1）如圖，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，1），AC＝BC＝4．
①一次函數(shù)y1＝﹣x+6是Rt△ABC的“勾股函數(shù)”嗎？若是，說明理由并求出Rt△ABC的“DX”值，若不是，請(qǐng)說明理由；
②是否存在反比例函數(shù)y2＝（k≠0）是Rt△ABC的“勾股函數(shù)”，若存在，求出k值，不存在，說明理由．
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，m），二次函數(shù)y3＝x2+bx+c是Rt△ABC的“勾股函數(shù)”．
①若二次函數(shù)y3＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，則Rt△ABC的“DX”值h＝ ；
②若二次函數(shù)y3＝x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且與Rt△ABC的邊有第三個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；
③若二次函數(shù)y3＝x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且Rt△ABC的“DX”值h＝，求m的值．
【解答】解：（1）①一次函數(shù)y1＝﹣x+6是Rt△ABC的“勾股函數(shù)”，
由∠ACB＝90°，BC∥y軸，點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，1），AC＝BC＝4，可得：
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），
∵（5，1）和（1，5）這兩點(diǎn)都在直線y1＝﹣x+6上，
∴一次函數(shù)y1＝﹣x+6是Rt△ABC的“勾股函數(shù)”，
∵﹣1＜0，
∴一次函數(shù)y1＝﹣x+6的函數(shù)值y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)1≤x≤5時(shí)，ymax＝5，ymin＝1，
∴h＝＝2，
∴Rt△ABC的“DX”值為2；
②存在，理由如下：
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），
∴1×5＝5×1＝5，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B在同一個(gè)反比例函數(shù)y2＝圖象上，
∴反比例函數(shù)y2＝是Rt△ABC的“勾股函數(shù)”，且k＝5；
（2）①∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，m），∠ACB＝90°，BC∥y軸，
∴C（1，2），
∵二次函數(shù)y3＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴y3＝x2﹣3x+4＝（x﹣）2+，1≤x≤2，此時(shí)函數(shù)y3的最大值為ymax＝2，最小值為ymin＝，
∴h＝＝＝，即Rt△ABC的“DX”值為，
故答案為：；
②∵二次函數(shù)y3＝x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，
∴將A（2，2），B（1，m）代入y3＝x2+bx+c得：，
解得：，
∴y3＝x2﹣（m+1）x+2m，
∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線x＝﹣＝，
∵二次函數(shù)y3＝x2+bx+c與Rt△ABC的邊有第三個(gè)交點(diǎn)，
∴點(diǎn)B在AC上方，對(duì)稱軸在點(diǎn)A、C之間，
∴，
∴2＜m＜3；
③由y3＝x2﹣（m+1）x+2m，可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（，），
第一種情況，點(diǎn)B在點(diǎn)A上方，即m＞2，
（i）當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)A在對(duì)稱軸左側(cè)，即≥2，解得m≥3，
此時(shí)y3隨x的增大而減小，
∴ymax＝y(tǒng)B＝m，ymin＝y(tǒng)A＝2，
∴h＝，
∴m2＝，
解得：m1＝m2＝4，
（ii）當(dāng)對(duì)稱軸在點(diǎn)A和點(diǎn)C之間，即2＜m＜3，
此時(shí)yB最大，頂點(diǎn)y值最小，
∴h＝，
∴m2＝，
解得：m1＝2+（舍去），m2＝2﹣（舍去），
∵2＜m＜3，
∴m1，m2都舍掉；
第二種情況，點(diǎn)B在點(diǎn)A下方，即m＜2，
（i）當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)A在對(duì)稱軸右側(cè)，即≤1，解得m≤1，
此時(shí)y3隨x的增大而增大，
∴ymax＝y(tǒng)A＝2，ymin＝y(tǒng)B＝m最小，
，∴h＝，
∴m2＝，
解得：m1＝﹣4+4（舍去），m2＝﹣4﹣4，
∴m＝﹣4﹣4；
（ii）當(dāng)對(duì)稱軸在點(diǎn)A和點(diǎn)C之間，即1＜m＜2，
此時(shí)yA最大，頂點(diǎn)y值最小，
∴h＝，
∴m2＝，
解得：m1＝6+3（舍去），m2＝6﹣3，
m＝6﹣3；
綜上所述，m＝4，﹣4﹣4，6﹣3．
40．（2024春?海門區(qū)校級(jí)月考）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義；當(dāng)自變量x滿足m≤x≤n（m，n為實(shí)數(shù)，m＜n）時(shí)，函數(shù)y有最大值，且最大值為2n﹣2m，則稱該函數(shù)為理想函數(shù)．
（1）當(dāng)m＝﹣1，n＝2時(shí)，在①y＝x+3；②y＝﹣2x+4中， ② 是理想函數(shù)；
（2）當(dāng)n＝3m+2時(shí)，反比例函數(shù)y＝是理想函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）已知二次函數(shù)y＝x2﹣nx+m2+2m﹣3是理想函數(shù)，且最大值為2m+4．將該函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象記為C，（x1，y1），（x2，y2）是圖象C上兩個(gè)不同的點(diǎn)．若x1+x2＝4，求證：y1+y2＞﹣6．
【解答】（1）解：①，
∵＞0，
∴y隨x的增大而增大，
當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，最小值為，最大值為，
則2n﹣2m＝4+2＝6≠4，
故①不是理想函數(shù)；
②y＝﹣2x+4，
∵k＝﹣2＜0，
∴y隨x的增大而減小，
當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，最小值為y＝﹣2×2+4＝0，最大值為y＝﹣2×（﹣1）+4＝6，
則2n﹣2m＝4+2＝6，
故②是理想函數(shù)；
故答案為：②．
（2）解：∵m≤x≤3m+2，
∴m＜3m+2，
∴m＞﹣1，
當(dāng)m＞0時(shí)，6m＞0，
當(dāng)0＜m≤x≤3m+2時(shí)，y隨著x的增大而減小，
則當(dāng)x＝m時(shí)，最大值為6，
∴2（3m+2）﹣2m＝6，
即，
當(dāng)時(shí)，6m＜0，
當(dāng)m≤x≤3m+2＜0時(shí)，y隨著x的增大而增大，
則當(dāng)x＝3m+2時(shí)，最大值為，
∴，
即6m2+7m+4＝0，此方程無實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，3m+2＞0，函數(shù)y沒有最大值，不合題意，舍去，
綜上所述，m的值為；
（3）證明：∵最大值為2m+4，
∴2n﹣2m＝2m+4，
即n＝2m+2，
∴m＜x＜2m+2．
∵m＜n，
∴m＜2m+2，
即m＞﹣2，
此時(shí)y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m﹣3＝[x﹣（m+1）]2﹣4，
對(duì)稱軸為直線x＝m+1，
當(dāng)2m+2≤m+1，即﹣2＜m≤﹣1時(shí)，
則當(dāng)x＝m時(shí)，y取最大值2m+4，
∴﹣3＝2m+4，
∴，
而﹣2＜m≤﹣1，
故（不合題意，舍去），
當(dāng)m＜m+1＜2m+2，
即m＞﹣1時(shí)，
①若2m+2﹣（m+1）≥（m+1）﹣m，
即m≥0時(shí)，則當(dāng)x＝2m+2時(shí)，y取最大值，，
解得，
∵m≥0，
∴；
②2m+2﹣（m+1）＜（m+1）﹣m，
即﹣1＜m＜0時(shí)，則當(dāng)x＝m時(shí)，y取最大值，，
∴（不合題意，舍去），
綜上，m的值為，
此時(shí)，，
則圖象C的解析式為y＝（x﹣1）2﹣4，
∵（x1，y1），（x2，y2）是圖象C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，
∴，，
∵x1+x2＝4，
∴x2＝4﹣x1，
∴＝，
∵x1≠x2，x1+x2＝4，
∴x1≠2，
∴，，
∴y1+y2＞﹣6．
41．（2024春?越秀區(qū)校級(jí)月考）定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（a，b），點(diǎn)Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k為常數(shù)，且k≠0，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“k級(jí)變換點(diǎn)”．
例如，點(diǎn)（﹣4，6）是點(diǎn)（2，3）的“﹣2級(jí)變換點(diǎn)”
（1）函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)（1，﹣1）的“k級(jí)變換點(diǎn)”？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（2）動(dòng)點(diǎn)A（t，t﹣2）與其“k級(jí)變換點(diǎn)”B分別在直線l1，l2上，在l1，l2上分別取點(diǎn)（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣3，求證：y1﹣y2≥4；
（3）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝nx2﹣nx﹣6n（x≥0）的圖象上恰有兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在直線y＝﹣x+3上，求n的取值范圍．
【解答】解：（1）不存在，理由如下：
根據(jù)定義可知（1，﹣1）的k級(jí)變換點(diǎn)為（k，k），
將點(diǎn)（k，k）代入函數(shù)，得k2＝﹣9，
無解，所以不存在；
（2）點(diǎn)A（t，t﹣2）的“k級(jí)變換點(diǎn)”為B（kt，﹣kt+2k），
∴直線l1和直線l2的關(guān)系式為y＝x﹣2，y＝﹣x+2k，
當(dāng)x＝m2時(shí)，，
∵k≤﹣3，
∴﹣2k﹣2≥4．
∵2m2≥0，
∴2m2﹣2k﹣2≥4，
∴y1﹣y2≥4；
（3）二次函數(shù)y＝nx2﹣nx﹣6n（x≥0）的圖象的點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在函數(shù)y＝﹣nx2+nx+6n的圖象上，
即﹣nx2+nx+6n＝﹣x+3，
整理，得nx2﹣（n+1）x+3﹣6n＝0，
b2﹣4ac＝（n+1）2﹣4n（3﹣6n）＝n2+2n+1﹣12n+24n2＝25n2﹣10n+1＝（5n﹣1）2≥0，
函數(shù)y＝﹣nx2+nx+6n，（x≥0）的圖象和直線y＝﹣x+3有公共點(diǎn)，
由y＝﹣n（x2﹣x﹣6）＝﹣n（x﹣3）（x+2）的公共點(diǎn)是（3，0）．
當(dāng)n＞0時(shí)，（5n﹣1）2≠0，得，
又，
解得，
∴且；
當(dāng)n＜0，x≥0時(shí)，兩個(gè)圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意，舍去．
所以n的取值范圍是且．
42．（2024?株洲模擬）定義：對(duì)于函數(shù)，當(dāng)自變量x＝x0，函數(shù)值y＝x0時(shí)，則x0叫做這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）直接寫出反比例函數(shù)y＝的不動(dòng)點(diǎn)是 （1，1），（﹣1，﹣1） ．
（2）如圖，若二次函數(shù) y＝ax2+bx 有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，分別是0與3，且該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）．
①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
②連接OP，M是線段OP上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)O，P重合），N是該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，在x軸正半軸上是否存在點(diǎn)Q（m，0）滿足∠MOQ＝∠MPN＝∠NMQ，若存在，求m的最
大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為 （x1，y1） 和 （x2，y2），則點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離為|EF|＝．
【解答】解：（1）把函數(shù)值y＝x0代入，
得，
解得x0＝±1，
故答案為：（1，1），（﹣1，﹣1）．
（2）①二次函數(shù)y＝ax2+bx有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0與3，
∴點(diǎn)（0，0）、（3，3）在二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象上，
將（3，3），P（2，4）代入得，
解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+4x；
②存在，
如圖，延長(zhǎng)PN交x軸于點(diǎn)A，
設(shè)A（n，0），
∵∠MOQ＝∠MPN，
∴OA＝PA，
則，
解得n＝5，
∴A（5，0），
設(shè)直線PA的表達(dá)式為y＝kx+t，
將A（5，0），P（2，4）代入得，
解得，
∴直線PA的表達(dá)式為，
同理直線OP的表達(dá)式為y＝2x，
聯(lián)立，
解得，，
則N（），
設(shè)點(diǎn)M（x，2x）（0＜x＜2），
由O（0，0），P（2，4），N（），
可得，，PN＝，
∵∠PMQ＝∠MOQ+∠MQO＝∠NMQ+∠PMN，∠MOQ＝∠MPN＝∠NMQ，
∴∠MQO＝∠PMN．
∴△MOQ∽△NPM，
則，
整理得OQ×PN＝OM×PM，
∴，
整理得，
∵，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，，
∴在x軸正半軸上存在點(diǎn)Q（m，0），且m的最大值為．
43．（2024春?海州區(qū)校級(jí)月考）我們定義：點(diǎn)P在一次函數(shù)y＝ax+b上，點(diǎn)Q在反比例函數(shù)上，若存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，我們稱二次函數(shù)y＝ax2+bx+c為一次函數(shù)和y＝ax+b反比例函數(shù)的“向光函數(shù)”，點(diǎn)P稱為“幸福點(diǎn)”．例如：點(diǎn)P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，點(diǎn)Q（1，﹣2）在上，P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2為一次函數(shù)y＝x﹣1和反比例函數(shù)的“向光函數(shù)”，點(diǎn)P（﹣1，﹣2）是“幸福點(diǎn)”．
（1）判斷一次函數(shù)y＝x+1和反比例函數(shù)是否存在“向光函數(shù)”，若存在，請(qǐng)求出“幸福點(diǎn)”坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理；
（2）若一次函數(shù)y＝x﹣k與反比例函數(shù)只有一個(gè)“幸福點(diǎn)”，求其“向光函數(shù)”的解析式；
（3）已知一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)有兩個(gè)“幸福點(diǎn)”A、B（A在B左側(cè)），其“向光函數(shù)”y＝ax2+bx+c與軸x交于C、D兩點(diǎn)（C在D左側(cè)），若有以下條件：
①a+b+c＝0②“向光函數(shù)”經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，4），③a＞b＞0，記四邊形ACBD的面積為S，求的取值范圍．
【解答】解：（1）一次函數(shù)y＝x+1和反比例函數(shù)存在“向光函數(shù)”，理由如下：
點(diǎn)P在一次函數(shù)y＝ax+b上，點(diǎn)Q在反比例函數(shù)上，若存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，我們稱二次函數(shù)y＝ax2+bx+c為一次函數(shù)和y＝ax+b反比例函數(shù)的“向光函數(shù)”，點(diǎn)P稱為“幸福點(diǎn)”．設(shè)“幸福點(diǎn)”坐標(biāo)為P（m，n），則Q（﹣m，n），
∴，
解并檢驗(yàn)得：，，
∴一次函數(shù)y＝x+2和反比例函數(shù)是存在“向光函數(shù)”，“幸福點(diǎn)”坐標(biāo)為（1，2），（﹣2，﹣1）；
（2）∵一次函數(shù)y＝x﹣k關(guān)于y軸對(duì)稱的直線函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣k，而且一次函數(shù)y＝x﹣k與反比例函數(shù)只有一個(gè)“幸福點(diǎn)”，
所以y＝﹣x﹣k與反比例函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴y＝﹣x﹣k③，，
整理得：x2+kx+（k+3）＝0，
Δ＝k2﹣4（k+3）＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝6，
當(dāng)k＝﹣2時(shí)，則一次函數(shù)y＝x+2與反比例函數(shù)只有一個(gè)“幸福點(diǎn)”，向光函數(shù)”的解析式為：y＝x2+2x+1，
當(dāng)k＝6時(shí)，則一次函數(shù)y＝x﹣6與反比例函數(shù)只有一個(gè)“幸福點(diǎn)”，向光函數(shù)”的解析式為：y＝x2﹣6x+9，
∴“向光函數(shù)”的解析式為：y＝x2+2x+1或y＝x2﹣6x+9．
（3）已知一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)有兩個(gè)“幸福點(diǎn)”A、B（A在B左側(cè)），其“向光函數(shù)”y＝ax2+bx+c與軸x交于C、D兩點(diǎn)（C在D左側(cè)），
∴A、B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)A′、B′一定在y＝﹣ax+b上，且是y＝﹣ax+b與的交點(diǎn)坐標(biāo)，
∴，
整理得：ax2﹣bx+c＝0，
又∵“向光函數(shù)”為y＝ax2+bx+c，
∴y＝ax2﹣bx+c與“向光函數(shù)”為y＝ax2+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴xB﹣xA＝xA′﹣xB′，
∵“向光函數(shù)”y＝ax2+bx+c與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D左側(cè)），若有以下條件：①a+b+c＝0②“向光函數(shù)”經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，4），③a＞b＞0，
∴D（1，0），c＜0，
∴，
∴，
即“向光函數(shù)”為y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
又∵a＞b＞0，
∴，
∴，
又∵“向光函數(shù)”y＝ax2+bx+c與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D左側(cè)），y＝ax2﹣bx+c與“向光函數(shù)”為y＝ax2+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴ax2﹣（2a﹣1）x+（1﹣3a）＝0，
∴x1＝﹣1，，
∴xB′＝﹣1，，
∴xB＝1，，
∴B（1，3a﹣1），，
令“向光函數(shù)”y＝ax2+bx+c中，y＝0得0＝ax2+bx+c即0＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
解得x1＝1，，
∴xD＝1，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范圍是：．
44．（2024?龍崗區(qū)校級(jí)模擬）【定義】若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍點(diǎn)”．
【背景】已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c（c為常數(shù)），
（1）若記“三倍點(diǎn)”D的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)D的坐標(biāo)可表示為 （t，3t） ；
（2）若該函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣6）；
①求出該函數(shù)圖象上的“三倍點(diǎn)”坐標(biāo)；
②在﹣3≤x≤1范圍中，記二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的最大值為M，最小值為N，求M﹣N的值；
（3）在﹣3≤x≤1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，直接寫出c的取值范圍．
【解答】解：（1）根據(jù)定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，可得D（t，3t），
故答案為：（t，3t）；
（2）①將點(diǎn)（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c，得：﹣6＝﹣1﹣1+c，
解得：c＝﹣4，
∴y＝﹣x2﹣x﹣4，
將（t，3t）代入，得：3t＝﹣t2﹣t﹣4，
解得：t1＝t2＝﹣2，
∴函數(shù)y＝﹣x2﹣x﹣4圖象上的“三倍點(diǎn)”坐標(biāo)為（﹣2，﹣6）；
②∵y＝﹣x2﹣x﹣4＝﹣（x+）2﹣，
∴M＝﹣，
當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝﹣（﹣3）2﹣（﹣3）﹣4＝﹣10，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1﹣1﹣4＝﹣6，
∴N＝﹣10，
∴M﹣N＝﹣﹣（﹣10）＝；
（3）由題意得，三倍點(diǎn)所在的直線為y＝3x，
在﹣3≤x≤1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，
即在﹣3≤x≤1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一個(gè)交點(diǎn)，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得：x2+4x﹣c＝0，
則Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，
解得：c≥﹣4；
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9≥﹣6+c，
解得：c≤﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3≥﹣2+c，
解得：c≤5，
綜上，c的取值范圍為：﹣4≤c≤5．
45．（2024?鹽城二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中有兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果在這兩個(gè)圖象上分別取點(diǎn)（x，y1），（x，y2）（x為自變量取值范圍內(nèi)的任意數(shù)），都有點(diǎn)（x，y1）和點(diǎn)（x，y2）關(guān)于點(diǎn)（x，x）成中心對(duì)稱（這三個(gè)點(diǎn)可以重合），那么稱這兩個(gè)函數(shù)互為“中心對(duì)稱函數(shù)”．例如：y1＝x和y2＝互為“中心對(duì)稱函數(shù)”．
（1）如果點(diǎn)（x，y1）和點(diǎn)（x，y2）關(guān)于點(diǎn)（x，x）成中心對(duì)稱，那么三個(gè)數(shù)x，y1，y2滿足的等量關(guān)系是 y1+y2＝2x ；
（2）已知函數(shù)：①y＝﹣2x和y＝2x；②y＝﹣x+3和y＝3x﹣3；③y＝3x2+4x﹣1和y＝﹣3x2﹣2x+1，其中互為“中心對(duì)稱函數(shù)”的是 ②③ （填序號(hào)）；
（3）已知函數(shù)y＝3x﹣4的“中心對(duì)稱函數(shù)”的圖象與反比例函數(shù)（m＞0）的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)C，D，且△COD的面積為4．
①求m的值； 3 ；
②反比例函數(shù)的“中心對(duì)稱函數(shù)”的圖象在第一象限內(nèi)是否存在最低點(diǎn)，若存在，直接寫出反比例函數(shù)的“中心對(duì)稱函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式和該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)最低點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．
（4）已知三個(gè)不同的點(diǎn)M（t，m），N（5，n），P（1，m）都在二次函數(shù)y＝﹣ax2+（2﹣b）x﹣c（a，b，c為常數(shù)，且a＞0）的“中心對(duì)稱函數(shù)”的圖象上，且滿足m＜n＜c．如果t2恒成立，求w的取值范圍．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)（x，y1）和點(diǎn)（x，y2）關(guān)于點(diǎn)（x，x）成中心對(duì)稱，
∴點(diǎn)（x，x）是端點(diǎn)為點(diǎn)（x，y1）和點(diǎn)（x，y2）的線段的中點(diǎn)，
∴＝x，
∴y1+y2＝2x；
故答案為：y1+y2＝2x；
（2）①∵﹣2x+2x≠2x，
∴y＝﹣2x和y＝2x不是“中心對(duì)稱函數(shù)”；
②∵（﹣x+3）+（3x﹣3）＝2x，
∴y＝﹣x+3和y＝3x﹣3是“中心對(duì)稱函數(shù)”；
③∵（3x2+4x﹣1）+（﹣3x2﹣2x+1）＝2x，
∴y＝3x2+4x﹣1和y＝﹣3x2﹣2x+1是“中心對(duì)稱函數(shù)”；
故答案為：②③；
（3）①∵2x﹣（3x﹣4）＝﹣x+4，
∴函數(shù)y＝3x﹣4的“中心對(duì)稱函數(shù)”為y＝﹣x+4，
如圖，設(shè)C，D的坐標(biāo)分別為 （x1，y1），（x2，y2），
由﹣x+4＝得x2﹣4x+m＝0，
∴x1，x2是方程x2﹣4x+m＝0的兩根，
∴x1+x2＝4，x1?x2＝m，且y1+y2＝（﹣x1+4）+（﹣x2+4）＝8﹣（x1+x2）＝8﹣4＝4，
∴S△COD＝（y1+y2）?|x2﹣x1|＝2|x2﹣x1|＝2＝2，
∵△COD的面積為4，
∴2＝4，
解得m＝3；
經(jīng)檢驗(yàn)，m＝3是原方程的解，
故答案為：3；
②反比例函數(shù)y＝﹣的“中心對(duì)稱函數(shù)”的圖象在第一象限內(nèi)存在最低點(diǎn)，理由如下：
∵2x﹣（﹣）＝2x+，
∴反比例函數(shù)y＝﹣的“中心對(duì)稱函數(shù)”為y＝2x+，
∵x＞0，
∴2x+＝（﹣）2+2?＝（﹣）2+2≥2，
∴2x+的最小值為2，此時(shí)﹣＝0，即x＝，
∴該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)最低點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）；
（4）∵2x﹣[﹣ax2+（2﹣b）x﹣c]＝ax2+bx+c，
∴二次函數(shù)y＝﹣ax2+（2﹣b）x﹣c的“中心對(duì)稱函數(shù)”為y＝ax2+bx+c，
∵N（5，n），P（1，m）在函數(shù) y＝ax2+bx+c的上，
∴m＝a+b+c，n＝25a+5b+c，
∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜25a+5b+c＜c，
∴a+b＜25a+5b＜0，
∴b＞﹣6a且b＜﹣5a，
∵a＞0，
∴5＜﹣＜6，
∵M(jìn)（t，m），P（1，m）的縱坐標(biāo)相等，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝，
∵拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣，
∴﹣＝，
∴﹣＝t+1，
∴5＜t+1＜6，
設(shè)h＝﹣t2﹣t+＝﹣（t+1）2+3，
當(dāng)t+1＝5時(shí)，h＝﹣；
當(dāng)t+1＝6時(shí)，h＝﹣15，
∴﹣15＜h＜﹣，
∵t2恒成立，
∴w≥﹣．
46．（2024?開福區(qū)校級(jí)一模）定義：有兩個(gè)內(nèi)角和為45°的三角形為“美好三角形”．
（1）判斷下列三角形是否為“美好三角形”，如果是，請(qǐng)?jiān)趯?duì)應(yīng)的橫線內(nèi)畫“√”，如果不是，請(qǐng)?jiān)趯?duì)應(yīng)的橫線內(nèi)畫“×”；
①有一個(gè)角為30°的直角三角形； ×
②有一個(gè)角為45°的直角三角形； ×
③有一個(gè)角為135°的三角形； √
（2）如圖①，直線：y＝x與雙曲線：y＝（x＞0）相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在x的正半軸上，若△MNO是“美好三角形”，求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）如圖②，二次函數(shù)：y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)，D在△ABC內(nèi)部，連接，AO，AD，BD，CD，當(dāng)△AOC、△DBC、△ADB均為“美好三角形”，此時(shí)△DBC的面積為S1，△ADC的面積為S2，△ADB的面積為S3，當(dāng)S3＝m時(shí)，求S1和S2的表達(dá)式（用含m的式子表示）
【解答】解：（1）①∵有一個(gè)角為30°的直角三角形，三個(gè)內(nèi)角分別為30°，60°，90°，
則30°+60°≠45°，60°+90°≠45°，90°+30°≠45°，
∴該三角形不是“美好三角形”．
故答案為：×；
②有一個(gè)角為45°的直角三角形，三個(gè)內(nèi)角分別為45°，45°，90°，
則45°+45°≠45°，45°+90°≠45°，
∴該三角形不是“美好三角形”．
故答案為：×；
③有一個(gè)角為135°的三角形，其余兩個(gè)內(nèi)角的和為180°﹣135°＝45°，
∴該三角形是“美好三角形”．
故答案為：√．
（2）聯(lián)立與，
解得x＝3，
將x＝3代入，
得y＝1，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，1），
若△MNO是“美好三角形”，
當(dāng)∠ON'M＝135°時(shí)，過M作MH⊥ON，則∠MNH＝180°﹣135°＝45°，
∴N′H＝MH＝1，
∴ON'＝3﹣1＝2，
∴N'（2，0）；
當(dāng)∠OMN＝135°時(shí)，過N作NP⊥OM，則∠PMN＝180°﹣135°＝45°，
∴PM＝PN，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴N（5，0），
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0）或（5，0）；
（3）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸交于B，C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為A，
∴AB＝AC，
如圖，過點(diǎn)D作DP⊥BC，DH⊥AB，DQ⊥AC，
當(dāng)△AOC、△DBC、△ADB均為“美好三角形”時(shí)，∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CDB＝∠ADB＝135°，
∴∠BAC＝90°，，
∴∠4+∠5＝45°，∠1+∠5＝45°，∠1+∠2＝45°，∠2+∠3＝45°，
∴∠1＝∠4，∠1＝∠3．
∴△CDB∽△BDA，
∴，
∴，
∵△DBC的面積為S1，△ADC的面積為S2，△ADB的面積為S3，S3＝m，
∴S1＝S△CDB＝2S△BDA＝2m，
∵∠DPB＝∠DQC＝90°，∠1＝∠4，
∴△BPD∽△CQD，
∴，
∴，
∵，，
∴S△ACD＝2S△ADB，
∴S2＝2S3＝2m，
綜上，S1＝2m，S2＝2m．
47．（2024?遼寧模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形OAB的直角邊長(zhǎng)為n（n為正整數(shù)，且n≥2），點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上．若點(diǎn)M（x，y）在等腰直角三角形OAB邊上，且x，y均為整數(shù)，定義點(diǎn)M為等腰直角三角形OAB的“整點(diǎn)”．
若某函數(shù)的圖象與等腰直角三角形OAB只有兩個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)均是等腰直角三角形OAB的“整點(diǎn)”，定義該函數(shù)為等腰直角三角形OAB的“整點(diǎn)函數(shù)”．
（1）如圖1，當(dāng)n＝2時(shí)，一次函數(shù)y＝kx+t是等腰直角三角形OAB的“整點(diǎn)函數(shù)”，則符合題意的一次函數(shù)的表達(dá)式為 y＝﹣x+1（答案不唯一） （寫出一個(gè)即可）；
（2）如圖2，當(dāng)n＝3時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過C（1，2），判斷該函數(shù)是否為“整點(diǎn)函數(shù)”，并說明理由；
（3）當(dāng)n＝4時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+2經(jīng)過AB的中點(diǎn)，若該函數(shù)是“整點(diǎn)函數(shù)”，求a的取值范圍；
（4）在（3）的條件下P（a+1，y1），Q（a+2，y2）是二次函數(shù)y＝ax2+bx+2圖象上兩點(diǎn)，若點(diǎn)P、Q之間的圖象（包括點(diǎn)P、Q）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的差為3|a|，求a的值
【解答】解：（1）當(dāng)n＝2時(shí)，A（2，0），B（0，2），
∴OB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），OA的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)一次函數(shù)y＝kx+t圖象過（1，0），（0，1）時(shí)，其解析式為y＝﹣x+1，此時(shí)直線y＝﹣x+1與圖象與等腰直角三角形OAB只有兩個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)均是等腰直角三角形OAB的“整點(diǎn)”，
∴一次函數(shù)y＝﹣x+1是等腰直角三角形OAB的“整點(diǎn)函數(shù)”，
故答案為：y＝﹣x+1（答案不唯一）；
（2）該函數(shù)是等腰直角三角形OAB的“整點(diǎn)函數(shù)”，
理由：把C（1，2）代入y＝得，m＝2，
∴y＝，
∵A（3，0），B（0，3），
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，
令＝﹣x+3，
解得x1＝1，x2＝2，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，
∴y＝與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)，且都是整數(shù)，分別為（1，2），（2，1），
∴該函數(shù)是否為“整點(diǎn)函數(shù)”；
（3）當(dāng)n＝4時(shí)，A（4，0），B（0，4），
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∵y＝ax2+bx+2經(jīng)過AB的中點(diǎn)，
∴2＝4a+2b+2，
∴b＝﹣2，
∴y＝ax2﹣2a+2，
當(dāng)a＞0時(shí)，∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，2﹣a），
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
∴0＜a＜2，
若a＜0，則拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)A的右側(cè)，即當(dāng)x＝4時(shí)，y＞0，
∴16a﹣8a+2＞0，a＞﹣，
∴﹣＜a＜0，
綜上所述，a的取值范圍為0＜a＜2或﹣＜a＜0；
（4）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣，
①當(dāng)﹣＜a＜0時(shí)，則頂點(diǎn)（1，2﹣a）為最高點(diǎn)，Q為最低點(diǎn)，
∴2﹣a﹣[a（a+2）2﹣2a（a+2）+2]＝﹣3a，
解得a＝1±（不合題意舍去），
②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，a+1＞1，
∴拋物線的開口向上，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴最高點(diǎn)為Q，最低點(diǎn)為P，
∴a（a+2）2﹣2a（a+2）+2﹣[a（a+1）2﹣2a（a+1）+2]＝3a，
解得a1＝0（不合題意舍去），a2＝1，
綜上所述，a＝1．
48．（2024?鹽都區(qū)校級(jí)一模）定義：當(dāng)m≤x≤n（m，n為常數(shù)，m＜n）時(shí)，函數(shù)y最大值與最小值之差恰好為3n﹣3m，我們稱函數(shù)y是在m≤x≤n上的“雅正函數(shù)”，“3n﹣3m”的值叫做該“雅正函數(shù)”的“雅正值”．
【初步理解】
（1）試判斷下列函數(shù)是在1≤x≤2上的“雅正函數(shù)”為 ②③ .（填序號(hào)）
①y＝﹣2x+3；②；③y＝﹣x2+2024．
【嘗試應(yīng)用】
（2）若一次函數(shù)y＝k1x+b（k1，b為常數(shù)，k1＞0）和反比例函數(shù)（k2為常數(shù)，k2＜0）都是在﹣3≤x≤﹣1上的“雅正函數(shù)”，求k1?k2的值．
【拓展延伸】
（3）若二次函數(shù)y＝x2﹣mx﹣n是在m≤x≤n（m，n為常數(shù)，m＞0）上的“雅正函數(shù)”，雅正值是3．
①求m、n的值；
②若該二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D為二次函數(shù)y＝x2﹣mx﹣n圖象上一點(diǎn)，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2，點(diǎn)F、點(diǎn)H是線段BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F在點(diǎn)H的左側(cè)），分別過點(diǎn)F、點(diǎn)H作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E、點(diǎn)G，如果BD＝tFH，其中t為常數(shù)．試探究：是否存在常數(shù)t，使得S△DEF+S△BHG為定值．如果存在，請(qǐng)求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【參考公式：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）】
【解答】解：（1）由題意得：3n﹣3m＝3（2﹣1）＝3，
對(duì)于①當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最大值為﹣2x+3＝1，當(dāng)x＝2時(shí)，取得最小值為﹣1，則最大值與最小值之差為2≠3，不符合題意；
對(duì)于②當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最大值為y＝＝6，當(dāng)x＝2時(shí)，取得最小值為3，則最大值與最小值之差為3＝3，符合題意；
對(duì)于③當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最大值為y＝﹣x2+2024＝2020，當(dāng)x＝2時(shí)，取得最小值為2023，則最大值與最小值之差為3＝3，符合題意；
故答案為：②③；
（2）3n﹣3m＝3（﹣1+3）＝6，
對(duì)于反比例函數(shù)，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y取得最大值為＝﹣k2，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y取得最小值為﹣k2，
則﹣k2+k2＝6，
解得：k2＝﹣9；
對(duì)于一次函數(shù)，
同理可得：﹣k1+b+3k1﹣b＝6，
解得：k1＝3，
∴k1?k2＝﹣27；
（3）①由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為直線x＝m＞0，
當(dāng)x＝n時(shí)，y取得最大值為：y＝n2﹣mn﹣n，
當(dāng)x＝m時(shí)，y取得最小值為：y＝m2﹣m2﹣n＝﹣n，
則n2﹣mn﹣n+n＝3n﹣3m＝3，
解得：m＝2，n＝3；
②由題意可知，，F(xiàn)（﹣2+a，5﹣a），E（﹣2+a，a2﹣6a+5），H（3﹣b，b），G（3﹣b，b2﹣4b），
∴EF＝﹣a2+5a，HG＝﹣b2+5b，
∵FH＝BD，
∴，
則
＝
＝
＝
＝，
∵t為常數(shù)，
∴S△DEF+S△BHG為常數(shù)，
則，
∴t＝3．
49．（2024?楚雄市二模）定義：對(duì)于一次函數(shù)y＝kx+m（k，m是常數(shù)，k≠0）和二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），如果k＝2a，m＝b，那么一次函數(shù)y＝kx+m叫做二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的牽引函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c叫做一次函數(shù)y＝kx+m的原函數(shù)．
（1）若二次函數(shù)（a是常數(shù)，a≠0的圖象與其牽引函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的值；
（2）已知一次函數(shù)y＝2x﹣2m是二次函數(shù)y＝ax2+bx+m2+1的牽引函數(shù)，在二次函數(shù)y＝ax2+bx+m2+1上存在兩點(diǎn)A（m﹣1，y1），B（m+2，y2）．若M（2，y3）也是該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，記二次函數(shù)圖象在點(diǎn)A，M之間的部分為圖象G（包括M，A兩點(diǎn)），記圖象G上任意一點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為t，且t≥|y2﹣y1|，求m的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意，得二次函數(shù)的牽引函數(shù)為，
聯(lián)立，
得，
∵二次函數(shù)（a是常數(shù)，a≠0）的圖象與其牽引函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴，
解得或．
（2）由題意可知原函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2mx+m2+1，
∴當(dāng)x＝m﹣1時(shí)，y＝2，當(dāng)x＝m+2時(shí)，y＝5，
即A（m﹣1，2），B（m+2，5），原函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝m，原函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，1），
∴t≥|y2﹣y1|＝3，
當(dāng)x＝2時(shí)，，
∴M（2，m2﹣4m+5）．
①如答圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，即m﹣1＞2，m＞3時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小，
∴t＝m2﹣4m+5﹣2＝m2﹣4m+3≥3，
解得m≥4或m≤0（舍去）．
②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A與二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)之間時(shí)，t＜2﹣1，即t＜1，而t≥3，不符合題意；
③如答圖②，當(dāng)點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸右側(cè)，即m＜2時(shí)，
當(dāng)y3≤2時(shí)，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小，
∴t＝2﹣1＝1，不符合題意；
當(dāng)y3＞2時(shí)，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)最小，
∴t＝m2﹣4m+5﹣1＝m2﹣4m+4≥3，
解得：（舍去）或．
綜上所述，m≥4或．
50．（2024?集美區(qū)二模）定義：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，當(dāng)自變量x滿足p≤x≤q時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍也為p≤y≤q，則稱二次函數(shù)y＝ax2+bx+c是p≤x≤q上的“等域函數(shù)”．
已知拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)B．
（1）若b＝﹣2，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（0，1）．
①求a，c的值；
②若y＝ax2+bx+c是0≤x≤t（t＞2）上的“等域函數(shù)”，求t的值；
（2）在a＜b＜c的情況下，記點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為xB，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y＝﹣ax+m與拋物線交于點(diǎn)C（xC，yC）．若，是否存在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c是xB≤x≤xC或xC≤x≤xB上的“等域函數(shù)”的情形？若存在，求出拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）①當(dāng)b＝﹣2時(shí)，
∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（0，1），
∴，
解得；
②∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∵t＞2，
∴（t﹣1）2＞1，
∴在0≤x≤t上，當(dāng)x＝t時(shí)，函數(shù)取得最大值（t﹣1）2；
當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最小值0；
若y＝（x﹣1）2是0≤x≤t的“等域函數(shù)”，
∴（t﹣1）2＝t，
解得或（舍去），
∴；
（2）∵拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)B在直線y＝﹣ax+m上，
∴b+m＝c，
即m＝c﹣b，
∴y＝﹣ax+c﹣b，
∵經(jīng)過點(diǎn)B的直線y＝﹣ax+c﹣b與拋物線交于點(diǎn)C，B，
聯(lián)立，
∴ax2+bx+c＝﹣ax+c﹣b，
即ax2+（a+b）x+b＝0，
∴（ax+b）（x+1）＝0，
∴，xC＝﹣1，
∵直線y＝﹣ax+c﹣b與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c﹣b，其中b＜c，
∴S△BOC＝，
又∵S△BOC＝，
∴，
∴|xB﹣xC|＝3，
當(dāng)xB＞xC時(shí)，則xB﹣xC＝3，
解得xB＝2，即b＝﹣2a，
∵a＜b，
∴a＜0，此時(shí)函數(shù)解析式為y＝ax2﹣2ax+c，
∵函數(shù)在﹣1≤x≤1上隨x的增大而增大，在1≤x≤2上隨x的增大而減少，
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，ymin＝a+2a+c＝﹣1，
當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝a﹣2a+c＝2，
解得，，，不滿足a＜b＜c，
∴y＝ax2﹣2ax+c不是在﹣1≤x≤2上的“等域函數(shù)”；
②當(dāng)xB＜xC時(shí)，則xB﹣xC＝﹣3，
解得xB＝﹣4，即b＝4a，
∵a＜b，
∴a＞0，此時(shí)函數(shù)解析式為y＝ax2+4ax+c，
∵函數(shù)在﹣4≤x≤﹣2上隨x的增大而減少，在﹣2≤x≤﹣1上隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，ymin＝4a﹣8a+c＝﹣4，
當(dāng)x＝﹣4時(shí)，ymax＝16a﹣16a+c＝﹣1，
解得，b＝3，c＝﹣1，不滿足a＜b＜c，
∴y＝ax2﹣2ax+c不是在﹣4≤x≤﹣1上的“等域函數(shù)”；
綜上，不存在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c是xB≤x≤xC或xC≤x≤xB上的“等域函數(shù)”的情形．
51．（2024?燈塔市校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)“縱橫值”給出如下定義：點(diǎn)A（x，y）是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差“y﹣x”稱為點(diǎn)A的“縱橫值”．函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的“縱橫值”中的最大值稱為函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”．
例如：點(diǎn)A（1，3）在函數(shù)y＝2x+1圖象上，點(diǎn)A的“縱橫值”為3﹣1＝2，函數(shù)y＝2x+1圖象上所有點(diǎn)的“縱橫值”可以表示為y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，當(dāng)3?x?6時(shí)，x+1的最大值為6+1＝7，所以函數(shù)y＝2x+1（3?x?6）的“最優(yōu)縱橫值”為7．
根據(jù)定義，解答下列問題：
（1）①點(diǎn)B（﹣6，2）的“縱橫值”為 8 ；
②函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”為 ﹣1 ；
（2）若二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線上，且最優(yōu)縱橫值為5，求c的值；
（3）若二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)在直線y＝x+9上，當(dāng)﹣1?x?4時(shí)，二次函數(shù)的最優(yōu)縱橫值為7求h的值．
【解答】解：（1）①點(diǎn)B（﹣6，2）的“縱橫值”為 2﹣（﹣6）＝8，
故答案為：8；
②∵y＝，
∴y﹣x＝﹣x＝，
∵﹣4≤x≤﹣2，
∴x＝﹣4時(shí)，y﹣x的最大值是﹣1，
∴函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”為﹣1；
故答案為：﹣1；
（2）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線上，
∴﹣＝，
∴b＝3，
∴y＝﹣x2+3x+c，
∴y﹣x＝﹣x2+3x+c﹣x＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∵最優(yōu)縱橫值為5，
∴1+c＝5，
∴c＝4；
（3）∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)在直線y＝x+9上，
∴k＝h+9，
∴y＝﹣（x﹣h）2+h+9，
∴y﹣x＝﹣（x﹣h）2+h+9﹣x＝﹣（x﹣h+）2+，
∵當(dāng)﹣1?x?4時(shí)，二次函數(shù)的最優(yōu)縱橫值為7，
當(dāng)h﹣≥4，即h≥時(shí)，則x＝4時(shí)，有最大值為7，
∴﹣（4﹣h+）2+＝7，
解得h＝6或h＝3（舍去），
當(dāng)h﹣≤﹣1，即h≤﹣時(shí)，則x＝﹣1時(shí)，有最大值為7，
∴﹣（﹣1﹣h+）2+＝7，
解得h＝﹣2或h＝1（舍去）．
故h的值為﹣2或6．
52．（2024?河?xùn)|區(qū)一模）定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍點(diǎn)”．已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c（c為常數(shù)）．
（1）若該函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣6），求出該函數(shù)圖象上的“三倍點(diǎn)”坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)t≤x≤t+2時(shí)，求出該函數(shù)的最小值；
（3）在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，求出c的取值范圍．
【解答】解：（1）把（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c得c＝﹣4，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣x﹣4，
設(shè)該函數(shù)圖象上的“三倍點(diǎn)”坐標(biāo)為（t，3t），
把（t，3t）代入y＝﹣x2﹣x﹣4，
得﹣t2﹣t﹣4＝3t，
整理得t2+4t+4＝0，
解得t＝﹣2，
∴“三倍點(diǎn)”坐標(biāo)為（﹣2，﹣6）；
（2）由（1）可知y＝﹣x2﹣x﹣4，
①當(dāng)即時(shí)，
，
②當(dāng)即時(shí)，
，
綜上，①當(dāng)時(shí)，，
②當(dāng)時(shí)，．
（3）由題意得，三倍點(diǎn)所在的直線為y＝3x，
在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，
即在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一個(gè)交點(diǎn)，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，
則Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4；
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞﹣2+c，解得c＜5，
綜上，c的取值范圍為：﹣4≤c＜5．
53．（2024?新邵縣二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（c，d）．若c＝ka，d＝﹣kb，其中k為常數(shù)，且k≠0，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P的“k級(jí)變換點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（﹣4，6）是點(diǎn)（2，3）的“﹣2級(jí)變換點(diǎn)”．
（1）函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)（1，2）的“k級(jí)變換點(diǎn)”？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．
（2）點(diǎn)與其“k級(jí)變換點(diǎn)”B分別在直線l1，l2上，在l1，l2上分別取點(diǎn)，若y1﹣y2≥3，求證：k≤﹣2．
（3）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的圖象上恰有兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在直線y＝﹣x+5上，求n的取值范圍．
【解答】（1）解：函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)（1，2）的“k級(jí)變換點(diǎn)”
根據(jù)“k級(jí)變換點(diǎn)”定義，點(diǎn)（1，2）的“k級(jí)變換點(diǎn)”為（k，﹣2k），
把點(diǎn)（k，﹣2k）代入中，
得k?（﹣2k）＝﹣18，解得k＝±3．
（2）證明：∵點(diǎn)B為點(diǎn)的“k級(jí)變換點(diǎn)”，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
∴直線l1，l2的解析式分別為和．
當(dāng)x＝m2時(shí)，，
∵y1﹣y2≥3，
∴，
∴，
∵m2≥0，
∴k≤﹣2．
（3）由題意得，二次函數(shù)y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的圖象上的點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在函數(shù)y＝﹣nx2+4nx+5n（x≥0）的圖象上．
令﹣nx2+4nx+5n＝﹣x+5，整理得nx2﹣（4n+1）x+5﹣5n＝0．
∵Δ＝[﹣（4n+1）]2﹣4n（5﹣5n）＝36n2﹣12n+1＝（6n﹣1）2≥0，
∴函數(shù)y＝﹣nx2+4nx+5n的圖象與直線y＝﹣x+5必有公共點(diǎn)．
由y＝﹣nx2+4nx+5n＝﹣n（x﹣5）（x+1）得該公共點(diǎn)為（5，0）．
①當(dāng)n＞0時(shí)，由（6n﹣1）2≠0得．
又5n≤5得n≤1，
∴0＜n≤1且．
②當(dāng)n＜0，x≥0時(shí)，兩圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意，舍去．
綜上，n的取值范圍為0＜n≤1且．
54．（2024?洛陽二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M上，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)相等時(shí)，則稱這個(gè)點(diǎn)為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”．
（1）點(diǎn)G（﹣3，﹣3）是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”H的坐標(biāo)是 （3，3） ；
（2）如圖，已知點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，連接AC，AB，BC，判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）在0＜x＜2的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m的圖象上至少存在一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則m的取值范圍是 ﹣1＜m＜2 ．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)G（﹣3，﹣3）是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，
∴﹣3＝，
解得k＝9，
∴反比例函數(shù)為y1＝，
令y1＝x，則x＝，
解得x＝3或x＝﹣3，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3或x＝﹣3是原方程的解，
∴該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”H的坐標(biāo)是 （3，3）；
故答案為：（3，3）；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+5，
∴拋物線的頂點(diǎn)C（1，5），
在y＝﹣x2+x+中，令y＝x得x＝﹣x2+x+，
解得x＝3或x＝﹣3，
∴B（﹣3，﹣3），A（3，3），
∴AB2＝72，AC2＝8，BC2＝80，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）在y＝x2﹣2mx+m2+m中，令y＝x得x＝x2﹣2mx+m2+m，
解得x＝m或x＝m+1，
∴二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m的圖象的“夢(mèng)之點(diǎn)”為（m，m）或（m+1，m+1），
∵0＜x＜2，
∴0＜m＜2或0＜m+1＜2，
∴0＜m＜2或﹣1＜m＜1，
∴當(dāng)﹣1＜m＜2時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+m的圖象上至少存在一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”；
故答案為：﹣1＜m＜2．
55．（2024?婁星區(qū)一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱為點(diǎn)P的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”．
（1）①點(diǎn)A（4，7）的“坐標(biāo)差”為 3 ；
②拋物線y＝﹣x2+3x+6的“特征值”為 7 ；
（2）某二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”為﹣1，且b+c＝1，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象的頂點(diǎn)在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是矩形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7，3），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)F在y軸上，當(dāng)二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象與矩形的邊只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式及特征值．
【解答】解：（1）①∵A（4，7），7﹣4＝3，
∴“坐標(biāo)差”為3，
故答案為：3；
②y﹣x＝﹣＝﹣x2+3x+6﹣x＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7，
特征值是7；
故答案為：7；
（2）∵b＝1﹣c，
∴y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，
∵二次函數(shù)y＝﹣x2+（1﹣c）x+c的“特征值”為﹣1．
∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，
∴，
∴c＝﹣2，
∴b＝3，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3x﹣2；
（3）“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)為y＝x+2，
∵二次函數(shù)y＝﹣x2+px+q的圖象的頂點(diǎn)在直線y＝x+2上，
∴設(shè)二次函數(shù)為y＝﹣（x﹣m）2+m+2，
二次函數(shù)的圖象與矩形有三個(gè)交點(diǎn)，如圖①、②，
①拋物線頂點(diǎn)在直線y＝x+2與FE的交點(diǎn)上時(shí)（如圖①），
令y＝3，則x＝1，得交點(diǎn)為（1，3），
把（1，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，得3＝﹣（1﹣m）2+m+2，
解得m1＝1，m2＝2（舍去），
∴二次函數(shù)的解新式為y＝﹣（x﹣1）2+3，
∴，特征值是；
②拋物線右側(cè)部分經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)（如圖②），
把E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，得3＝﹣（7﹣m）2+m+2，
解得m1＝5，m2＝10（舍去），
二次函數(shù)的解析或?yàn)閥＝﹣（x﹣5）2+7，
∴，特征值是．
∴綜上，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+3或y＝﹣（x﹣5）2+7，“特征值”均為．
56．（2024秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)自變量與因變量乘積最大時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)成為該函數(shù)的“最值點(diǎn)”．
（1）如圖，若拋物線M經(jīng)過（3，0）和點(diǎn)A（1，0）和（0，3），則M上是否存在最值點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出最值點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2）若直線y＝kx+b交拋物線于A，B（4，3）兩點(diǎn)，則直線不低于拋物線時(shí)，請(qǐng)直接寫出自變量x的取值范圍．
（3）求直線y＝﹣的最值點(diǎn)．
【解答】解：（1）M上不存在最值點(diǎn)；理由如下：
由拋物線M經(jīng)過（3，0）和點(diǎn)A（1，0），設(shè)拋物線M解析式為y＝a（x﹣3）（x﹣1），
把（0，3）代入得：3＝3a，
解得a＝1，
∴拋物線M解析式為y＝（x﹣3）（x﹣1）；
∴xy＝x（x﹣3）（x﹣1），
當(dāng)x＞3時(shí)，xy的值隨x的增大而增大，
∴xy沒有最大值，
∴M上不存在最值點(diǎn)；
（2）∵A（1，0），B（4，3），
∴觀察圖象可得，直線不低于拋物線時(shí)，自變量x的取值范圍是1≤x≤4；
（3）∵y＝﹣，
∴xy＝x（﹣x+）＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)x＝時(shí)，xy取最大值，
此時(shí)y＝﹣×+＝，
∴直線y＝﹣的最值點(diǎn)為（，）．
57．（2020秋?綦江區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3和一次函數(shù)y＝﹣x+1，我們把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）稱為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實(shí)數(shù)，其圖象記作拋物線E．現(xiàn)有點(diǎn)A（1，0）和拋物線E上的點(diǎn)B（2，n），請(qǐng)完成下列任務(wù)：
【嘗試】
（1）當(dāng)t＝2時(shí)，拋物線y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （，） ．
（2）判斷點(diǎn)A是否在拋物線E上；
（3）求n的值．
【發(fā)現(xiàn)】通過（2）和（3）的演算可知，對(duì)于t取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線E總過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為 （1，0）和（2，﹣1） ．
【應(yīng)用】二次函數(shù)y＝﹣3x2+5x﹣2是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3和一次函數(shù)y＝﹣x+1的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．
【解答】解：【嘗試】
（1）t＝2時(shí)，y＝2（x2﹣4x+3）+（1﹣2）（﹣x+1）＝2x2﹣7x+5，
函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝，故頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，），
故答案為：（，）；
（2）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝0，
故點(diǎn)A在拋物線E上；
（3）x＝2時(shí)，n＝y(tǒng)＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝﹣1；
【發(fā)現(xiàn)】通過（2）和（3）的演算可知，對(duì)于t取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線E總過定點(diǎn)，
定點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0）和（2，﹣1），
故答案為：（1，0）和（2，﹣1）；
【應(yīng)用】不是，理由：
由題意得：令y＝﹣3x2+5x﹣2＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1），
化簡(jiǎn)并整理得：t＝﹣3且3t+1＝﹣5，
顯然t不存在，
故二次函數(shù)y＝﹣3x2+5x﹣2不是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3和一次函數(shù)y＝﹣x+1的一個(gè)“再生二次函數(shù)”．
58．（2024春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)與同時(shí)滿足a1≠0，a2≠0，|a1+a2|++（c1+c2）2＝0，則稱函數(shù)y1與y2“回旋”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問題：
（1）求二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的“回旋”函數(shù)的解析式；
（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+2ax+c的頂點(diǎn)在它的“回旋”函數(shù)圖象上，且時(shí)，﹣4≤y2≤4，求a，c的值；
（3）關(guān)于x的函數(shù)（a＞0）的圖象頂點(diǎn)M，與x軸的交點(diǎn)為A，B，當(dāng)它的“回旋”函數(shù)y2的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)為C、D，從右到左依次是A、B、C、D，若AC＝3BC，是否存在b使得AMDN為矩形？
【解答】解：（1）∵|a1+a2|++（c1+c2）2＝0，
∴a1+a2＝0，b1﹣b2＝0，c1+c2＝0，
∴a1＝﹣a2，b1＝b2，c1＝﹣c2，
根據(jù)“回旋”函數(shù)的定義得：二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的“回旋”函數(shù)的解析式y(tǒng)＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）根據(jù)“回旋”函數(shù)的定義：二次函數(shù)y1＝ax2+2ax+c的“回旋”函數(shù)的解析式為y2＝﹣ax2+2ax﹣c，
∵y1＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2+c﹣a，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，c﹣a），
∵關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝ax2+2ax+c的頂點(diǎn)在它的“回旋”函數(shù)y2圖象上，
∴c﹣a＝﹣a﹣2a﹣c，
解得：a＝﹣c，
∴二次函數(shù)y1＝ax2+2ax+c的“回旋”函數(shù)的解析式為y2＝﹣ax2+2ax+a＝﹣a（x﹣1）2+2a，
由題意得，當(dāng)≤x≤時(shí)，﹣4≤y2≤4，
即當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，﹣4≤y2≤4，
若a＞0，
則當(dāng)x＝1時(shí)，y2＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝4，
解得：a＝2，
∴c＝﹣2；
若a＜0，
則當(dāng)x＝1時(shí)，y2＝﹣a（1﹣1）2+2a＝2a＝﹣4，
解得：a＝﹣2，
∴c＝2；
綜上所述，a＝2，c＝﹣2或a＝﹣2，c＝2；
（3）如圖，
設(shè)點(diǎn)A、B、C、D的橫坐標(biāo)分別為：x1，x2，x3，x4，
∵y1＝ax2+bx+c＝a（x+）2+，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，），且x1＝，x2＝，
根據(jù)“回旋”函數(shù)的定義：y2＝﹣ax2+bx﹣c＝﹣a（x﹣）2+，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，），且x3＝，x4＝，
∴AC＝x1﹣x3＝﹣，BC＝x2﹣x3＝﹣，
∵AC＝3BC，
∴﹣＝﹣×3，
∴＝﹣，
當(dāng)四邊形AMDN是矩形時(shí)，則∠ADN＝90°，設(shè)左側(cè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H，
在Rt△ADN中，tan∠NDH＝＝tan∠ANH＝，
∴NH2＝AH?DH，
而NH＝，
AH＝﹣＝，
同理可得：DH＝，
（）2＝×，
將＝﹣代入，得：b＝0（舍去）或b＝6（舍去）或b＝﹣6，
即當(dāng)b＝﹣6時(shí)，四邊形AMDN為矩形．
59．（2024秋?東陽市月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為完美點(diǎn)．已知二次函數(shù)y＝ax2+4x+c（a≠0）．
（1）當(dāng)a＝1，c＝2時(shí)，請(qǐng)求出該函數(shù)的完美點(diǎn)；
（2）已知二次函數(shù)y＝ax2+4x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)，請(qǐng)求出該函數(shù)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)0≤x≤m時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣3，最大值為1，求m的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝1，c＝2時(shí)，y＝x2+4x+2，
令y＝x，則 x2+3x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∴該函數(shù)的完美點(diǎn)為P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，﹣2）；
（2）令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由題意可得，圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)，∴Δ＝9﹣4ac＝0，則4ac＝9．
又方程根為x＝﹣＝﹣＝，
∴a＝﹣1，c＝﹣，
該二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x﹣；
（3）∵y＝﹣x2+4x﹣﹣＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴該二次函數(shù)圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
與y軸交點(diǎn)為（0，﹣3），根據(jù)對(duì)稱規(guī)律，點(diǎn)（4，﹣3）也是該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)．在x＝2左側(cè)，y隨x的增大而增大；在x＝2右側(cè)，y隨x的增大而減小；
∵當(dāng)0≤x≤m 時(shí)，函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3的最小值為﹣3，最大值為1，
∴2≤m≤4．
60．（2023秋?開福區(qū)校級(jí)期末）定義：若直線l：y＝kx+b與函數(shù)G交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，將|AB|叫做函數(shù)G在直線l上的弦長(zhǎng)，且，其中|xA﹣xB|叫做函數(shù)G在直線l上的截距．
（1）求出y＝ax2﹣5ax+6a在x軸上的截距；
（2）若直線過定點(diǎn)，拋物線在該直線上的弦長(zhǎng)等于8，求直線的解析式；
（3）若二次函數(shù)y＝x2+（a+17）x+38﹣a與反比例函數(shù)在第一象限交于點(diǎn)A，在第三象限交于B、C兩點(diǎn)．
①若B、C兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，請(qǐng)直接寫出整數(shù)a的值；
②若﹣1＜a＜2，求該二次函數(shù)在直線BC上的截距的取值范圍．
【解答】解：（1）令y＝ax2﹣5ax+6a＝0，
解得：x＝2或3，
則截距＝|3﹣2|＝1；
（2）設(shè)直線的表達(dá)式為：y＝kx+，
聯(lián)立直線和拋物線的表達(dá)式得：kx+＝x2﹣，即x2﹣2kx﹣1＝0，
則x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，
則弦長(zhǎng)＝|x1﹣x2|＝×＝×＝8，
解得：k＝±，
則直線的表達(dá)式為：y＝±x+；
（3）①聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式得：x2+（a+17）x+38﹣a＝，
整理得：（x﹣1）[x2+（a+18）x+56]＝0，
∵兩個(gè)函數(shù)在第三象限交于B、C兩點(diǎn)，則x2+（a+18）x+56＝0，
∵若B、C兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，
則x＝﹣1或﹣56，則a+18＝57，解得：a＝39；
則x＝﹣2或﹣28，則a+18＝30，解得：a＝12；
則x＝﹣4或﹣14，則a+18＝18，解得：a＝0；
則x＝﹣7或﹣8，則a+18＝15，解得：a＝﹣3；
綜上，a＝39或12或﹣3或0；
②由①知，xB+xC＝﹣（a+18），xBxC＝56，
設(shè)二次函數(shù)在直線BC上的截距＝|xB﹣xC|＝＝＝，
∵﹣1＜a＜2，
則＜|xB﹣xC|＜4．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/16 14:13:01；用戶：馮琳老師；郵箱：rFmNt1sLcmaqKdlDgZ60wM9skA@；學(xué)號(hào)：22208507

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