性質(zhì)：?外接圓的圓心性質(zhì)?：三角形的外接圓的圓心是三角形任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)被稱為外心。
?銳角三角形?：銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部。
?直角三角形?：直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)上。
?鈍角三角形?：鈍角三角形的外心在三角形外部。
1．（2024春?開福區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若平行于x軸的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，與拋物線的對稱軸交于H點(diǎn)，若點(diǎn)H到x軸的距離是線段MN的，求線段MN的長；
（3）拋物線的頂點(diǎn)為D，過定點(diǎn)Q的直線y＝kx﹣k+3與二次函數(shù)交于E、F，△DEF外接圓的圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，求該拋物線的解析式．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0），
∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）可得3＝a×1×（﹣3），
解得a＝﹣1，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）根據(jù)題意設(shè)設(shè)點(diǎn)H縱坐標(biāo)為h，M（m，h），N（n，h），
則m、n是﹣x2+2x+3＝h兩根；
∴m+n＝2，mn＝h﹣3，Δ＝22﹣4（h﹣3）≥0即h≤4，
∵點(diǎn)H到x軸的距離是線段MN的，
∴；
∴；
∴；
解得；
∴；
（3）y＝﹣x2+2x+3對稱軸為直線DK：x＝1，頂點(diǎn)D（1，4），
過E作EK⊥DK于K，過F作FG⊥DK于G，
設(shè)E（e，﹣e2+2e+3）、F（f，﹣f2+2f+3），
∴，
，
∵直線y＝kx﹣k+3與二次函數(shù)交于E、F，
∴e、f是kx﹣k+3＝﹣x2+2x+3兩根，整理得x2+（k﹣2）x﹣k＝0，
∴e+f＝2﹣k，ef＝﹣k，
∴（e﹣1）（f﹣1）＝ef﹣（e+f）+1＝﹣k﹣2+k+1＝﹣1，
∴，
∴tan∠DEK＝tan∠FDG，
∴∠DEK＝∠FDG，
∵∠DEK+∠EDK＝90°，
∴∠FDG+∠EDK＝90°，即∠FDE＝90°，
∴△DEF外接圓的圓心為線段EF的中點(diǎn)R，
∵E（e，ke﹣k+3）、F（f，kf﹣k+3），
∴EF的中點(diǎn)R坐標(biāo)為，
∵e+f＝2﹣k，
∴
令，消去k得y＝﹣2x2+4x+1，
∴△DEF外接圓的圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，求該拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+1．
2．（2024?興化市二模）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，連接AC，BC，若點(diǎn)M在拋物線上，且M的橫坐標(biāo)為，連接CM，∠ACB與∠BCM相等嗎？請說明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)N是線段AB上任意一點(diǎn)（N不與A，B重合），過點(diǎn)N作NE⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)E，連接AE，作△ABE的外接圓⊙P，延長EN交⊙P于點(diǎn)F．試說明點(diǎn)F在某條定直線上．
【解答】解：（1）由題意得：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）∠ACB＝∠BCM，理由：
如圖1，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)知，∠ABC＝45°，
M的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)M（，﹣），
過點(diǎn)B作y軸的平行線交CM于點(diǎn)H，
由點(diǎn)C、M的坐標(biāo)得，直線CM的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3，
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣4，
即BH＝4＝AB，
∵BC＝BC，∠ABC＝45°＝∠HBC，
∴△BCH≌△BCA（SAS），
則∠ACB＝∠BCM；
（3）連接AF，
設(shè)點(diǎn)N（t，0），則點(diǎn)E（t，t2﹣2t﹣3），
∴AN＝t+1，EN＝﹣（t2﹣2t﹣3），BN＝3﹣t，
∵∠AFN＝∠ABE，∠FAN＝∠FEB，
∴△AFN∽△EBN，即，
即，
解得：FN＝1，
即點(diǎn)F在直線y＝1上．
3．（2024春?龍華區(qū)月考）已知：二次函數(shù)．
（1）求證：不論k為何實(shí)數(shù)時(shí)，此二次函數(shù)與x軸總有交點(diǎn)；
（2）設(shè)k＜0，當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B間的距離為4時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為C，過y軸上一點(diǎn)M（0，m）作y軸的垂線l，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)？
【解答】（1）證明：∵Δ＝k2﹣4×（k﹣）＝（k﹣1）2≥0，
∴不論k為何實(shí)數(shù)時(shí)，此二次函數(shù)與x軸總有交點(diǎn)；
（2）解：當(dāng)y＝0時(shí)，＝0，
∴x1+x2＝﹣2k，x1?x2＝2k﹣1，
∴AB＝＝4，
解得k＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣；
（3）解：當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣x﹣＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，
∴拋物線的頂點(diǎn)為C（1，﹣2），
∵AC＝2，BC＝2，AB＝4，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圓圓心為（1，0），半徑為2，
∴﹣2≤m≤2時(shí)，直線l與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)．
4．（2023?翠屏區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝ax2（a＞0）的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），OA＝1，經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，△ABD的面積為5．
（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)Q是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OQ，F(xiàn)Q，設(shè)△OQF外接圓的圓心為M，當(dāng)sin∠OQF最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（直接寫答案）．
【解答】解：（1）將二次函數(shù)y＝ax2（a＞0）的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵OA＝1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），代入拋物線的解析式得，4a﹣2＝0，
∴，
∴拋物線的解析式為，即．
令y＝0，則，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）；
∴AB＝OA+OB＝4，
∵△ABD的面積為5，
∴，
∴，
∴，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴．
設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，則有
，
解得：，
∴直線AD的解析式為．
（2）如圖，H是OF的中點(diǎn)，M在直線上運(yùn)動(dòng)，
∴∠OQF＝∠OMH，
∴，
∴當(dāng)OM取得最小值時(shí)，sin∠OQF的值最大，
∵M(jìn)O＝MQ，
∴當(dāng)MQ取得最小值時(shí)，sin∠OQF的值最大，
∵當(dāng)MQ垂直直線時(shí)，MQ取得最小值，
∴此時(shí)M、Q在二次函數(shù)的對稱軸直線x＝1上，
∴，
根據(jù)對稱性，存在，
故：或．
5．（2023秋?宿豫區(qū)校級期中）定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，過二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸所有交點(diǎn)的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓．
（1）已知點(diǎn)P（2，2），以P為圓心，為半徑作圓，請判斷⊙P是不是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標(biāo)圓，并說明理由；
（2）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點(diǎn)為A，交y軸于點(diǎn)C，則該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓的圓心為P在 直線x＝2 上；
（3）求△POA周長最小值．
【解答】解：（1）⊙P是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標(biāo)圓，理由如下：
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，當(dāng)y＝0時(shí)，解方程x2﹣4x+3＝0得x1＝1，x2＝3，
∴二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），B（3，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，3），
∵，，，
∴，
故⊙P是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標(biāo)圓；
（2）∵已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2圖象的頂點(diǎn)為A，交y軸于點(diǎn)C，
∴A（2，0），C（0，4），則二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象與x軸相切，
∴該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓與x軸相切，切點(diǎn)為A，
∴PA⊥x軸，則該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓的圓心為 P在直線x＝2上，
故答案為：直線x＝2；
（3）取點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，連接PC，PO′，CO′，則OP＝O′P，PA＝PC，
∵A（2，0），C（0，4），
∴OC＝4，OA＝O′A＝2，
∴△POA的周長為OP+PA+OA＝O′P+PC+2≥CO′+2，當(dāng)點(diǎn)C、P、O′共線時(shí)取等號，
∵，
∴△POA 周長最小值為．
6．（2023秋?雨花區(qū)期末）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），點(diǎn)E為二次函數(shù)第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，EH⊥x軸于點(diǎn)H，交直線BC于點(diǎn)F，以EF為直徑的圓⊙M與BC交于點(diǎn)R．
（1）求b，c的值；
（2）當(dāng)△EFR周長最大時(shí)，求此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)及△EFR周長；
（3）連接CE、BE，當(dāng)△ERC∽△BRE時(shí)，求出E點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
（2）∵以EF為直徑的圓⊙M與BC交于點(diǎn)R，
∴∠ERF＝90°，
∵y＝﹣x2+2x+3，
∵OC＝OB＝3，
∴∠CBO＝∠OCB＝45°，
又∵CO∥EH，
∴∠EFC＝∠OCB＝45°，
∴△ERF為等腰直角三角形，
∴當(dāng)△EFR周長最大時(shí)，EF最長，
∵C（0，3），B（3，0），
即可得到直線BC解析式為：y＝﹣x+3，
設(shè)E（m，﹣m2+2m+3），F(xiàn)（m，﹣m+3），
∴EF＝﹣m2+3m＝，
當(dāng)m＝時(shí)，EF＝，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
在Rt△EFR中，ER＝FR＝，△EFR的周長為；
（3）若△ERC∽△BRE，則∠CER＝∠EBR，
∴∠CEB＝90°，
設(shè)E（m，﹣m2+2m+3），過點(diǎn)B和E分別作平行于x軸、y軸的直線，垂足為N，直線交于點(diǎn)G，
∵∠CEN+∠BEG＝90°，∠CEN+∠NCE＝90°，
∴∠BEG＝∠NCE，
又∵∠CNE＝∠BGE＝90°，
∴△CNE∽△EGB，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴E，
當(dāng)點(diǎn)E在對稱軸左邊時(shí)，
∵△ERC∽△BRE，
∴∠REC＝∠RBE，
∵∠REC+∠CEF＝∠RBE+∠FEB＝45°，
∴∠CEF＝∠FEB，
延長EC交x軸于K，
∵直線EK的解析式為y＝（﹣m+2）x+3，
∴K（，0），
∵EF⊥BK，∠CEF＝∠FEB，∴EF垂直平分線段BK，
∴，
解得m＝，
∴點(diǎn)E（，）；
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或（，）．
7．（2024?沂源縣二模）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A在B的左側(cè)，OA：OB＝1：3；與y軸的正半軸交于點(diǎn)C；與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象交于A、D兩點(diǎn)，連接BD，tan∠ADB＝．
（1）求b的值；
（2）求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（3）在拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以P為圓心的圓與直線AD和x軸都相切．若存在，求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線x＝1，
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣m，0）、（3m，0），
則1＝（3m﹣m），
解得：m＝1，
則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0），
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：0＝1+b，
解得：b＝﹣1；
（2）由（1）知拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3），
如圖，由直線AD的表達(dá)式知，∠BAD＝45°，
過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，
∵tan∠ADB＝，
故設(shè)HB＝2x，則DH＝3x，
則AH＝BH＝2x，
則AB＝2x＝4，
則x＝，
則AD＝5x＝5，
過點(diǎn)D作x軸的平行線交過點(diǎn)A和y軸的平行線于點(diǎn)T，
則△ADT為等腰直角三角形，
則AT＝TD＝5，
則點(diǎn)D（4，﹣5），
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：﹣5＝a（4+1）（4﹣3），
解得：a＝﹣1，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3①；
（3）存在，理由：
當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，如圖①，
當(dāng)以P為圓心的圓與直線AD和x軸都相切，
則點(diǎn)P為∠BAD的角平分線和拋物線的交點(diǎn)，
由直線AD的表達(dá)式知，∠DAB＝45°，
而直線m和x軸的夾角為22.5°，
如圖②，設(shè)△BCD為等腰直角三角形，DA＝CD，則∠C＝22.5°，
設(shè)AB＝BD＝x，則AD＝x＝CD，
則tanC＝＝＝﹣1＝tan22.5°，
則直線m的表達(dá)式為：y＝﹣（﹣1）（x+1）②，
聯(lián)立①②得：﹣x2+2x+3＝﹣（﹣1）（x+1），
解得：x＝﹣1（舍去）或2+；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，
則點(diǎn)P所在的直線n和m垂直，
故直線n的表達(dá)式為：y＝（+1）（x+1）③，
聯(lián)立①③得：（+1）（x+1）＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝﹣1（舍去）或2﹣；
故P點(diǎn)橫坐標(biāo)為2±．
8．（2023秋?中山市期中）如圖，y關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M，圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)D．以AB為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C，定點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，0），連接ED．（m＞0）
（1）求用m表示的A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，點(diǎn)M在直線ED上？判定此時(shí)直線ED與圓的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)m變化時(shí)，用m表示△AED的面積．
【解答】解：（1）令y＝0，則﹣（x+m）（x﹣3m）＝0，
解得x1＝﹣m，x2＝3m；
令x＝0，則y＝﹣（0+m）（0﹣3m）＝m．
故A（﹣m，0），B（3m，0），D（0，m）；
（2）當(dāng)m＝1時(shí)，點(diǎn)M在直線ED上．理由如下：
設(shè)直線ED的解析式為y＝kx+b，將E（﹣3，0），D（0，m）代入得：
解得，k＝，b＝m．
∴直線ED的解析式為y＝mx+m．
將y＝﹣（x+m）（x﹣3m）化為頂點(diǎn)式：y＝﹣（x﹣m）2+m．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m）．代入y＝mx+m得：m2＝m
∵m＞0，
∴m＝1．
∴當(dāng)m＝1時(shí)，M點(diǎn)在直線DE上．
連接CD，C為AB中點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)為C（m，0）．
∵OD＝，OC＝1，
∴CD＝2，D點(diǎn)在圓上
又∵OE＝3，DE2＝OD2+OE2＝12，
EC2＝16，CD2＝4，
∴CD2+DE2＝EC2．
∴∠EDC＝90°
∴直線ED與⊙C相切．
（3），
當(dāng)0＜m＜3時(shí)，，即．
當(dāng)m＞3時(shí)，，即．
綜上所述知：．
9．（2023秋?阜寧縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）和點(diǎn)D（4，﹣2），點(diǎn)E是直線y＝﹣x+2的圖象與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖①，若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME，求四邊形COEM面積的最大值；
（3）如圖②，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合），請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函數(shù)解析式得：
，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+x+2；
（2）聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式得：
，
消去y得：﹣x+2＝﹣x2+x+2，
解得：x＝0或x＝3，
則E（3，1）；
如圖①，過M作MH∥y軸，交CE于點(diǎn)H，
設(shè)M（m，﹣m2+m+2），則H（m，﹣m+2），
∴MH＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
S四邊形COEM＝S△OCE+S△CME＝×2×3+MH?3＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，
當(dāng)m＝時(shí)，S最大＝；
答：四邊形COEM面積的最大值為；
（3）連接BF，如圖②所示，
當(dāng)﹣x2+x+2＝0時(shí)，
解得：x1＝，x2＝，
∴OA＝，OB＝，
∵∠ACO＝∠ABF，∠AOC＝∠FOB，
∴△AOC∽△FOB，
∴＝，即＝，
解得：OF＝，
∴F坐標(biāo)為（0，﹣）．
10．（2024?龍湖區(qū)校級一模）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣6x+8的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線l是對稱軸．點(diǎn)P在函數(shù)圖象上，其橫坐標(biāo)大于4，連接PA，PB，過點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M，以點(diǎn)M為圓心，作半徑為r的圓，PT與⊙M相切，切點(diǎn)為T．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）若以⊙M的切線長PT為邊長的正方形的面積與△PAB的面積相等，且⊙M不經(jīng)過點(diǎn)（3，2），求PM長的取值范圍．
【解答】解：（1）令y＝0，
則x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴A（2，0），B（4，0）．
答：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）．
（2）∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴對稱軸為x＝3．
設(shè)P（m，m2﹣6m+8），
∵PM⊥l，
∴M（3，m2﹣6m+8），
連接MT，則MT⊥PT，
∴PT2＝PM2﹣MT2＝（m﹣3）2﹣r2，
即以切線長PT為邊長的正方形的面積為（m﹣3）2﹣r2，
過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，
則，
∴（m﹣3）2﹣r2＝m2﹣6m+8，
∵r＞0，
∴r＝1．
假設(shè)⊙M經(jīng)過點(diǎn)N（3，2），則有兩種情況：
①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，
∴M（3，3），
∴m2﹣6m+8＝3，
解得m＝5或1，
∵m＞4，
∴m＝5．
②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方，
∴M（3，1），
∴m2﹣6m+8＝1，
解得，
∵m＞4，
∴，
綜上所述，PM＝m﹣3＝2或，
∴當(dāng)⊙M不經(jīng)過點(diǎn)N（3，2）時(shí)，PM長的取值范圍為： 或＜PM＜2或PM＞2．
答：PM長的取值范圍為： 或＜PM＜2或PM＞2．
11．（2024?市中區(qū)校級模擬）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)C（0，﹣3）與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求b，c的值；
（2）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過該二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓．問：在該二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，以點(diǎn)Q為圓心，為半徑作⊙Q，使⊙Q是二次函數(shù)的坐標(biāo)圓？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖所示，點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MP∥y軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)P，以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出的值．
【解答】解：（1）把點(diǎn)A （﹣1，0）和點(diǎn)C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得：，解方程組得：，
∴，c＝﹣3；
（2）存在，理由如下：
如圖所示，由（1）可知二次函數(shù)的解析式為：，令，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，所以點(diǎn) A （﹣1，0），點(diǎn)B （4，0），
∵點(diǎn)C （0，﹣3），
∴AB＝BC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
根據(jù)坐標(biāo)圓的定義，⊙Q經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，
∴圓心Q為AB的垂直平分線與AC的垂直平分線的交點(diǎn)．
∵AB的垂直平分線即為二次函數(shù)的對稱軸，
∵點(diǎn) A （﹣1，0），點(diǎn)C （0，﹣3），
∴AC的中點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
∴AC垂直平分線BF的解析式為，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，），
在Rt△QNB中，QB＝＝＝．
所以存在符合題意的坐標(biāo)圓，其圓心Q的坐標(biāo)為（，）；
（3）設(shè)BC直線的解析式為：y＝kx+b，
把B （4，0）、C （0，3）的坐標(biāo)代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴BC直線的解析式為：，
⊙M與坐標(biāo)軸相切，有兩種情況，
①當(dāng)⊙M與y軸相切時(shí)，如圖所示：
過點(diǎn)M作MD⊥y軸，垂足為點(diǎn)D，
則點(diǎn)D為⊙M與y軸的切點(diǎn)，即PM＝DM＝x，
設(shè)P，則M，
則PM＝（）﹣（），
∴（）﹣（）＝x解得：x1＝，x2＝0，
當(dāng)x＝0時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，不合題意舍去；
∴⊙M的半徑為DM＝，
∴M（，﹣1），
∵M(jìn)D⊥y軸，
∴MD∥x軸，
∴△CDM∽△COB，
∴，即，
∴CM＝，
∴MB＝＝，
∴＝2；
②當(dāng)⊙M與x軸相切時(shí)，如圖所示：
延長PM交x軸于點(diǎn)E，由題意可知：
點(diǎn)E為⊙M與x軸的切點(diǎn)，所以PM＝ME，
設(shè)P，M，
則PM＝（）﹣（），ME＝﹣x+3，
∴（）﹣（）＝﹣x+3，
解得：x1＝1，x2＝4，
當(dāng)x＝4時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，所以不合題意舍去，
∴⊙M的半徑為：PM＝ME＝+3＝，
∴M（1，），
∵PM∥y軸，
∴，即，
∴CM＝，
∴MB＝＝，
∴＝，
綜上所述，值是2或．

相關(guān)試卷

全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 19新定義（含答案解析版）：

這是一份全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 19新定義（含答案解析版），共105頁。試卷主要包含了2+2就是“友好二次函數(shù)”，定義，我們約定，關(guān)于原點(diǎn)O互為“伴隨函數(shù)”等內(nèi)容，歡迎下載使用。

全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 18數(shù)學(xué)建模（含答案解析版）：

這是一份全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 18數(shù)學(xué)建模（含答案解析版），共22頁。

全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 16定值問題 （含答案解析版）：

這是一份全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 16定值問題 （含答案解析版），共41頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 15定點(diǎn)問題（含答案解析版）

全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 15定點(diǎn)問題（含答案解析版）
全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 05面積轉(zhuǎn)化問題（含答案解析版）

全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 05面積轉(zhuǎn)化問題（含答案解析版）
全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 03線段問題（含答案解析版）

全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 03線段問題（含答案解析版）
全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 02多結(jié)論問題（含答案解析版）

全國通用 中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 02多結(jié)論問題（含答案解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部