2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí)05面積轉(zhuǎn)化問題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、平行轉(zhuǎn)化法（等積變形）：
二、三角形面積之比：
一、平行轉(zhuǎn)化法：
例1．（2024?酒泉二模）
1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，過動(dòng)點(diǎn)作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)，連接，，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
2．如圖，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，且．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若的面積是6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
二、三角形面積之比：
例2．（2024?濟(jì)寧二模）
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=2OA．
（1）試求拋物線的解析式；
（2）直線y=kx+1（k＞0）與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)P，與直線BC交于點(diǎn)M，記m=，試求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
（2024?單縣三模）
4．已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，連接交于點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2023?懷遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）
5．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，P是第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)M，連接．
(1)求拋物線的解析式；
(2)是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2024春?昆都侖區(qū)校級(jí)月考）
6．如圖，拋物線y＝ax2＋2x＋c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OB＝OC＝3．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）連接BC，點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接OD，CD，OD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△COF∶S△CDF＝3∶2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2024?濟(jì)寧）
7．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點(diǎn)，其中a，b，c為常數(shù)，且．
(1)求a，c的值；
(2)若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點(diǎn)E，連接，，．是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2024?東營(yíng)）
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)D作y軸的平行線交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，的長(zhǎng)為l，請(qǐng)寫出l關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，連接，交于點(diǎn)F，求的最大值．
（2024?湖北模擬）
9．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸在y軸的右邊，，點(diǎn)P是直線下方拋物線上的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，連接，記的面積分別為．當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為直線時(shí)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
三、面積差
例3．（2023?武漢模擬）
10．如圖1，拋物線交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，且，點(diǎn)D為拋物線上第四象限的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式．
(2)如圖，直線交于點(diǎn)P，連接，若和的面積分別為和，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求直線的解析式．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：（2024?資陽）
11．已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)K．記的面積分別為，，求的最大值；
參考答案與解析
參考答案：
1．(1)
(2)點(diǎn)
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，及面積問題，
（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式，根據(jù)題意得，則，連接，過點(diǎn)P作y軸的平行線交于點(diǎn)E，設(shè)，則，有，當(dāng)時(shí)，取的最大值，即可求得，那么，當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將,代入上式得：，
，
則拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，
將，，代入中，
，
解得，
∴直線的表達(dá)式為，
∵
∴，則，
連接，過點(diǎn)P作y軸的平行線交于點(diǎn)E，如圖，
設(shè)，則，
則
，
∴當(dāng)時(shí)，取的最大值，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
2．(1)
(2)或
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解方程組等知識(shí)點(diǎn)，
（1）由拋物線解析式可得拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，從而可得a的值，進(jìn)而即可得解．
（2）過點(diǎn)P作的平行線交x軸于點(diǎn)H，連接，求出直線解析式為，直線解析式為，聯(lián)立解方程組即可得解；
熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）∵拋物線，
∴對(duì)稱軸為直線，令，
解得，
，
又，
，
代入解析式得，
；
（2）過點(diǎn)P作的平行線交x軸于點(diǎn)H，連接，
，
，
，
，
，
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
∴設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
聯(lián)立，
解得，
或．
3．（1）y=﹣x2+x+4；（2）m的最大值為，此時(shí)P（2，4）．
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的交點(diǎn)式解析式為y=a（x+2）（x﹣4），由OC=2OA，OA=2，解得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入點(diǎn)C（0，4），利用待定系數(shù)法解題即可；
（2）作PE⊥x軸于E，交BC于F，可證明△CMD∽△FMP，再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解得m=，接著求得CD的長(zhǎng)，設(shè)P（n，﹣n2+n+4），F(xiàn)（n，﹣n+4），代入線段的比值，解得PF 的長(zhǎng)，用配方法化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解得最大值．
【詳解】（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，
∴設(shè)y=a（x+2）（x﹣4），
∵OC=2OA，OA=2，
∴C（0，4），
代入解析式得到a=﹣，
∴y=﹣（x+2）（x﹣4），
即y=﹣x2+x+4；
（2）如圖，作PE⊥x軸于E，交BC于F，
∵CD//PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m=，
∵直線y=kx+1（k＞0）與y軸交于點(diǎn)D，
∴D（0，1），
∴CD=4-1=3，
設(shè)BC的解析式為y=dx+e，代入點(diǎn)B（4，0）, C（0，4），得
，
，
BC的解析式為，
設(shè)P（n，﹣n2+n+4），則F（n，﹣n+4），且0＜n＜4，
∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，
∴m==﹣（n﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)n=2時(shí)，m有最大值，最大值為，此時(shí)P（2，4）．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
4．(1)
(2)
【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，面積問題，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求得的坐標(biāo)，進(jìn)而得出，根據(jù)得出則點(diǎn)到軸的距離為2，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）解：令，得，
解得：，
，
令，則，
，
，
，
，設(shè)點(diǎn)到的距離為，
，
，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，
，
，
，
．
5．(1)
(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，求得直線的解析式為，據(jù)此求解即可；
【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入，
得，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：存在，
如圖，過點(diǎn)P作交x軸于點(diǎn)Q，
，
，
設(shè)中邊上的高為h，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的解析式知，
設(shè)直線的解析式為，把代入得，，
解得，
∴直線的解析式為，
，
∴設(shè)直線的解析式為，
代入得，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵點(diǎn)在拋物線，
∴聯(lián)立得，解得：，
把代入，解得，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）(1，4)或(2，3)
【分析】（1）c＝3，點(diǎn)B(3，0)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，即可求解；
（2）S△COF∶S△CDF＝3∶2，則OF∶FD＝3∶2，DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，則DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，即可求解．
【詳解】解：（1）∵OB＝OC＝3．
∴c＝3，點(diǎn)B(3，0)，
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2＋2x＋3；
（2）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M，
S△COF∶S△CDF＝3∶2，則OF∶FD＝3∶2，
∵DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，則DM＝CO＝2，
由B、C的坐標(biāo)得：直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x＋3，
設(shè)點(diǎn)D(x，﹣x2＋2x＋3)，則點(diǎn)M(x，﹣x＋3)，
DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，
解得：x＝1或2，
故點(diǎn)D(1，4)或(2，3)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
7．(1)，
(2)①該二次函數(shù)的解析式為：；，
②存在，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或
【分析】（1）先求得，則可得和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由此可得，進(jìn)而可求得；
（2）①根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，由此可求得，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式為，進(jìn)而可得，；
②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：∵的圖像經(jīng)過，
∴，
∴和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴，
，
，
∴，．
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∵解得，
∵，且，
∴，
∴，
∴該二次函數(shù)的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，．
②設(shè)直線的表達(dá)式為：，
則，
解得，
∴直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：
設(shè)，則，，
則，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，，
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為或；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：
設(shè)，則，，
則，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，（舍去），
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，
綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與幾何綜合，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式．熟練掌握“三角形面積水平寬鉛錘高”是解題的關(guān)鍵．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．
（1）將點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式得出方程組，解方程組，進(jìn)而得出結(jié)果；
（2）先求出直線的解析式，進(jìn)而表示出的長(zhǎng)，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，作，交于，可得出，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：由題意得，
，
，
拋物線的表達(dá)式為：；
（2）解：拋物線與y軸交于點(diǎn)，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為：，代入，兩點(diǎn)得，
解得，
直線的函數(shù)表達(dá)式為：，
∵過點(diǎn)D作y軸的平行線交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，
，
，
；
（3）解：如圖1，
當(dāng)時(shí)，作，交于，
∴，
，
把代入得，，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
∴．
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)求得，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，由，證明，得到，求得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
，
∴
∵，
∴，
∵點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，
，即，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：∵，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
∴直線的解析式為，
過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的值最大，
此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式和一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，面積最值問題等知識(shí)內(nèi)容，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
10．(1)
(2)直線AD的表達(dá)式為：
【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，
（1）由二次函數(shù)，令，則，則，又由得到，，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）由和得到當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，的值最小，則當(dāng)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，達(dá)到最大值．利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；
【詳解】（1）解：由二次函數(shù)，令，則，
∴．
又∵，
∴，，
代入得，
解得，
∴拋物線的解析式是；
（2）．
∵，為定值，
∴當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，的值最小．
∵，
∴點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，達(dá)到最大值．
設(shè)直線的解析式為，
又，
∴，
解得，
∴直線的解析式為．
11．(1)
(2)的最大值為
【分析】（1）先求點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）求出的解析式，設(shè)，則：，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；
【詳解】（1）解：∵，
，
，
，
，
把，代入函數(shù)解析式得：，
解得：；
．
（2）解：，
∴設(shè)直線的解析式為：，
把代入得：，
，
設(shè)，則：，
，
，
，
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)最值，二次函數(shù)與三角形面積等知識(shí)點(diǎn)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
平行轉(zhuǎn)化法1：條件：PMAC
結(jié)論：S△PAC=S△MAC
平行轉(zhuǎn)化法2：條件：PMAB
結(jié)論：S△PAB=S△MAB
1．底相等，面積比=高之比
2．高相等，面積比=底之比

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