挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘              專題5二次函數(shù)與面積最值定值問題面積是平面幾何中一個重要的概念，關(guān)聯(lián)著平面圖形中的重要元素邊與角，由動點而生成的面積問題，是拋物線與直線形結(jié)合的覺形式，常見的面積問題有規(guī)則的圖形的面積（如直角三角形、平行四邊形、菱形、矩形的面積計算問題）以及不規(guī)則的圖形的面積計算，解決不規(guī)則的圖形的面積問題是中考壓軸題常考的題型，此類問題計算量較大。有時也要根據(jù)題目的動點問題產(chǎn)生解的不確定性或多樣性。解決這類問題常用到以下與面積相關(guān)的知識：圖形的割補、等積變形、等比轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)方法. 面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類：一是先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗方程的根．二是先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗證假設(shè)是否正確．   解決動點產(chǎn)生的面積問題，常用到的知識和方法，如下：如圖1，如果三角形的某一條邊與坐標(biāo)軸平行，計算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式．如圖2，圖3，三角形的三條邊沒有與坐標(biāo)軸平行的，計算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補”的方法．圖1                       圖2                     圖3計算面積長用到的策略還有：如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖5，同底三角形的面積比等于高的比．如圖6，同高三角形的面積比等于底的比．圖4                   圖5            圖6
【例1】（2022?青海）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點E是拋物線的對稱軸與直線BC的交點，點F是拋物線的頂點，求EF的長；（3）設(shè)點P是（1）中拋物線上的一個動點，是否存在滿足S△PAB＝6的點P？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（請在圖2中探討） 【例2】（2022?隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸分別交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝﹣1，且OA＝OC，P為拋物線上一動點．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點P在直線AC上方時，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時P點的坐標(biāo)；（3）設(shè)M為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)P，M運動時，在坐標(biāo)軸上是否存在點N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點P及其對應(yīng)點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【例3】（2022?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx﹣3（k≠0）與拋物線y＝﹣x2相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B關(guān)于y軸的對稱點為B'．（1）當(dāng)k＝2時，求A，B兩點的坐標(biāo)；（2）連接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面積與△OAB的面積相等，求k的值；（3）試探究直線AB'是否經(jīng)過某一定點．若是，請求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【例4】（2022?岳陽）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1：y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0）和點B（1，0）．（1）求拋物線F1的解析式；（2）如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關(guān)于原點O成中心對稱，請直接寫出拋物線F2的解析式；（3）如圖3，將（2）中拋物線F2向上平移2個單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點（點C在點D的左側(cè)）．①求點C和點D的坐標(biāo)；②若點M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動點（點M，N與點C，D不重合），試求四邊形CMDN面積的最大值． 1．（2022?金壇區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx﹣2的圖象與x軸交于點A（3，0），B（點B在點A左側(cè)），與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于x軸對稱，作直線AD．（1）填空：b＝　   　；（2）將△AOC平移到△EFG（點E，F，G依次與A，O，C對應(yīng)），若點E落在拋物線上且點G落在直線AD上，求點E的坐標(biāo)；（3）設(shè)點P是第四象限拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，垂足為H，交AC于點T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT與△CPT的面積之比．2．（2022?羅城縣模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+b經(jīng)過點A（2，6），B（﹣4，0），其中E、F（m，n）為拋物線上的兩個動點．（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標(biāo)；（2）若C（x，y）是拋物線上的一點，當(dāng)﹣4＜x＜2且S△ABC最大時，求點C的坐標(biāo)；（3）若EF∥x軸，點A到EF的距離大于8個單位長度，求m的取值范圍．3．（2022?老河口市模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2mx的頂點為A，直線l：y＝x﹣1與x軸交于點B．（1）如圖，已知點A的坐標(biāo)為（2，4），拋物線與直線l在第一象限交于點C．①求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；②點M為線段BC上不與B，C重合的一動點，過點M作x軸的垂線交x軸于點D，交拋物線于點E，設(shè)點M的橫坐標(biāo)t．當(dāng)EM＞BD時，求t的取值范圍；（2）過點A作AP⊥l于點P，作AQ∥l交拋物線于點Q，連接PQ，設(shè)△APQ的面積為S．直接寫出①S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②S的最小值及S取最小值時m的值．4．（2022?新吳區(qū)二模）如圖，已知拋物線y＝+bx過點A（﹣4，0）、頂點為B，一次函數(shù)y＝x+2的圖象交y軸于M，對稱軸與x軸交于點H． （1）求拋物線的表達式；（2）已知P是拋物線上一動點，點M關(guān)于AP的對稱點為N．①若點N恰好落在拋物線的對稱軸上，求點N的坐標(biāo)；②請直接寫出△MHN面積的最大值．5．（2022?開福區(qū)校級二模）如圖，拋物線y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C．（1）直接寫出∠OCA的度數(shù)和線段AB的長（用a表示）；（2）如圖①，若a＝2，點D在拋物線的對稱軸上，DB＝DC，求△BCD與△ACO的周長之比；（3）如圖②，若a＝3，動點P在線段OA上，過點P作x軸的垂線分別與AC交于點M，與拋物線交于點N．試問：拋物線上是否存在點Q，使得△PQN與△BPM的面積相等，且線段NQ的長度最小？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．6．（2022?官渡區(qū)二模）拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸正半軸于點C，對稱軸為直線．（1）如圖1，若點C坐標(biāo)為（0，2），則b＝　   　，c＝　   　；（2）若點P為第二象限拋物線上一動點，在（1）的條件下，求四邊形ABCP面積最大時，點P坐標(biāo)和四邊形ABCP的最大面積；（3）如圖2，點D為拋物線的頂點，過點O作MN∥CD別交拋物線于點M，N，當(dāng)MN＝3CD時，求c的值．7．（2022?徐州二模）如圖，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，動點P從A點出發(fā)，沿邊AB運動到點B，動點Q同時由A點出發(fā)，沿折線AD﹣DC﹣CB運動點B停止，在移動過程中始終保持PQ⊥AB，已知點P的移動速度為每秒1個單位長度，設(shè)點P的移動時間為x秒，△APQ的面積為y，已知y與x之間函數(shù)關(guān)系如圖②，其中MN為線段，曲線OM，NK為拋物線的一部分，根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）圖①AB＝　   　，BC＝　   　；（2）分別求線段MN，曲線NK所對應(yīng)的函數(shù)表達式；（3）當(dāng)x為何值，△APQ的面積為6？8．（2022?茌平區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象交x軸于點B（﹣8，0），C（2，0），交y軸點A．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）連接AC，AB，若點P在線段BC上運動（不與點B，C重合），過點P作PD∥AC，交AB于點D，試猜想△PAD的面積有最大值還是最小值，并求出此時點P的坐標(biāo)．（3）連接OD，在（2）的條件下，求出的值．9．（2022?碑林區(qū)校級模擬）拋物線W1：y＝a（x+）2﹣與x軸交于A（﹣5，0）和點B．（1）求拋物線W1的函數(shù)表達式；（2）將拋物線W1關(guān)于點M（﹣1，0）對稱后得到拋物線W2，點A、B的對應(yīng)點分別為A'，B'，拋物線W2與y軸交于點C，在拋物線W2上是否存在一點P，使得S△PA′B′＝S△PA'C，若存在，求出P點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．10．（2021秋?欽北區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6與直線y＝x+2相交于A（，）、B（4，6）兩點，點P是線段AB上的動點（不與A、B兩點重合），過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C，點E是直線AB與x軸的交點．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點C是拋物線的頂點時，求△BCE的面積；（3）是否存在點P，使得△BCE的面積最大？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．11．（2022?保定一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P從原點O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動t秒（t＞0），拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點O和點P，已知矩形ABCD的三個頂點為A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求c，b（含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)4＜t＜5時，設(shè)拋物線分別與線段AB，CD交于點M，N．①在點P的運動過程中，你認為∠AMP的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出∠AMP的值；②求△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．并求t為何值時，△MPN的面積為．12．（2022?黃石模擬）如圖，已知拋物線與x軸交于A（2，0），B兩點，與y軸交于點C（0，﹣4），直線與x軸交于點D，點P是拋物線上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于點F．（1）求該拋物線的表達式；（2）點P是拋物線上位于第三象限的一動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)是m，四邊形PCOB的面積是S．①求S關(guān)于m的函數(shù)解析式及S的最大值；②點Q是直線PE上一動點，當(dāng)S取最大值時，求△QOC周長的最小值及FQ的長．13．（2022?哈爾濱模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸的負半軸交于點A，與x的正半軸交于點B，與y軸正半軸交于點C，OB＝2OA．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接AD交y軸于點E，過C作CF⊥y軸交拋物線于點F，連接DF，設(shè)四邊形DECF的面積為S，點D的橫坐標(biāo)的t，求S與t的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，過F作FM∥y軸交AD于點M，連接CD交FM于點G，點N是CE上一點，連接MN、EG，當(dāng)∠BAD+2∠AMN＝90°，MN：EG＝，求點D的坐標(biāo)． 14．（2022?利川市模擬）如圖，等腰直角三角形OAB的直角頂點O在坐標(biāo)原點，直角邊OA，OB分別在y軸和x軸上，點C的坐標(biāo)為（3，4），且AC平行于x軸．（1）求直線AB的解析式；（2）求過B，C兩點的拋物線y＝﹣x2+bx+c的解析式；（3）拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一個交點為D，試判定OC與BD的大小關(guān)系；（4）若點M是拋物線上的動點，當(dāng)△ABM的面積與△ABC的面積相等時，求點M的坐標(biāo)．15．（2021?襄陽）如圖，直線y＝x+1與x，y軸分別交于點B，A，頂點為P的拋物線y＝ax2﹣2ax+c過點A．（1）求出點A，B的坐標(biāo)及c的值；（2）若函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4時有最大值為a+2，求a的值；（3）連接AP，過點A作AP的垂線交x軸于點M．設(shè)△BMP的面積為S．①直接寫出S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式及a的取值范圍；②結(jié)合S與a的函數(shù)圖象，直接寫出S＞時a的取值范圍．16．（2021?遼寧）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點C（﹣1，0），與y軸交于點B（0，3），連接AB，BC，點P是拋物線第一象限上的一動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，作PF⊥PD于點P，使PF＝OA，以PE，PF為鄰邊作矩形PEGF．當(dāng)矩形PEGF的面積是△BOC面積的3倍時，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖2，當(dāng)點P運動到拋物線的頂點時，點Q在直線PD上，若以點Q、A、B為頂點的三角形是銳角三角形，請直接寫出點Q縱坐標(biāo)n的取值范圍．17．（2021?賀州）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，且A（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）直線l過點A且在第一象限與拋物線交于點C．當(dāng)∠CAB＝45°時，求點C的坐標(biāo)；（3）點D在拋物線上與點C關(guān)于對稱軸對稱，點P是拋物線上一動點，令P（xP，yP），當(dāng)1≤xP≤a，1≤a≤5時，求△PCD面積的最大值（可含a表示）．18．（2021?常德）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形ABCD的AB邊與y軸交于E點，F是AD的中點，B、C、D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（8，0），（13，10）．（1）求過B、E、C三點的拋物線的解析式；（2）試判斷拋物線的頂點是否在直線EF上；（3）設(shè)過F與AB平行的直線交y軸于Q，M是線段EQ之間的動點，射線BM與拋物線交于另一點P，當(dāng)△PBQ的面積最大時，求P的坐標(biāo)．19．（2021?福建）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸只有一個公共點．（1）若拋物線過點P（0，1），求a+b的最小值；（2）已知點P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有兩點在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：y＝kx+1與拋物線交于M，N兩點，點A在直線y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和l于點B，C．求證：△MAB與△MBC的面積相等．20．（2021?柳州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接OD，過點B作BE⊥OD，垂足為E，若BE＝2OE，求點D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點M為第四象限拋物線上一動點，連接AM，交BC于點N，連接BM，記△BMN的面積為S1，△ABN的面積為S2，求的最大值．21．（2021?聊城）如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，已知A，C兩點坐標(biāo)分別是A（1，0），C（0，﹣2），連接AC，BC．（1）求拋物線的表達式和AC所在直線的表達式；（2）將△ABC沿BC所在直線折疊，得到△DBC，點A的對應(yīng)點D是否落在拋物線的對稱軸上？若點D在對稱軸上，請求出點D的坐標(biāo)；若點D不在對稱軸上，請說明理由；（3）若點P是拋物線位于第三象限圖象上的一動點，連接AP交BC于點Q，連接BP，△BPQ的面積記為S1，△ABQ的面積記為S2，求的值最大時點P的坐標(biāo)．22．（2020?賀州）如圖，拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2與y軸交于點A（0，2），頂點為B．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點P（t，y1），Q（t+3，y2）都在拋物線上，且y1＝y2，求P，Q兩點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點C是線段QB上一動點，經(jīng)過點C的直線y＝﹣x+m與y軸交于點D，連接DQ，DB，求△BDQ面積的最大值和最小值． 
 

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