1.了解三元一次方程組的定義，掌握簡單的三元一次方程組的解法；2.經(jīng)歷認識三元一次方程組，并掌握三元一次方程組解法的過程，進一步體會消元思想；3.培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力與合作意識、探索精神；4.能用三元一次方程組解決某些實際問題.并通過列方程組解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，體會數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系。
思考：1.什么是一元一次方程？
只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是 1，這樣的方程叫作一元一次方程.
含有兩個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫作二元一次方程.
2.什么是二元一次方程？
在列方程解許多實際問題時，其涉及的未知數(shù)可能不止兩個，例如三個 .此時常常需要列出含有三個未知數(shù)的方程.
類比一元一次方程和二元一次方程的概念，含有三個未知數(shù)的方程是什么方程？
知識點1：三元一次方程（組）
含有三個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程，叫作三元一次方程.
例如：x+y+z=15，x=2y+6z等.
注意：三元一次方程需要滿足的條件：①是整式方程；②含有三個未知數(shù)；③含有的未知數(shù)的項的次數(shù)都是1.三個條件缺一不可.
含有三個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1 的方程組叫作三元一次方程組.
一般地，三元一次方程組含有三個方程.
【注意】組成三元一次方程組的某個方程，可以是一元一次方程，也可以是二元一次方程，還可以是三元一次方程，只要保證方程組中一共有三個未知數(shù)即可.
做一做：已知一個三位數(shù)的個位數(shù)字是十位數(shù)字與百位數(shù)字之和的 2倍，百位數(shù)字是十位數(shù)字的 3 倍，三位數(shù)字之和為 12. 設(shè)個位數(shù)字為 x，十位數(shù)字為y，百位數(shù)字為z，請列出這個方程組.
知識點3：三元一次方程組的解
對于未知數(shù)為 x，y，z 的三元一次方程組，若 x，y，z 分別用數(shù) c1，c2，c3代入，能使每個方程左右兩邊的值相等，則把（c1，c2，c3）叫作這個方程組的一個解.
想一想：怎樣解三元一次方程組呢？
解二元一次方程組的思路是通過消元將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解，這種思路是否適合解三元一次方程組呢？
怎樣將三元一次方程組通過消元轉(zhuǎn)化為二元一次方程組？
將方程①兩邊都乘2，得2x + 2y + 4z = 6. ④
④+②，得y + 5z = 3. ⑤
①-③，得-y + 6z = 8. ⑥
解由方程⑤和⑥組成的二元一次方程組，得y =-2，z = 1.
把y =-2，z = 1代入方程①，得x = 3.
【總結(jié)歸納】解三元一次方程組時，應(yīng)先消去一個未知數(shù)，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，然后利用解二元一次方程組的方法求解 . 消元的方法仍是代入消元法或加減消元法.
解：③ × 5 - ①，得y + 4z =-10. ④ ③ × 3 - ②，得2y + 7z =-7. ⑤ ④ × 2 - ⑤，得z =-13.
把z用-13代入方程④，得y = 42.把y用42，z用-13代入方程③，得 x =-31.
【拓展提高】(1)將一個方程與另外兩個方程分組進行消元時，必須是消去同一個未知數(shù)，否則無法達到真正消元的目的.(2)除去代入消元法和加減消元法外，三元一次方程組也可用一些特殊的解法，解題前應(yīng)認真觀察，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?
解：② × 3 - ①，得x + 7z =-12. ④② + ③，得5x - 2z =-23. ⑤④ × 5 - ⑤，得37z =-37，兩邊都除以37，得z =-1.
把z用-1代入方程④，得x =-5.把x用-5，z用-1代入方程②，得y =-4.
【知識技能類作業(yè)】必做題：
1.下列不是三元一次方程組的是(　 　)
2.解方程組 若要使運算簡便，消元的方法應(yīng)選取( )A.先消去xB.先消去yC.先消去D.以上說法都不對
解：②+①，得 3x +4y =24.④③+①，得6x -3y=15，所以2x -y=5.⑤④+⑤×4，得11x=44，解得x=4.將x=4代入⑤，得8-y=5，解得y=3.
將x=4，y=3 代入①，得4+3 +z=15，解得z=8.
【知識技能類作業(yè)】選做題：
4.在春節(jié)來臨之際，京東商城推出A，B，C三種禮盒，如果購買A禮盒3盒、B禮盒2盒和C禮盒2盒，則需付人民幣2200元；如果購買A禮盒4盒、B禮盒3盒和C禮盒5盒，則需付人民幣3150元；李老板預(yù)計購買A禮盒5盒、B禮盒4盒和C禮盒8盒送親戚朋友，則共需付人民幣__________元.
5.用不同的方法解三元一次方程組：
解法1：①+②+③，得2(x +y+z) =10，所以x+y+z=5.④④-①，得z=4. ④ -②，得x= -1. ④-③，得y=2.
將x=-1 ①，得y=2.
6.某農(nóng)場有300名職工耕種51公頃土地，計劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植農(nóng)作物每公頃所需的勞動力人數(shù)及投入的設(shè)備資金如表:
已知該農(nóng)場計劃投入67萬元，應(yīng)該怎樣安排這三種農(nóng)作物的種植面積，才能使所有職工都有工作，而且投入的資金正好夠用?
6.解：設(shè)種植水稻、棉花和蔬菜的面積分別為x公頃、y公頃和z公頃.
答：種植水稻、棉花和蔬菜的面積分別為15 公頃、20 公頃和16 公頃.
1.什么是三元一次方程？2.什么是三元一次方程組？3.怎樣解三元一次方程組？
1.下列四組數(shù)值中，是方程組 的解的是（ ）
3.利用加減消元法解方程組， 下列做法正確的是（ ）
5.某學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的2倍少3，足球數(shù)與排球數(shù)的比是2:3，三種球共41個，求三種球各有多少個.
解:設(shè)籃球有x個，排球有y個，足球有z個.
把①代入③，得3y+z=44. ④由④得z=44-3y. ⑤

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*3.8 三元一次方程組

版本： 湘教版（2024）

年級： 七年級上冊（2024）

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