專(zhuān)題5 “回歸教材”類(lèi)型
數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、知識(shí)結(jié)構(gòu)和基本線索，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源．
從近幾年中考試題來(lái)看，有回歸教材的探索，主要從教材中典型例題和典型習(xí)題加以改編、拓展、運(yùn)用，或者賦予它們新的情境，給予新的方法，解決復(fù)雜的問(wèn)題；也可以是從教材中選取一段重要內(nèi)容，深入剖析和運(yùn)用，旨在使學(xué)生掌握教材的學(xué)習(xí)方法，用好教材，促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展．
考點(diǎn)講解：教材的例題，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的示范．中考命題關(guān)注教材的例題，目的是引導(dǎo)學(xué)生掌握例題學(xué)習(xí)的方法．
【例1】
（2019·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）
1．教材呈現(xiàn)：如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容．
例2 如圖，在中，分別是邊的中點(diǎn)，相交于點(diǎn)，求證：，
證明：連結(jié)．
請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．
結(jié)論應(yīng)用：在中，對(duì)角線交于點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)．
（1）如圖②，若為正方形，且，則的長(zhǎng)為 ．
（2）如圖③，連結(jié)交于點(diǎn)，若四邊形的面積為，則的面積為 ．
【變1】
（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）
2．【問(wèn)題背景】
人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第63頁(yè)“實(shí)驗(yàn)與探究”問(wèn)題1如下：如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，無(wú)論正方形繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的.想一想，這是為什么？（此問(wèn)題不需要作答）
九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上面的問(wèn)題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)落在線段上，（為常數(shù)）．

【特例證明】
（1）如圖1，將的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，兩直角邊分別與邊，相交于點(diǎn)，.
①填空：______；
②求證：．（提示：借鑒解決【問(wèn)題背景】的思路和方法，可直接證明；也可過(guò)點(diǎn)分別作，的垂線構(gòu)造全等三角形證明．請(qǐng)選擇其中一種方法解答問(wèn)題②．）
【類(lèi)比探究】
（2）如圖2，將圖1中的△PEF沿方向平移，判斷與的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示），并說(shuō)明理由．
【拓展運(yùn)用】
（3）如圖3，點(diǎn)在邊上，，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，若，求的值．
習(xí)題就是數(shù)學(xué)教材為學(xué)生提供的、可供學(xué)生練習(xí)和實(shí)踐的、具有已知答案的問(wèn)題．用好習(xí)題，是用好教材，落實(shí)“雙減”的重要環(huán)節(jié)．
【例1】
（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）
3．華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁(yè)習(xí)題19.3第2小題及參考答案．
某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對(duì)該問(wèn)題進(jìn)一步探究
(1)【問(wèn)題探究】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．
(2)【知識(shí)遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．
(3)【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．
【變1】
（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）
4．小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁(yè)第5題后，進(jìn)行變式、探究與思考：如圖1，的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，且，．

(1)復(fù)習(xí)回顧：求的長(zhǎng)．
(2)探究拓展：如圖2，連接，點(diǎn)G是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
①當(dāng)點(diǎn)G是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；
②設(shè)，，請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明理由；
③如圖3，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)計(jì)算的長(zhǎng)．
教材編寫(xiě)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體性、一致性和階段性，素材選取貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，能引發(fā)學(xué)生思考．中考關(guān)注教材內(nèi)容，旨在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)教材，使教材在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)上發(fā)揮更大的作用．
【例1】
（2023上·廣西南寧·九年級(jí)三美學(xué)校?？计谀?br>5．教材呈現(xiàn)
以下是人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第53頁(yè)的部分內(nèi)容．
如圖，四邊形中，，．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．
概念理解
(1)根據(jù)上面教材的內(nèi)容，請(qǐng)寫(xiě)出“箏形”的一條性質(zhì)：______；
(2)如圖1，在中，，垂足為，與關(guān)于所在的直線對(duì)稱(chēng)，與關(guān)于所在的直線對(duì)稱(chēng)，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)．請(qǐng)寫(xiě)出圖中的“箏形”： ______；（寫(xiě)出一個(gè)即可）
應(yīng)用拓展
(3)如圖2，在（2）的條件下，連接，分別交，于點(diǎn)，，連接．
①求證：；
②求證：．
【變1】
（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考二模）
6．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁(yè)的部分內(nèi)容．
【定理證明】請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖1，寫(xiě)出證明過(guò)程．
【定理應(yīng)用】如圖2，在矩形中，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，連接、、．

（1）當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是__________，的值為_(kāi)_________；
（2）如圖3，在平行四邊形中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)P在上，，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，，連接．
①求的度數(shù)；
②直接寫(xiě)出的值．
回歸教材，促進(jìn)師生用好教材．回歸教材的中考試題，一般都會(huì)指明教材的版本、年級(jí)、內(nèi)容出現(xiàn)的位置，就等于給出了試題考查的知識(shí)范圍；這類(lèi)題一般會(huì)給出新的方法或提出新的問(wèn)題，需要考生對(duì)知識(shí)進(jìn)行綜合，對(duì)方法進(jìn)行融合，對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行升華．
（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考二模）
7．【教材呈現(xiàn)】如圖是人教版九年級(jí)上冊(cè)第86頁(yè)部分內(nèi)容：
【定理應(yīng)用】如圖1，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，是的直徑，過(guò)點(diǎn)C作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．平分，求證：．
【拓展應(yīng)用】如圖2，已知是等邊三角形，以為底邊在外作等腰直角三角形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接．若，求的面積．

一、選擇題
（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）
8．小明做如圖所示教材中的部分練習(xí)題，結(jié)果如下：

第1題：；
第2題： ．
兩個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示的結(jié)果（ ）
A．都正確B．都不正確
C．第一題正確，第二題不正確D．第一題不正確，第二題正確
二、解答題
（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）
9．在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)
【問(wèn)題情境】
劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊(cè)第頁(yè)“探索”部分內(nèi)容：
如圖，將一個(gè)三角形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，那么可以得到：，，；，，（ ）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學(xué)就是一門(mén)哲學(xué)．
【問(wèn)題解決】
（1）上述問(wèn)題情境中“（ ）”處應(yīng)填理由：____________________；
（2）如圖，小王將一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置．

①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)；
②如果，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_________；
【問(wèn)題拓展】
小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開(kāi)紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止，此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請(qǐng)你幫助小李解決這個(gè)問(wèn)題．

（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）
10．同學(xué)們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過(guò)的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你回答：
(1)【問(wèn)題一】如圖①，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________；
(2)【問(wèn)題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫(huà)出了圖③：直線、經(jīng)過(guò)正方形的對(duì)稱(chēng)中心，直線分別與、交于點(diǎn)、，直線分別與、交于點(diǎn)、，且，若正方形邊長(zhǎng)為8，求四邊形的面積；
(3)【問(wèn)題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫(huà)出了圖④：正方形的頂點(diǎn)在正方形的邊上，頂點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，．在直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．
（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）
11．【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁(yè)的部分內(nèi)容．
【問(wèn)題解決】（1）如圖①，已知矩形紙片，將矩形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕為，點(diǎn)在上．求證：四邊形是正方形．
【規(guī)律探索】（2）由【問(wèn)題解決】可知，圖①中的為等腰三角形．現(xiàn)將圖①中的點(diǎn)沿向右平移至點(diǎn)處（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），如圖②，折痕為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，那么還是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【結(jié)論應(yīng)用】（3）在圖②中，當(dāng)時(shí)，將矩形紙片繼續(xù)折疊如圖③，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，點(diǎn)在上．要使四邊形為菱形，則___________．
（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃?br>12．綜合與實(shí)踐
瑩瑩復(fù)習(xí)教材時(shí)，提前準(zhǔn)備了一個(gè)等腰三角形紙片，如圖，．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把，點(diǎn)B與點(diǎn)C重疊對(duì)折，得折痕，展開(kāi)后，她把點(diǎn)B與點(diǎn)A重疊對(duì)折，得折痕，再展開(kāi)后連接，交折痕于點(diǎn)O，則點(diǎn)O就是的重心．
教材重現(xiàn)：
(1)初步觀察：
連接，則與的數(shù)量關(guān)系是：________；
(2)初步探究：
請(qǐng)幫助瑩瑩求出的面積；
(3)猜想驗(yàn)證：
瑩瑩通過(guò)測(cè)量驚奇地發(fā)現(xiàn)．她的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(4)拓展探究：
瑩瑩把剪下后得，發(fā)現(xiàn)可以與拼成四邊形，且拼的過(guò)程中點(diǎn)不與點(diǎn)重合，直接寫(xiě)出拼成四邊形時(shí)的長(zhǎng)．
（2023·江蘇連云港·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）
13．【閱讀材料】
請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中獲取的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問(wèn)題．
【基礎(chǔ)應(yīng)用】已知中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接交于點(diǎn)．
(1)如圖1，若，，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；
(2)如圖2，若，，探究與之間的數(shù)量關(guān)系；
【靈活應(yīng)用】如圖3，是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____，掃過(guò)的面積為_(kāi)_____．
（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)?？既＃?br>14．【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第103─104頁(yè)的部分內(nèi)容：
請(qǐng)用演繹推理寫(xiě)出證明過(guò)程．

(1)如圖①，在四邊形中，，是的中點(diǎn)，連結(jié)，．則的度數(shù)為_(kāi)_______．
(2)如圖②，將直角三角形繞其直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，若旋轉(zhuǎn)角小于且點(diǎn)、、共線時(shí)，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)__________．
（2023·湖南衡陽(yáng)·一模）
15．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第103頁(yè)的部分內(nèi)容．
(1)請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．
(2)【應(yīng)用】如圖②，直角三角形紙片中，，點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，連結(jié)，將沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，此時(shí)恰好有．若，那么 ．
(3)【拓展】如圖③，在等腰直角三角形中，，D是邊中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是多少？
（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃?br>16．【閱讀材料】
請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中獲取的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問(wèn)題．
【基礎(chǔ)應(yīng)用】已知中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接交于點(diǎn)．
(1)如圖1，若，，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；
(2)如圖2，若，，探究與之間的數(shù)量關(guān)系；
【靈活應(yīng)用】如圖3，是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____，掃過(guò)的面積為_(kāi)_____．
2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．
證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
如圖23.4.2，在中，點(diǎn)D、E分別是與的中點(diǎn)．根據(jù)畫(huà)出的圖形，可以猜想：

，且，
對(duì)此，我們可以用演繹推理給出證明．
圓周角定理推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
如圖，已知：A、B、C三點(diǎn)在上，，求證：為直徑．

證明：∵為圓周角所對(duì)的弦，為圓周角所對(duì)應(yīng)的圓心角，
∴，且．
∴，點(diǎn)O在線段上，即三點(diǎn)共線，
則為的直徑．上述推理：得．
如圖，用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片．你知道怎樣確定這個(gè)點(diǎn)的位置嗎？

在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線（median）如圖，是的邊上的中線．

教材習(xí)題
如圖，、相交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，，求證：是中點(diǎn)．
問(wèn)題分析
由條件易證，從而得到，即點(diǎn)是的中點(diǎn)
方法提取
構(gòu)造“平行字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種常用方法
如圖，在中，你畫(huà)出斜邊上的中線，量一量，看析與有什么關(guān)系、相位你與你的同伴一定會(huì)發(fā)現(xiàn)：恰好是的一半、下面讓我們用演每推理證明這一猜息．
已知：如圖．．，在中，，是斜邊上的中線．
求證：

例2如圖，在中，，是斜邊上的中線．求證：．
證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)、．
教材習(xí)題
如圖，、相交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，，求證：是中點(diǎn)．
問(wèn)題分析
由條件易證，從而得到，即點(diǎn)是的中點(diǎn)
方法提取
構(gòu)造“平行字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種常用方法
參考答案：
1．教材呈現(xiàn)：詳見(jiàn)解析；結(jié)論應(yīng)用：（1）；（2）6．
【分析】教材呈現(xiàn)：如圖①，連結(jié)．根據(jù)三角形中位線定理可得，，那么，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例以及比例的性質(zhì)即可證明；
結(jié)論應(yīng)用：（1）如圖②．先證明，得出，那么，又，可得，由正方形的性質(zhì)求出，即可求出；
（2）如圖③，連接．由（1）易證．根據(jù)同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊之比得出與的面積比，同理，與的面積比＝2，那么的面積的面積＝2（的面積的面積）＝，所以的面積，進(jìn)而求出的面積．
【詳解】教材呈現(xiàn)：
證明：
如圖①，連結(jié)．
∵在中，分別是邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
結(jié)論應(yīng)用：
（1）解：如圖②．
∵四邊形為正方形，為邊的中點(diǎn)，對(duì)角線、交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∴．
故答案為；
（2）解：如圖③，連接．
由（1）知，，
∴．
∵與的高相同，
∴與的面積比，
同理，與的面積比＝2，
∴的面積的面積＝2（的面積的面積），
∴的面積，
∴的面積．
故答案為6．
【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：相似三角形的判定和性質(zhì).靈活運(yùn)用正方形性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.
2．（1）①1；②見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）3
【分析】（1）①利用正方形性質(zhì)即可得出答案；
②根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，，利用證明即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作交于，利用平行線的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)易證得，，可證明，利用相似三角形性質(zhì)即可得出答案；
（3）過(guò)點(diǎn)作交于，作于，作于，利用證得，可得：，，再證得，可得，同理可得：，推出，進(jìn)而可得，令，則，，，利用勾股定理即可求得答案．
【詳解】解：（1）①由正方形的性質(zhì)可知：，
∵將的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，
故答案為：1；
②證明：∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴．
（2），理由如下：
過(guò)點(diǎn)作交于，

∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
即，
∴，
∴．
（3）過(guò)點(diǎn)作交于，作于，作于，

則，
∴，
即，
∴，
由（2）和已知條件可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，則，，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出相似三角形和全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
3．(1)1；證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求證△ABM≌△ADN即可．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求證△ABM∽△ADN．再根據(jù)其對(duì)應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可．
（3）先證是等邊三角形，設(shè)，過(guò)點(diǎn)，垂足為，交于點(diǎn)，則，在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，然后證，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例即可求解．
【詳解】（1），理由為：
過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴；
（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN，
∴，
∵，，AM＝HF，AN＝EG，
∴，
∴；
故答案為：
（3）解：∵，，
∴是等邊三角形，
∴設(shè)，
過(guò)點(diǎn)，垂足為，交于點(diǎn)，則，
在中，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合性較強(qiáng)，難度較大，是一道難題．
4．(1)；
(2)①見(jiàn)解析；②；③的長(zhǎng)為或．
【分析】（1）先求得的直徑為10，再利用垂徑定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①連接，由點(diǎn)G是的中點(diǎn)，推出，根據(jù)等角的余角相等即可證明結(jié)論成立；
②利用勾股定理求得，利用垂徑定理得到，推出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
③分兩種情況討論，當(dāng)和時(shí)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）解：連接，

∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，且，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴；
（2）解：①連接，

∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，

∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
③當(dāng)時(shí)，

在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
當(dāng)時(shí)，

在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
綜上，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．
5．(1)垂直平分線段；
(2)四邊形（答案不唯一）
(3)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的判定可得結(jié)論；
（2）根據(jù)“箏形”的定義判斷即可；
（3）①利用同角的余角相等證明即可；
②利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴垂直平分線段．
故答案為：垂直平分線段；
（2）解：由翻折變換的性質(zhì)可知，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是“箏形”，
故答案為：四邊形（答案不唯一）；
（3）①證明：如圖1中，
由翻折變換的性質(zhì)可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②證明：如圖2中，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
6．【定理證明】證明見(jiàn)解析；【定理應(yīng)用】（1）（或，；（2）①；②
【分析】
[定理證明]可以證明, 進(jìn)一步得出結(jié)論；
[定理應(yīng)用]可證明點(diǎn)是的中點(diǎn)，進(jìn)而得出四邊形是矩形，進(jìn)一步得出結(jié)果;
①連接, 可證明是等邊三角形，進(jìn)一步得出結(jié)果；
②連接,作于, 則 , , 解 表示出, 進(jìn)而解求得的值．
【詳解】解：【定理證明】證明：在中，
∵點(diǎn)D、E分別是與的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴∽，
∴，，
∴，．
【定理應(yīng)用】（1）如圖，

由于，
∴，，
∴，，（或．
∵點(diǎn)N為的中點(diǎn)，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，
∴為的中位線，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）①如圖，

連接,
由定理可得：
∵,

∵是的中點(diǎn),

∴,
∵,
∴是等邊三角形,
∴,
∴；
②如圖3,

連接,作于,則,
∵,
∴,
在中,,
∴,
在中, ，
由勾股定理得，

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理證明和運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)形,解直角三角形等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，利用三角形中位線定理.
7．【定理應(yīng)用】證明見(jiàn)解析；【拓展應(yīng)用】
【分析】定理應(yīng)用：連接，由切線的性質(zhì)得出，證出，，由相似三角形的判定可得出結(jié)論；
拓展應(yīng)用：連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，證明在以為直徑的圓上，由等邊三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
【詳解】定理應(yīng)用：證明：如圖，連接，
∵為的切線，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，
∴，
∴．
拓展應(yīng)用：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，

∵是等邊三角形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴A、E、C、D在以為直徑的圓上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理．
8．B
【分析】分別用絕對(duì)值大于1和絕對(duì)值小于1的科學(xué)記數(shù)法表示兩數(shù)，然后判斷即可．
【詳解】解：，故第一題錯(cuò)誤，
，故第二題錯(cuò)誤．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式．
9．問(wèn)題解決（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）①見(jiàn)解析②；問(wèn)題拓展：
【分析】問(wèn)題解決（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；
（2）①分別作和的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)O；②根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可；
問(wèn)題拓展，連接，交于，連接，，，由旋轉(zhuǎn)得，，在和中求出和的長(zhǎng)，可以求出，再證明，即可求出最后結(jié)果．
【詳解】解：【問(wèn)題解決】（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等
（2）①下圖中，點(diǎn)O為所求

②連接，，
扇形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置，
，,
，
設(shè)，
，
，
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為以點(diǎn)為圓心，圓心角為，為半徑的所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，
點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

【問(wèn)題拓展】解：連接，交于，連接，，如圖所示

．
由旋轉(zhuǎn)得，．
在中，
．
在中，
，
，
．
．
．
，
在和中，
，
又，，
．
又，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是抓住圖形旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形．
10．(1)
(2)16
(3)BP的長(zhǎng)度為2或3或6或7．
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，根據(jù)ASA可證，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2） 過(guò)點(diǎn)O作交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，作交AB于點(diǎn)T，交CD于點(diǎn)R，證明△進(jìn)而證明；
（3）分三種情況：利用三垂線構(gòu)造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠
∵是對(duì)角線，
∴∠，
∴∠，
∵四邊形是正方形，
∴∠，
∴∠
又∠
∴，
∴
∴
故答案為:
（2）過(guò)點(diǎn)O作交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，作交AB于點(diǎn)T，交CD于點(diǎn)R，如圖，
∵點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，
∴
又∠A=90°
∴四邊形ATOM是正方形，
∴
同（1）可證△
∴
（3）解：在直線BE上存在點(diǎn)P，使△APF為直角三角形，
①當(dāng)∠AFP=90°時(shí)，如圖④，延長(zhǎng)EF，AD相交于點(diǎn)Q，
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°，
∴四邊形ABEQ是矩形，
∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E，
∴∠EFP+∠EPF=90，
∵∠AFP=90°，
∴∠EFP+∠AFQ=90°，
∴△EFP∽△QAF，
∴，
∵QF=EQ-EF=4，
∴，
∴EP=1，
∴BP=BE-EP=7；
②當(dāng)∠APF=90°時(shí)，如圖⑤，
同①的方法得，△ABP∽△PEF，
∴，
∵PE=BE-BP=8-BP，
∴，
∴BP=2或BP=6；
③當(dāng)∠PAF=90°時(shí)，如圖⑥，
過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線交DA的延長(zhǎng)線于M，延長(zhǎng)EF，AD相交于N，
同①的方法得，四邊形ABPM是矩形，
∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，
同①的方法得，四邊形ABEN是矩形，
∴AN=BE=8，EN=AB=6，
∴FN=EN-EF=4，
同①的方法得，△AMP∽△FNA，
∴，
∴，
∴AM=3，
∴BP=3，
即BP的長(zhǎng)度為2或3或6或7．
【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出相似三角形和全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
11．（1）見(jiàn)解析；（2）是等腰三角形，見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）由題意根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形進(jìn)行分析證明即可．
（2）根據(jù)題意證明∠QFP=∠FPQ即可解決問(wèn)題．
（3）由題意證明△PFQ，△PGA都是等邊三角形，設(shè)QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：（1）證明：如圖①中，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADA′=90°，
由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°，
∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°，
∴四邊形AEA′D是矩形，
∵DA=DA′，
∴四邊形AEA′D是正方形．
（2）結(jié)論：△PQF是等腰三角形．
理由：如圖②中，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QFP=∠APF，
由翻折可知，∠APF=∠FPQ，
∴∠QFP=∠FPQ，
∴QF=QP，
∴△PFQ是等腰三角形．
（3）如圖③中，
∵四邊形PGQF是菱形，
∴PG=GQ=FQ=PF，
∵QF=QP，
∴△PFQ，△PGQ都是等邊三角形，設(shè)QF=m，
∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°，
∴∠DQD′=30°，
∵∠D′=90°，
∴，
由翻折可知，，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
12．(1)
(2)4
(3)正確，理由見(jiàn)解析
(4)或
【分析】（1）直接利用證明，即可證明；
（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理得出的長(zhǎng)度，連接，由中位線的性質(zhì)可得，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)得出的長(zhǎng)，繼而求出面積即可；
（3），連接，由中位線的性質(zhì)可得，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)得出數(shù)量關(guān)系；
（4）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合，②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)F重合，再利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）由折疊可得，，
又∵，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）由折疊可得，，
∵，
∴，
連接，

∵點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）正確，理由如下：連接，

∵點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）
如圖③，連接，
∵，
∴，
由（3）知，，
∴在中，由勾股定理得，
由折疊的性質(zhì)得，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵與拼成四邊形，且拼的過(guò)程中點(diǎn)不與點(diǎn)重合，
∴共有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合，如圖③，；
②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)F重合，如圖④⑤，連接，
在中，由勾股定理得；
綜上，的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)定理，中線的意義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，并添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
13．(1)見(jiàn)解析；(2)；【靈活應(yīng)用】，
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，證，即可得點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)作，可證，得，由，，得，再證，可得，由平行線分線段成比例得，由，可得，，即可得出；
[靈活應(yīng)用]：由題意可得，過(guò)點(diǎn)作，則，可得，進(jìn)而可得，證，可知，過(guò)點(diǎn)作，則，，可得點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，可求得運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)作，則，，則點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，可知掃過(guò)的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，即可求得答案．
【詳解】解：（1）證明：，，
，
過(guò)點(diǎn)作，則，，

是等腰直角三角形，則，
，
，
，
，
又，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)作，則，

，，則，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
則，
，
；
[靈活應(yīng)用]：
是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，
，
過(guò)點(diǎn)作，則，

，
，
，
，
，
又，
，
，
過(guò)點(diǎn)作，則，，
，
，，
，則，
，
點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，
運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：
過(guò)點(diǎn)作，則，，

，
，
點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，
則掃過(guò)的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，
即：掃過(guò)的面積為
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例，圓周角定理，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
14．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)
【分析】定理證明：延長(zhǎng)到，使，連接，，則，根據(jù)中線的性質(zhì)可得，則四邊形是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)，則是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得證；
（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，可得，根據(jù)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）定理證明：延長(zhǎng)到，使，連接，，則，
∵是斜邊上的中線，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴是矩形，
∴，
∴；

（1）解：如圖所示，連接，

∵，，是的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴
∵
∴，
∴,
∴，
故答案為：．
（2）解：如圖所示，

在中，
∴
∵將直角三角形繞其直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，若旋轉(zhuǎn)角小于且點(diǎn)、、共線時(shí)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
15．(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為
【分析】（1）證明四邊形為矩形，利用矩形的性質(zhì)，即可得證；
（2）設(shè)交于點(diǎn)O，根據(jù)斜邊上的中線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出，進(jìn)而得到，證明為等腰三角形，得到，即可得出結(jié)果；
（3）過(guò)點(diǎn)D作，，證明四邊形為正方形，進(jìn)而推出，得到為等腰直角三角形，推出的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑為，中點(diǎn)的連線，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)到E，使，連接，則，

∵是斜邊上的中線，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是矩形，
∴，
∴；
（2）解：如圖2中，設(shè)交于點(diǎn)O．

∵，
∴，
∴，
由翻折的性質(zhì)可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：；
（3）過(guò)點(diǎn)D作，，如圖，

∵，
∴．
∴，
∵D是邊中點(diǎn)，
∴是邊中點(diǎn)，
∴，
同理：，
∵，
∴．
∴四邊形為正方形，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴為等腰直角三角形，
∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)于點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)于點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
連接，

∵，
∴四點(diǎn)共圓，且為直徑，
∴為圓心，
∴，即點(diǎn)在的中垂線上，
∵四邊形為正方形，
∴是的中垂線，
∴在線段上運(yùn)動(dòng)，路徑即為的長(zhǎng)，即M所經(jīng)過(guò)的路徑為，
∵，
∴，
∴的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，直線三角形斜邊上的中線，三角形的中位線，等腰三角判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，圓周角定理的推論，解直角三角形．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，準(zhǔn)確的添加輔助線，是解題的關(guān)鍵．
16．(1)見(jiàn)解析；(2)；【靈活應(yīng)用】，
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，證，即可得點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)作，可證，得，由，，得，再證，可得，由平行線分線段成比例得，由，可得，，即可得出；
[靈活應(yīng)用]：由題意可得，過(guò)點(diǎn)作，則，可得，進(jìn)而可得，證，可知，過(guò)點(diǎn)作，則，，可得點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，可求得運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)作，則，，則點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，可知掃過(guò)的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，即可求得答案．
【詳解】解：（1）證明：，，
，
過(guò)點(diǎn)作，則，，

是等腰直角三角形，則，
，
，
，
，
又，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)作，則，

，，則，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
則，
，
；
[靈活應(yīng)用]：
是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，
，
過(guò)點(diǎn)作，則，

，
，
，
，
，
又，
，
，
過(guò)點(diǎn)作，則，，
，
，，
，則，
，
點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，
運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：
過(guò)點(diǎn)作，則，，

，
，
點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，
則掃過(guò)的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，
即：掃過(guò)的面積為
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例，圓周角定理，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

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