為了更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性地描述一個實際現(xiàn)象，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)．使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型．有時候我們需要做一些實驗，但這些實驗往往用抽象出來了的數(shù)學(xué)模型作為實際物體的代替而進(jìn)行相應(yīng)的實驗，實驗本身也是實際操作的一種理論替代．
義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：模型觀念主要是指對運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認(rèn)識，知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量 關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義．
考點(diǎn)解讀：用代數(shù)式表示實際問題，探究數(shù)式的規(guī)律，比較數(shù)式的大小，通過數(shù)式運(yùn)算得出結(jié)果，體驗運(yùn)算結(jié)果的意義．
【例1】
（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）
1．正偶數(shù)2，4，6，8，10，…，按如下規(guī)律排列，
則第27行的第21個數(shù)是 ．
【變1】
（2022·浙江舟山·中考真題）
2．觀察下面的等式：，，，……
(1)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）
(2)請運(yùn)用分式的有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．
考點(diǎn)解讀：通過對實際問題的調(diào)查得出數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計圖表整理數(shù)據(jù)并分析數(shù)據(jù)，提供解決問題的一些策略和方法；通過列表或畫樹狀圖求隨機(jī)事件發(fā)生的概率，體驗概率的意義；利用幾何模型解決問題，提高對圖形的感知能力．
【例1】
（2023·江蘇連云港·連云港市新海實驗中學(xué)?？既＃?br>3．【閱讀材料】
請運(yùn)用上述閱讀材料中獲取的經(jīng)驗和方法解決下列問題．
【基礎(chǔ)應(yīng)用】已知中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的延長線上，連接交于點(diǎn)．
(1)如圖1，若，，求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；
(2)如圖2，若，，探究與之間的數(shù)量關(guān)系；
【靈活應(yīng)用】如圖3，是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)在延長線上，，，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動的路徑長為______，掃過的面積為______．
【變1】
（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）
4．【模型建立】
（1）如圖1，和都是等邊三角形，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在邊上．
①求證：；
②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型遷移】
（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

考點(diǎn)解讀：找出實際問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義．
【例1】
（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）
5．2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時代”為主題的世界清潔能源裝備大會在德陽舉行．大會聚焦清潔能源裝備產(chǎn)業(yè)發(fā)展熱點(diǎn)和前瞻性問題，著力實現(xiàn)會展聚集帶動產(chǎn)業(yè)聚集．其中德陽清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，規(guī)劃面積平方公里，計劃2025年基本建成．若甲、乙兩個工程隊計劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項工程，已知由甲單獨(dú)施工需要18個月完成任務(wù)，若由乙先單獨(dú)施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務(wù)．承建公司每個月需要向甲工程隊支付施工費(fèi)用8萬元，向乙工程隊支付施工費(fèi)用5萬元．
(1)乙隊單獨(dú)完工需要幾個月才能完成任務(wù)？
(2)為保證該工程在兩年內(nèi)完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個工程隊同時施工，并將該工程分成兩部分，甲隊完成其中一部分工程用了a個月，乙隊完成另一部分工程用了b個月，已知甲隊施工時間不超過6個月，乙隊施工時間不超過24個月，且a，b為正整數(shù)，則甲乙兩隊實際施工的時間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費(fèi)用最低？
【變1】
（2020·山東青島·中考真題）
6．實際問題：
某商場為鼓勵消費(fèi)，設(shè)計了投資活動．方案如下：根據(jù)不同的消費(fèi)金額，每次抽獎時可以從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張獎券，獎券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額．某顧客獲得了一次抽取5張獎券的機(jī)會，小明想知道該顧客共有多少種不同的優(yōu)惠金額？
問題建模：
從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取個整數(shù)，這個整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？
模型探究：
我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，從中找出解決問題的方法．
探究一：
（1）從1，2，3這3個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？
表①
如表①，所取的2個整數(shù)之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是5，所以共有3種不同的結(jié)果．
（2）從1，2，3，4這4個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？
表②
如表②，所取的2個整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是7，所以共有5種不同的結(jié)果．
（3）從1，2，3，4，5這5個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．
（4）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．
探究二：
（1）從1，2，3，4這4個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．
（2）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．
探究三：
從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取4個整數(shù)，這4個整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．
歸納結(jié)論：
從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取個整數(shù)，這個整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．
問題解決：
從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎券，共有______種不同的優(yōu)惠金額．
拓展延伸：
（1）從1，2，3，…，36這36個整數(shù)中任取多少個整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果？（寫出解答過程）
（2）從3，4，5，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取個整數(shù)，這個整數(shù)之和共有______種不同的結(jié)果．
考點(diǎn)解讀：找出實際問題中的變量及變量之間的變化關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號建立函數(shù)，利用函數(shù)的解析式、表格、圖象來刻畫變量之間的關(guān)系，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義．
【例1】
（2022·山東濰坊·中考真題）
7．某市在鹽堿地種植海水稻獲得突破性進(jìn)展，小亮和小瑩到海水稻種植基地調(diào)研．小瑩根據(jù)水稻年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別在直角坐標(biāo)系中描出表示2017-2021年①號田和②號田年產(chǎn)量情況的點(diǎn)（記2017年為第1年度，橫軸表示年度，縱軸表示年產(chǎn)量），如下圖．
小亮認(rèn)為，可以從y=kx+b(k>0) ，y=(m>0) ，y=?0.1x2+ax+c中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，模擬①號田和②號田的年產(chǎn)量變化趨勢．
(1)小瑩認(rèn)為不能選．你認(rèn)同嗎？請說明理由；
(2)請從小亮提供的函數(shù)模型中，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ头謩e模擬①號田和②號田的年產(chǎn)量變化趨勢，并求出函數(shù)表達(dá)式；
(3)根據(jù)（2）中你選擇的函數(shù)模型，請預(yù)測①號田和②號田總年產(chǎn)量在哪一年最大？最大是多少？
【變1】
（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）
8．【問題背景】
“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具．綜合實踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大?。┑能浌苤谱骱喴子嫊r裝置．
【實驗操作】
綜合實踐小組設(shè)計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如下表：
任務(wù)1 分別計算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．
【建立模型】
小組討論發(fā)現(xiàn)：“，”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫水面高度h與流水時間t的關(guān)系．

任務(wù)2 利用時，；時，這兩組數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時間t的函數(shù)解析式．
【反思優(yōu)化】
經(jīng)檢驗，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差．小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時，根據(jù)解析式求出所對應(yīng)的函數(shù)值，計算這些函數(shù)值與對應(yīng)h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越?。?br>任務(wù)3 （1）計算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值．
（2）請確定經(jīng)過的一次函數(shù)解析式，使得w的值最?。?br>【設(shè)計刻度】
得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計刻度，通過刻度直接讀取時間．
任務(wù)4 請你簡要寫出時間刻度的設(shè)計方案．
一、選擇題
（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）
9．如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型．在某高峰時段，單位時間進(jìn)出路口A，B，C的機(jī)動車輛數(shù)如圖所示．圖中分別表示該時段單位時間通過路段的機(jī)動車輛數(shù)（假設(shè)：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則的大小關(guān)系（用“”“”或“”連接）是（ ）

A．B．C．D．
（2019·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）
10．古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫﹣秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是，，，記，那么三角形的面積為如圖，在中，，，所對的邊分別記為，，，若，，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）
11．《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺．問木長多少尺？設(shè)木長尺，繩長尺，根據(jù)題意列方程組得（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
（2023·湖南湘西·?？级＃?br>12．在數(shù)學(xué)實踐活動中，某同學(xué)用一張如圖①所示的矩形紙板制做了一個扇形，并由這個扇形圍成一個圓錐模型（如圖②所示），若扇形的圓心角為，圓錐的底面半徑為2，則此圓錐的母線長為 ．

（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）
13．如圖，棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10個，乙盒中都是白子，共8個，嘉嘉從甲盒拿出a個黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數(shù)是甲盒所剩棋子數(shù)的2倍，則a＝ ；
（2）設(shè)甲盒中都是黑子，共個，乙盒中都是白子，共2m個，嘉嘉從甲盒拿出個黑子放入乙盒中，此時乙盒棋子總數(shù)比甲盒所剩棋子數(shù)多 個；接下來，嘉嘉又從乙盒拿回a個棋子放到甲盒，其中含有個白子，此時乙盒中有y個黑子，則的值為 ．
（2020·廣東·統(tǒng)考中考真題）
14．有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，，點(diǎn)，分別在射線，上，長度始終保持不變，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離的最小值為 ．
三、解答題
（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測）
15．【建?！磕嘲嚅_端午聯(lián)歡會，生活委員彤彤先購買了2個裝飾掛件共計3元，又購買了單價為2元的粽形香囊x個，設(shè)y（元）是所有裝飾掛件和粽形香囊的平均價格，則y與x的關(guān)系式為 ．
【探究】根據(jù)函數(shù)的概念，彤彤發(fā)現(xiàn)：y是x的函數(shù)．結(jié)合自己學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，為了更好地研究這個函數(shù)，彤彤打算先脫離實際背景，對該函數(shù)的完整圖象與性質(zhì)展開探究．請根據(jù)所給信息，將彤彤的探究過程補(bǔ)充完整：
（1）列表：
（2）在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，畫出該函數(shù)圖象：
（3）觀察圖象，彤彤發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：
①該函數(shù)圖象是中心對稱圖形，對稱中心是 ；
②該函數(shù)值y不可能等于 ；
③當(dāng)x＞﹣2時，y隨x的增大而 （填“增大”或者“減小”），當(dāng)x＜﹣2時，亦是如此．
【應(yīng)用】根據(jù)上述探究，結(jié)合實際經(jīng)驗，彤彤得到結(jié)論：粽形香囊越多，所購買物品的平均價格越 （填“高”或者“低”），但不會突破 元．
（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）
16．【問題情境】
（1）愛探究的小明在做數(shù)學(xué)題時遇到這樣一個問題：如圖，是的直徑，是上的一動點(diǎn)，若，則面積的最大值為 ．請幫小明直接填空；
【模型歸納】
（2）小明在完成填空后，對上面問題中模型進(jìn)行如下歸納：如圖，是的弦，是優(yōu)弧上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過圓心時，最大．請幫助小明完成這個結(jié)論的證明；
【模型應(yīng)用】
（3）如圖是四邊形休閑區(qū)域設(shè)計示意圖，已知，，休閑區(qū)域內(nèi)原有一條筆直小路的長為米，現(xiàn)為了市民在該區(qū)域內(nèi)散步方便，準(zhǔn)備再修一條長為米的小路，滿足點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在小路上．按設(shè)計要求需要給圖中陰影區(qū)域（即與四邊形，小路寬度忽略不計）種植花卉，為了節(jié)約成本且滿足設(shè)計需求，陰影部分的面積要盡可能的小．請問，是否存在符合設(shè)計要求的方案？若存在，請直接寫出陰影部分面積的最小值；若不存在，請說明理由．
（2023河南鄭州模擬）
17．閱讀理解
半角模型：半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角兩邊相等，通過翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)造全等三角形，使條件弱化，這樣可把握問題的本質(zhì)．

【問題背景】
如圖1，在四邊形中，分別是上的點(diǎn)，，試探究圖1中線段之間的數(shù)量關(guān)系．
【初步探索】
小亮同學(xué)認(rèn)為解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，則可得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是______________．
【探索延伸】
如圖2，在四邊形中，，分別是上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．
【結(jié)論運(yùn)用】
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以海里/小時的速度前進(jìn)，小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)處，且兩艦艇之間的夾角為，則此時兩艦艇之間的距離為__________海里．

（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
18．近幾年，我國快遞市場跟隨電商經(jīng)歷了爆發(fā)式增長，快遞已成為人們生活的一部分．越來越多的人選擇通過快遞公司代辦點(diǎn)郵寄包裹，那么選擇哪家快遞公司更合算呢？以此為驅(qū)動問題，某校八年級開展了項目學(xué)習(xí)．以下是李華同學(xué)幫家人選擇更優(yōu)惠的快遞公司的活動報告（不完整），請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
為家人選擇更優(yōu)惠的快遞公司活動報告
一、收集信息
經(jīng)了解我家附近有甲、乙兩個不同的快遞公司代辦點(diǎn)，服務(wù)質(zhì)量同等，爸爸媽媽郵寄快遞通常是隨機(jī)去其中的一個代辦點(diǎn)．他們郵寄的快遞都是省外且在以內(nèi)，體積一般較?。爝f費(fèi)通常是由首重費(fèi)和續(xù)重費(fèi)組成，以為單位計費(fèi)，不足按計費(fèi)．取實際重量和體積重量（長寬高，單位）中兩者較大值作為物品重量計費(fèi)．
甲、乙兩個代辦點(diǎn)省外郵寄費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)如下：
甲：首重收費(fèi)8元，續(xù)重5元；（即所寄物品重量不超過時收費(fèi)8元，重量超過時超過部分按每千克加收5元計費(fèi)）
乙：首重收費(fèi)10元，續(xù)重4元．
二、建立模型
１．發(fā)現(xiàn)所寄物品的快遞費(fèi)用（元）與物品重量之間存在函數(shù)關(guān)系，與之間的關(guān)系式為：
在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個函數(shù)的圖象（如圖，不完整），兩圖象交于點(diǎn)．

三、解決問題
我們可以根據(jù)圖象推斷哪個快遞公司更優(yōu)惠．結(jié)論如下：
……
任務(wù)：
(1)請將函數(shù)圖像補(bǔ)充完整（在圖中畫出的函數(shù)圖象），直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象推斷哪個快遞公司更優(yōu)惠．
(2)同一個問題可以有不同的解決策略，李華借助一次函數(shù)的圖象解決了這個問題，請你想想，此問題還可以借助哪些知識解決．
(3)同一策略可以幫助我們解決生活中的許多共性問題，例如以上策略還可以解決哪款手機(jī)套餐資費(fèi)更劃算的問題，請你再舉出一個利用以上策略解決的實際問題．
（2023·山東濟(jì)寧·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？级＃?br>19．阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．在后世的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容．前蘇聯(lián)在1964年根據(jù)阿爾·比魯尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．
【定理內(nèi)容】一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點(diǎn)在較長弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．
【定理模型】如圖①，已知和是的兩條弦（即折線是的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，那么從M向弦作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．
下面是運(yùn)用“補(bǔ)短法”證明的部分證明過程：
如圖②，延長至點(diǎn)F，使，連接，…

【定理證明】
(1)按照上面思路，寫出剩余部分的證明過程．
【問題解決】
(2)如圖③，內(nèi)接于，已知，D為上一點(diǎn)，連接，，，求的周長．
（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）
20．在學(xué)習(xí)對稱的知識點(diǎn)時，我們認(rèn)識了如下圖所示的“將軍飲馬”模型求最短距離．
問題提出：
(1)如圖1所示，已知A，B是直線l同旁的兩個定點(diǎn)．在直線l上確定一點(diǎn)P，并連接與，使的值最小．

問題探究：
(2)如圖2所示，正方形的邊長為2，E為的中點(diǎn)，P是上一動點(diǎn)．連接和，則的最小值是___________；

問題解決：
(3)某地有一如圖3所示的三角形空地，已知，P是內(nèi)一點(diǎn)，連接后測得米，現(xiàn)當(dāng)?shù)卣谌切慰盏刂行抟粋€三角形花壇，點(diǎn)分別是邊上的任意一點(diǎn)（不與各邊頂點(diǎn)重合），求周長的最小值．

（2023·北京豐臺·二模）
21．學(xué)校新建的體育器材室的一面外墻如圖1所示，它的輪廓由拋物線和矩形構(gòu)成．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組要為器材室設(shè)計一個矩形標(biāo)牌，要求矩形的頂點(diǎn)E，H在拋物線上，頂點(diǎn)F，G在矩形的邊上．為了設(shè)計面積最大的矩形，興趣小組對矩形的面積與它的一邊的長之間的關(guān)系進(jìn)行研究．

具體研究過程如下，請補(bǔ)充完整．
(1)建立模型：
以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，通過研究發(fā)現(xiàn)，拋物線滿足函數(shù)關(guān)系．設(shè)矩形的面積為，的長為，則另一邊的長為_______m（用含a的代數(shù)式表示），得到S與a的關(guān)系式為：_________；
(2)探究函數(shù)：
列出S與a的幾組對應(yīng)值：
在下面的平面直角坐標(biāo)系中，描出表中各組數(shù)值對應(yīng)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象；

(3)解決問題：
結(jié)合函數(shù)圖象得到，的長約為__________m時，矩形面積最大．
（2023·江蘇連云港·連云港市新海實驗中學(xué)?？级＃?br>22．問題提出：
（1）在學(xué)習(xí)幾何時，我們可以通過構(gòu)造基本圖形，將幾何“模型”化．例如在三角形全等與三角形的相似的學(xué)習(xí)過程中，“K”字形是非常重要的基本圖形．如圖1，已知：，D、C、E三點(diǎn)共線，，由易證；
如圖2，已知：，D，C，E三點(diǎn)共線，若、、，則的長為______；
問題探究：（2）①如圖3，已知：，，、C、E三點(diǎn)共線，求證：；
②如圖4，已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上，若，則此時點(diǎn)B的坐標(biāo)為______；
問題拓展：
（3）如圖5，正方形中，點(diǎn)G是邊上一點(diǎn)，，，垂足分別為F、E．若，四邊形的面積等于10，求正方形的面積．
（4）如圖6，正方形中，點(diǎn)E、F分別在、邊上，，連接、DF，則的最小值是______．
（2023·河南鄭州·鄭州市第八中學(xué)?？级＃?br>23．由兩個頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的特殊多邊形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】
如圖1所示，兩個等腰直角三角形和中，，，，連接、，兩線交于點(diǎn)P，和的數(shù)量關(guān)系是 ；和的位置關(guān)系是 ；
(2)【類比探究】
如圖2所示，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，分別以、為邊在的同側(cè)作正方形與正方形，連接分別交線段、于點(diǎn)M、N．
①求的度數(shù)；
②連接交于點(diǎn)H，直接寫出的值；
(3)【拓展延伸】
如圖3所示，已知點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，，和為同側(cè)的兩個等邊三角形，連接交于N，連接交于M，連接，直接寫出線段的最大值．
（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
24．閱讀與思考
下面是小宇同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)小論文，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：
任務(wù)：任務(wù)：根據(jù)上面小論文的分析過程，解答下列問題：
(1)畫橫線部分的“依據(jù)*”是__________________________．
(2)在小論文的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想有：_______．（從下面選項中填出兩項）．
A．轉(zhuǎn)化思想 B．方程思想 C．由特殊到一般的思想 D．函數(shù)思想
(3)請根據(jù)小論文提供的思路，補(bǔ)全圖2剩余的證明過程．
（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
25．深圳地鐵16號線（Shenzhen Metr Line 16），又稱“深圳地鐵龍坪線”，是深圳市境內(nèi)第16條建成運(yùn)營的地鐵線路，于2022年12月28日開通運(yùn)營一期工程（大運(yùn)站至田心站）．
數(shù)學(xué)小組成員了解到16號線地鐵進(jìn)入某站時在距離停車線400米處開始減速．他們想了解地鐵從減速開始，經(jīng)過多少秒在停車線處停下？
為解決這一問題，數(shù)學(xué)小組建立函數(shù)模型來描述地鐵列車車頭離停車線的距離s（米）與時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用該函數(shù)解決相應(yīng)問題．
(1)【建立模型】
①收集數(shù)據(jù)：
②繪制圖象：
在平面直角坐標(biāo)系中描出所收集數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)，并用光滑的曲線依次連接．
③猜想模型：
觀察這條曲線的形狀，它可能是 函數(shù)的圖象．（請?zhí)顚戇x項）
A．一次 B．二次 C．反比例
④求解析式：
請根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，求出s關(guān)于t的解析式（自變量t的取值范圍不作要求）．
⑤驗證結(jié)論：
將數(shù)據(jù)中的其余幾對值代入所求的解析式，發(fā)現(xiàn)它們 滿足該函數(shù)解析式．（填“都”或“不都”）
(2)【問題解決】
地鐵從減速開始，經(jīng)過 秒在停車線處停下．
(3)【拓展應(yīng)用】
已知16號地鐵列車在該地鐵站經(jīng)歷的過程如下：
進(jìn)站：車頭從進(jìn)站那一刻起到停車線處停下，用時24秒；
停靠：列車?？繒r長為40秒（即列車停穩(wěn)到再次啟動停留的時間為40秒）；
出站：列車再次啟動到列車車頭剛好出站，用時5秒．
數(shù)學(xué)小組經(jīng)計算得知，在地鐵列車出站過程中，列車車頭離停車線的距離s（米）與時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系變?yōu)?，請結(jié)合函數(shù)圖象，求出該地鐵站的長度是 米．
教材習(xí)題
如圖，、相交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，，求證：是中點(diǎn)．
問題分析
由條件易證，從而得到，即點(diǎn)是的中點(diǎn)
方法提取
構(gòu)造“平行字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種常用方法
所取的2個整數(shù)
1，2
1，3，
2，3
2個整數(shù)之和
3
4
5
所取的2個整數(shù)
1，2
1，3，
1，4
2，3
2，4
3，4
2個整數(shù)之和
3
4
5
5
6
7
流水時間t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（觀察值）
30
29
28.1
27
25.8
x
…
﹣4
﹣3
﹣1
0
…
y
…
…
…
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
…
…
0.49
0.94
1.29
1.50
1.52
1.31
0.82
…
由一道習(xí)題引發(fā)的思考??“十字架模型”的拓展研究
在我們教材上，有這樣一道習(xí)題：如圖1，四邊形是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，要修建兩條路和，且使得，那么這兩條路等長嗎？為什么？
對于上面問題，我是這樣思考的：
∵四邊形是正方形，∴，．

又∵，∴
∴，（依據(jù)*）
∴，∴．
有趣的是對于兩個端點(diǎn)分別在正方形一組對邊上的線段，若這樣的兩條線段互相垂直，是否這兩條線段仍然相等呢？對此我們可以做進(jìn)一步探究：
如圖2，在正方形中，若點(diǎn)M、N、P、Q分別是、、、上的任意四點(diǎn)，且，垂足為O，則仍然與相等．理由如下：
過點(diǎn)M作，垂足為E，過點(diǎn)P作，垂足為F．則容易證明四邊形和均為矩形，
∴，．∵，∴
在四邊形QOND中，∵，
…
t（秒）
0
4
8
12
16
20
24
28
…
s（米）
400
324
256
196
144
100
64
36
…
參考答案：
1．744
【分析】由題意知，第n行有n個數(shù)，第n行的最后一個偶數(shù)為n（n+1），計算出第27行最后一個偶數(shù)，再減去與第21位之差即可得到答案．
【詳解】由題意知，第n行有n個數(shù)，第n行的最后一個偶數(shù)為n（n+1），
∴第27行的最后一個數(shù)，即第27個數(shù)為，
∴第27行的第21個數(shù)與第27個數(shù)差6位數(shù)，即，
故答案為：744．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律的探究，根據(jù)已知條件的數(shù)字排列找到規(guī)律，用含n的代數(shù)式表示出來由此解決問題是解題的關(guān)鍵．
2．(1)
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)所給式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第一個式子的左邊分母為2，第二個式子的左邊分母為3，第三個式子的左邊分母為4，…；右邊第一個分?jǐn)?shù)的分母為3，4，5，…，另一個分?jǐn)?shù)的分母為前面兩個分母的乘積；所有的分子均為1；所以第（n+1）個式子為．
（2）由（1）的規(guī)律發(fā)現(xiàn)第（n+1）個式子為，用分式的加法計算式子右邊即可證明．
【詳解】（1）解：∵第一個式子，
第二個式子，
第三個式子，
……
∴第（n+1）個式子；
（2）解：∵右邊==左邊，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，分式加法運(yùn)算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中各分母的變化規(guī)律．
3．(1)見解析；(2)；【靈活應(yīng)用】，
【分析】（1）過點(diǎn)作，證，即可得點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）過點(diǎn)作，可證，得，由，，得，再證，可得，由平行線分線段成比例得，由，可得，，即可得出；
[靈活應(yīng)用]：由題意可得，過點(diǎn)作，則，可得，進(jìn)而可得，證，可知，過點(diǎn)作，則，，可得點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動，可求得運(yùn)動的路徑長度，過點(diǎn)作，則，，則點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動，可知掃過的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，即可求得答案．
【詳解】解：（1）證明：，，
，
過點(diǎn)作，則，，

是等腰直角三角形，則，
，
，
，
，
又，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)；
（2）過點(diǎn)作，則，

，，則，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
則，
，
；
[靈活應(yīng)用]：
是半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，
，
過點(diǎn)作，則，

，
，
，
，
，
又，
，
，
過點(diǎn)作，則，，
，
，，
，則，
，
點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動，
運(yùn)動的路徑長為：
過點(diǎn)作，則，，

，
，
點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動，
則掃過的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，
即：掃過的面積為
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例，圓周角定理，動點(diǎn)的運(yùn)動路徑，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．
4．（1）①見解析；②，理由見解析；（2），理由見解析；（3）
【分析】（1）①證明：，再證明即可；②由和關(guān)于對稱，可得．證明，從而可得結(jié)論；
（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得，證明，．可得，證明，，可得，則，可得，從而可得結(jié)論；
（3）由，可得，結(jié)合，求解，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．可得，，可得，再利用余弦的定義可得答案．
【詳解】（1）①證明：∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∴．

②．理由如下：
∵和關(guān)于對稱，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）．理由如下：
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得．

∵和關(guān)于對稱，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵是直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，即．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

∵，
∴，
．
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，本題難度較高，屬于中考壓軸題，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
5．(1)乙隊單獨(dú)完工需要27個月才能完成任務(wù)．
(2)甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，安排甲工作2個月，乙工作24個月，費(fèi)用最低為萬元．
【分析】（1）設(shè)乙單獨(dú)完成需要個月，由“乙先單獨(dú)施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務(wù)．”建立分式方程求解即可；
（2）由題意可得：，可得，結(jié)合，，可得，結(jié)合都為正整數(shù)，可得為3的倍數(shù)，可得甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，從而可得答案．
【詳解】（1）解：設(shè)乙單獨(dú)完成需要個月，則
，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解且符合題意；
答：乙隊單獨(dú)完工需要27個月才能完成任務(wù)．
（2）由題意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都為正整數(shù)，
∴為3的倍數(shù)，
∴或或，
∴甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，
方案①：安排甲工作6個月，乙工作18個月，費(fèi)用為：（萬元），
方案②：安排甲工作4個月，乙工作21個月，費(fèi)用為：（萬元），
方案③：安排甲工作2個月，乙工作24個月，費(fèi)用為：（萬元），
∴安排甲工作2個月，乙工作24個月，費(fèi)用最低為萬元．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，確定相等關(guān)系與不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
6．探究一：（3）；（4）（，為整數(shù)）；探究二：（1）（2） ；探究三：歸納結(jié)論： （為整數(shù)，且，＜＜）；問題解決：；拓展延伸：（1）個或個；（2）．
【分析】探究一：
（3）根據(jù)（1）（2）的提示列表，可得答案；
（4）仔細(xì)觀察（1）（2）（3）的結(jié)果，歸納出規(guī)律，從而可得答案；
探究二：
（1）仿探究一的方法列表可得答案；
（2）由前面的探究概括出規(guī)律即可得到答案；
探究三：
根據(jù)探究一，探究二，歸納出從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取4個整數(shù)的和的結(jié)果數(shù)，
再根據(jù)上面探究歸納出從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取個整數(shù)，這個整數(shù)之和的結(jié)果數(shù)；
問題解決：
利用前面的探究計算出這5張獎券和的最小值與最大值，從而可得答案；
拓展延伸：
（1）直接利用前面的探究規(guī)律，列方程求解即可，
（2）找到與問題等價的模型，直接利用規(guī)律得到答案．
【詳解】解：探究一：
（3）如下表：
所取的2個整數(shù)之和可以為3，4，5，6，7，8，9也就是從3到9的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3，最大是9，所以共有7種不同的結(jié)果．
（4）從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和的最小值是3，和的最大值是 所以一共有種．
探究二：
（1）從1，2，3，4這4個整數(shù)中任取3個整數(shù)，如下表：
從1，2，3，4這4個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有4種，
（2）從1，2，3，4，5這5個整數(shù)中任取3個整數(shù)，
這3個整數(shù)之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以從1，2，3，4，5這5個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有7種，
從而從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取3個整數(shù)，
這3個整數(shù)之和的最小值是6，和的最大值是
所以一共有種，
探究三：
從1，2，3，4，5這5個整數(shù)中任取4個整數(shù)， 這4個整數(shù)之和最小是 最大是，
所以這4個整數(shù)之和一共有5種，
從1，2，3，4，5，6這6個整數(shù)中任取4個整數(shù)， 這4個整數(shù)之和最小是 最大是，
所以這4個整數(shù)之和一共有9種，
從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取4個整數(shù)，
這4個整數(shù)之和的最小值是10，和的最大值是，
所以一共有 種不同的結(jié)果．
歸納結(jié)論：
由探究一，從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有種．
探究二，從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有種，
探究三，從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取4個整數(shù)，這4個整數(shù)之和共有 種不同的結(jié)果．
從而可得：
從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取個整數(shù)，這個整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果．
問題解決：
從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎券中（面值為整數(shù)），
一次任意抽取5張獎券，這5張獎券和的最小值是15，和的最大值是490，
共有種不同的優(yōu)惠金額．
拓展延伸：
（1） 從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取個整數(shù)，這個整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果．
當(dāng) 有


或
或
從1，2，3，…，36這36個整數(shù)中任取29個或7個整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)果．
（2）由探究可知：從3，4，5，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取個整數(shù)，等同于從1，2，3，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取個整數(shù)，
所以：從3，4，5，…，（為整數(shù)，且）這個整數(shù)中任取個整數(shù)，這個整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果．
【點(diǎn)睛】本題考查的是學(xué)生自主探究，自主歸納的能力，同時考查了一元二次方程的解法，掌握自主探究的方法是解題的關(guān)鍵．
7．(1)認(rèn)同，理由見解析
(2)①號田的函數(shù)關(guān)系式為y=0.5x+1(k>0)；②號田的函數(shù)關(guān)系式為y=?0.1x2+x+1；
(3)在2023年或2024年總年產(chǎn)量最大，最大是7.6噸．
【分析】（1）根據(jù)年產(chǎn)量變化情況，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；
（2）利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）設(shè)總年產(chǎn)量為w，依題意得w=?0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：認(rèn)同，理由如下：
觀察①號田的年產(chǎn)量變化：每年增加0.5噸，呈一次函數(shù)關(guān)系；
觀察②號田的年產(chǎn)量變化：經(jīng)過點(diǎn)（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），
∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，
∴不是反比例函數(shù)關(guān)系，
小瑩認(rèn)為不能選是正確的；
（2）解：由（1）知①號田符合y=kx+b(k>0)，
由題意得，
解得：，
∴①號田的函數(shù)關(guān)系式為y=0.5x+1(k>0)；
檢驗，當(dāng)x=4時，y=2+1=3，符合題意；
②號田符合y=?0.1x2+ax+c，
由題意得，
解得：，
∴②號田的函數(shù)關(guān)系式為y=?0.1x2+x+1；
檢驗，當(dāng)x=4時，y=-1.6+4+1=3.4，符合題意；
（3）解：設(shè)總年產(chǎn)量為w，
依題意得：w=?0.1x2+x+1+0.5x+1=?0.1x2+1.5x+2
=?0.1(x2-15x+-)+2
=?0.1(x-7.5)2+7.625，
∵?0.1

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