模塊三思想全把握專題3 方程思想 -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題3 方程思想
方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過(guò)(組)或不等式(組)來(lái)使問(wèn)題獲解.
笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程問(wèn)題.宇宙世界，充斥著等式和不等式.我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的……等等；不等式問(wèn)題也與方程是近親，密切相關(guān).列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的.
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求學(xué)生能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，理解方程的意義，認(rèn)識(shí)方程解的意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理，建立模型觀念.
考點(diǎn)解讀：很多數(shù)學(xué)概念本身就包含等量關(guān)系，根據(jù)概率就能建立得到方程；還有一些運(yùn)算、定義的新運(yùn)算，隱藏其中的某項(xiàng)，并結(jié)出結(jié)果，根據(jù)運(yùn)算就能建立方程；方程或不等式的解滿足條件，根據(jù)滿足的條件建立方程或不等式；根據(jù)代數(shù)式的值滿足的條件建立方程或不等式.
【例1】
（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）
1．分式的值為0，則的值是（）
A．0B．C．1D．0或1
【變1】
（2020·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）
2．若多項(xiàng)式是關(guān)于x，y的三次多項(xiàng)式，則．
考點(diǎn)解讀：日歷中蘊(yùn)含方程，圖形中有線段之間的關(guān)系、角之間的關(guān)系、面積和體積之間的關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系建立方程；很多表格中每行的數(shù)據(jù)、每列的數(shù)據(jù)、行與列的數(shù)據(jù)之間存在著關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系建立方程.
【例1】
（2022·山東威海·統(tǒng)考中考真題）
3．幻方的歷史很悠久，傳說(shuō)最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書(shū)”．把洛書(shū)用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來(lái)，就是一個(gè)三階幻方（如圖1），將9個(gè)數(shù)填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個(gè)橫行、每個(gè)豎列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等，就得到一個(gè)廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫(xiě)了一些數(shù)字和字母，若能構(gòu)成一個(gè)廣義的三階幻方，則mn＝．
【變1】
（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）
4．列方程（組）解應(yīng)用題：如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由塊形狀大小相同的長(zhǎng)方形墻磚砌成．

(1)求一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)和寬；
(2)求電視背景墻的面積．
考點(diǎn)解讀：根據(jù)函數(shù)值求自變量的值，其實(shí)就是解方程；函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)，就需要轉(zhuǎn)化為方程和方程組來(lái)解決；二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)情況、函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況可以用一元二次方程根的判別式來(lái)求解.
【例1】
（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）
5．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，已知點(diǎn)，有下列結(jié)論：
①點(diǎn)，都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
②若直線上的點(diǎn)A是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
③拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
④若點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則的最小值是．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【變1】
（2022·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考中考真題）
6．如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．
(1)求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，求的值．
考點(diǎn)解讀：實(shí)際問(wèn)題通常以一定的情境出現(xiàn)，里面有很多模型，不少模型有專門(mén)的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)這些數(shù)量關(guān)系建立方程，進(jìn)而解決問(wèn)題.
【例1】
（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）
7．佳衣服裝廠給某中學(xué)用同樣的布料生產(chǎn)，兩種不同款式的服裝，每套款服裝所用布料的米數(shù)相同，每套款服裝所用布料的米數(shù)相同，若套款服裝和套款服裝需用布料米，套款服裝和套款服裝需用布料米．
(1)求每套款服裝和每套款服裝需用布料各多少米；
(2)該中學(xué)需要，兩款服裝共套，所用布料不超過(guò)米，那么該服裝廠最少需要生產(chǎn)多少套款服裝？
【變1】
（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）
8．為紀(jì)念?lèi)?ài)國(guó)詩(shī)人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習(xí)俗．某顧客端午節(jié)前在超市購(gòu)買(mǎi)豆沙粽10個(gè)，肉粽12個(gè)，共付款136元，已知肉粽單價(jià)是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的單價(jià)；
(2)超市為了促銷(xiāo)，購(gòu)買(mǎi)粽子達(dá)20個(gè)及以上時(shí)實(shí)行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂(lè)媽媽的購(gòu)買(mǎi)數(shù)量（單位：個(gè)）和付款金額（單位：元）；
①根據(jù)上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)；
②為進(jìn)一步提升粽子的銷(xiāo)量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷(xiāo)售，每包都是40個(gè)粽子（包裝成本忽略不計(jì)），每包的銷(xiāo)售價(jià)格按其中每個(gè)粽子優(yōu)惠后的單價(jià)合計(jì)．A，B兩種包裝中分別有m個(gè)豆沙粽，m個(gè)肉粽，A包裝中的豆沙粽數(shù)量不超過(guò)肉粽的一半．端午節(jié)當(dāng)天統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，A，B兩種包裝的銷(xiāo)量分別為包，包，A，B兩種包裝的銷(xiāo)售總額為17280元．求m的值．
一、選擇題
（2022·上海崇明·統(tǒng)考二模）
9．如果最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，那么x的值是（）
A．1B．2C．3D．4
（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）
10．幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個(gè)幻方．圖（2）是一個(gè)未完成的幻方，則與的和是（）
A．9B．10C．11D．12
（2023·山東菏澤·?？既＃?br>11．對(duì)于實(shí)數(shù)和，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：．則方程的解是（）
A．B．C．D．
（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）
12．某社區(qū)為了打造“書(shū)香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計(jì)劃出資500元全部用于采購(gòu)A，B，C三種圖書(shū)，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書(shū)至少買(mǎi)5本，最多買(mǎi)6本（三種圖書(shū)都要買(mǎi)），此次采購(gòu)的方案有（）
A．5種B．6種C．7種D．8種
（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）
13．如圖，在長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（）

A．B．C．或D．
（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）
14．如圖，直線、與雙曲線分別相交于點(diǎn)．若四邊形的面積為4，則的值是（）

A．B．C．D．1
（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）
15．如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧交于點(diǎn)，再分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，連接．以下結(jié)論不正確的是（）
A．B．
C．D．
二、填空題
（2021·青?！そy(tǒng)考中考真題）
16．已知單項(xiàng)式與是同類(lèi)項(xiàng)，則．
（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）
17．定義新運(yùn)算：，其中，，，為實(shí)數(shù)．例如：．如果，那么．
（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）
18．已知代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，則實(shí)數(shù)t的值為．
2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）
19．《九章算術(shù)》被稱為人類(lèi)科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書(shū)中記載：“今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門(mén)，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門(mén)對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是尺．

（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）
20．如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的距離 m．

（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）
21．利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對(duì)角線，將△BCD分割成兩對(duì)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a＝4，b＝2，則矩形ABCD的面積是．
（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）
22．特產(chǎn)專賣(mài)店銷(xiāo)售桃片、米花糖、麻花三種特產(chǎn)，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售價(jià)分別比其成本高20%、30%、20%．該店五月份銷(xiāo)售桃片、米花糖、麻花的數(shù)量之比為1∶3∶2，三種特產(chǎn)的總利潤(rùn)是總成本的25%，則每包米花糖與每包麻花的成本之比為．
三、解答題
（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）
23．計(jì)算：．圓圓在做作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字被墨水污染了．
(1)如果被污染的數(shù)字是，請(qǐng)計(jì)算．
(2)如果計(jì)算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．
（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）
24．對(duì)聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對(duì)聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的比是，左、右邊的寬相等，均為天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的和的．某人要裝裱一副對(duì)聯(lián)，對(duì)聯(lián)的長(zhǎng)為，寬為．若要求裝裱后的長(zhǎng)是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長(zhǎng)．（書(shū)法作品選自《啟功法書(shū)》）

（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）
25．2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時(shí)代”為主題的世界清潔能源裝備大會(huì)在德陽(yáng)舉行．大會(huì)聚焦清潔能源裝備產(chǎn)業(yè)發(fā)展熱點(diǎn)和前瞻性問(wèn)題，著力實(shí)現(xiàn)會(huì)展聚集帶動(dòng)產(chǎn)業(yè)聚集．其中德陽(yáng)清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽(yáng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)，規(guī)劃面積平方公里，計(jì)劃2025年基本建成．若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項(xiàng)工程，已知由甲單獨(dú)施工需要18個(gè)月完成任務(wù)，若由乙先單獨(dú)施工2個(gè)月，再由甲、乙合作施工10個(gè)月恰好完成任務(wù)．承建公司每個(gè)月需要向甲工程隊(duì)支付施工費(fèi)用8萬(wàn)元，向乙工程隊(duì)支付施工費(fèi)用5萬(wàn)元．
(1)乙隊(duì)單獨(dú)完工需要幾個(gè)月才能完成任務(wù)？
(2)為保證該工程在兩年內(nèi)完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)施工，并將該工程分成兩部分，甲隊(duì)完成其中一部分工程用了a個(gè)月，乙隊(duì)完成另一部分工程用了b個(gè)月，已知甲隊(duì)施工時(shí)間不超過(guò)6個(gè)月，乙隊(duì)施工時(shí)間不超過(guò)24個(gè)月，且a，b為正整數(shù)，則甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時(shí)間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費(fèi)用最低？
（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）
26．如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式和的值．
(2)在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)如圖（2），作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接，作以為直徑的圓．點(diǎn)是圓在軸上方圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與圓弧的端點(diǎn)重合，但與圓弧的另一個(gè)端點(diǎn)可以重合），平移線段，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，線段的對(duì)應(yīng)線段為，連接，，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)，求的值．
豆沙粽數(shù)量
肉粽數(shù)量
付款金額
小歡媽媽
20
30
270
小樂(lè)媽媽
30
20
230
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)分式值為0的條件進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵分式的值為0，
∴，
解得，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．
2．0或8
【分析】直接利用多項(xiàng)式的次數(shù)確定方法得出答案．
【詳解】解：多項(xiàng)式是關(guān)于，的三次多項(xiàng)式，
，，
，，
或，
或，
或8．
故答案為：0或8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式，正確掌握多項(xiàng)式的次數(shù)確定方法是解題關(guān)鍵．
3．1
【分析】由第二行方格的數(shù)字，字母，可以得出第二行的數(shù)字之和為m，然后以此得出可知第三行左邊的數(shù)字為4，第一行中間的數(shù)字為m-n+4，第三行中間數(shù)字為n-6，第三行右邊數(shù)字為，再根據(jù)對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和相等且都等于m可得關(guān)于m，n方程組，解出即可．
【詳解】如圖，根據(jù)題意，可得
第二行的數(shù)字之和為：m+2+(-2)=m
可知第三行左邊的數(shù)字為：m-(-4)-m=4
第一行中間的數(shù)字為：m-n-(-4)=m-n+4
第三行中間數(shù)字為m-2-(m-n+4)=n-6
第三行右邊數(shù)字為：m-n-(-2)=m-n+2
再根據(jù)對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和相等且都等于m可得方程組為：

解得
∴
故答案為：1
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加法，列代數(shù)式，以及二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)表格，利用每行，每列，每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等列方程．
4．(1)，；
(2)．
【分析】（1）首先設(shè)一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為，寬為，然后用的代數(shù)式分別表示出長(zhǎng)方形的兩條長(zhǎng)邊分別為，，寬為,進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)列出方程組，解方程組即可得出答案；
（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式即可得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為，寬為．
依題意得：
，
解得：
，
答：一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為，寬為．
（2）求電視背景墻的面積為：．
答：電視背景墻的面積為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，根據(jù)長(zhǎng)方形的兩組對(duì)邊分別相等列出方程組是解答此題的關(guān)鍵．
5．C
【分析】①根據(jù)題目所給“倍增點(diǎn)”定義，分別驗(yàn)證即可；②點(diǎn)，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義，列出方程，求出a的值，即可判斷；③設(shè)拋物線上點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義列出方程，再根據(jù)判別式得出該方程根的情況，即可判斷；④設(shè)點(diǎn)，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義可得，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，把代入化簡(jiǎn)并配方，即可得出的最小值為，即可判斷．
【詳解】解：①∵，，
∴，
∴，則是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
∵，，
∴，
∴，則是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
故①正確，符合題意；
②設(shè)點(diǎn)，
∵點(diǎn)A是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正確，不符合題意；
③設(shè)拋物線上點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，即拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；
故③正確，符合題意；
④設(shè)點(diǎn)，
∵點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值為，
∴的最小值是，
故④正確，符合題意；
綜上：正確的有①③④，共3個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，解一元一次方程，一元二次方程根的判別式，兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給“倍增點(diǎn)”定義，根據(jù)定義列出方程求解．
6．(1)
(2)
【分析】（1）聯(lián)立與解方程即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，可得，根據(jù)平行線分線段成比例可得，根據(jù)平移求得平移后的解析式為，求得,進(jìn)而求得的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：聯(lián)立與，
解得，
；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，
，
，
直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，根據(jù)圖象可知,
令，得，
令，得，
，，
，
，
與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點(diǎn)，
，
將代入，
得，
解得或（舍去）．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，平行線分線段成比例，解一元二次方程，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
7．(1)每套款服裝用布料米，每套款服裝需用布料米
(2)服裝廠需要生產(chǎn)套款服裝
【分析】（1）每套款服裝用布料米，每套款服裝需用布料米，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設(shè)服裝廠需要生產(chǎn)套款服裝，則生產(chǎn)套款服裝，根據(jù)題意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【詳解】（1）解：每套款服裝用布料米，每套款服裝需用布料米，根據(jù)題意得，
，
解得：，
答：每套款服裝用布料米，每套款服裝需用布料米；
（2）設(shè)服裝廠需要生產(chǎn)套款服裝，則生產(chǎn)套款服裝，根據(jù)題意得，
，
解得：，
∵為正整數(shù)，
∴的最小值為，
答：服裝廠需要生產(chǎn)套款服裝．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意列出不等式以及方程組是解題的關(guān)鍵．
8．(1)豆沙粽的單價(jià)為4元，肉粽的單價(jià)為8元
(2)①豆沙粽優(yōu)惠后的單價(jià)為3元，肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)為7元；②
【分析】（1）設(shè)豆沙粽的單價(jià)為x元，則肉粽的單價(jià)為元，依題意列一元一次方程即可求解；
（2）①設(shè)豆沙粽優(yōu)惠后的單價(jià)為a元，則肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)為b元，依題意列二元一次方程組即可求解；
②根據(jù)銷(xiāo)售額=銷(xiāo)售單價(jià)銷(xiāo)售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．
【詳解】（1）解：設(shè)豆沙粽的單價(jià)為x元，則肉粽的單價(jià)為元，
依題意得，
解得；
則；
所以豆沙粽的單價(jià)為4元，肉粽的單價(jià)為8元；
（2）解：①設(shè)豆沙粽優(yōu)惠后的單價(jià)為a元，則肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)為b元，
依題意得，解得，
所以豆沙粽優(yōu)惠后的單價(jià)為3元，肉粽優(yōu)惠后的單價(jià)為7元；
②依題意得，
解得或，
，
∴，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找到題中的等量關(guān)系列出方程或方程組是解題的關(guān)鍵．
9．D
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查同類(lèi)二次根式，熟練掌握同類(lèi)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
10．D
【分析】根據(jù)題意設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，然后列出等式化簡(jiǎn)求值即可．
【詳解】解：設(shè)如圖表所示：
根據(jù)題意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，
解得：z=12，
∴x+y
=3z-24
=12
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查方程的應(yīng)用及有理數(shù)加法的應(yīng)用，理解題意，列出相應(yīng)方程等式然后化簡(jiǎn)求值是解題關(guān)鍵．
11．C
【分析】根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為分式方程，解分式方程即可．
【詳解】由題意化簡(jiǎn)：，
∴，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，
故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
12．B
【分析】設(shè)采購(gòu)A種圖書(shū)x本，B種圖書(shū)y本，C種圖書(shū)z本，根據(jù)采購(gòu)三種圖書(shū)需500元列出方程，再依據(jù)x的數(shù)量分兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：設(shè)采購(gòu)A種圖書(shū)x本，B種圖書(shū)y本，C種圖書(shū)z本，其中且均為整數(shù)，根據(jù)題意得，
，
整理得，，
①當(dāng)時(shí)，，
∴
∵且均為整數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴；
②當(dāng)時(shí)，，
∴
∵且均為整數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴；
綜上，此次共有6種采購(gòu)方案，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、進(jìn)行分類(lèi)討論是解答本題的關(guān)鍵．
13．A
【分析】設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，根據(jù)花草的種植面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，
依題意得：
解得：，（不合題意，舍去），
∴小路寬為．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
14．A
【分析】連接四邊形的對(duì)角線，過(guò)作軸，過(guò)作軸，直線與軸交于點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖像交點(diǎn)的對(duì)稱性判斷四邊形是平行四邊形，由平行四邊形性質(zhì)及平面直角坐標(biāo)系中三角形面積求法，確定，再求出直線與軸交于點(diǎn)，通過(guò)聯(lián)立求出縱坐標(biāo)，代入方程求解即可得到答案．
【詳解】解：連接四邊形的對(duì)角線，過(guò)作軸，過(guò)作軸，直線與軸交于點(diǎn)，如圖所示：

根據(jù)直線、與雙曲線交點(diǎn)的對(duì)稱性可得四邊形是平行四邊形，
，
直線與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即，
與雙曲線分別相交于點(diǎn)，
聯(lián)立，即，則，由，解得，
，即，解得，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平面直角坐標(biāo)系中三角形面積求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．C
【分析】由題意得，，平分，根據(jù)三角形內(nèi)角和及角平分線判斷A即可；由角平分線求出，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，得到，即可判斷B；證明，得到，設(shè)，則，求出x，即可判斷C；過(guò)點(diǎn)E作于G，于H，由角平分線的性質(zhì)定理推出，即可根據(jù)三角形面積公式判斷D．
【詳解】解：由題意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正確；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正確；
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C錯(cuò)誤；
過(guò)點(diǎn)E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形等邊對(duì)等角，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的作圖及性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
16．3
【分析】根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義（所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同），求出m，n的值，再代入代數(shù)式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵單項(xiàng)式與是同類(lèi)項(xiàng)，
∴2m=4，n+2=-2m+7，
解得：m=2，n=1，
則m+n=2+1=3．
故答案是：3．
【點(diǎn)睛】本題考查同類(lèi)項(xiàng)的定義，同類(lèi)項(xiàng)定義中的兩個(gè)“相同”：相同字母的指數(shù)相同，是易混點(diǎn)．
17．
【分析】根據(jù)新定義列出一元一次方程，解方程即可求解．
【詳解】解：∵
∴
即
解得：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，解一元一次方程，根據(jù)題意列出方程解題的關(guān)鍵．
18．或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
【詳解】解：∵代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，
∴，
∴，
解得或，
故答案為：或
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，熟記完全平方公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
19．8，6，10
【分析】設(shè)竿的長(zhǎng)為x尺，則門(mén)高為尺，門(mén)寬為尺，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：設(shè)竿的長(zhǎng)為x尺，則門(mén)高為尺，門(mén)寬為尺，
根據(jù)題意可得：，
解得：或（舍去），
∴（尺），（尺），
即門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8，6，10尺，
故答案為：8，6，10．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和解一元二次方程，正確設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
20．10
【分析】令，則，再解方程，結(jié)合函數(shù)圖象可得答案．
【詳解】解：令，則，
解得：，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解題意令求解方程的解是解本題的關(guān)鍵．
21．16
【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，利用、、表示矩形的面積，再用、、表示三角形以及正方形的面積，根據(jù)面積列出關(guān)于、、的關(guān)系式，解出，即可求出矩形面積．
【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，
矩形的長(zhǎng)為，寬為，
由圖1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面積為．
故答案為：16．
【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用，求出小正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
22．4：3
【分析】設(shè)每包麻花的成本為x元，每包米花糖的成本為y元，桃片的銷(xiāo)售量為m包，則每包桃片的成本為2x元，米花糖的銷(xiāo)售量為3m包，麻花的銷(xiāo)售量為2m包，根據(jù)三種特產(chǎn)的總利潤(rùn)是總成本的25%列得，計(jì)算可得．
【詳解】解：設(shè)每包麻花的成本為x元，每包米花糖的成本為y元，桃片的銷(xiāo)售量為m包，則每包桃片的成本為2x元，米花糖的銷(xiāo)售量為3m包，麻花的銷(xiāo)售量為2m包，由題意得
，
解得3y=4x，
∴y：x=4：3，
故答案為：4：3．
【點(diǎn)睛】此題考查了三元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
23．(1)-9
(2)3
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，由題意，得，解方程即可；
【詳解】（1）解：；
（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，
由題意，得，解得，
所以被污染的數(shù)字是3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、一元一次方程的應(yīng)用，掌握相關(guān)運(yùn)算法則和步驟是接替的關(guān)鍵．
24．邊的寬為，天頭長(zhǎng)為
【分析】設(shè)天頭長(zhǎng)為，則地頭長(zhǎng)為，邊的寬為，再分別表示礎(chǔ)裝裱后的長(zhǎng)和寬，根據(jù)裝裱后的長(zhǎng)是裝裱后的寬的4倍列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)天頭長(zhǎng)為，
由題意天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的比是，可知地頭長(zhǎng)為，
邊的寬為，
裝裱后的長(zhǎng)為，
裝裱后的寬為，
由題意可得：
解得，
∴，
答：邊的寬為，天頭長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，題中的數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，需要合理設(shè)未知數(shù)，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系．
25．(1)乙隊(duì)單獨(dú)完工需要27個(gè)月才能完成任務(wù)．
(2)甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時(shí)間安排有3種方式，安排甲工作2個(gè)月，乙工作24個(gè)月，費(fèi)用最低為萬(wàn)元．
【分析】（1）設(shè)乙單獨(dú)完成需要個(gè)月，由“乙先單獨(dú)施工2個(gè)月，再由甲、乙合作施工10個(gè)月恰好完成任務(wù)．”建立分式方程求解即可；
（2）由題意可得：，可得，結(jié)合，，可得，結(jié)合都為正整數(shù)，可得為3的倍數(shù)，可得甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時(shí)間安排有3種方式，從而可得答案．
【詳解】（1）解：設(shè)乙單獨(dú)完成需要個(gè)月，則
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解且符合題意；
答：乙隊(duì)單獨(dú)完工需要27個(gè)月才能完成任務(wù)．
（2）由題意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都為正整數(shù)，
∴為3的倍數(shù)，
∴或或，
∴甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時(shí)間安排有3種方式，
方案①：安排甲工作6個(gè)月，乙工作18個(gè)月，費(fèi)用為：（萬(wàn)元），
方案②：安排甲工作4個(gè)月，乙工作21個(gè)月，費(fèi)用為：（萬(wàn)元），
方案③：安排甲工作2個(gè)月，乙工作24個(gè)月，費(fèi)用為：（萬(wàn)元），
∴安排甲工作2個(gè)月，乙工作24個(gè)月，費(fèi)用最低為萬(wàn)元．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，確定相等關(guān)系與不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
26．(1)，
(2)不存在，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入得到二元一次方程組求解可得，的值，可確定二次函數(shù)的解析式，再令，解關(guān)于的一元二次方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定的值；
（2）不存在．設(shè)，根據(jù)，可得，根據(jù)，可確定方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即可作出判斷；
（3）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及判定可得，，再根據(jù)為圓的直徑，可得，然后分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，由平移的性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，從而得到，，再證明，可得，可得的值；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得，，代入可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，得：，
解得：，，
∴，
∴二次函數(shù)的解析式為，；
（2）不存在．理由如下：
如圖，設(shè)，
∵，，，
∴，，，
∵點(diǎn)在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上，且，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴不存在符合條件的點(diǎn)；

（3）如圖，設(shè)交軸于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為圓的直徑，
∴，
∵平移線段，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，線段的對(duì)應(yīng)線段為，
①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，，
∴，
綜上所述，的值為．

【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一元二次方程的應(yīng)用，直徑所對(duì)的圓周角為直角，對(duì)稱和平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了分類(lèi)討論的思想．找到全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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