專題2 “遷移信息”類型
遷移，就是搬動(dòng)轉(zhuǎn)移，即離開原來的所在地而另換地點(diǎn)．遷移數(shù)學(xué)信息，就是把學(xué)生已經(jīng)獲得的知識(shí)轉(zhuǎn)移到新的情境中．?dāng)?shù)學(xué)信息遷移題即以學(xué)生已有的知識(shí)為基礎(chǔ)，以全新的數(shù)學(xué)情境為載體，以新信息為主要內(nèi)容，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上提取和運(yùn)用有效信息，進(jìn)而作出判斷、推理、概括、運(yùn)算和表述的一種題型．其形式生動(dòng)活潑、內(nèi)容新穎、背景公平、設(shè)問方式靈活，同時(shí)它能有效地考查學(xué)生閱讀理解能力、探索能力、創(chuàng)新能力、抽象思維能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，有利于在數(shù)學(xué)教學(xué)中深化素質(zhì)教育．
近年中考試題以能力立意為目標(biāo)，以增大思維容量為特色，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重對考生創(chuàng)新意識(shí)的考查．試題遵循“相對穩(wěn)定，突出重點(diǎn)，穩(wěn)中求變，變中有新，適度創(chuàng)新”的基本思路數(shù)學(xué)信息遷移題作為一類常考常新的題型更是備受青睞．心理學(xué)理論認(rèn)為，遷移是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響，通俗地講，遷移就是能夠在新的情境下運(yùn)用已學(xué)的東西．中考試題中，常用定義型、類比型、開放型的方式促進(jìn)信息正遷移．
考點(diǎn)講解：定義型信息遷移題是近年中考中出現(xiàn)頻率較高的題型之一，其通過定義新概念、新運(yùn)算、新法則，展現(xiàn)新性質(zhì)，考查考生閱讀、理解、內(nèi)化、運(yùn)用新信息解決問題的能力．
角度1：新定義類：
【例1】
（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）
1．定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)，的平方差，且，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，，16就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用進(jìn)行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 ；第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 ．
【變1】
（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）
2．在平面直角坐標(biāo)系中，是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，給出如下定義：和兩個(gè)值中的最大值叫做點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k．
(1)求點(diǎn)的“傾斜系數(shù)”k的值；
(2)①若點(diǎn)的“傾斜系數(shù)”，請寫出a和b的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若點(diǎn)的“傾斜系數(shù)”，且，求OP的長；
(3)如圖，邊長為2的正方形ABCD沿直線AC：運(yùn)動(dòng)，是正方形ABCD上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”，請直接寫出a的取值范圍．
角度2：新運(yùn)算類：
【例2】
（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）
3．定義新運(yùn)算“”，規(guī)定：，則的運(yùn)算結(jié)果為（ ）
A．B．C．5D．3
【變1】
（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）
4．定義新運(yùn)算：，其中，，，為實(shí)數(shù)．例如：．如果，那么 ．
考點(diǎn)講解：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求“讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)、概括歸納、遷移運(yùn)用等學(xué)習(xí)過程，體會(huì)數(shù)學(xué)是認(rèn)識(shí)、理解、表達(dá)真實(shí)世界的工具、方法和語言．”此類題目重在考查思維的靈活性、廣闊性及觀察與推理能力．
【例1】
（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）
5．八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：
將因式分解．
【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】對項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
(1)請用分組分解法將因式分解；
【挑戰(zhàn)】
(2)請用分組分解法將因式分解；
【應(yīng)用】
(3)“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．
【變1】
（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）
6．［材料閱讀]
用數(shù)形結(jié)合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知
的結(jié)果等于該正方形的面積，
即．
方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖②可知
的結(jié)果等于，，，…，…等各條豎直線段的長度之和，
即兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)到軸的距離．因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)到軸的距為1，
所以，．

【實(shí)踐應(yīng)用】
任務(wù)一 完善的求值過程．

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知______．
方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖④可知
因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)為______，
所以，______．
任務(wù)二 參照上面的過程，選擇合適的方法，求的值．
任務(wù)三 用方法2，求的值（結(jié)果用表示）．
【遷移拓展】
長寬之比為的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個(gè)正方形后，得到的新矩形仍是黃金矩形．
觀察圖⑤，直接寫出的值．

考點(diǎn)講解：開放型信息遷移題主要指條件不完備或結(jié)論不明確及條件和結(jié)論都不唯一的試題，因?yàn)榇祟愵}目答案往往不唯一，進(jìn)而給考生留有較大的探索空間，此類題目多以填空題和解答題出現(xiàn)．
角度1 條件開放性問題
【例1】
（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）
7．已知：如圖，在和中，在同一條直線上．下面四個(gè)條件：①；②；③；④．

(1)請選擇其中的三個(gè)條件，使得（寫出一種情況即可）；
(2)在（1）的條件下，求證：．
【變1】
（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）
8．如圖，點(diǎn)在的邊上，，請從以下三個(gè)選項(xiàng)中①；②；③，選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使為矩形．

(1)你添加的條件是_________（填序號(hào)）；
(2)添加條件后，請證明為矩形．
角度2 結(jié)論開放性問題
【例2】
（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）
9．【問題呈現(xiàn)】
和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
【拓展應(yīng)用】
(3)當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長．
【變1】
（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）
10．【知識(shí)再現(xiàn)】
學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡稱HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【簡單應(yīng)用】
如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是 ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，點(diǎn)D在邊AC上．
（1）若點(diǎn)E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．
（2）若點(diǎn)E在BA的延長線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有a、m的式子表示），并說明理由．
角度3 結(jié)構(gòu)不良型問題
【例3】
（2021·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）
11．如圖，交于點(diǎn)，在與中，有下列三個(gè)條件：①，②，③．請你在上述三個(gè)條件中選擇兩個(gè)為條件，另一個(gè)能作為這兩個(gè)條件推出來的結(jié)論，并證明你的結(jié)論（只要求寫出一種正確的選法，若多選的只按第一種選法評(píng)分，后面的選法不給分）
（1）你選的條件為____________、____________，結(jié)論為____________；
（2）證明你的結(jié)論．
【變1】
（2023上·江蘇泰州模擬）
12．如圖，四邊形是矩形，給出下列幾個(gè)信息：①；②；③．從以上信息中選擇兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題．

(1)你選擇的條件是 ；結(jié)論是 ；（填序號(hào)）
(2)證明你構(gòu)造的命題．
[素養(yǎng)落地]---邏輯推理
【解讀素養(yǎng)】指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程，主要包括兩類，一類是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內(nèi)成立的命題的推理，主要有歸納、類比；一類是從大范圍成立的命題推斷小范圍內(nèi)也成立的推理，主要有演繹推理．
【例1】
（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）
13．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí)，則稱點(diǎn)N為圖形M的“夢之點(diǎn)”．

(1)如圖①，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，在點(diǎn)，，中，是矩形“夢之點(diǎn)”的是___________；
(2)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象上的另一個(gè)“夢之點(diǎn)”H的坐標(biāo)是___________，直線的解析式是___________．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是___________．
(3)如圖②，已知點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢之點(diǎn)”，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，連接，，，判斷的形狀，并說明理由．
一、填空題
（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）
14．如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在上，．只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形是菱形，這個(gè)條件可以是 （寫出一個(gè)即可）．
（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）
15．如圖，在與中，，請?zhí)砑右粋€(gè)條件 ，使得．

（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）
16．定義：若x，y滿足且（t為常數(shù)），則稱點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”．
（1）若是“和諧點(diǎn)”，則 ．
（2）若雙曲線存在“和諧點(diǎn)”，則k的取值范圍為 ．
（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）
17．二次函數(shù)的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)在y軸右側(cè)，則n的值可以是 （填一個(gè)值即可）
（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）
18．定義一種新運(yùn)算：對于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)，．若，則的值是 ．
二、解答題
（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）
19．對于任意實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：，例如：，．根據(jù)上面的材料，請完成下列問題：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）
20．我們規(guī)定：對于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d有，其中等式右邊是通常的乘法和減法運(yùn)算，如：．
(1)求的值；
(2)已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．
（2022·浙江舟山·中考真題）
21．小惠自編一題：“如圖，在四邊形中，對角線，交于點(diǎn)O，，，求證：四邊形是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．

若贊同小惠的證法，請?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，請你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．
（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）
22．如圖，的對角線交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接．

(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)請說明當(dāng)?shù)膶蔷€滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？
（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）
23．某中學(xué)積極推進(jìn)校園文學(xué)創(chuàng)作，倡導(dǎo)每名學(xué)生每學(xué)期向校報(bào)編輯部至少投1篇稿件．學(xué)期末，學(xué)校對七、八年級(jí)的學(xué)生投稿情況進(jìn)行調(diào)查．
【數(shù)據(jù)的收集與整理】
分別從兩個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取相同數(shù)量的學(xué)生，統(tǒng)計(jì)每人在本學(xué)期投稿的篇數(shù)，制作了頻數(shù)分布表．
【數(shù)據(jù)的描述與分析】
（1）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角的度數(shù)，并補(bǔ)全頻數(shù)直方圖．

（2）根據(jù)頻數(shù)分布表分別計(jì)算有關(guān)統(tǒng)計(jì)量：
直接寫出表格中m、n的值，并求出．
【數(shù)據(jù)的應(yīng)用與評(píng)價(jià)】
（3）從中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差中，任選兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，對七、八年級(jí)學(xué)生的投稿情況進(jìn)行比較，并做出評(píng)價(jià)．
（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）
24．對于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N，若N能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和m整除，則稱N是m的“和倍數(shù)”．
例如：∵，∴247是13的“和倍數(shù)”．
又如：∵，∴214不是“和倍數(shù)”．
(1)判斷357，441是否是“和倍數(shù)”？說明理由；
(2)三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，a，b，c分別是數(shù)A其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，且．在a，b，c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為，最小的兩位數(shù)記為，若為整數(shù)，求出滿足條件的所有數(shù)A．
（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）
25．在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，如果點(diǎn)到直線的距離等于圖形上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí)，那么點(diǎn)稱為直線的“伴隨點(diǎn)”．
例如：如圖1，已知點(diǎn)，，在線段上，則點(diǎn)是直線：軸的“伴隨點(diǎn)”．

(1)如圖2，已知點(diǎn)，，是線段上一點(diǎn)，直線過，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是直線的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖3，軸上方有一等邊三角形，軸，頂點(diǎn)A在軸上且在上方，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且點(diǎn)是直線：軸的“伴隨點(diǎn)”．當(dāng)點(diǎn)到軸的距離最小時(shí)，求等邊三角形的邊長；
(3)如圖4，以，，為頂點(diǎn)的正方形上始終存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是直線：的“伴隨點(diǎn)”．請直接寫出的取值范圍．
（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）
26．定義：函數(shù)圖像上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖像的“n階方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)圖像的“階方點(diǎn)”；點(diǎn)是函數(shù)圖像的“2階方點(diǎn)”．
(1)在①；②；③三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)圖像的“1階方點(diǎn)”的有___________（填序號(hào)）；
(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)圖像的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求a的值；
(3)若y關(guān)于x的二次函數(shù)圖像的“n階方點(diǎn)”一定存在，請直接寫出n的取值范圍．
（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）
27．【探究與證明】
折紙，操作簡單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．
【動(dòng)手操作】如圖1，將矩形紙片對折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B落在上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A，得到折痕，點(diǎn)B，E的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，展平紙片，連接，，．

請完成：
(1)觀察圖1中，和，試猜想這三個(gè)角的大小關(guān)系；
(2)證明（1）中的猜想；
【類比操作】如圖2，N為矩形紙片的邊上的一點(diǎn)，連接，在上取一點(diǎn)P，折疊紙片，使B，P兩點(diǎn)重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點(diǎn)B，P分別落在，上，得到折痕l，點(diǎn)B，P的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，展平紙片，連接，．

請完成：
(3)證明是的一條三等分線．
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
28．綜合與實(shí)踐
定義：將寬與長的比值為（為正整數(shù)）的矩形稱為階奇妙矩形．
（1）概念理解：
當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（）與長的比值是_________．
（2）操作驗(yàn)證：
用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2））：
第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為，連接；
第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開，折痕為；
第三步：過點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開，折痕為．
試說明：矩形是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：
用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標(biāo)注．
（4）探究發(fā)現(xiàn)：
小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值．請寫出這個(gè)定值，并說明理由．
投稿篇數(shù)（篇）
1
2
3
4
5
七年級(jí)頻數(shù)（人）
7
10
15
12
6
八年級(jí)頻數(shù)（人）
2
10
13
21
4
統(tǒng)計(jì)量
中位數(shù)
眾數(shù)
平均數(shù)
方差
七年級(jí)
3
3
1.48
八年級(jí)
m
n
3.3
1.01
參考答案：
1．
【分析】根據(jù)新定義，列舉出前幾個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，找到規(guī)律，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：依題意， 當(dāng)，，則第1個(gè)一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第2個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為，
當(dāng)，，則第4個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為，
當(dāng)，，則第5個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第6個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為
當(dāng)，，則第7個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為
……
時(shí)有4個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，同理時(shí)有個(gè)，時(shí)有6個(gè)，
列表如下，
觀察表格可知當(dāng)時(shí)，時(shí)，智慧數(shù)為，
時(shí)，智慧數(shù)為，
，時(shí)，智慧數(shù)為，
，時(shí)，智慧數(shù)為，
第1至第10個(gè)智慧優(yōu)數(shù)分別為：，，，，，，，，，，
第11至第20個(gè)智慧優(yōu)數(shù)分別為：，，，，，，，，，，
第21個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，第22個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為，第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)為
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，平方差公式的應(yīng)用，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
2．(1)3
(2)①a-2b或b=2a，②OP=
(3)a>
【分析】（1）直接由“傾斜系數(shù)”定義求解即可；
（2）①由點(diǎn)的“傾斜系數(shù)”，由=2或=2求解即可；
②由a=2b或b=2a，又因a+b=3，求出a、b值，即可得點(diǎn)P坐標(biāo)，從而由勾股定理可求解；
（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，且k=時(shí)，a有最小臨界值，此時(shí)，=，則，求得a=+1；當(dāng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合，且k=時(shí)，a有最大臨界值，此時(shí)，，則，求得：a=3+；即可求得時(shí)，a的取值范圍．
【詳解】（1）解：由題意，得，，
∵3>，
∴點(diǎn)的“傾斜系數(shù)”k=3；
（2）解：①a=2b或b=2a，
∵點(diǎn)的“傾斜系數(shù)”，
當(dāng)=2時(shí)，則a=2b；
當(dāng)=2時(shí)，則b=2a，
∴a=2b或b=2a；
②∵的“傾斜系數(shù)”，
當(dāng)=2時(shí)，則a=2b
∵，
∴2b+b=3，
∴b=1，
∴a=2，
∴P(2，1)，
∴OP=；
當(dāng)=2時(shí)，則b=2a，
∵，
∴a+2a=3，
∴a=1，
∴b=2，
∴P(1，2)
∴OP=；
綜上，OP=；
（3）解：由題意知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，且k=時(shí)，a有最小臨界值，如圖，連接OD，延長DA交x軸于E，
此時(shí)，=，
則，
解得：a=+1；
∵則;
當(dāng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合，且k=時(shí)，a有最大臨界值，如圖，連接OB，延長CB交x軸于F，
此時(shí)，，
則，
解得：a=3+，
∵,則;
綜上，若P的“傾斜系數(shù)”，則a>．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義，正方形的性質(zhì)，正比例函數(shù)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）（2）問理解新定義，（3）問求臨界值．
3．D
【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查新定義的運(yùn)算，理解題意中的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
4．
【分析】根據(jù)新定義列出一元一次方程，解方程即可求解．
【詳解】解：∵
∴
即
解得：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，解一元一次方程，根據(jù)題意列出方程解題的關(guān)鍵．
5．(1)
(2)
(3)，9
【分析】（1）直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)組合，利用平方差公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；
（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；
（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面積得到，，整體代入得出答案即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴根據(jù)題意得，，
∴原式．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了分組分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的應(yīng)用，正確分組再運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．
6．任務(wù)一，方法1：；方法2：，；任務(wù)二，；任務(wù)三，；[遷移拓展]
【分析】任務(wù)一，仿照例題，分別根據(jù)方法1，2進(jìn)行求解即可；
任務(wù)二，借助函數(shù)和得出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)到軸的距離．因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)到軸的距為2，即可得出結(jié)果；
任務(wù)三 參照方法2，借助函數(shù)和的圖象，得出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；
[遷移拓展]觀察圖⑤第一個(gè)正方形的面積為，第二個(gè)正方形的面積為，……進(jìn)而得出則的值等于長寬之比為的矩形減去1個(gè)面積為的正方形的面積，即可求解．
【詳解】解：任務(wù)一，方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知
故答案為：．
方法2：借助函數(shù)和的圖象，觀察圖④可知
因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，．
故答案為：，．
任務(wù)二：參照方法2，借助函數(shù)和的圖象，，
解得：
∴兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
任務(wù)三 參照方法2，借助函數(shù)和的圖象，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴
[遷移拓展]根據(jù)圖⑤，第一個(gè)正方形的面積為，第二個(gè)正方形的面積為，……
則的值等于長寬之比為的矩形減去1個(gè)面積為1的正方形的面積，
即
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)交點(diǎn)問題，正方形面積問題，理解題意，仿照例題求解是解題的關(guān)鍵．
7．(1)①②③或①③④（寫出一種情況即可）
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)兩三角形全等的判定條件，選擇合適的條件即可；
（2）根據(jù)（1）中所選的條件，進(jìn)行證明即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可以選擇的條件為：①②③；
或者選擇的條件為：①③④；
（2）證明：當(dāng)選擇的條件為①②③時(shí)，
，
，
即，
在和中，
，
；
當(dāng)選擇的條件為①③④時(shí)，
，
，
即，
在和中，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．
8．(1)答案不唯一，①或②
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形進(jìn)行選??；
（2）通過證明可得，然后結(jié)合平行線的性質(zhì)求得，從而得出為矩形．
【詳解】（1）解：①或②
（2）添加條件①，為矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴為矩形；
添加條件②，為矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴為矩形
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定方法（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）是解題關(guān)鍵．
9．(1)
(2)成立；理由見解析
(3)或
【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；
（2）證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；
（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案為：．

（2）解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∴，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此時(shí)；
當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∴，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此時(shí)；
綜上分析可知，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．
10．【簡單應(yīng)用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，證明見解析；（2）AE﹣AD＝2AC?cs（180°﹣），理由見解析
【分析】簡單應(yīng)用：證明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得結(jié)論．
拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．如圖（2）中，過點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點(diǎn)N作BN⊥CA交CA的延長線于N．證明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，證明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得結(jié)論．
（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cs（180°﹣）．在AB上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過點(diǎn)C作CT⊥AE于T．證明TE＝TE′，求出AT，可得結(jié)論．
【詳解】簡單應(yīng)用：解：如圖（1）中，結(jié)論：AE＝AD．
理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案為：AE＝AD．
拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．
理由：如圖（2）中，過點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點(diǎn)N作BN⊥CA交CA的延長線于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．
（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cs（180°﹣）．
理由：在AB上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過點(diǎn)C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC?cs（180°﹣）＝m?cs（180°﹣），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m?cs（180°﹣）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練尋找全等三角形解決問題.
11．(1)，，；(2)見解析
【分析】(1)選擇，作為條件，可得到結(jié)論；
(2)利用對頂角相等，得到，再由角角邊證明△AOC≌△BOD即可．
【詳解】解：(1)選擇的條件為，，需要證明的結(jié)論為：；
(2)由對頂角相等可知：，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵．
12．(1)①③，②
(2)見解析
【分析】（1）選擇條件①③，證明結(jié)論②；
（2）根據(jù)，，得到，，設(shè)，則，，由勾股定理得到，，設(shè)與相交與點(diǎn)F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，證明，得，則，，根據(jù)，得到，故得到．
【詳解】（1）解：選擇的條件是：①③；結(jié)論是：②；
故答案為：①③，②；
（2）證明：，，
，，
設(shè)，則，，
在中，則，
在中，則，
如圖，設(shè)與相交與點(diǎn)F，

四邊形是矩形，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
13．(1)，
(2)，，或
(3)是直角三角形，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)“夢之點(diǎn)”的定義判斷這幾個(gè)點(diǎn)是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；
（2）把代入求出解析式，再求與的交點(diǎn)即為，最后根據(jù)函數(shù)圖象判斷當(dāng)時(shí)，x的取值范圍；
（3）根據(jù)“夢之點(diǎn)”的定義求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后求出，，，即可判斷的形狀．
【詳解】（1）∵矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，
∴矩形“夢之點(diǎn)”滿足，，
∴點(diǎn)，是矩形“夢之點(diǎn)”，點(diǎn)不是矩形“夢之點(diǎn)”，
故答案為：，；
（2）∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)“夢之點(diǎn)”，
∴把代入得，
∴，
∵“夢之點(diǎn)”的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，
∴“夢之點(diǎn)”都在直線上，
聯(lián)立，解得或，
∴，
∴直線的解析式是，
函數(shù)圖象如圖：

由圖可得，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是或；
故答案為：，，或；
（3）是直角三角形，理由如下：
∵點(diǎn)A，B是拋物線上的“夢之點(diǎn)”，
∴聯(lián)立，解得或，
∴，，
∵
∴頂點(diǎn)，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．
14．（答案不唯一）
【分析】由題意易得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定定理可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
若要添加一個(gè)條件使其為菱形，則可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
故答案為（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定定理、矩形的性質(zhì)及平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定定理、矩形的性質(zhì)及平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
15．或或
【分析】根據(jù)對頂角相等可得，再添加邊相等，可利用或判定．
【詳解】解：∵在與中，，，
∴添加，則；
或添加，則；
或添加，則；
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
16．
【分析】（1）根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義得到，整理得到，解得（不合題意，舍去），即可得到答案；
（2）設(shè)點(diǎn)為雙曲線上的“和諧點(diǎn)”，根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義整理得到，由得到，則，由進(jìn)一步得到，且，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到k的取值范圍．
【詳解】解：（1）若是“和諧點(diǎn)”，則，
則，
∴，
即，解得（不合題意，舍去），
∴，
故答案為：
（2）設(shè)點(diǎn)為雙曲線上的“和諧點(diǎn)”，
∴，，
即，
∴，
則，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，且，
對拋物線來說，
∵，
∴開口向下，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∵對稱軸為，，
∴當(dāng)時(shí)，k取最大值為4，
∴k的取值范圍為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)， 讀懂題意，熟練掌握反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（答案不唯一）
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、，
即二元一次方程的根為、，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：，，
一次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)在軸右側(cè)，
，為異號(hào)，
，
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是根與系數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用．
18．
【分析】先根據(jù)可得一個(gè)關(guān)于的等式，再根據(jù)新運(yùn)算的定義代入計(jì)算即可得．
【詳解】解：，
，即，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、代數(shù)式求值，理解新運(yùn)算的定義是解題關(guān)鍵．
19．(1)1；2；
(2)，
【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定義進(jìn)行分類討論并列出方程，再計(jì)算求出x的值即可．
【詳解】（1），
，
；
故答案為：1；2；
（2）若時(shí)，即時(shí)，則
，
解得：，
若時(shí)，即時(shí)，則
，
解得：，不合題意，舍去，
，
【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算及解一元一次方程，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
20．(1)10；
(2)且．
【分析】（1）根據(jù)新定義計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)新定義得到一元二次方程，利用根的判別式列式計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
整理得，
∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，且，
解得且．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
21．贊成小潔的說法，補(bǔ)充，見解析
【分析】贊成小潔的說法，補(bǔ)充：，由四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．
【詳解】贊成小潔的說法，補(bǔ)充：．
證明：，，
，．
又∵．
∴，
∴四邊形是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
22．(1)平行四邊形，見解析
(2)且
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定即可．
（2）根據(jù)對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形判定即可．
【詳解】（1）四邊形是平行四邊形．理由如下：
∵的對角線交于點(diǎn)，
∴，
∵以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，
∴
∴四邊形是平行四邊形．
（2）∵對角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，
∴且時(shí)，四邊形是正方形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（1），見解析；（2），，；（3）見解析
【分析】（1）利用乘以七年級(jí)學(xué)生投稿2篇的學(xué)生所占百分比即可得的值；根據(jù)八年級(jí)學(xué)生的投稿篇數(shù)的頻數(shù)分布表補(bǔ)全頻數(shù)直方圖即可；
（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義、加權(quán)平均數(shù)公式即可得；
（3）從中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的意義進(jìn)行分析即可得．
【詳解】解：（1）兩個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取的學(xué)生數(shù)量為（人），
則．
補(bǔ)全頻數(shù)直方圖如下：

（2），
將八年級(jí)學(xué)生的投稿篇數(shù)按從小到大進(jìn)行排序后，第25個(gè)數(shù)和第26個(gè)數(shù)的平均數(shù)即為其中位數(shù)，
，，
中位數(shù)，
∵在八年級(jí)學(xué)生的投稿篇數(shù)中，投稿篇數(shù)4出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴眾數(shù)．
（3）從中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)來看，八年級(jí)學(xué)生的均高于七年級(jí)學(xué)生的，而且從方差來看，八年級(jí)學(xué)生的小于七年級(jí)學(xué)生的，所以八年級(jí)學(xué)生的投稿情況比七年級(jí)學(xué)生的投稿情況好．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差，熟練掌握統(tǒng)計(jì)調(diào)查的相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
24．(1)357不是15“和倍數(shù)”，441是9的“和倍數(shù)”；理由見解析
(2)數(shù)A可能為732或372或516或156
【分析】（1）根據(jù)題目中給出的“和倍數(shù)”定義進(jìn)行判斷即可；
（2）先根據(jù)三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”得出，根據(jù)，是最大的兩位數(shù)，是最小的兩位數(shù)，得出，（k為整數(shù)），結(jié)合得出，根據(jù)已知條件得出，從而得出或，然后進(jìn)行分類討論即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴357不是15“和倍數(shù)”；
∵，
∴441是9的“和倍數(shù)”．
（2）∵三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，
∴，
∵，
∴在a，b，c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)，最小的兩位數(shù)，
∴，
∵為整數(shù)，
設(shè)（k為整數(shù)），
則，
整理得：，
根據(jù)得：，
∵，
∴，解得，
∵“和倍數(shù)”是各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)，
∴，
∴，
∴，
把代入得：
，
整理得：，
∵，k為整數(shù)，
∴或，
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，，
，，，或，，，
要使三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，數(shù)A必須是一個(gè)偶數(shù)，
當(dāng)，，時(shí)，組成的三位數(shù)為或，
∵，
∴是12的“和倍數(shù)”，
∵，
∴是12的“和倍數(shù)”；
當(dāng)，，時(shí)，組成的三位數(shù)為或，
∵，
∴不是12的“和倍數(shù)”，
∵，
∴不是12的“和倍數(shù)”；
當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，
，，，組成的三位數(shù)為516或156，
∵，
∴是12的“和倍數(shù)”，
∵，
∴是12的“和倍數(shù)”；
綜上分析可知，數(shù)A可能為732或372或516或156．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義類問題，數(shù)的整除性，列代數(shù)式，利用數(shù)位上的數(shù)字特征和數(shù)據(jù)的整除性，是解題的關(guān)鍵，分類討論是解答本題的重要方法，本題有一定的難度．
25．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)新定義得出，根據(jù)已知得出，則，即可求解；
（2）當(dāng)?shù)捷S的距離最小時(shí)，點(diǎn)在線段上，設(shè)的邊長為，以為圓心為半徑作圓，當(dāng)與軸相切時(shí)，如圖所示，切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)是直線：軸的“伴隨點(diǎn)”．且點(diǎn)到軸的距離最小，則的縱坐標(biāo)為，即，是等邊三角形，且軸，設(shè)交于點(diǎn)，則，得出，根據(jù)即可求解；
（3）由正方形的邊長為1，即可求出P到的距離為，從而可得P既在正方形的邊上，也在到距離為的直線上，當(dāng)時(shí)，向上平移2個(gè)單位長度得，分別求出過A、C時(shí)b的值；當(dāng)時(shí)，向下平移2個(gè)單位長度得，分別求出過A、C時(shí)b的值，即可求出b的取值范圍．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，則，點(diǎn)是直線的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：當(dāng)?shù)捷S的距離最小時(shí)，
∴點(diǎn)在線段上，
設(shè)的邊長為，以為圓心為半徑作圓，當(dāng)與軸相切時(shí)，如圖所示，切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)是直線：軸的“伴隨點(diǎn)”．且點(diǎn)到軸的距離最小，

則的縱坐標(biāo)為，即，
∵是等邊三角形，且軸，設(shè)交于點(diǎn)，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴等邊三角形的邊長為；
（3）解：由題意知，正方形的邊長為1，所以正方形上任意兩點(diǎn)距離的最大值為,即正方形上始終存在點(diǎn)P，P到的距離為.則向上或者向下平移2個(gè)單位長度得到直線
∵與平行，且兩直線間的距離為，
∴P既在上，又在正方形的邊上，
∴與正方形有交點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，為，
當(dāng)過A時(shí)，，即,
當(dāng)過C時(shí)，，即;
∴；
當(dāng)時(shí)，為，
當(dāng)過A時(shí)，，即,
當(dāng)過C時(shí)，，即;
∴；
綜上，當(dāng)或時(shí)，正方形上始終存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是直線：的“伴隨點(diǎn)”．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，解直角三角形，切線的性質(zhì)，直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，正方形的性質(zhì)，理解新定義是解題的關(guān)鍵．
26．(1)②③
(2)3或；
(3)
【分析】（1）根據(jù)“n階方點(diǎn)”的定義逐個(gè)判斷即可；
（2）如圖作正方形，然后分a＞0和a＜0兩種情況，分別根據(jù)“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)判斷出所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入坐標(biāo)求出a的值，并舍去不合題意的值即可得；
（3）由二次函數(shù)解析式可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線y＝－2x＋1上移動(dòng)，作出簡圖，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)圖象過點(diǎn)（n，－n）和點(diǎn)（－n， n）時(shí)為臨界情況，求出此時(shí)n的值，由圖象可得n的取值范圍．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)到x軸的距離為2，大于1，
∴不是反比例函數(shù)圖象的“1階方點(diǎn)”，
∵點(diǎn)和點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，且到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于1，
∴和是反比例函數(shù)圖象的“1階方點(diǎn)”，
故答案為：②③；
（2）如圖作正方形，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），
當(dāng)a＞0時(shí)，若y關(guān)于x的一次函數(shù)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
則過點(diǎn)（－2，2）或（2，－2），
把（－2，2）代入得：，解得：（舍去）；
把（2，－2）代入得：，解得：；
當(dāng)a＜0時(shí)，若y關(guān)于x的一次函數(shù)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，
則過點(diǎn)（2，2）或（－2，－2），
把（2，2）代入得：，解得：；
把（－2，－2）代入得：，解得：（舍去）；
綜上，a的值為3或；
（3）∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n，），
∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線y＝－2x＋1上移動(dòng)，
∵y關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，
∴二次函數(shù)的圖象與以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交點(diǎn)，
如圖，當(dāng)過點(diǎn)（n，－n）時(shí)，
將（n，－n）代入得：，
解得：，
當(dāng)過點(diǎn)（－n，n）時(shí)，
將（－n，n）代入得：，
解得：或（舍去），
由圖可知，若y關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的“n階方點(diǎn)”一定存在，n的取值范圍為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確理解“n階方點(diǎn)”的幾何意義，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
27．(1)
(2)見詳解
(3)見詳解
【分析】（1）根據(jù)題意可進(jìn)行求解；
（2）由折疊的性質(zhì)可知，，然后可得，則有是等邊三角形，進(jìn)而問題可求證；
（3）連接，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明，證明，得出，即可證明．
【詳解】（1）解：由題意可知；
（2）證明：由折疊的性質(zhì)可得：，，，，
∴，，
∴是等邊三角形，
∵，，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（3）證明：連接，如圖所示：
由折疊的性質(zhì)可知：，，，
∵折痕，，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的一條三等分線．
【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明，是解題的關(guān)鍵．
28．（1）；（2）見解析；（3），理由見解析
【分析】（1）將代入，即可求解．
（2）設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，設(shè)，則，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形．
（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形的周長與矩形的周長，即可求解．
【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
故答案為：．
（2）如圖（2），連接，

設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得
設(shè)，則
根據(jù)折疊，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
∴矩形是1階奇妙矩形．
（3）用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖）：
第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為，再對折，折痕為，連接；
第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開，折痕為；
第三步：過點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開，折痕為．
矩形是2階奇妙矩形，

理由如下，連接，設(shè)正方形的邊長為，根據(jù)折疊可得，則，

設(shè)，則
根據(jù)折疊，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
當(dāng)時(shí)，
∴矩形是2階奇妙矩形．
（4）如圖（4），連接誒，設(shè)正方形的邊長為1，設(shè)，則，

設(shè)，則
根據(jù)折疊，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
整理得，
∴四邊形的邊長為
矩形的周長為，
∴四邊形的周長與矩形的周長比值總是定值
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的折疊問題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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