專題4 “創(chuàng)新素材”類型
“數(shù)學(xué)承載著思想文化，是人類文明的重要組成部分”．關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化；中考試題中也以數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要發(fā)現(xiàn)為背景，命制了多道以數(shù)學(xué)名題為背景的考題，彰顯數(shù)學(xué)的悠久歷史、數(shù)學(xué)家們的創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值．
近年中考試題以能力立意為目標(biāo)，以增大思維容量為特色，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重對(duì)考生素材創(chuàng)新的考查．從多個(gè)方面展現(xiàn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化．在歷年的中考試題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些有關(guān)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的試題，以此對(duì)學(xué)生進(jìn)行中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的教育．
考點(diǎn)講解：中國(guó)的數(shù)學(xué)歷史極其悠久，無(wú)論是理論層面還是實(shí)踐層面，中國(guó)古代數(shù)學(xué)如今仍有研究?jī)r(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義．近幾年中考數(shù)學(xué)試題把其中的精華引入到考試內(nèi)容中，既打上中華傳統(tǒng)文化的烙印，又有東方數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，發(fā)揮了“春風(fēng)化雨，潤(rùn)物無(wú)聲”的作用．在弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化的同時(shí)，注意吸收世界數(shù)學(xué)文化的精華，從而引導(dǎo)學(xué)生胸懷祖國(guó)，放眼世界．
【例1】（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）
1．經(jīng)過(guò)折疊可以圍成正方體，且在正方體側(cè)面上的字恰好環(huán)繞組成一個(gè)四字成語(yǔ)的圖形是（ ）
A．B．C．D．
【變1】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）
2．如圖1，漢代初期的《淮南萬(wàn)畢術(shù)》是中國(guó)古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻(xiàn)，書中記載了我國(guó)古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過(guò)的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見(jiàn)四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于人射角”．為了探清一口深井的底部情況，運(yùn)用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面所成夾角時(shí)，要使太陽(yáng)光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角（ ）

A．B．C．D．
【例2】（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）
3．我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為（ ）
A．B．C．3D．
【變1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）
4．勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡(jiǎn)明、直觀，是世界公認(rèn)最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志，千百年來(lái)倍受人們的喜愛(ài)．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接，．若正方形與的邊長(zhǎng)之比為，則等于（ ）

A．B．C．D．
考點(diǎn)講解：以古今科學(xué)成就為背景，考查新穎，展現(xiàn)了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，在考查其他知識(shí)的同時(shí)，也體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
【例1】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）
5．發(fā)動(dòng)機(jī)的曲柄連桿將直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)，圖①是發(fā)動(dòng)機(jī)的實(shí)物剖面圖，圖②是其示意圖．圖②中，點(diǎn)A在直線l上往復(fù)運(yùn)動(dòng)，推動(dòng)點(diǎn)B做圓周運(yùn)動(dòng)形成，與表示曲柄連桿的兩直桿，點(diǎn)C、D是直線l與的交點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到E時(shí)，點(diǎn)B到達(dá)C；當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，點(diǎn)B到達(dá)D．若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．B．
C．當(dāng)與相切時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，
【變1】（2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）
6．當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無(wú)窮威力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)的理解如下：
YYDS（永遠(yuǎn)的神）：就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（覺(jué)醒年代）：的個(gè)位數(shù)字是6；
QGYW（強(qiáng)國(guó)有我）：我知道，所以我估計(jì)比大．
其中對(duì)的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是 （填寫網(wǎng)名字母代號(hào)）．
【例2】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）
7．2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空，某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)演播大廳觀看現(xiàn)場(chǎng)直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購(gòu)進(jìn)A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購(gòu)進(jìn)A款和用400元購(gòu)進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
(2)已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元，不少于14750元購(gòu)買文化衫，求有幾種購(gòu)買方案？
(3)在實(shí)際購(gòu)買時(shí)，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購(gòu)人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購(gòu)買方案所需資金恰好相同，試求m值．
【變1】（2021·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）
8．為了改善湘西北地區(qū)的交通，我省正在修建長(zhǎng)（沙）-益（陽(yáng)）-常（德）高鐵，其中長(zhǎng)益段將于2021年底建成．開通后的長(zhǎng)益高鐵比現(xiàn)在運(yùn)行的長(zhǎng)益城際鐵路全長(zhǎng)縮短了40千米，運(yùn)行時(shí)間為16分鐘；現(xiàn)乘坐某次長(zhǎng)益城際列車全程需要60分鐘，平均速度是開通后的高鐵的．
（1）求長(zhǎng)益段高鐵與長(zhǎng)益城際鐵路全長(zhǎng)各為多少千米？
（2）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)對(duì)長(zhǎng)益段高鐵全線某個(gè)配套項(xiàng)目進(jìn)行施工，每天對(duì)其施工的長(zhǎng)度比為7：9，計(jì)劃40天完成．施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊(duì)提高工效，以確保整個(gè)工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程隊(duì)后期每天至少施工多少千米？
考點(diǎn)講解：數(shù)學(xué)文化是國(guó)家文化素質(zhì)教育的重要組成部分，其內(nèi)涵是在實(shí)踐過(guò)程中不斷探索形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用．
【例1】（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）
9．太陽(yáng)能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能減排．某校組織學(xué)生進(jìn)行綜合實(shí)踐活動(dòng)——測(cè)量太陽(yáng)能路燈電池板的寬度．如圖，太陽(yáng)能電池板寬為，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，是燈桿．地面上三點(diǎn)D，E與C在一條直線上，，．該校學(xué)生在D處測(cè)得電池板邊緣點(diǎn)B的仰角為，在E處測(cè)得電池板邊緣點(diǎn)B的仰角為．此時(shí)點(diǎn)A、B與E在一條直線上．求太陽(yáng)能電池板寬的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【變1】（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）
10．單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái)，運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．
某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．
(1)第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系；
(2)第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為，則______（填“>”“=”或“”“=”或“

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