專題5 幾何變換
第5講 視圖、投影和幾何作圖
一、幾何體的展開圖
1．常見的幾何體：柱體，錐體，球體；
2．常見幾何體的側(cè)面展開圖
（1）圓柱的側(cè)面展開圖是長方形；
（2）圓錐的側(cè)面展開圖是扇形；
（3）正方體的側(cè)面展開圖是長方形；
（4）三棱柱的側(cè)面展開圖是長方形．
3．正方體的表面展開圖
二、三視圖
1．物體的三視圖：主視圖、俯視圖、左視圖；
（1）主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖；
（2）左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖；
（3）俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖；
2．三視圖的特點(diǎn)
（1）位置有規(guī)定：主視圖要在左上邊，它下方應(yīng)是俯視圖，左視圖坐落在右上邊 ．
（2）長度要求：主視圖與俯視圖的長對(duì)正，主視圖與左視圖高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等．
3．畫幾何體的三視圖
（1）確定主視圖的位置，畫出主視圖；
（2）在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對(duì)正”；
（3）在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”．
（4）幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線要畫成虛線．
三、投影
1．投影：物體在光線的照射下，會(huì)在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象．影子所在的平面稱為投影面；
2．平行投影：由平行光線所形成的投影叫做平行投影；
3．中心投影：由同一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影叫做中心投影．
四、尺規(guī)作圖
1．尺規(guī)作圖：用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖；
2．基本尺規(guī)作圖
（1）作線段等于已知線段
（2）作角等于已知角；
（3）作一個(gè)角的平分線；
（4）作已知線段的垂直平分線；
（5）經(jīng)過一點(diǎn)作已知直線的垂線；
五、位似圖形
1．位似圖形定義: 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心；
2．位似圖形的性質(zhì)
（1）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；
（2）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；
（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行．
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1．了解位似的意義，知道位似可以將一圖形放大或縮??；
2．經(jīng)歷從不同角度觀察立體圖形的過程，知道簡單立體圖形的側(cè)面展開圖；
3．經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，增加動(dòng)手能力，能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力；
【例1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）
1．下圖是一個(gè)多面體的表面展開圖，每個(gè)面都標(biāo)注了數(shù)字．若多面體的底面是面③，則多面體的上面是（ ）

A．面①B．面②C．面⑤D．面⑥
【變1】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）
2．直三棱柱的表面展開圖如圖所示，，，，四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)距離最大的是（ ）

A．點(diǎn)B．點(diǎn)C．點(diǎn)D．點(diǎn)
【例1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）
3．由六塊相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，則它的俯視圖是（ ）

A． B．
C． D．
【變1】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）
4．一個(gè)幾何體由幾個(gè)大小相同的小立方塊搭成，它的主視圖和俯視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小立方塊最多有 個(gè)．

【例1】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）
5．如圖，是菱形的對(duì)角線．

(1)作邊的垂直平分線，分別與，交于點(diǎn)，（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）的條件下，連接，若，求的度數(shù)．
【變1】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
6．如圖，、、、是直線上的四點(diǎn)，．

(1)求證：；
(2)點(diǎn)、分別是、的內(nèi)心．
①用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
②連接，則與的關(guān)系是________．
【例1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）
7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與的位似比為2的位似圖形，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）

A．B．C．D．
【變1】（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）
8．如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

(1)畫出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫一個(gè)△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．
一、選擇題
（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）
9．如圖，裁掉一個(gè)正方形后能折疊成正方體，但不能裁掉的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）
10．一個(gè)不透明小立方塊的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個(gè)這樣的小立方塊搭成一個(gè)幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（ ）

A．31B．32C．33D．34
（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）
11．如圖，已知骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7，下列圖形為該骰子表面展開圖的是（ ）
A．B．C．D．
（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）
12．“光沿直線傳播”產(chǎn)生了影子，下面是在同一時(shí)刻的太陽光下兩棵樹產(chǎn)生的影子，其中正確的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）
13．一個(gè)正方體截去四分之一，得到如圖所示的幾何體，其左視圖是（ ）

A． B． C． D．
（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）
14．在我國古代建筑中經(jīng)常使用榫卯構(gòu)件，如圖是某種榫卯構(gòu)件的示意圖，其中，卯的俯視圖是（ ）

A． B． C． D．
（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）
15．幾個(gè)大小相同的小正方體搭成幾何體的俯視圖如圖所示，圖中小正方形中數(shù)字表示對(duì)應(yīng)位置小正方體的個(gè)數(shù)，該幾何體的主視圖是（ ）

A． B． C． D．
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
16．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是（ ）．

A．B．C．D．
（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）
17．在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（ ）

A．B．C．D．
二、填空題
（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，若四邊形與四邊形關(guān)于原點(diǎn)位似，且四邊形的面積是四邊形面積的4倍，則第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．

（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）
19．如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時(shí)刻，太陽光線恰好垂直照射葉片，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)成線段，測(cè)得，垂直于地面的木棒與影子的比為2∶3，則點(diǎn)O，M之間的距離等于 米．轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，葉片外端離地面的最大高度等于 米．
（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）
20．如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，在內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)：④過點(diǎn)作射線交于點(diǎn)．若與四邊形的面積比為，則的值為 ．

三、解答題
（2023·青海·統(tǒng)考中考真題）
21．如圖，是的一個(gè)外角，，.

(1)尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)求證：四邊形是平行四邊形.
（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）
22．如圖．已知銳角，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)部求作一點(diǎn)．使．且．（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）
23．如圖，點(diǎn)E是矩形的邊上的一點(diǎn)，且．

(1)尺規(guī)作圖（請(qǐng)用鉛筆）：作的平分線，交的延長線于點(diǎn)F，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）
24．如圖，，，．
(1)求證：；
(2)用直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）
25．兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．
(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為 ；
(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．
①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？
②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫出內(nèi)孔．
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
26．如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：作，使得圓心在邊上，過點(diǎn)且與邊相切于點(diǎn)（請(qǐng)保留作圖痕跡，標(biāo)明相應(yīng)的字母，不寫作法）；
(2)在（1）的條件下，若，求與重疊部分的面積．
（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）
27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為，過點(diǎn)B作AB的垂線l．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)C在直線l上，且的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)P是直線l上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫，使它與位似，相似比為m．若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．
（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）
28．在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以自身的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點(diǎn)的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對(duì)稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對(duì)稱．
例如：如圖①，先將以點(diǎn)為位似中心縮小，得到，再將沿過點(diǎn)的直線翻折，得到，則與成自位似軸對(duì)稱．

(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對(duì)三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對(duì)稱的是________（填寫所有符合條件的序號(hào)）；
(2)如圖③，已知經(jīng)過自位似軸對(duì)稱變換得到，是上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)，使與是該變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；
(3)如圖④，在中，是的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，求證：．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)底面與多面體的上面是相對(duì)面，則形狀相等，間隔1個(gè)長方形，且沒有公共頂點(diǎn)，即可求解．
【詳解】解：依題意，多面體的底面是面③，則多面體的上面是面⑤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了長方體的表面展開圖，熟練掌握基本幾何體的展開圖是解題的關(guān)鍵．
2．B
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折疊成直三棱柱后，運(yùn)用勾股定理計(jì)算比較大小即可．
【詳解】∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∵四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱，
∴直棱柱的高，
∴，，，，
∵，
∴選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開與折疊，勾股定理及其逆定理，熟練掌握展開圖與折疊的意義是解題的關(guān)鍵．
3．D
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．
【詳解】觀察圖形可知，該幾何體的俯視圖如下：
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了簡單組合體的三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
4．
【分析】根據(jù)主視圖和俯視圖可得第一列最多2個(gè)，第二列最多1個(gè)小正方形，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)主視圖和俯視圖可得第一列最多2個(gè)，第二列最多1個(gè)小正方形，如圖所示，

∴搭成這個(gè)幾何體的小立方塊最多有，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解題的關(guān)鍵．
5．(1)見解析
(2)
【分析】（1）分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，交于點(diǎn)，點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接即可；
（2）連接，由菱形的性質(zhì)得到，，則，由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得，故得到，則．
【詳解】（1）解：

（2）解：連接，
菱形，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查基本作圖，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)．按照要求作出邊的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．
6．(1)見解析
(2)①見解析 ②
【分析】（1）可證得，結(jié)合，即可證明結(jié)論．
（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)，因此只需作出任意兩個(gè)角的角平分線，其交點(diǎn)即為所求．②因?yàn)椋钥煽醋饔善揭频玫?，點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，據(jù)此即可求得答案．
【詳解】（1）∵，，，
∴．
在和中
∴．
（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)，作，的角平分線，其交點(diǎn)即為點(diǎn)．

②因?yàn)?，所以可看作由平移得到，點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)平移的性質(zhì)可知．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定、圖形的平移，牢記全等三角形的判定方法和圖形平移的性質(zhì)（連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行或在同一條直線上）是解題的關(guān)鍵．
7．C
【分析】直接根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：∵的位似比為2的位似圖形是，且，
，即，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)得到A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線得到△A1B1C1．
（2）把A、B、C的坐標(biāo)都乘以-2得到A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線即可．
【詳解】（1）如圖，為所作．
（2）如圖，為所作，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（-4，-6）．
【點(diǎn)睛】本題考查位似變換、軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是注意位似中心及相似比、對(duì)稱軸．
9．A
【分析】根據(jù)正方體展開圖分析即可求解．
【詳解】根據(jù)正方體展開圖分析，
①的對(duì)面是⑤，不能裁掉①
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的表面展開圖，理正方體的表面展開圖的模型是解題的關(guān)鍵．正方體的表面展開圖用‘口訣’：一線不過四，田凹應(yīng)棄之，相間、Z端是對(duì)面，間二、拐角鄰面知．
10．B
【分析】根據(jù)正方體展開圖的特征，得出相對(duì)面上的數(shù)字，再結(jié)合正方體擺放方式，得出使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，即可解答．
【詳解】解：由圖①可知：1的相對(duì)面是3，2的相對(duì)面是4，5的相對(duì)面是6，
由圖2可知：
要使該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，則看不見的面數(shù)字之和要最大，
上面的正方體有一個(gè)面被遮住，則這個(gè)面數(shù)字為6，
能看見的面數(shù)字之和為：；
左下的正方體有3個(gè)面被遮住，其中兩個(gè)為相對(duì)面，則這三個(gè)面數(shù)字分別為4，5，6，
能看見的面數(shù)字之和為：；
右下的正方體有2個(gè)面被遮住，這兩個(gè)面不是相對(duì)面，則這兩個(gè)面數(shù)字為4，6，
能看見的面數(shù)字之和為：；
∴能看得到的面上數(shù)字之和最小為：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體的相對(duì)面，掌握正方體展開圖中“相間一行是相對(duì)面”，是解題的關(guān)鍵．
11．D
【分析】根據(jù)骰子表面展開后，其相對(duì)面的點(diǎn)數(shù)之和是7，逐項(xiàng)判斷即可作答．
【詳解】A項(xiàng)，2的對(duì)面是4，點(diǎn)數(shù)之和不為7，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
B項(xiàng)，2的對(duì)面是6，點(diǎn)數(shù)之和不為7，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，2的對(duì)面是6，點(diǎn)數(shù)之和不為7，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，1的對(duì)面是6，2的對(duì)面是5，3的對(duì)面是4，相對(duì)面的點(diǎn)數(shù)之和都為7，故D項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了立體圖形的側(cè)面展開圖的知識(shí)，解答時(shí)，找準(zhǔn)相對(duì)面是解答本題的關(guān)鍵．沒有共同邊的兩個(gè)面即為相對(duì)的面．
12．D
【分析】根據(jù)同一時(shí)刻陽光下的影子肯定為同側(cè)且平行的，且與物體相連，直接判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)同一時(shí)刻陽光下的影子肯定為同側(cè)且平行的，且與物體相連，只有D選項(xiàng)符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查平行投影，解題關(guān)鍵是根據(jù)投影的概念進(jìn)行解答即可．
13．D
【分析】運(yùn)用三種視圖的空間方位進(jìn)行解題．
【詳解】解：A、選項(xiàng)不符合三種視圖，不符合題意；
B、選項(xiàng)是主視圖，不符合題意；
C、選項(xiàng)是右視圖，不符合題意；
D、選項(xiàng)是左視圖，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生的思考能力和對(duì)幾何體三種視圖的空間想象能力．
14．C
【分析】根據(jù)俯視圖的定義（從上面觀察物體所得到的視圖是俯視圖）即可得．
【詳解】解：卯的俯視圖是 ，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了俯視圖，熟記俯視圖的概念是解題關(guān)鍵．
15．D
【分析】根據(jù)各層小正方體的個(gè)數(shù)，然后得出三視圖中主視圖的形狀，即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)俯視圖可知，這個(gè)幾何體中：主視圖有三列：左邊一列1個(gè)，中間一列2個(gè)，右邊一列2個(gè)，
所以該幾何體的主視圖是

故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查，熟練掌握三視圖的判斷方法是解題關(guān)鍵．
16．B
【分析】根據(jù)題意可得這個(gè)幾何體為圓錐，然后求出圓錐的母線長為，再根據(jù)圓錐的側(cè)面（扇形）面積公式，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：這個(gè)幾何體為圓錐，
如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

根據(jù)題意得：，，，
∴，
∴，
即圓錐的母線長為，
∴這個(gè)幾何體的側(cè)面積是．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，求圓錐的側(cè)面積，根據(jù)題意得到這個(gè)幾何體為圓錐是解題的關(guān)鍵．
17．A
【分析】根據(jù)題意確定直線的解析式為：，由位似圖形的性質(zhì)得出所在直線與BE所在直線x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，即可求解．
【詳解】解：由圖得：，
設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為：，
所在直線與BE所在直線x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為位似中心，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴位似中心的坐標(biāo)為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】題目主要考查位似圖形的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，理解題意，掌握位似圖形的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
18．
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到四邊形和四邊形相似，根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方求出相似比，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】解：∵四邊形的面積是四邊形面積的4倍，
∴四邊形和四邊形的相似比為，
∵，
∴第一象限內(nèi)點(diǎn) ，即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
19． 10
【分析】過點(diǎn)O作AC、BD的平行線，交CD于H，過點(diǎn)O作水平線OJ交BD于點(diǎn)J，過點(diǎn)B作BI⊥OJ，垂足為I，延長MO，使得OK＝OB，求出CH的長度，根據(jù)，求出OM的長度，證明，得出，，求出IJ、BI、OI的長度，用勾股定理求出OB的長，即可算出所求長度．
【詳解】如圖，過點(diǎn)O作AC、BD的平行線，交CD于H，過點(diǎn)O作水平線OJ交BD于點(diǎn)J，過點(diǎn)B作BI⊥OJ，垂足為I，延長MO，使得OK＝OB，
由題意可知，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∵，
∴點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
又∵由題意可知：，
∴，解得，
∴點(diǎn)O、M之間的距離等于，
∵BI⊥OJ，
∴，
∵由題意可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四邊形OHDJ是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴葉片外端離地面的最大高度等于，
故答案為：10，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了投影和相似的應(yīng)用，及勾股定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
20．
【分析】根據(jù)作圖可得，然后得出，可證明，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：根據(jù)作圖可得，
∴，
∴，
∵與四邊形的面積比為，
∴
∴
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了作一個(gè)角等于已知角，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握基本作圖與相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
21．(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】（1）利用基本作圖作的平分線即可；
（2）先利用得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，則利用三角形外角性質(zhì)可判斷，所以，然后利用可判斷四邊形是平行四邊形．
【詳解】（1）解：如圖，為所作；

（2）證明：，
，
平分，
，
，
即，
，
，
，
四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖、等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．
22．見解析
【分析】先作的平分線，再作的垂直平分線，直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)滿足條件．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
23．(1)見解析
(2)四邊形是菱形，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合角平分線的定義可得，則，然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）四邊形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴平行四邊形是菱形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定以及菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
24．(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)邊角邊證明即可證明結(jié)論成立；
（2）根據(jù)過直線外一點(diǎn)向直線最垂線的作法得出即可．
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：所作圖形如圖，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，過直線外一點(diǎn)向直線最垂線的作法，熟練記憶正確作法是解題關(guān)鍵．
25．(1)
(2)①符合，圖見詳解；②圖見詳解
【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進(jìn)行求解；
（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進(jìn)行作圖．
【詳解】（1）解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為；環(huán)的“肉”的面積為，
∴它們的面積之比為；
故答案為；
（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線，且交點(diǎn)在外圓的圓上，且與外圓的交點(diǎn)分別為A、B、C，則分別以A、B為圓心，大于長為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，同理可畫出線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以O(shè)為圓心，內(nèi)圓半徑為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可

由作圖可知滿足比例關(guān)系為的關(guān)系；
②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑，過點(diǎn)A作一條射線，然后以A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，把射線三等分，交點(diǎn)分別為C、D、E，連接，然后分別過點(diǎn)C、D作的平行線，交于點(diǎn)F、G，進(jìn)而以為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．
26．(1)見解析
(2)
【分析】（1）作的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，即可；
（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得圓的半徑，設(shè)交于點(diǎn)，連接，可得是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)與重疊部分的面積等于扇形面積與等邊三角形的面積和，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：∵，是的切線，
∴，
∴，
則，
解得：，
如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，連接，

∵，
∴是等邊三角形，
如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴
∴
在中，,
∴,
∴，則，
∴與重疊部分的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，切線的性質(zhì)，求扇形面積，熟練掌握基本作圖與切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為或
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；m的值為3
【分析】（1）利用直線解析式可的點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)代入可得a的值，再將點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式可得k的值，從而得解；
（2）設(shè)直線l于y軸交于點(diǎn)M，由點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線l是的垂線先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線l的解析式，C點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)(分別代表點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo))可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，從而得解；
（3） 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心三點(diǎn)共線可知點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在直線l上，不妨設(shè)為點(diǎn)E，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，直線l與雙曲線的解析式聯(lián)立方程組得到，由得到，繼而得到直線與直線的解析式中的一次項(xiàng)系數(shù)相等，設(shè)直線的解析式是：，將代入求得的解析式是：，再將直線與雙曲線的解析式聯(lián)立求得，再用待定系數(shù)法求出的解析式是，利用直線的解析式與直線l的解析式聯(lián)立求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，再用兩點(diǎn)間的距離公式得到，從而求得．
【詳解】（1）解：令，則
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入得：
解得：
∴
將點(diǎn)代入得：
解得：
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：設(shè)直線l于y軸交于點(diǎn)M，直線與x軸得交點(diǎn)為N，

令解得：
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
又∵直線l是的垂線即，，
∴，
∴
設(shè)直線l的解析式是：，
將點(diǎn)，點(diǎn)代入得：
解得：
∴直線l的解析式是：，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是
∵，(分別代表點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo))
解得： 或6，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為或
（3）∵位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心三點(diǎn)共線，
∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也在直線l上，不妨設(shè)為點(diǎn)E，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，
∴點(diǎn)E是直線l與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，
將直線l與雙曲線的解析式聯(lián)立得：
解得：或
∴
畫出圖形如下：

又∵
∴
∴
∴直線與直線的解析式中的一次項(xiàng)系數(shù)相等，
設(shè)直線的解析式是：
將點(diǎn)代入得：
解得：
∴直線的解析式是：
∵點(diǎn)D也在雙曲線上，
∴點(diǎn)D是直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)，
將直線與雙曲線的解析式聯(lián)立得：
解得：或
∴
設(shè)直線的解析式是：
將點(diǎn)，代入得：
解得：
∴直線的解析式是：，
又將直線的解析式與直線l的解析式聯(lián)立得：
解得：
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)綜合幾何問題，三角形的面積公式，位似的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性大，利用聯(lián)立方程組求交點(diǎn)和掌握位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28．(1)①②
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題中定義作出圖形，即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)題意和軸對(duì)稱性質(zhì)作出軸對(duì)稱前的，即以點(diǎn)為位似中心縮小的，在作出Q對(duì)應(yīng)的，進(jìn)而作出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P即可；
（3）延長交于點(diǎn)，證明和得到，進(jìn)而得到，證明得到，利用平行線的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：①與成自位似軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為的角平分線所在的直線，如圖；

②與成自位似軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為平分線所在的直線，如圖，
，
③與不成自位似軸對(duì)稱，
故答案為：①②；
（2）解：如圖，
1）分別在和上截取，，
2）連接，在上截取，
3）連接并延長交于P，則點(diǎn)即為所求；

（3）證明：延長交于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．

【點(diǎn)睛】本題考查位似和軸對(duì)稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，理解題中所給定義，熟練掌握軸對(duì)稱性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．

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