新高考數學二輪復習專題01 解三角形解答題題型分類提升講與練（2份，原卷版+教師版）-試卷下載-教習網

考法一公式的直接運用
【例1】（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都為銳角，因此，，
．
【變式】
1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）因為，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因為，所以，故，又，
所以，，
而，所以，故．
考法二三角形的面積
【例2】（2023·福建·校聯(lián)考模擬預測）設的內角，，的對邊分別為，，，已知，，且.
(1)求；
(2)求的面積.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由及，得，
由正弦定理得
所以，，所以，又因為，所以.
（2）由結合正弦定理得，即所以或.
又因為，所以.所以，因為，所以，
所以，即的面積為.
【變式】
1．（2023·海南?？凇ば？寄M預測）在中，角 A、B 、C 的對邊分別為a 、b 、c ，且滿足.
(1)求的值；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)2(2)12
【解析】（1）由可得，，
因為，所以可得，解得.
（2）由（1）知，所以，又因為，所以，
所以，即，又，
所以，由正弦定理可得，，所以，
所以，所以的面積.
2．（2023·江蘇無錫·校考模擬預測）已知函數.
(1)求函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
(2)在中，內角所對的邊分別是，且，若，求的面積.
【答案】(1)最小正周期為，單調遞增區(qū)間為.(2)
【解析】（1），所以函數的最小正周期為.
令，得，
故函數的單調遞增區(qū)間為.
（2）由，得，由得，所以，得.
由余弦定理得，即，
因為，所以，從而有，得，
則.
考法三角形的周長
【例3】（2023·重慶南岸）設，
（1）求的單調遞增區(qū)間；
（2）在中，角為銳角，角，，的對邊分別為，，，若，，，求三角形的周長.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知，
令，則，
的單調遞增區(qū)間為；
（2）由（1）得，又角為銳角，，得，
，
得，所以三角形的周長為.
【變式】
1．（2023·河南·校聯(lián)考二模）記的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)設的中點為D，若，且的周長為，求a，b.
【答案】(1)(2)，.
【解析】（1）由條件及正弦定理可得，
因為，所以，所以，整理得，
又因為，所以，所以，解得.
（2）在中，由余弦定理得.而，，所以.①
在中，由余弦定理得.②
由①②兩式相減，得，所以，
將代入②，得，則.
因為的周長為，所以，解得，
所以，.
考法四爪型三角形
【例4】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）的內角所對的邊分別為，且滿足.
(1)求；
(2)若平分，且，，求的面積.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解法一：因為，所以由正弦定理可得，
即，，所以，
又，所以，因為，所以.
解法二：在中，由余弦定理得，，
又因為，所以，
即，所以，因為，所以.
（2）解法一：因為，所以，
兩邊平方得，即①，
又因為平分，所以，即②，
由①②，解得，，所以.

解法二：在中，，所以，又因為平分，所以，即①，
在中，由余弦定理，得，即②，
在中，由余弦定理，得，即③，
由①②③解得，，所以.
解法三：過點作交于點，

因為，且平分，所以，
所以為等邊三角形，所以，又因為，所以，，
所以.
考法五多邊多角
【例5】（2023秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學?？茧A段練習）如圖，在平面四邊形中，，，，，．

(1)求的值；
(2)求的長．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：在中，，，，
由余弦定理可得，
整理可得，，解得，則，
故為等腰三角形，故.
（2）解：由（1）知，，又因為，則，
因為，則為銳角，且，
所以，，
在中，由正弦定理，可得.
【變式】
1.在三角形ABC中，，，，，．
(1)求BD的長；
(2)若AC與BD交于點O，求的面積．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由題意，在中，，，，
由余弦定理得，，所以，
在中，，所以，
所以，
在中，由余弦定理可知，所以．
（2）由（1）可知，又因為，所以為等邊三角形，
所以，，在中，，所以，
在中，，故，
所以，所以，
在中，由正弦定理可知，即，解得，
所以．
考法六最值
【例6】（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）的內角的對邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若，求周長的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因為，可得，
所以由正弦定理可得，
又為三角形內角，，所以，
因為，所以，可得，所以.
（2）由（1）知，又，由正弦定理得，則，
，
【變式】
1．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知中內角，，所對邊分別為，，，．
(1)求；
(2)若邊上一點，滿足且，求的面積最大值．
【答案】(1)(2)．
【解析】（1）由題意，，由正弦定理得，
因為三角形內角，，
則，即，，，，
故，，
（2），已知，，由（1）知，，
由題意得由，（如圖）已知，且由（1）知，
兩邊平方得，則
，解得，.故.
當且僅當，即時，等號成立.所以，的最大值為．

2.（2022秋·江蘇南京·高三?？计谀┮阎猘,b,c分別是三個內角A,B,C的對邊,面積為S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分線交BC于點D,AD＝,求b．
【答案】(1)(2)2
【解析】（1）解:由題知,則有:①,
在中,由余弦定理可得:,
代入①式可得: ,即,
由輔助角公式可得:,所以或,
即或,因為,所以;
（2）由(1)知,因為平分,所以,且有,
即:,
將邊和角代入可得: ,化簡可得: ,
在中,由余弦定理可得:,即,即,
解得:(舍)或,即,解得.
考法七解三角形與三角函數性質的綜合
【例7】（2023·廣東）設函數，其中向量，.
(1)求的最小值；
(2)在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，△的面積為，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由題設，，
所以，當時的最小值為.
（2）由，得：，則，又，
所以，故，則.
由，可得：.
在△中，由余弦定理得：，所以.
由，則.
【變式】
1．（2023春·山西晉城）已知函數.
(1)求函數的定義域和值域；
(2)已知銳角的三個內角分別為A，B，C，若，求的最大值.
【答案】(1)；(2)2
【解析】（1），
所以要使有意義，只需，即，
所以，解得
所以函數的定義域為，
由于，所以，所以函數的值域為；
（2）由于，所以，
因為，所以，所以即，
由銳角可得，所以，由正弦定理可得，
因為，所以所以，所以的最大值為2.
考法八證明題
【例9】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
【答案】(1)；(2)證明見解析．
【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據余弦定理可知，
，化簡得：
，故原等式成立．
【變式】
1．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求證：，，是等差數列；
(2)求的最大值．
【答案】(1)證明見解析(2)．
【解析】（1）證明：因為，所以，
由正弦定理，得，
又由余弦定理，得，
則，即，所以，，是等差數列．
（2）解：由（1）得，
又（當且僅當時取等號），
因為，所以，則的最大值為，則的最大值為．
解三角形鞏固練習
1．（2023·天津北辰·校考模擬預測）已知，，分別為銳角三角形三個內角的對邊，且．
(1)求；
(2)若，，求；
(3)若，求的值．
【答案】(1)(2)3(3)
【解析】（1）由于，所以，由根據正弦定理可得，
所以，且三角形為銳角三角形，即所以.
（2）在中，由余弦定理知，
即，解得或（舍），故.
（3）由，可得，
所以，
，即
2.（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）在中，設所對的邊分別為，且滿足．
(1)求角；
(2)若的內切圓半徑，求的面積．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）在中，由得，
即,故，由于，
故，而，故.
（2）由可得，而，故，則，
由的內切圓半徑，可得，即，即，
故，解得，故的面積.
3．（2023·黑龍江大慶·大慶中學?？寄M預測）在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答．
已知的內角、、所對的邊分別為、、，____________．
(1)求的值；
(2)若的面積為，，求的周長．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：若選①，由已知得，所以，
由正弦定理得，又，所以，所以，
又，由，，解得；
若選②，由已知及正弦定理得，所以，
所以，所以，
又，所以，所以，
又，由，，解得．
（2）解：由的面積為，得，所以，
由（1）可得，由余弦定理得，
所以，所以，
所以的周長為．
4.（2022秋·江蘇南京·高三校考期末）已知a,b,c分別是三個內角A,B,C的對邊,面積為S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分線交BC于點D,AD＝,求b．
【答案】(1)(2)2
【解析】（1）解:由題知,則有:①,
在中,由余弦定理可得:,
代入①式可得: ,即,
由輔助角公式可得:,所以或,
即或,因為,所以;
（2）由(1)知,因為平分,所以,且有,
即:,
將邊和角代入可得: ,化簡可得: ,
在中,由余弦定理可得:,即,即,解得:(舍)或,
即,解得.
5．（2023春·浙江金華）如圖，四邊形是由與正拼接而成，設，.

(1)當時，設，求，的值；
(2)當時，求線段的長.
【答案】(1)，(2)
【解析】（1）在中，由，

可知.由于，，，
，，，.
（2）在中，，

所以，，
.
6.（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）已知△ABC為銳角三角形，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acsB＋bcsA＝2ccsC．
(1)求角C；
(2)若c＝2，求△ABC的周長的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由正弦定理，得，即，
即，又，所以，所以，故．
（2）由正弦定理，得，
所以的周長
由為銳角三角形可知，，得，
所以，所以．所以的周長的取值范圍為．
7．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）中，內角所對的邊分別是，已知，．
(1)求角的值；
(2)求邊上高的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，得由正弦定理，得
又，即，
（2）解法一：設邊上高為，
由余弦定理，得即
，，即，當且僅當時，等號成立
又，，邊上高的最大值為
解法二：設邊上高為，
由正弦定理得，，
因為，，
，，，
又，，邊上高的最大值為.
8．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）已知函數.
(1)求函數的單調遞減區(qū)間；
(2)在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）
令，則
所以，單調減區(qū)間是.
（2）由得：，即，
由于，所以.在中，，，
于是，則，，
，所以.
9．（2023·山東泰安·校考模擬預測）在銳角中，內角所對的邊分別為，滿足，且．
(1)求證：；
(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】（1）由題意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又為銳角三角形，則，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因為為銳角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此線段長度的取值范圍.

相關試卷

相關試卷更多

相關試卷

相關試卷 更多

相關試卷更多