1．（2024?長(zhǎng)沙模擬）在△中，為邊上一點(diǎn)，，，，且△的面積為，則
A．B．C．D．
2．（2024?和平區(qū)二模）平面四邊形中，，，，，則的最小值為
A．B．C．D．
3．（2024?江西一模）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，半徑為1的圓的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對(duì)稱，則的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，
4．（2024?新鄭市校級(jí)一模）如圖，為了測(cè)量某濕地，兩點(diǎn)之間的距離，觀察者找到在同一條直線上的三點(diǎn)，，．從點(diǎn)測(cè)得，從點(diǎn)測(cè)得，，從點(diǎn)測(cè)得．若測(cè)得，（單位：百米），則，兩點(diǎn)之間的距離為
A．B．3C．D．
5．（2024?重慶模擬）已知，，，，，則的最大值為
A．B．4C．D．
6．（2024?唐山二模）已知圓過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
7．（2024?貴陽(yáng)模擬）在鈍角中，，，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
8．（2024?啟東市校級(jí)模擬）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
9．（2024?湖北模擬）已知向量，，滿足，則
A．B．C．D．
10．（2024?河北模擬）在△中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，的平分線的長(zhǎng)為，則邊上的高線的長(zhǎng)等于
A．B．C．2D．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?湖北模擬）在中，，，所對(duì)的邊為，，，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，的面積為，其中，，下列選項(xiàng)正確的是
A．若，則B．的最大值為
C．D．角的最小值為
12．（2024?蘭陵縣模擬）定義運(yùn)算．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，滿足，則下列結(jié)論正確的是
A．
B．
C．角的最大值為
D．若，則為鈍角三角形
13．（2024?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，某旅游部門計(jì)劃在湖中心處建一游覽亭，打造一條三角形游覽路線．已知，是扇岸上的兩條甬路，，，，（觀光亭視為一點(diǎn)，游覽路線、甬路的寬度忽略不計(jì)），則
A．
B．當(dāng)時(shí)，
C．面積的最大值為
D．游覽路線最長(zhǎng)為
14．（2024?城廂區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．則下列結(jié)論正確的是
A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．的最大值為4
C．當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，直線的方程為
D．正弦的最大值為
15．（2024?香河縣校級(jí)模擬）如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是
A．B．C．D．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?泰安四模）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，且，則的面積為 ．
17．（2024?九龍坡區(qū)模擬）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，其面積為，已知，．則 ；的最大值為 ．
18．（2024?和平區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，，，是邊上一點(diǎn)，且．若，記，則 ；若點(diǎn)滿足與共線，，則的值為 ．
19．（2024?浙江模擬）已知平面向量的夾角為，與的夾角為，，和在上的投影為，，則的取值范圍是 ．
20．（2024?東城區(qū)模擬）已知平面內(nèi)點(diǎn)集，，，中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都不相等．設(shè)集合，2，，，，，2，，，，，2，，．給出以下四個(gè)結(jié)論：
①若，則；
②若為奇數(shù)，則；
③若為偶數(shù)，則；
④若，，，，則．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，設(shè)．
（1）求；
（2）若的面積等于，求的周長(zhǎng)的最小值．
22．（2024?一模擬）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且是邊上的高．．
（1）求角；
（2）若，，求．
23．（2024?江西一模）在中，已知內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積為，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，．
（1）若，求；
（2）若，求的值．
24．（2024?曲靖模擬）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）線段上一點(diǎn)滿足，求的長(zhǎng)度．
25．（2024?回憶版）記△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）求；
（2）若，，求△周長(zhǎng)．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練11
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?長(zhǎng)沙模擬）在△中，為邊上一點(diǎn)，，，，且△的面積為，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理；三角形中的幾何計(jì)算
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；數(shù)形結(jié)合法；解三角形
【分析】由已知，解得，得△為等腰三角形，在△中，由正弦定理得，從而得，再由兩角差的正弦公式即可求得結(jié)論．
【解答】解：由題意，
，解得，
所以△為等腰三角形，
則，故，
在△中，由正弦定理得，
即，得，
因?yàn)椋?為銳角，
故，
故
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，考查正弦定理的應(yīng)用，屬中檔題．
2．（2024?和平區(qū)二模）平面四邊形中，，，，，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用
【分析】由已知，得，，，四點(diǎn)共圓，從而判斷點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣弧（不含，兩點(diǎn)），根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得出結(jié)論．
【解答】解：由，，，
可得，故，
又，所以，
以為直徑作圓，則，，，四點(diǎn)共圓，
如圖所示，故點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣?。ú缓?，兩點(diǎn)），
則，
又表示在上的投影數(shù)量，
由圖可知，，，
故（此時(shí)點(diǎn)在劣弧的中點(diǎn)位置），
即的最小值為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，屬中檔題．
3．（2024?江西一模）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，半徑為1的圓的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對(duì)稱，則的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；平面向量及應(yīng)用；綜合法
【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)，可得，再由的范圍，即可得到結(jié)果．
【解答】解：由題意可得：
，
當(dāng)與正六邊形的邊垂直時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，，
所以，
則，
即．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的模的運(yùn)算，屬中檔題．
4．（2024?新鄭市校級(jí)一模）如圖，為了測(cè)量某濕地，兩點(diǎn)之間的距離，觀察者找到在同一條直線上的三點(diǎn)，，．從點(diǎn)測(cè)得，從點(diǎn)測(cè)得，，從點(diǎn)測(cè)得．若測(cè)得，（單位：百米），則，兩點(diǎn)之間的距離為
A．B．3C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】解三角形
【專題】解三角形；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理，即可求解．
【解答】解：在△中，，，，
則，，
在△中，，，，
則，
，
，
在△中，，，，
則，解得，
故，兩點(diǎn)之間的距離為3百米．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
5．（2024?重慶模擬）已知，，，，，則的最大值為
A．B．4C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】由題意首先得出為兩外切的圓和橢圓上的兩點(diǎn)間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為橢圓上點(diǎn)到另一個(gè)圓的圓心的最大值即可．
【解答】解：如圖所示：
不妨設(shè)，
滿足，，，
又，即，
由橢圓的定義可知點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上運(yùn)動(dòng)，
，
所以該橢圓方程為，
而，即，即，
這表明了點(diǎn)在圓上面運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)為圓心，為半徑，
又，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，
故只需求的最大值即可，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上面運(yùn)動(dòng)，所以不妨設(shè)，
所以，
所以當(dāng)且，，三點(diǎn)共線時(shí)，
有最大值．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
6．（2024?唐山二模）已知圓過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】方程思想；直線與圓；分類討論；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求出點(diǎn)，、的坐標(biāo)，直接計(jì)算即可；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，設(shè)，、，，聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出關(guān)于的表達(dá)式，由函數(shù)的性質(zhì)即可求解其范圍．
【解答】解：設(shè)，、，，圓，．
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則，
時(shí)，，，，
設(shè)，，，、，
與軸交于，，
、、，
；
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，
時(shí)，與軸無(wú)交點(diǎn)，不符題意．
時(shí)，時(shí)，，，
聯(lián)立，消去得，
，，
，，，，
，
，，，，
，
綜上或，
．
則的取值范圍為，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了方程思想及分類討論思想，屬于中檔題．
7．（2024?貴陽(yáng)模擬）在鈍角中，，，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理
【專題】解三角形；整體思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】利用正弦定理、兩角差的正弦公式和正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：由正弦定理得，
所以，
因?yàn)殁g角中，，
當(dāng)為銳角時(shí)，，得，則，
則，所以；
當(dāng)為鈍角時(shí)，，得，則，
則，所以；
綜上：．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，和差角公式，同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．
8．（2024?啟東市校級(jí)模擬）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；平面向量及應(yīng)用；直線與圓；數(shù)學(xué)建模
【分析】設(shè)，利用平面數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可求得的取值范圍．
【解答】解：設(shè)，由圖可知，與夾角為銳角，故，
又，，
則，
令，則為點(diǎn)到直線的距離，
圓心到直線的距離，
所以，故，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積，考查直線和圓的位置關(guān)系，屬中檔題．
9．（2024?湖北模擬）已知向量，，滿足，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
【專題】綜合法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；平面向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題
【分析】根據(jù)已知條件可得向量的夾角為，，再利用數(shù)量積運(yùn)算可得解．
【解答】解：由，可得向量的夾角為，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
10．（2024?河北模擬）在△中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，的平分線的長(zhǎng)為，則邊上的高線的長(zhǎng)等于
A．B．C．2D．
【答案】
【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；余弦定理
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；解三角形；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題
【分析】由可得的值，進(jìn)而可求得、的值，結(jié)合余弦定理可得，由等面積法可求得．
【解答】解：由題意知，設(shè)，
則，如圖所示，
由，可得，
整理得，即，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
在△中，由余弦定理得，
所以，
由，可得，解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積公式以及余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?湖北模擬）在中，，，所對(duì)的邊為，，，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，的面積為，其中，，下列選項(xiàng)正確的是
A．若，則B．的最大值為
C．D．角的最小值為
【答案】
【考點(diǎn)】正弦定理
【專題】轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；解三角形；綜合法
【分析】對(duì)于，由余弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
對(duì)于，由已知利用基本不等式可求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
對(duì)于，由題意可得，兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，余弦定理即可求解．
對(duì)于，利用基本不等式可求得，利用余弦定理可求，結(jié)合范圍，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：對(duì)于，若，，，
由余弦定理，可得，可得，
所以的面積為，故正確；
對(duì)于，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，可得，
所以的面積為，故正確；
對(duì)于，因?yàn)檫吷系闹悬c(diǎn)為，可得，
所以兩邊平方，可得，
可得，解得，故正確；
對(duì)于，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，
因?yàn)?，可得，?br>所以的最大值為，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，基本不等式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算以及余弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
12．（2024?蘭陵縣模擬）定義運(yùn)算．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，滿足，則下列結(jié)論正確的是
A．
B．
C．角的最大值為
D．若，則為鈍角三角形
【答案】
【考點(diǎn)】行列式；正弦定理；解三角形
【專題】解三角形；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】由新定義運(yùn)算得，對(duì)于選項(xiàng)：由正弦定理邊化角后知正確；對(duì)于選項(xiàng)：可舉反例進(jìn)行判斷；對(duì)于選項(xiàng)：結(jié)合余弦定理及基本不等式，可求得，可知正確；對(duì)于選項(xiàng)：結(jié)合條件可得，計(jì)算即可判斷出為鈍角．
【解答】解：由可知，
整理可知，
由正弦定理可知：，
即選項(xiàng)正確；
因?yàn)闈M足，
但不滿足，
即選項(xiàng)不正確；
由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“” ，
又，
所以的最大值為，
即選項(xiàng)正確；
由可得，
解得，
又，
從而可得為最大邊，
則，
即角為鈍角，
即選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，重點(diǎn)考查了余弦定理及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．
13．（2024?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，某旅游部門計(jì)劃在湖中心處建一游覽亭，打造一條三角形游覽路線．已知，是扇岸上的兩條甬路，，，，（觀光亭視為一點(diǎn)，游覽路線、甬路的寬度忽略不計(jì)），則
A．
B．當(dāng)時(shí)，
C．面積的最大值為
D．游覽路線最長(zhǎng)為
【答案】
【考點(diǎn)】正弦定理；解三角形；三角形中的幾何計(jì)算
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；解三角形
【分析】中，在中，由余弦定理可得的值，判斷出的真假；中，由正弦定理可得的值，判斷出的真假；中，在中，由余弦定理及基本不等式可得的最大值，進(jìn)而求出的面積的最大值，判斷出的真假；中，中，由余弦定理可得的最大值，判斷出的真假．
【解答】解：中，在中，，，，
由余弦定理可得，所以正確；
中，因?yàn)?，，若時(shí)，
由正弦定理可得，即，所以不正確；
中，在中，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
所以，所以正確；
中，在中，由余弦定理可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，即，所以正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，余弦定理及基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
14．（2024?城廂區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．則下列結(jié)論正確的是
A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．的最大值為4
C．當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，直線的方程為
D．正弦的最大值為
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程
【專題】平面向量及應(yīng)用；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】由題可得點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)，則，可依次判斷，，選項(xiàng)，對(duì)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，正弦的最大，列式計(jì)算可求解判斷．
【解答】解：如圖，
由題意可得點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，
設(shè)，，則，
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，可得，
，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故正確；
對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故正確；
對(duì)于，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線與圓相切，所以，所以直線的方程為，故正確；
對(duì)于，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，正弦的最大，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，
有，解得，即，從而可得，
所以正弦的最大值為，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，屬于中檔題．
15．（2024?香河縣校級(jí)模擬）如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用；向量法
【分析】利用向量加法法則運(yùn)算判斷，先用加法法則求得，再利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解判斷．
【解答】解：由題意，，故正確，錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以
，故錯(cuò)誤，正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?泰安四模）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，且，則的面積為 1 ．
【答案】1．
【考點(diǎn)】余弦定理；解三角形；正弦定理
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；解三角形
【分析】由題意及正弦定理可得的值，再由題意可得角為銳角，可得的值，再由余弦定理可得的值，代入三角形的面積公式，可得該三角形的面積．
【解答】解：因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
在三角形中，可得，
又因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫?br>所以，則，則為銳角，
可得，，
所以．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
17．（2024?九龍坡區(qū)模擬）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，其面積為，已知，．則 ；的最大值為 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；對(duì)應(yīng)思想；解三角形
【分析】由正弦定理結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)即可求解第一空；
由余弦定理結(jié)合基本不等式及三角形面積公式即可求解第二空．
【解答】解：因?yàn)?，所以由正弦定理得?br>又，，所以，
即，因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，即；
由余弦定理得，，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正余弦定理及基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．
18．（2024?和平區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，，，是邊上一點(diǎn)，且．若，記，則 ；若點(diǎn)滿足與共線，，則的值為 ．
【答案】；或．
【考點(diǎn)】平面向量的基本定理
【專題】轉(zhuǎn)化法；對(duì)應(yīng)思想；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】由已知把用線性表示，即可求得；設(shè)，再把用線性表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算列關(guān)于的方程求解．
【解答】解：由已知圖形可知，
．
又，則，．
；
若點(diǎn)滿足與共線，設(shè)，
，
．
由，得
，，，
代入整理得：，
解得：或．
的值為或．
故答案為：；或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查平面向量基本定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
19．（2024?浙江模擬）已知平面向量的夾角為，與的夾角為，，和在上的投影為，，則的取值范圍是 ， ．
【答案】，．
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【專題】函數(shù)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)題意易知與的夾角為，從而根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)斜率投影的定義函數(shù)模型，最后通過(guò)函數(shù)思想，即可求解．
【解答】解：的夾角為，與的夾角為，
與的夾角為，
根據(jù)正弦定理可得，又，
，，
又，，，
在上的投影，
在上的投影，
，
又，，，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
且最小值為；
當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，
的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的綜合應(yīng)用，向量投影的概念，函數(shù)建模，函數(shù)思想的應(yīng)用，屬難題．
20．（2024?東城區(qū)模擬）已知平面內(nèi)點(diǎn)集，，，中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都不相等．設(shè)集合，2，，，，，2，，，，，2，，．給出以下四個(gè)結(jié)論：
①若，則；
②若為奇數(shù)，則；
③若為偶數(shù)，則；
④若，，，，則．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ①③④ ．
【答案】①③④．
【考點(diǎn)】平面向量的概念與平面向量的模
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；平面向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理
【分析】先證明，得到①③正確，②錯(cuò)誤；然后在，，，和的情況下推導(dǎo)出矛盾，從而得到，即④正確．
【解答】解：中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都不相等，
所有個(gè)向量?jī)蓛刹幌嗟龋?br>這表明對(duì)任意的，，，當(dāng)且僅當(dāng)，2，，，有，
將其轉(zhuǎn)換為更通俗的語(yǔ)言就是：
對(duì)于點(diǎn)，，，當(dāng)且僅當(dāng)是集合里除了以外的點(diǎn)中到的距離，
對(duì)每個(gè)，存在另一個(gè)到距離取得最小值的點(diǎn)，
此時(shí)，從而，，
故①③正確，②錯(cuò)誤；
對(duì)于④，假設(shè)，，，，，
，，，，
，，，，兩兩不同，且對(duì)每個(gè)，2，，，點(diǎn)都是中除到距離最短的點(diǎn)，
特別地，都是，，各自的距離最短（不包括其本身）的點(diǎn)，
不妨設(shè)，，，，，，2，3，4，5，，并記為點(diǎn)，
則是到，，，各自的距離最短（不包括其本身）的點(diǎn)，
對(duì)兩不同點(diǎn)，，記直線的傾斜角為，，
假設(shè)存在，，使得，
不妨設(shè)，
則，
這與是到的距離最短（不包括本身，的點(diǎn)矛盾，
，，，兩兩不相等，不妨設(shè)，
，，
，，
，
，同理，，，，，，
而對(duì)，2，3，4，5，有或，
，，矛盾，
假設(shè)不成立，，故④正確．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的運(yùn)算、向量的模、兩點(diǎn)間距離、反證法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，設(shè)．
（1）求；
（2）若的面積等于，求的周長(zhǎng)的最小值．
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；解三角形
【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；分析法；轉(zhuǎn)化法；解三角形；不等式
【分析】（1）先利用邊角互化將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，求出．
（2）因?yàn)橐阎?，所以求面積的最小值即為求的最小值，結(jié)合余弦定理和基本不等式可以求得．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得．
顯然，所以．
所以，．
所以，．
（2）依題意，．
所以時(shí)取等號(hào)．
又由余弦定理得．．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
所以的周長(zhǎng)最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形、基本不等式等知識(shí)，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
22．（2024?一模擬）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且是邊上的高．．
（1）求角；
（2）若，，求．
【答案】（1）；
（2）6．
【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理；解三角形
【專題】解三角形；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想
【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，利用余弦定理可得，結(jié)合，即可求解的值；
（2）由題意利用三角函數(shù)恒等變換可求，設(shè)，，，可得，，由題意可得，又，解得：，，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可求解．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br>利用正弦定理可得，可得，
利用余弦定理，
由于，
所以；
（2）因?yàn)?，可得①?br>又，可得②，
由①②得：，，
所以，可得，即③，
在中，，設(shè)，，，
則，
，
所以由③可得，整理得：，
由于：，
解得：，，
由于：，
所以：，可得，整理可得，
解得：或（舍去），即．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
23．（2024?江西一模）在中，已知內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積為，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，．
（1）若，求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【考點(diǎn)】正弦定理；解三角形；余弦定理
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；解三角形；整體思想
【分析】（1）由得，再結(jié)合余弦定理從而可求解．
（2）由利用向量可得，并結(jié)合得，再由，從而可求解．
【解答】解：（1）由題可得：，故，
又，即，
，即，
在中，根據(jù)余弦定理得，
即，
，即；
（2），，
，即，
又，①，
又②，
由①②得：，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理，向量數(shù)量積的性質(zhì)在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．
24．（2024?曲靖模擬）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）線段上一點(diǎn)滿足，求的長(zhǎng)度．
【考點(diǎn)】正弦定理；解三角形
【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）由余弦邊角關(guān)系及已知得，再由余弦定理即可求； （2）由題設(shè)得，且，，，在，應(yīng)用正弦定理得，，，即可求的長(zhǎng)度．
【解答】解：（1）由題設(shè)及余弦定理知：，
所以，又，，
所以；
（2）由題設(shè)，且，，，
在中，由正弦定理得，，
則，
在中，由正弦定理得，，
所以，
則，
綜上，可得，，
則，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．
25．（2024?回憶版）記△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）求；
（2）若，，求△周長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理；解三角形
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解
【分析】（1）由輔助角公式及角的范圍，可得角的大??；
（2）由正弦定理可得的值，再由角的范圍，可得角的大小，進(jìn)而可得角的大小，再由正弦定理可得，的值，進(jìn)而求出△的周長(zhǎng)．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br>所以，即，
由為三角形內(nèi)角，得，
即；
（2）因?yàn)椋?br>，由正弦定理可得：，
可得，
又因?yàn)?，所以，?br>在△中，由正弦定理得，
所以，，
所以△的周長(zhǎng)為．
綜上，△的周長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的應(yīng)用，輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
考點(diǎn)卡片
1．基本不等式及其應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
實(shí)例解析
例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．
A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．
解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．
對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，
不滿足“相等”的條件，
再者sinx可以取到負(fù)值．
故選：C．
A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時(shí)，如何求的最大值．
解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，
當(dāng)x≠0時(shí)，＝，
用基本不等式
若x＞0時(shí)，0＜y≤，
若x＜0時(shí)，﹣≤y＜0，
綜上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣與．
這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒(méi)有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．
【解題方法點(diǎn)撥】
基本不等式的應(yīng)用
1、求最值
例1：求下列函數(shù)的值域．
2、利用基本不等式證明不等式
3、基本不等式與恒成立問(wèn)題
4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用
【命題方向】
技巧一：湊項(xiàng)
點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．
技巧二：湊系數(shù)
例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8
當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．
評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分離
例3：求y＝的值域．
解：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．
y＝＝＝（x+1）++5，
當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）
技巧四：換元
對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值．
技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．
技巧六：整體代換
點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．
技巧七：取平方
點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．
總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．
2．平面向量的概念與平面向量的模
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．
向量的幾何表示
用有向線段表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如、，…字母表示，用小寫字母、，…表示．有向向量的長(zhǎng)度為模，表示為||、||，單位向量表示長(zhǎng)度為一個(gè)單位的向量；長(zhǎng)度為0的向量為零向量．
向量的模
的大小，也就是的長(zhǎng)度（或稱模），記作||．
零向量
長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作，零向量的長(zhǎng)度為0，方向不確定．
單位向量
長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）．
相等向量
長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．
3．平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：
設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：
（1）＝＝||csθ；
（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）
（3）當(dāng)，方向相同時(shí)，＝||||；當(dāng)，方向相反時(shí)，＝﹣||||；
特別地：＝||2或||＝（用于計(jì)算向量的模）
（4）csθ＝（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）
（5）||≤||||
2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；
（3）分配律：（）?≠?（）
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：
①“mn＝nm”類比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；
④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；
⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；
⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是 ①② ．
解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，
∴“mn＝nm”類比得到“”，
即①正確；
∵向量的數(shù)量積滿足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，
即②正確；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，
即③錯(cuò)誤；
∵||≠|(zhì)|?||，
∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；
即④錯(cuò)誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，
∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，
即⑤錯(cuò)誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴”不能類比得到，
即⑥錯(cuò)誤．
故答案為：①②．
向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．
【命題方向】
本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，題目相對(duì)來(lái)說(shuō)也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．
5．平面向量的基本定理
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、平面向量基本定理內(nèi)容：
如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使．
2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．
3、說(shuō)明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．
（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
6．正弦定理
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況
由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無(wú)解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無(wú)解．
2、三角形常用面積公式
1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
【解題方法點(diǎn)撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問(wèn)題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)
（1）測(cè)距離問(wèn)題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問(wèn)題，再運(yùn)用正弦定理解決；
②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問(wèn)題．
（2）測(cè)量高度問(wèn)題：
解題思路：
①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．
②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問(wèn)題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．
7．余弦定理
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．正弦定理和余弦定理
【解題方法點(diǎn)撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問(wèn)題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)
（1）測(cè)距離問(wèn)題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問(wèn)題，再運(yùn)用正弦定理解決；
②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問(wèn)題．
（2）測(cè)量高度問(wèn)題：
解題思路：
①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．
②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問(wèn)題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．
8．三角形中的幾何計(jì)算
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、幾何中的長(zhǎng)度計(jì)算：
（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可以求解：
①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．
②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判斷三角形的形狀；
③實(shí)現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化．包括：a、已知三邊，求三個(gè)角；b、已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．
2、與面積有關(guān)的問(wèn)題：
（1）三角形常用面積公式
①S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
（2）面積問(wèn)題的解法：
①公式法：三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形，可用相應(yīng)面積公式解決．
②割補(bǔ)法：若是求一般多邊形的面積，可采用作輔助線的辦法，通過(guò)分割或補(bǔ)形把不是三角形的幾何圖形分割成不重疊的幾個(gè)三角形，再由三角形的面積公式求解．
【解題方法點(diǎn)撥】
幾何計(jì)算最值問(wèn)題：
（1）常見(jiàn)的求函數(shù)值域的求法：
①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值；
②逆求法（反求法）：通過(guò)反解，用y來(lái)表示x，再由x的取值范圍，通過(guò)解不等式，得出y的取值范圍；
④換元法：通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；
⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域；
⑥單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域．
⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域．
（2）正弦，余弦，正切函數(shù)值在三角形內(nèi)角范圍內(nèi)的變化情況：
①當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，
正弦值隨著角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值隨著角度的增大而減小，且0≤csα≤1；
正切值隨著角度的增大而增大，tanα＞0．
②當(dāng)角度在90°～180°間變化時(shí)，
正弦值隨著角度的增大而減小，且0≤sinα≤1；
余弦值隨著角度的增大而減小，且﹣1≤csα≤0；
正切值隨著角度的增大而增大，tanα＜0．
9．解三角形
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．
4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．
7．關(guān)于三角形面積問(wèn)題
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r?s，（ r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）
在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：
10．與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
﹣對(duì)稱直線：
﹣點(diǎn)對(duì)稱：直線l關(guān)于點(diǎn)（x0，y0）的對(duì)稱直線方程為：
﹣直線對(duì)稱：給定直線l和對(duì)稱直線l'，可以利用垂直平分線的方程來(lái)確定l'的方程．
【解題方法點(diǎn)撥】
﹣求對(duì)稱直線方程：
1．點(diǎn)對(duì)稱：將直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得到對(duì)稱點(diǎn)和新直線方程．
2．直線對(duì)稱：對(duì)直線關(guān)于另一條直線的對(duì)稱，先找到垂直平分線，再確定對(duì)稱方程．
【命題方向】
﹣對(duì)稱直線：常考查如何利用點(diǎn)對(duì)稱或直線對(duì)稱求得直線方程．
11．行列式
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
二階行列式與方程組的解：
對(duì)于關(guān)于x，y的二元一次方程組我們把稱為二階行列式，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)值（或多項(xiàng)式），記為det（A）═＝ad﹣bc．
若將方程組中行列式記為D，記為Dx，記為Dy，則當(dāng)D≠0時(shí)，方程組的解為．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:25:59；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號(hào)：41418999
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
變形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解決
三角
形的
問(wèn)題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形




關(guān)系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個(gè)數(shù)
一解
兩解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
變形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解決
三角
形的
問(wèn)題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
名稱
公式
變形
內(nèi)角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R為△ABC的外接圓半徑
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面積公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）
sinA＝
sinB＝
sinC＝

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