1．（2024?九龍坡區(qū)校級模擬）已知，則在復平面上對應的點所在象限為
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2024?下陸區(qū)校級三模）已知復數(shù)，且，，則
A．B．C．D．
3．（2024?新鄭市校級一模）復數(shù)滿足，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
4．（2024?安慶模擬）復數(shù)滿足，則
A．B．C．D．
5．（2024?泰州模擬）若復數(shù)滿足，則的最小值為
A．B．C．1D．
6．（2024?張家口模擬）已知復數(shù)，，下列說法正確的有
A．若，則
B．若是關于的方程的一個根，則
C．若，則
D．若，則或
7．（2024?西充縣模擬）已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內對應的點位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（2024?寧波二模）已知復數(shù)的實部大于等于1，則的最小值為
A．B．C．D．
9．（2024?遼寧模擬）已知復數(shù)滿足且有，則
A．B．C．D．
10．（2023?鎮(zhèn)安縣校級模擬）已知為虛數(shù)單位，則
A．B．C．D．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?南通模擬）已知，都是復數(shù)，下列正確的是
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
12．（2024?船營區(qū)校級模擬）已知復數(shù)，滿足：為純虛數(shù)，，則下列結論正確的是
A．B．
C．的最小值為3D．的最小值為3
13．（2024?重慶模擬）已知復數(shù)，均不為0，則
A．B．C．D．
14．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）已知復數(shù)，，，下列結論正確的有
A．若復數(shù)滿足，則
B．若，滿足，則
C．若，則
D．若復數(shù)滿足，則在復平面內所對應點的軌跡是橢圓
15．（2024?瓊海模擬）設，為復數(shù)，則下列結論中正確的是
A．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù)
B．若，則的最大值為
C．
D．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?荊州區(qū)校級模擬）棣莫弗定理：若為正整數(shù)，則，其中為虛數(shù)單位，已知復數(shù)，則 ，的實部為 ．
17．（2024?貴州模擬）如果復數(shù)，，，在復平面內對應的點分別為，，，，復數(shù)滿足，且，則的最大值為 ．
18．（2023?福建學業(yè)考試）已知是虛數(shù)單位，則 ．
19．（2022?蘇州三模）任何一個復數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式．法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結論為棣莫弗定理．根據以上信息，若，時，則 ；對于，， ．
20．（2022?重慶模擬）任何一個復數(shù)為虛數(shù)單位，，都可以表示為，的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式．瑞士著名數(shù)學家歐拉首先發(fā)現(xiàn)為自然對數(shù)的底數(shù)），此結論被稱為“歐拉公式”，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系．因此可得．由復數(shù)相等可知對，存在一個關于的次多項式，，，使得，這樣的多項式被稱為“切比雪夫多項式”，由知，則 ；運用探求切比雪夫多項式的方法可得 ．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?貴陽模擬）在復數(shù)集中有這樣一類復數(shù)：與，我們把它們互稱為共軛復數(shù)，時它們在復平面內的對應點關于實軸對稱，這是共軛復數(shù)的特點．它們還有如下性質：
（1）
（2）（當時，為純虛數(shù)）
（3）
（4）
（5）．
（6）兩個復數(shù)和、差、積、商（分母非零）的共軛復數(shù)，分別等于兩個復數(shù)的共軛復數(shù)的和、差、積、商．
請根據所學復數(shù)知識，結合以上性質，完成下面問題：
（1）設，．求證：是實數(shù)；
（2）已知，，，求的值；
（3）設，其中，是實數(shù)，當時，求的最大值和最小值．
22．（2024?大祥區(qū)校級模擬）高中教材必修第二冊選學內容中指出：設復數(shù)對應復平面內的點，設，，則任何一個復數(shù)都可以表示成：的形式，這種形式叫做復數(shù)三角形式，其中是復數(shù)的模，稱為復數(shù)的輻角，若，則稱為復數(shù)的輻角主值，記為．復數(shù)有以下三角形式的運算法則：若，，2，，則：，特別地，如果，那么，這個結論叫做棣莫弗定理．請運用上述知識和結論解答下面的問題：
（1）求復數(shù)，的模和輻角主值（用表示）；
（2）設，，若存在滿足，那么這樣的有多少個？
（3）求和：．
23．（2024?西山區(qū)模擬）我們把（其中，稱為一元次多項式方程．
代數(shù)基本定理：任何復系數(shù)一元次多項式方程（即，，，，為實數(shù)）在復數(shù)集內至少有一個復數(shù)根；由此推得，任何復系數(shù)一元次多項式方程在復數(shù)集內有且僅有個復數(shù)根（重根按重數(shù)計算）．
那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復系數(shù)一元次多項式在復數(shù)集內一定可以分解因式，轉化為個一元一次多項式的積．
即，其中，，，，，，為方程的根．
進一步可以推出：在實系數(shù)范圍內（即，，，，為實數(shù)），方程的有實數(shù)根，則多項式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，由待定系數(shù)法可知，．
（1）解方程：；
（2）設，其中，，，，且．
分解因式：；
記點，是的圖象與直線在第一象限內離原點最近的交點．求證：當時，．
24．（2022?上海模擬）設復數(shù)，，其中，．
（1）若復數(shù)為實數(shù)，求的值；
（2）求的取值范圍．
25．（2022?寶山區(qū)校級二模）已知虛數(shù)，其中，，為虛數(shù)單位．
①若對任意，均有，求實數(shù)的取值范圍；
②若，恰好是某實系數(shù)一元二次方程的兩個解，求，的值．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練12
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?九龍坡區(qū)校級模擬）已知，則在復平面上對應的點所在象限為
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】
【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復數(shù)的運算
【專題】計算題；轉化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算
【分析】根據題意，利用復數(shù)的四則運算求出，結合復數(shù)的幾何意義分析可得答案．
【解答】解：根據題意，因為，
所以它在復平面上對應的點為，該點位于第四象限．
故選：．
【點評】本題考查復數(shù)的計算，涉及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．
2．（2024?下陸區(qū)校級三模）已知復數(shù)，且，，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】復數(shù)的運算；共軛復數(shù)
【分析】由已知結合復數(shù)的四則運算及復數(shù)相等的條件即可求解．
【解答】解：因為，，
所以，
因為
，
則，，
當，時，，
當當，時，．
故選：．
【點評】本題主要考查了復數(shù)的四則運算及復數(shù)相等條件的應用，屬于中檔題．
3．（2024?新鄭市校級一模）復數(shù)滿足，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【考點】復數(shù)的模
【專題】轉化思想；轉化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算
【分析】根據已知條件可得，復數(shù)對應的點的軌跡是以，為焦點，兩條坐標軸為對稱軸，長軸長為4的橢圓，再結合橢圓的性質，以及復數(shù)模公式，即可求解．
【解答】解：復數(shù)滿足，
復數(shù)對應的點的軌跡是以，為焦點，兩條坐標軸為對稱軸，長軸長為4的橢圓，即，解得，
該橢圓的短軸長，
表示橢圓上的點到原點的距離，
則的最大值為橢圓的長半軸，最小值為短半軸，
故的取值范圍為，．
故選：．
【點評】本題主要考查復數(shù)模公式，考查轉化能力，屬于中檔題．
4．（2024?安慶模擬）復數(shù)滿足，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】復數(shù)的模；復數(shù)的運算
【專題】綜合法；轉化思想；數(shù)學運算；數(shù)系的擴充和復數(shù)
【分析】利用復數(shù)的運算性質以及模的求解公式即可求解．
【解答】解：由已知可得，
所以．
故選：．
【點評】本題考查了復數(shù)的運算性質以及模的求解，屬于基礎題．
5．（2024?泰州模擬）若復數(shù)滿足，則的最小值為
A．B．C．1D．
【答案】
【考點】復數(shù)的模
【專題】數(shù)學運算；方程思想；數(shù)系的擴充和復數(shù)；定義法
【分析】根據已知條件得出所對應的點的軌跡方程，進而可求的最小值．
【解答】解：設，則，整理得，即所對應的點在直線上，
則的最小值為點到的距離：．
故選：．
【點評】本題考查復數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．
6．（2024?張家口模擬）已知復數(shù)，，下列說法正確的有
A．若，則
B．若是關于的方程的一個根，則
C．若，則
D．若，則或
【答案】
【考點】復數(shù)的運算；復數(shù)的模
【專題】綜合法；轉化思想；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算
【分析】對于，令，即可判斷；對于，令即可判斷；對于，由韋達定理即可驗算；對于，由共軛復數(shù)以及模的運算公式即可判斷．
【解答】解：對于，令，，顯然，但，都不等于0，故錯誤；
對于，由于一元二次方程的虛根是以共軛復數(shù)的形式成對出現(xiàn)的，
所以若是關于的方程的一個根，
則也是關于的方程的一個根，
從而由韋達定理有，故錯誤；
對于，設，
而，所以，故正確；
對于，取，顯然有，但不滿足且，故錯誤．
故選：．
【點評】本題考查了復數(shù)的乘法運算，共軛復數(shù)的定義，是基礎題．
7．（2024?西充縣模擬）已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內對應的點位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】
【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復數(shù)的運算
【專題】定義法；數(shù)學運算；方程思想；數(shù)系的擴充和復數(shù)
【分析】設，代入，整理后利用復數(shù)相等的條件列式求解與的值，則答案可求．
【解答】解：設，
代入，得，
，則，
則復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為，位于第四象限．
故選：．
【點評】本題考查復數(shù)的運算，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，是基礎題．
8．（2024?寧波二模）已知復數(shù)的實部大于等于1，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】
【考點】復數(shù)的運算；復數(shù)的模
【專題】數(shù)據分析；數(shù)形結合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；轉化思想
【分析】根據實部大于等于1，得出，的取值范圍，從而轉化為距離的最小值．
【解答】解：由題意，設，，
則，且，
即，
則，
最小值為．
故選：．
【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則與復數(shù)相等，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
9．（2024?遼寧模擬）已知復數(shù)滿足且有，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】復數(shù)的模；復數(shù)的運算
【專題】定義法；方程思想；數(shù)學運算；數(shù)系的擴充和復數(shù)
【分析】設為虛數(shù)單位），由棣莫佛公式可知，根據平方關系求出，從而求出，即可得解．
【解答】解：設為虛數(shù)單位），由棣莫佛公式可知，
因為，所以，即，
所以，即，
因為，
所以，
即，所以，所以，
所以．
故選：．
【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于中檔題．
10．（2023?鎮(zhèn)安縣校級模擬）已知為虛數(shù)單位，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】復數(shù)的運算
【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)；轉化思想；數(shù)學運算；綜合法
【分析】由復數(shù)的四則運算法則計算可得．
【解答】解：．
故選：．
【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎題．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?南通模擬）已知，都是復數(shù)，下列正確的是
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】
【考點】復數(shù)的運算；復數(shù)的模；共軛復數(shù)
【專題】數(shù)學運算；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；整體思想
【分析】結合復數(shù)的基本概念及復數(shù)的四則運算及復數(shù)的運算性質檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：若，則，正確；
當，滿足，顯然錯誤；
當，時，滿足，但，，顯然錯誤；
設，，，，都為實數(shù)），
若，則，
所以，
所以，即，正確．
故選：．
【點評】本題主要考查了復數(shù)的基本概念，復數(shù)的運算性質的綜合應用，考查了分析問題的能力，屬于中檔題．
12．（2024?船營區(qū)校級模擬）已知復數(shù)，滿足：為純虛數(shù)，，則下列結論正確的是
A．B．
C．的最小值為3D．的最小值為3
【答案】
【考點】復數(shù)的模；純虛數(shù)；復數(shù)的運算
【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)；整體思想；數(shù)學運算；綜合法
【分析】借助復數(shù)的基本概念與模長運算可得；借助復數(shù)的幾何意義計算可得；借助圓與直線的距離可得、．
【解答】解：為純虛數(shù)，可設，，選項正確；
對：設，，
則，即，
則所對應點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
，選項正確；
對為純虛數(shù)，對應點在軸上（除去原點），
所對應點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
的取值范圍為，無最小值，選項錯誤；
對，
表示點到以為圓心，以2為半徑的圓上的點的距離，
為純虛數(shù)或0，在軸上（除去點，
當時取得最小值3，選項正確．
故選：．
【點評】本題主要考查了復數(shù)的基本概念，復數(shù)的模長公式，復數(shù)的幾何意義的應用，屬于中檔題．
13．（2024?重慶模擬）已知復數(shù)，均不為0，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】共軛復數(shù)；復數(shù)的模；復數(shù)的運算
【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算；轉化思想；綜合法
【分析】利用復數(shù)的運算性質對四個選項逐一判斷可得答案．
【解答】解：復數(shù)，均不為0，
對于，不妨令，則，，，錯誤；
對于，，正確；
對于，由復數(shù)的運算性質，可得，正確；
對于，，
故，正確．
故選：．
【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于中檔題．
14．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）已知復數(shù)，，，下列結論正確的有
A．若復數(shù)滿足，則
B．若，滿足，則
C．若，則
D．若復數(shù)滿足，則在復平面內所對應點的軌跡是橢圓
【答案】
【考點】復數(shù)的模；復數(shù)的運算；復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義
【專題】數(shù)學運算；邏輯推理；轉化思想；方程思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)
【分析】設，由，得出，判斷選項即可；
設，，，，計算，，由，得出，判斷選項即可；
由，利用模長公式，計算即可得出不一定為0，判斷選項即可；
設復數(shù)在復平面內對應點，由，結合橢圓的定義，即可判斷選項．
【解答】解：設，由，得，所以，選項正確；
設，，，，
則，，
所以，即，
因為，即，所以， 至少有一個不為零，
不妨設，由，可得，
所以，所以，即，，選項正確；
由，可得，所以，
而，不一定為0，選項錯誤；
設復數(shù)在復平面內對應點，記，，
由，得，這符合橢圓定義，選項正確．
故選：．
【點評】本題考查了復數(shù)的定義與運算問題，也考查了推理與運算能力，是中檔題．
15．（2024?瓊海模擬）設，為復數(shù)，則下列結論中正確的是
A．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù)
B．若，則的最大值為
C．
D．
【答案】
【考點】復數(shù)的模；復數(shù)的運算
【專題】數(shù)學運算；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；對應思想
【分析】對于，由為虛數(shù)，得為虛數(shù)，從而可判斷，對于，由進行判斷，對于，設，，，，，然后分別求解進行判斷，對于，根據復數(shù)的向量表示及向量的不等式分析判斷．
【解答】解：對于，因為為虛數(shù)，為實數(shù)，所以為虛數(shù)，所以也為虛數(shù)，所以正確，
對于，當時，滿足，此時，所以錯誤，
對于，設，，，，，則
，
，
所以，
，
所以，所以正確，
對于，設，確定的向量分別為，則由向量不等式得，
所以恒成立，所以正確，
故選：．
【點評】本題考查復數(shù)的運算，屬于中檔題．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?荊州區(qū)校級模擬）棣莫弗定理：若為正整數(shù)，則，其中為虛數(shù)單位，已知復數(shù)，則 985 ，的實部為 ．
【答案】985；．
【考點】共軛復數(shù)；復數(shù)的運算；復數(shù)的三角表示
【專題】整體思想；數(shù)學運算；數(shù)系的擴充和復數(shù)；綜合法
【分析】化解復數(shù)，由棣莫弗定理可得，，根據復數(shù)模及共軛復數(shù)定義即可求解．
【解答】解：因為復數(shù)，
所以由棣莫弗定理可得，
，
所以．
所以，
所以的實部為．
故答案為：985；．
【點評】本題主要考查了復數(shù)的三角表示的應用，屬于中檔題．
17．（2024?貴州模擬）如果復數(shù)，，，在復平面內對應的點分別為，，，，復數(shù)滿足，且，則的最大值為 ．
【答案】．
【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復數(shù)的模
【專題】綜合法；轉化思想；邏輯推理；數(shù)學運算；數(shù)系的擴充和復數(shù)
【分析】先將復數(shù)轉化為平面直角坐標系中的坐標，然后用距離公式對條件進行變形，得到，由此可以證明，再利用向量的坐標運算將表示為關于，的表達式，利用，即可證明，再舉例說明能求出的最大值．
【解答】解：復數(shù)，，，在復平面內對應的點分別為，，，，
，，，，，
，，，
，，
條件即為，展開得到，
再化簡得，，
，
，
，，，，，
，，，
，
經驗證，當，時，條件滿足，此時，
的最大值為．
故答案為：．
【點評】本題考查復數(shù)的幾何意義、距離公式、向量的坐標運算等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
18．（2023?福建學業(yè)考試）已知是虛數(shù)單位，則 2 ．
【考點】：復數(shù)的運算
【專題】：數(shù)系的擴充和復數(shù)
【分析】利用復數(shù)的運算法則即可得出．
【解答】解：．
故答案為：2．
【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
19．（2022?蘇州三模）任何一個復數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式．法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結論為棣莫弗定理．根據以上信息，若，時，則 ；對于，， ．
【答案】（1）；
（2）．
【考點】數(shù)列與三角函數(shù)的綜合
【專題】對應思想；轉化法；推理和證明；邏輯推理；數(shù)學運算
【分析】利用給定定理直接計算即得；令，求出等比數(shù)列前項的和，再利用復數(shù)相等求解作答．
【解答】解：當，時，，所以；
，令，則，
，，，
而，則，，
所以，．
故答案為：；．
【點評】涉及復數(shù)的次冪的求和問題，可把視為等比數(shù)列的第項，再借助數(shù)列問題求解．
20．（2022?重慶模擬）任何一個復數(shù)為虛數(shù)單位，，都可以表示為，的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式．瑞士著名數(shù)學家歐拉首先發(fā)現(xiàn)為自然對數(shù)的底數(shù)），此結論被稱為“歐拉公式”，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系．因此可得．由復數(shù)相等可知對，存在一個關于的次多項式，，，使得，這樣的多項式被稱為“切比雪夫多項式”，由知，則 ；運用探求切比雪夫多項式的方法可得 ．
【答案】；
【考點】復數(shù)的三角表示；類比推理
【專題】數(shù)學運算；計算題；轉化思想；分析法；數(shù)系的擴充和復數(shù)
【分析】根據以及“切比雪夫多項式”即可求解出；利用，代入即可求解．
【解答】解：
，
所以，
取，則，
所以，
所以，則且，解得：．
故答案為：；．
【點評】本題考查歐拉公式的應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?貴陽模擬）在復數(shù)集中有這樣一類復數(shù)：與，我們把它們互稱為共軛復數(shù)，時它們在復平面內的對應點關于實軸對稱，這是共軛復數(shù)的特點．它們還有如下性質：
（1）
（2）（當時，為純虛數(shù)）
（3）
（4）
（5）．
（6）兩個復數(shù)和、差、積、商（分母非零）的共軛復數(shù)，分別等于兩個復數(shù)的共軛復數(shù)的和、差、積、商．
請根據所學復數(shù)知識，結合以上性質，完成下面問題：
（1）設，．求證：是實數(shù)；
（2）已知，，，求的值；
（3）設，其中，是實數(shù)，當時，求的最大值和最小值．
【答案】（1）證明見解答；
（2）；
（3），．
【考點】共軛復數(shù)；復數(shù)的模；復數(shù)的運算
【專題】數(shù)學運算；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；整體思想
【分析】（1）設，利用，，可證得是實數(shù)；
（2）設，結合題意，可得關于，的方程組，解之即可；
（3）設，，依題意，可得，從而可求得的最大值和最小值．
【解答】解：（1）證明：設，，，
，，
是實數(shù)；
（2）設，
則，
，，，
①；
又，
②；
聯(lián)立①②，解得，，
；
（3），設，，
則，
，
，
，．
【點評】本題考查復數(shù)的運算及其性質的應用，考查轉化與化歸思想及方程思想的綜合運用，屬于中檔題．
22．（2024?大祥區(qū)校級模擬）高中教材必修第二冊選學內容中指出：設復數(shù)對應復平面內的點，設，，則任何一個復數(shù)都可以表示成：的形式，這種形式叫做復數(shù)三角形式，其中是復數(shù)的模，稱為復數(shù)的輻角，若，則稱為復數(shù)的輻角主值，記為．復數(shù)有以下三角形式的運算法則：若，，2，，則：，特別地，如果，那么，這個結論叫做棣莫弗定理．請運用上述知識和結論解答下面的問題：
（1）求復數(shù)，的模和輻角主值（用表示）；
（2）設，，若存在滿足，那么這樣的有多少個？
（3）求和：．
【答案】（1）；．
（2）506．
（3）1017．
【考點】復數(shù)的相等
【專題】綜合法；轉化思想；數(shù)學運算；邏輯推理；數(shù)系的擴充和復數(shù)
【分析】（1）根據給定條件，利用復數(shù)模及輻角主值的定義，結合三角變換求解即得．
（2）利用給定定理，結合誘導公式計算，再借助正余弦函數(shù)的周期性求解即可．
（3）令，利用等比數(shù)列及錯位相減法求出，再利用復數(shù)相等即可得解．
【解答】解：（1）由復數(shù)，，，，
得，
，，，，
，，，．
（2）由，
，
，
，，解得，
，，，，，
符合條件的有506個，
這樣的有506個．
（3）令，而，則，
令，
則，
兩邊同乘，得：
，
，
，
，
．
【點評】本題考查復數(shù)模、輻角主值的定義、三角變換、誘導公式、正余弦函數(shù)的周期性、等比數(shù)列、錯位相減法、復數(shù)相等等基礎知識，考查運算求解能力，是難題．
23．（2024?西山區(qū)模擬）我們把（其中，稱為一元次多項式方程．
代數(shù)基本定理：任何復系數(shù)一元次多項式方程（即，，，，為實數(shù)）在復數(shù)集內至少有一個復數(shù)根；由此推得，任何復系數(shù)一元次多項式方程在復數(shù)集內有且僅有個復數(shù)根（重根按重數(shù)計算）．
那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復系數(shù)一元次多項式在復數(shù)集內一定可以分解因式，轉化為個一元一次多項式的積．
即，其中，，，，，，為方程的根．
進一步可以推出：在實系數(shù)范圍內（即，，，，為實數(shù)），方程的有實數(shù)根，則多項式必可分解因式．例如：觀察可知，是方程的一個根，則一定是多項式的一個因式，即，由待定系數(shù)法可知，．
（1）解方程：；
（2）設，其中，，，，且．
分解因式：；
記點，是的圖象與直線在第一象限內離原點最近的交點．求證：當時，．
【答案】（1），，；
（2）；
證明過程見解析．
【考點】復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化
【分析】（1）觀察可知是方程的一個根，所以設，對照可得，，，得到，即可求出方程的根；
（2）是方程的一個根，所以設，對照可得，，，從而可得出答案；
令，故是方程的最小正實根，由知，設，根據開口方向，結合，則一定有一正一負兩個實根，設正實根為，結合時，（1），故，得到．
【解答】解：（1）觀察可知：是方程的一個根；分
所以：，
由待定系數(shù)法可知，，，；
所以，即或，
則方程的根為，，；分
（2）由可知：是方程的一個根，
所以：，
由待定系數(shù)法可知，，，，
所以；分
令，即，
點，是的圖象與直線在第一象限內離原點最近的交點，
等價于是方程的最小正實根；分
由知：是方程的一個正實根，
且，分
設，由，，，可知為開口向上的二次函數(shù)，
又因為，則一定有一正一負兩個實根，設正實根為，
又，可得，
所以（1），
當時，（1），
由二次函數(shù)單調性可知，即是方程的最小正實根．分
【點評】本題考查三次函數(shù)，解題關鍵是需要求解出三次函數(shù)的零點，可以先求出一個零點后將三次函數(shù)轉化為二次函數(shù)再進行解題．
24．（2022?上海模擬）設復數(shù)，，其中，．
（1）若復數(shù)為實數(shù)，求的值；
（2）求的取值范圍．
【答案】（1）．（2）．
【考點】復數(shù)的運算；共軛復數(shù)
【專題】轉化思想；轉化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算
【分析】（1）根據已知條件，結合共軛復數(shù)的定義，以及復數(shù)的乘除法法則，即可求解．
（2）根據已知條件，結合三角函數(shù)的恒等變換公式，以及復數(shù)模公式，即可求解．
【解答】解：（1）復數(shù)，
，
，
復數(shù)為實數(shù)，
，即，
，，
．
（2），，
，
，
，，
，即，
的取值范圍為．
【點評】本題主要考查復數(shù)與三角函數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．
25．（2022?寶山區(qū)校級二模）已知虛數(shù)，其中，，為虛數(shù)單位．
①若對任意，均有，求實數(shù)的取值范圍；
②若，恰好是某實系數(shù)一元二次方程的兩個解，求，的值．
【答案】①，；
②當時，；當時，．
【考點】復數(shù)的模
【專題】方程思想；函數(shù)的性質及應用；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算
【分析】①依題意，得，再利用，可求得實數(shù)的取值范圍；
②由，恰好是某實系數(shù)一元二次方程的兩個解，可得，解之即可求得，的值．
【解答】解：，
①若對任意，均有，即，即，
，
，
，即，；
②，
，
，恰好是某實系數(shù)一元二次方程的兩個解，
，且，
即，
解得，或，此時；
當時，代入，得，
，或，此時或．
綜上所述，當時，；
當時，．
【點評】本題考查復數(shù)的概念性質及綜合應用，考查轉化與化歸思想及方程思想的運用，考運算求解能力，屬于難題．
考點卡片
1．數(shù)列與三角函數(shù)的綜合
【知識點的認識】
函數(shù)、數(shù)列、解析幾何作為高中數(shù)學的主要軀干，蘊含著諸多的數(shù)學思想和方法（數(shù)形結合、函數(shù)與方程、轉化和歸納等），因而一直是高考的重點．尤其是它們互相之間及和其他數(shù)學知識（如復數(shù)、向量等）之間的互相滲透、互相聯(lián)系，更為高考命題帶來廣闊的空間．而傳統(tǒng)的章節(jié)復習法使學生分散地學習知識，對各個章節(jié)的聯(lián)系和滲透考慮較少，從而造成對一些綜合題心存膽怯．近幾年高考中常見的函數(shù)﹣數(shù)列﹣解析幾何綜合題就是其中的典型．
【解題方法點撥】
事實上，無論是函數(shù)、數(shù)列還是解析幾何中的曲線（包括復數(shù)、向量），都表現(xiàn)出數(shù)和形兩種狀態(tài)，數(shù)列是一個特殊的函數(shù)；函數(shù)的圖象（解析式）則可看作解析幾何中一種特殊的形（方程）；而復數(shù)、向量的坐標順理成章地使它們與函數(shù)、數(shù)列及解析幾何發(fā)生聯(lián)系．解函數(shù)﹣數(shù)列﹣解析幾何綜合題首先是建立在對數(shù)學基本概念理解的基礎上，然后抓住概念間內在的聯(lián)系，將問題轉化為較熟悉的數(shù)學問題予以解決，當然這也離不開對各章節(jié)內部的扎實基本功．
2．純虛數(shù)
【知識點的認識】
形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復數(shù)，a，b分別叫做它的實部和虛部，當a＝0，b≠0時，叫做純虛數(shù)．
純虛數(shù)也可以理解為非零實數(shù)與虛數(shù)單位i相乘得到的結果．
【解題方法點撥】
復數(shù)與復平面上的點是一一對飲的，這為形與數(shù)之間的相互轉化提供了一條重要思路．要完整理解復數(shù)為純虛數(shù)的等價條件，復數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是a＝0，b≠0．
實數(shù)集和虛數(shù)集的并集是全體復數(shù)集．虛數(shù)中包含純虛數(shù)，即由純虛數(shù)構成的集合可以看成是虛數(shù)集的一個真子集．
【命題方向】
純虛數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點，考察學生的基本運算能力．常見的命題角度有：（1）復數(shù)的概念；（2）復數(shù)的模；（3）復數(shù)相等的四則運算；（4）復數(shù)在復平面內對應的點．
3．復數(shù)的相等
【知識點的認識】
復數(shù)z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，當且僅當它們的實部和虛部分別相等，即a1＝a2和b1＝b2．
【解題方法點撥】
﹣比較分量：通過比較兩個復數(shù)的實部和虛部，判斷它們是否相等．
﹣應用：在復數(shù)方程中使用復數(shù)相等的條件求解未知數(shù)．
【命題方向】
﹣復數(shù)相等的判定：考查如何根據復數(shù)的實部和虛部判斷復數(shù)的相等．
﹣復數(shù)方程的應用：如何在復數(shù)方程中應用復數(shù)相等的性質．
4．復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義
【知識點的認識】
1、復數(shù)的代數(shù)表示法
建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面．在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點（0，0），對應復數(shù)0．即復數(shù)z＝a+bi→復平面內的點z（a，b）→平面向量．
2、除了復數(shù)與復平面內的點和向量的一一對應關系外，還要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復數(shù)z對應的點到原點的距離為a；
（2）|z﹣z0|表示復數(shù)z對應的點與復數(shù)z0對應的點之間的距離．
3、復數(shù)中的解題策略：
（1）證明復數(shù)是實數(shù)的策略：
①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?＝z．
（2）證明復數(shù)是純虛數(shù)的策略：
①z＝a+bi為純虛數(shù)?a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0時，z﹣＝2bi為純虛數(shù)；③z是純虛數(shù)?z+＝0且z≠0．
5．復數(shù)對應復平面中的點
【知識點的認識】
1、復數(shù)的代數(shù)表示法
建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面．在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點（0，0），對應復數(shù)0．即復數(shù)z＝a+bi→復平面內的點z（a，b）→平面向量．
2、除了復數(shù)與復平面內的點和向量的一一對應關系外，還要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復數(shù)z對應的點到原點的距離為a；
（2）|z﹣z0|表示復數(shù)z對應的點與復數(shù)z0對應的點之間的距離．
【解題方法點撥】
﹣點的表示：將復數(shù)a+bi作為復平面上的點（a，b）進行圖示．
﹣幾何運算：利用復平面上的點進行幾何運算和分析．
【命題方向】
﹣復平面的幾何表示：考查復數(shù)在復平面中的點表示及其幾何意義．
﹣復數(shù)的幾何應用：如何在復平面中使用復數(shù)解決幾何問題．
6．共軛復數(shù)
【知識點的認識】
實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)，叫做互為共軛復數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復數(shù)，用數(shù)學語言來表示即：復數(shù)Z＝a+bi的共軛復數(shù)＝a﹣bi．
【解題方法點撥】
共軛復數(shù)的常見公式有：
；；；
【命題方向】
共軛復數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共軛復數(shù)的性質，并能將復數(shù)的共軛加法運算和乘法運算進行推廣．運用共軛復數(shù)運算解決一些簡單的復數(shù)問題，提高數(shù)學符號變換的能力，培優(yōu)學生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法．
7．復數(shù)的模
【知識點的認識】
1．復數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a+bi為實數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．
2、復數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共軛復數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、復數(shù)的模：的長度叫做復數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
8．復數(shù)的運算
【知識點的認識】
復數(shù)的加、減、乘、除運算法則
9．復數(shù)的三角表示
【知識點的認識】
在復平面中，我們設，θ是以x軸的非負半軸為始邊，以OZ所在射線為終邊的角，
則a＝rcsθ，b＝rsinθ，z＝a+bi＝r（csθ+isinθ），
我們把r（csθ+isinθ）叫做復數(shù)a+bi的三角形式，其中r是復數(shù)的模，是復數(shù)的輻角．
【解題方法點撥】
（1）復數(shù)的三角形式Z＝r（csθ+isinθ）滿足以下條件：
①r≥0；
②加號連接；
③cs在前，sin在后；
④θ前后一致，可為任意值．
（2）代數(shù)式化三角式的步驟：
①先求復數(shù)的模；
②決定輻角所在的象限；
③根據象限求出輻角；
④求出復數(shù)三角式．
注意：一般在復數(shù)三角式中的輻角，常取它的主值，這既使表達式簡便，又便于運算，但三角形式輻角不一定要主值．
【命題方向】
教材上明確標注*，說明不作考試要求．至今未曾在高考題中出現(xiàn)過本考點．
10．復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化
【知識點的認識】
復數(shù)的代數(shù)形式為a+bi，三角形式為r（csθ+isinθ），其中r為模，θ為輻角．兩種形式可以通過公式互相轉換．
【解題方法點撥】
﹣代數(shù)形式轉三角形式：計算復數(shù)的模和輻角θ．
﹣三角形式轉代數(shù)形式：使用公式a＝rcsθ和b＝rsinθ轉換．
【命題方向】
﹣形式互化的應用：考查如何在實際問題中將復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互相轉換．
﹣三角形式的應用：如何利用三角形式進行復數(shù)運算和問題求解．
復數(shù)﹣1+i的三角形式是_____．
解：﹣1+i＝2（﹣+i）＝2（cs+isin）．
11．類比推理
【知識點的認識】
1．類比推理：根據兩個（或兩類）對象在一些屬性上相同或相似，從而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理形式．
2．類比推理的形式：
3．特點：類比推理是一種主觀的不充分的似真推理，要確認猜想的正確性，需經過嚴格的邏輯論證．一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，則類比得出的命題就越可靠．
【解題技巧點撥】
類比推理的步驟：
（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；
（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．
例：請用類比推理完成下表：

解：本題由已知前兩組類比可得到如下信息：
①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對象；
②三角形各邊的邊長與三棱錐的各面的面積是類比對象；
③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對象；
④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對象；
⑤三角形的面積公式中的“二分之一”，與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對象．
由以上分析可知：
故第三行空格應填：三棱錐的體積等于其內切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一．
【命題方向】
一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，是高考的重要內容．常見題型有：
（1）升級類比：平面到空間的類比；
（2）同級類比：圓錐曲線之間的類比；
（3）運算類比：等差與等比的類比．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/11/4 19:27:08；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學號：41418999

相關試卷

2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練14（Word版附解析）：

這是一份2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練14（Word版附解析），共58頁。試卷主要包含了在空間直角坐標系中，已知正方形的邊長為1，則等內容，歡迎下載使用。

2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練15（Word版附解析）：

這是一份2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練15（Word版附解析），共61頁。

2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練16（Word版附解析）：

這是一份2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練16（Word版附解析），共42頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練17（Word版附解析）

2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練17（Word版附解析）
2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練18（Word版附解析）

2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練18（Word版附解析）
2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練20（Word版附解析）

2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練20（Word版附解析）
2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練23（Word版附解析）

2025年高考數(shù)學解密匯編壓軸訓練23（Word版附解析）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部