【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】13
【考點(diǎn)1】由an與Sn的關(guān)系求通項13
【考點(diǎn)2】由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項公式18
【考點(diǎn)3】數(shù)列的性質(zhì)23
【分層檢測】26
【基礎(chǔ)篇】26
【能力篇】34
【培優(yōu)篇】37
考試要求：
1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).
2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).
知識梳理
1.數(shù)列的定義
按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.
2.數(shù)列的分類
3.數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是表格法、圖象法和解析式法.
4.數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.
5.數(shù)列的遞推公式
如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.
1.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
真題自測
一、單選題
1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
B．當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
C．當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
D．當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
2．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1B．C．0D．
3．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
6．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：
①的第2項小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
參考答案：
1．B
【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.
法2：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對于A，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時證得后續(xù)結(jié)論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立.
【詳解】法1：因為，故，
對于A ，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時，成立，
則，故成立，
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，
，，故，故，
故為減數(shù)列，注意
故，結(jié)合，
所以，故，故，
若存在常數(shù)，使得恒成立，則，
故，故，故恒成立僅對部分成立，
故A不成立.
對于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時，成立，
則，故成立即
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，
，，故，故，故為增數(shù)列，
若，則恒成立，故B正確.
對于C，當(dāng)時， 可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時，成立，
則，故成立即
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，故，故為減數(shù)列，
又，結(jié)合可得：，所以，
若，若存在常數(shù)，使得恒成立，
則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.
對于D，當(dāng)時， 可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時，成立，
則，故成立
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，故，故為增數(shù)列，
又，結(jié)合可得：，所以，
若存在常數(shù)，使得恒成立，則，
故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.
故選：B.
法2：因為，
令，則，
令，得或；
令，得；
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
令，則，即，解得或或，
注意到，，
所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，
對于A，因為，則，
當(dāng)時，，，則，
假設(shè)當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則，
綜上：，即，
因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，
因為，
令，則，
因為開口向上，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞減，故，
所以在上單調(diào)遞增，故，
故，即，
假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，
取，其中，且，
因為，所以，
上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故A錯誤；
對于B，因為，
當(dāng)時，，，
假設(shè)當(dāng)時，，
當(dāng)時，因為，所以，則，
所以，
又當(dāng)時，，即，
假設(shè)當(dāng)時，，
當(dāng)時，因為，所以，則，
所以，
綜上：，
因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，
此時，取，滿足題意，故B正確；
對于C，因為，則，
注意到當(dāng)時，，，
猜想當(dāng)時，，
當(dāng)與時，與滿足，
假設(shè)當(dāng)時，，
當(dāng)時，所以，
綜上：，
易知，則，故，
所以，
因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，
假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，
記，取，其中，
則，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C錯誤；
對于D，因為，
當(dāng)時，，則，
假設(shè)當(dāng)時，，
當(dāng)時，，則，
綜上：，
因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，
因為，
令，則，
因為開口向上，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，
故，即，
假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，
取，其中，且，
因為，所以，
上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故D錯誤.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項給出與通項性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.
2．B
【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.
【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
3．B
【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．
【詳解】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

4．D
【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項的大小，即可求解.
【詳解】[方法一]:常規(guī)解法
因為，
所以，，得到，
同理，可得，
又因為，
故，；
以此類推，可得，，故A錯誤；
，故B錯誤；
，得，故C錯誤；
，得，故D正確.
[方法二]：特值法
不妨設(shè)則
故D正確.
5．A
【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因為，所以，．
由
，即
根據(jù)累加法可得，，當(dāng)時，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
，
由累乘法可得，且，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
由裂項求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．
6．①③④
【分析】推導(dǎo)出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.
【詳解】由題意可知，，，
當(dāng)時，，可得；
當(dāng)時，由可得，兩式作差可得，
所以，，則，整理可得，
因為，解得，①對；
假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，
所以，，可得，解得，不合乎題意，
故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；
當(dāng)時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；
假設(shè)對任意的，，則，
所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復(fù)雜時，可采用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】由an與Sn的關(guān)系求通項
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．190B．210C．380D．420
2．（2024·江蘇蘇州·二模）已知數(shù)列的前項和為，，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·湖北黃岡·二模）數(shù)列滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．是等比數(shù)列
C．D．
4．（2024·安徽淮北·二模）已知數(shù)列的前項和分別為，若，則（ ）
A．B．
C．的前10項和為D．的前10項和為
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，滿足，則 ；數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，則的最大值為 ．
6．（2024·浙江嘉興·二模）設(shè)數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，若，，則 .
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合變形，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項即可得解.
【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)時，，
兩式相減得，即，
因此，顯然數(shù)列是常數(shù)列，
而，解得，于是，因此，
所以.
故選：B
2．B
【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出，再按為奇數(shù)、偶數(shù)分類求解即可得的范圍.
【詳解】由，得，
當(dāng)時，，則，
整理得，即，
而，解得，
于是，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
因此，即，
由，得，
當(dāng)為奇數(shù)時，，即，顯然為遞增數(shù)列，
當(dāng)時，，于是，
當(dāng)為偶數(shù)時，，即，顯然恒有，于是，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：B
3．AC
【分析】利用已知求得，可判斷A；，可得，判斷BC，進(jìn)而求得，判斷D.
【詳解】由，
當(dāng)，解得，故A正確；
當(dāng)，可得，
所以，所以，
即，而，故C正確，B不正確；
因，故D錯誤.
故選：AC.
4．ABD
【分析】本題首先根據(jù)題意判斷出數(shù)列、分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項公式，進(jìn)而分析也是等比數(shù)列并求出其通項公式，可解決選項A、B、D的問題，再依據(jù)裂項法，可解決選項C的問題.
【詳解】，所以是首項，公差的等差數(shù)列，
，故選項A正確.
令，則，
，
又，，
，故選項C錯誤.
又，，
又，，，
是首項為，公比的等比數(shù)列，
，故選項B正確.
又，
是首項為，公比為的等比數(shù)列，
，故選項D正確.
故選：ABD.
5．
【分析】借助數(shù)列與前項和的關(guān)系，由得作差即可得；得到后，結(jié)合裂項相消法計算即可得，結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性即可得的最大值.
【詳解】將代入，得，
當(dāng)時，由，得，
化簡得，
因此數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故，
，
則，
故，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，取得最大值.
故答案為：；.
6．
【分析】根據(jù)題意，先求出等比數(shù)列的通項公式和前n項和，進(jìn)而求得，再利用項與和的關(guān)系求得通項.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，則，解得，又，
所以，，代入，
解得，
當(dāng)時，，
當(dāng)，時，，
滿足上式，所以，.
故答案為：.
反思提升：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項公式.
(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.
【考點(diǎn)2】由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項公式
一、單選題
1．（2024·河南·三模）已知函數(shù)滿足：，且，，則的最小值是（ ）
A．135B．395C．855D．990
2．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）定義：在數(shù)列中，，其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列中，，，則（ ）
A．1763B．1935C．2125D．2303
二、多選題
3．（23-24高三下·甘肅·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．是等差數(shù)列
B．的前項和為
C．是單調(diào)遞增數(shù)列
D．?dāng)?shù)列的最小項為4
4．（2024·山東煙臺·一模）給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為1，且，則（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．對任意，總存在，使得
D．對任意，總存在，使得
三、填空題
5．（23-24高二上·廣東河源·期末）已知正項數(shù)列滿足，則 .
6．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 ．
參考答案：
1．C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得，令，由得，從而得到，即可求出的最小值.
【詳解】由，得，令，得，
令，得，
故，又，
所以，
所以，因為，當(dāng)時，的最小值為855．
故選：C．
2．B
【分析】運(yùn)用累和法和累積法進(jìn)行求解即可.
【詳解】因為數(shù)列是“等比差”數(shù)列，
所以，
因為，，
所以，
所以有，
累和，得，
因此有，
累積，得，
所以，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用累和法和累積法.
3．BC
【分析】利用等比數(shù)列的定義求出可得，再由等比數(shù)列求和公式計算可判斷AB；根據(jù)的通項公式可判斷C；根據(jù)的單調(diào)性可判斷D.
【詳解】由，得，因為，
所以，從而，
所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，
即，所以，
所以，所以A錯誤，B正確；
由，易知是單調(diào)遞增數(shù)列，C正確；
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，D錯誤.
故選：BC.
4．BC
【分析】由已知求出及范圍判斷AB；利用累加法結(jié)合錯位相減法求和求出及范圍判斷C；求出及的范圍判斷D.
【詳解】對于A，由，得，顯然有最小值4，無最大值，
因此不存在，使得恒成立，A錯誤；
對于B，由選項A知，，則，
顯然當(dāng)時，恒成立，B正確；
對于C，由，得，
當(dāng)時，
即，
于是，
兩式相減得，
因此，顯然滿足上式，則，由，
得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無最大值，
從而對任意，總存在，使得，C正確；
對于D，，由選項C得，
顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對任意，不存在，使得成立，D錯誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.
5．
【分析】由遞推公式可得，再由累乘法即可求得結(jié)果.
【詳解】由可得，
由累乘可得.
故答案為：
6．
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項即得.
【詳解】數(shù)列中，，，顯然，
則有，即，而，
因此數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，即．
故答案為：
反思提升：
(1)形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項，保留多少項.
(2)形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq \f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1代入求出通項.
(3)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項公式，求變量x是關(guān)鍵.
(4)形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
【考點(diǎn)3】數(shù)列的性質(zhì)
一、單選題
1．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列中，，則（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2024·天津·二模）已知數(shù)列為不單調(diào)的等比數(shù)列，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項為（ ）．
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·浙江紹興·二模）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，前項積為，且，，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列
C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
4．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契提出的“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在現(xiàn)代生物及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它可以表述為數(shù)列滿足.若此數(shù)列各項被3除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，記的前項和為，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則 ；若，則的最大值為 ．
6．（23-24高二上·湖北省直轄縣級單位·期中）已知數(shù)列的通項公式為，且為遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是 .
參考答案：
1．C
【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的周期，即可求解.
【詳解】由，得
，
，
，
，
，
，
則是以6為周期的周期數(shù)列，
所以.
故選：C
2．C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的概念求公比及通項公式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最大項即可.
【詳解】由題意可知或，
又為不單調(diào)的等比數(shù)列，所以，則，
故，
若要求的最大項，需為偶數(shù)，則，
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)時，為的最大項.
故選：C
3．ACD
【分析】寫出的表達(dá)式，根據(jù)，，得到或，由此即可判斷AB，進(jìn)一步根據(jù)遞增數(shù)列的定義分別與的關(guān)系即可判斷CD.
【詳解】由題意可知，且，，
故有且（否則若，則的符號會正負(fù)交替，這與，，矛盾），
也就是有或，
無論如何，數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確，B錯誤；
對于C，若數(shù)列是遞增數(shù)列，即，由以上分析可知只能，故C正確；
對于D，若數(shù)列是遞增數(shù)列，顯然不可能是，（否則的符號會正負(fù)交替，這與數(shù)列是遞增數(shù)列，矛盾），
從而只能是，且這時有，故D正確.
故選：ACD.
4．ABC
【分析】根據(jù)數(shù)列可得出數(shù)列是以8為周期的周期數(shù)列，依次分析即可判斷.
【詳解】數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，
被3除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，
數(shù)列為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，
觀察可得數(shù)列是以8為周期的周期數(shù)列，故，A正確；
且，故，B正確；
，C正確；
則的前2022項和為，D錯誤.
故選：ABC
5． 4
【分析】由歐拉函數(shù)定義，確定中與8互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)求，且，應(yīng)用作差法判斷的單調(diào)性，即可求最大值.
【詳解】由題設(shè)，則中與8互質(zhì)的數(shù)有，共4個數(shù)，故，
在中，與互質(zhì)的數(shù)為范圍內(nèi)的所有奇數(shù)，共個，即，
所以，則，
當(dāng)時，當(dāng)時，即，
所以的最大值為.
故答案為：4，
6．
【分析】根據(jù)條件，可得對恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題，化簡解出即可.
【詳解】因為為遞減數(shù)列，，
所以對恒成立，
即對恒成立，所以，
故答案為：.
反思提升：
1.解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項的值或前n項和.
2.求數(shù)列最大項與最小項的常用方法
(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大(小)項，否則，利用作差法.
(2)利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項，利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·四川廣安·二模）已知數(shù)列滿足，（），則（ ）
A．B．C．D．2
2．（2024·廣東深圳·二模）已知n為正整數(shù)，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，且，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山西·模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（2024·云南·二模）記數(shù)列的前項和為為常數(shù).下列選項正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．存在常數(shù)A、B，使數(shù)列是等比數(shù)列
D．對任意常數(shù)A、B，數(shù)列都是等差數(shù)列
6．（2024·云南昆明·一模）在數(shù)列中，，，，記的前n項和為，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
7．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，為其前n項和，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
8．（2022·黑龍江齊齊哈爾·一模）數(shù)列中，，當(dāng)時，，則數(shù)列的通項公式為 ．
9．（23-24高二下·江西撫州·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，則 .
10．（2023·四川樂山·三模）已知數(shù)列滿足，，則 ．
四、解答題
11．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
12．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
參考答案：
1．A
【分析】列舉出數(shù)列的前幾項，即可找到規(guī)律，從而得解.
【詳解】因為，，
所以，，
，，，
又，所以
故選：A
2．C
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造數(shù)列，探討該數(shù)列單調(diào)性即得.
【詳解】令，顯然，
當(dāng)時，，即，
因此當(dāng)時，，
所以n為正整數(shù)，且，有.
故選：C
3．B
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，列方程求出，進(jìn)而可求出，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的最大、小值，列不等式組即可求出的取值范圍
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，，
所以，解得，
所以，
當(dāng)x為正整數(shù)且奇數(shù)時，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x為正整數(shù)且偶數(shù)時，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以時，取得最大值，當(dāng)時，取得最小值，
所以，解得.
故選：B.
4．D
【分析】根據(jù)已知條件寫出遞推關(guān)系式，運(yùn)用累加法求得通項公式，賦值可判斷A項、B項、D項，分別計算與比較大小可判斷B項.
【詳解】由相鄰層球的個數(shù)差，可知，，
所以當(dāng)時，，
將代入得，符合
所以，
對于A項，當(dāng)時，，故A項錯誤；
對于B項，當(dāng)時，，故B項錯誤；
對于C項，因為，
所以，
，
所以，故C項錯誤；
對于D項，，故D項正確.
故選：D.
5．ABC
【分析】根據(jù)與的關(guān)系求得可判斷A；由可判斷B；取可得是公比為1的等比數(shù)列，可判斷C；當(dāng)時，根據(jù)等差數(shù)列定義驗證，可判斷D.
【詳解】對于A，若，則，A正確；
對于B，若，則，B正確；
對于C，由得，
當(dāng)時，，
所以，當(dāng)時，數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列，C正確；
對于D，由上知，當(dāng)時，若，則，
此時，數(shù)列不是等差數(shù)列，D錯誤.
故選：ABC
6．ACD
【分析】根據(jù)已知，結(jié)合條件，，可依次求出數(shù)列的前幾項，從而判斷A、B；由題意可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可判定數(shù)列為等差數(shù)列，從而判斷C、D.
【詳解】若，，又，則，A正確；
若，，由A選項可知，又，可得，
，可得，B錯誤；
若，，則，，，可得，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，所以，C正確；
且，D正確.
故選：ACD
7．ABC
【分析】根據(jù)條件依次可得，，，，，…，，然后可得，，，然后可逐一判斷.
【詳解】因為，，，
，，…，，
所以，，
，
累加得，
∴，，
因為，，所以，
故選：ABC．
8．
【分析】根據(jù)累加法求通項公式即可.
【詳解】解：因為，
所以， ，，，
累乘得：， ，
所以，．
由于，所以，．
顯然當(dāng)時，滿足，
所以，．
故答案為：
9．
【分析】當(dāng)時求出，當(dāng)時，作差即可得解.
【詳解】因為，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
所以，
所以，
當(dāng)時不成立，所以.
故答案為：
10．
【分析】湊配法得出數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可得結(jié)論．
【詳解】由得，又，
所以，即是等比數(shù)列，
所以，即．
故答案為：．
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用累乘法即可得解；
（2）利用裂項相消法即可得解.
【詳解】（1）因為，，
所以，
當(dāng)時， 滿足上式，
所以；
（2）因為，
所以，
所以.
12．(1)
(2)
【分析】（1）首先利用作差法得到，再由作差可得；
（2）由（1）知，再利用分組求和法及裂項相消法計算可得.
【詳解】（1）因為，
當(dāng)時有，
兩式相減得，所以，
當(dāng)時，，所以，此時仍然成立，
所以，
當(dāng)時，，
又也滿足，
所以.
（2）由（1）知
，
所以.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列中，已知，且滿足，則數(shù)列的前2024項的和為（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、多選題
2．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論成立的有（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
D．?dāng)?shù)列的前項和的最小值為
三、填空題
3．（2023·湖南邵陽·二模）已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為 ， ．
四、解答題
4．（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，且．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和為．
參考答案：
1．A
【分析】用去換中的，得，相加即可得數(shù)列的周期，再利用周期性運(yùn)算得解.
【詳解】由題意得，用替換式子中的，得，
兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列.
又，，.
所以數(shù)列的前2024項和.
故選：A.
2．ABD
【分析】變形給定的等式，利用等比數(shù)列的定義判斷并求出的通項，再逐項判斷即得.
【詳解】在數(shù)列中，由，得，而，
因此數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則，即，B正確；
顯然，A正確；
顯然，，當(dāng)時，，因此數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，C錯誤；
當(dāng)時，，即數(shù)列從第2項起單調(diào)遞增，而，
因此數(shù)列的前6項均為負(fù)數(shù)，從第7項起均為正數(shù)，所以數(shù)列的前項和的最小值為，D正確.
故選：ABD
3．
【分析】由題得，利用累乘法得，通過錯位相減法求得，進(jìn)而得出答案.
【詳解】因為，且，所以，
則當(dāng)時，
．
又當(dāng)時，符合上式，
故．
由①
②
得．
令，③
∴，④
得
∴．
故，
則，即．
故答案為：，.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通項公式．
（2）利用錯位相減法可求.
【詳解】（1）當(dāng)時，，解得．
當(dāng)時，，所以即，
而，故，故，
∴數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·北京東城·二模）設(shè)無窮正數(shù)數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)，都存在唯一的正整數(shù)，使得，那么稱為內(nèi)和數(shù)列，并令，稱為的伴隨數(shù)列，則（ ）
A．若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列
B．若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列
C．若內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列
D．若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列
二、多選題
2．（22-23高二上·江蘇常州·期末）在邊長為2的等邊三角形紙片中，取邊的中點(diǎn)，在該紙片中剪去以為斜邊的等腰直角三角形得到新的紙片，再取的中點(diǎn)，在紙片中剪去以為斜邊的等腰直角三角形得到新的紙片，以此類推得到紙片，，……，，……，設(shè)的周長為，面積為，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
3．（2024·吉林·模擬預(yù)測）“冰天雪地也是金山銀山”，2023-2024年雪季，東北各地冰雪旅游呈現(xiàn)出一片欣欣向榮的景象，為東北經(jīng)濟(jì)發(fā)展增添了新動能．某市以“冰雪童話”為主題打造—圓形“夢幻冰雪大世界”，其中共設(shè)“森林姑娘”“扣像墻”“古堡滑梯”等16處打卡景觀．若這16處景觀分別用表示，某游客按照箭頭所示方向（不可逆行）可以任意選擇一條路徑走向其它景觀，并且每個景觀至多經(jīng)過一次，那么他從入口出發(fā)，按圖中所示方向到達(dá)有 種不同的打卡路線；若該游客按上述規(guī)則從入口出發(fā)到達(dá)景觀的不同路線有條，其中，記，則 （結(jié)果用表示）.
參考答案：
1．C
【分析】對于ABD：舉反例說明即可；對于C：根據(jù)題意分析可得，結(jié)合單調(diào)性可得，即可得結(jié)果.
【詳解】對于選項AB：例題，可知即為等差數(shù)列也為等比數(shù)列，
則，但不存在，使得，
所以不為內(nèi)和數(shù)列，故AB錯誤；
對于選項C：因為，
對任意，，可知存在，
使得，
則，即，
且內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，可知，
所以其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，故C正確；
對于選項D：例如，
顯然是所有正整數(shù)的排列，可知為內(nèi)和數(shù)列，且的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，
但不是遞增數(shù)列，故D錯誤；
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于新定義問題，要充分理解定義，把定義轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容，簡化理解和運(yùn)算.
2．ABD
【分析】畫出圖形依據(jù)裁剪規(guī)律可得比多了兩條邊，少了線段，即可得到，即A正確，比少了一個以為斜邊的等腰直角三角形，可得，C錯誤；再分別利用A和C中的結(jié)論，由累加法計算可得BD正確.
【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示規(guī)律：
對于A，易知比多了兩條邊，少了線段；
由，
可得，故A正確；
對于B，利用A中結(jié)論由累加法可得，
當(dāng)時，，又，
所以
，顯然當(dāng)時，也符合上式，即B正確；
對于C，比少了一個以為斜邊的等腰直角三角形，
所以，即C錯誤；
對于D，利用B中結(jié)論由累加法可得，
當(dāng)時，，又，
所以，顯然當(dāng)時，也符合上式，即D正確；
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于由裁剪規(guī)律得出以及之間的遞推規(guī)律，再利用累加法由等比數(shù)列前項和公式即可求得結(jié)果.
3． 8
【分析】結(jié)合題意及分類加法原理，依次計算到達(dá)、、、、的走法即可.由題意可知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，即（且），結(jié)合累加法求解即可.
【詳解】由題意知，到達(dá)點(diǎn)共有1種走法，
到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過點(diǎn)到達(dá)，一種是直接到達(dá)），
到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過，一種是經(jīng)過，所以到達(dá)將、的走法加起來），
到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過和，一種是經(jīng)過，所以到達(dá)將、的走法加起來），
到達(dá)點(diǎn)共有種走法（一種是經(jīng)過和，一種是經(jīng)過和，所以到達(dá)將、的走法加起來），
故按圖中所示方向到達(dá)有8種不同的打卡路線.
由題意知，，，，，，…，（且），
因為（且），
所以，，，…，，（且），
將上式累加可得，（且），
整理可得，又，，
所以，即.
故答案為：8；.
分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
項數(shù)
有窮數(shù)列
項數(shù)有限
無窮數(shù)列
項數(shù)無限
項與項
間的大
小關(guān)系
遞增數(shù)列
an＋1＞an
其中
n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1＜an
常數(shù)列
an＋1＝an
擺動數(shù)列
從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列

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專題31 復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）

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