專題32 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）原卷版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】3
【考點(diǎn)突破】4
【考點(diǎn)1】由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)4
【考點(diǎn)2】由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式5
【考點(diǎn)3】數(shù)列的性質(zhì)6
【分層檢測(cè)】7
【基礎(chǔ)篇】7
【能力篇】9
【培優(yōu)篇】10
考試要求：
1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).
2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).
知識(shí)梳理
1.數(shù)列的定義
按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).
2.數(shù)列的分類
3.數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是表格法、圖象法和解析式法.
4.數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
5.數(shù)列的遞推公式
如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.
1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（）
A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（）
A．－1B．C．0D．
3．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（）
A．B．C．D．
4．（2022·全國(guó)·高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（）
A．B．C．D．
5．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）
A．B．C．D．
二、填空題
6．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①的第2項(xiàng)小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項(xiàng)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)
一、單選題
1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）
A．190B．210C．380D．420
2．（2024·江蘇蘇州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·湖北黃岡·二模）數(shù)列滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．B．是等比數(shù)列
C．D．
4．（2024·安徽淮北·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若，則（）
A．B．
C．的前10項(xiàng)和為D．的前10項(xiàng)和為
三、填空題
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則；數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為．
6．（2024·浙江嘉興·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則 .
反思提升：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.
(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.
【考點(diǎn)2】由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式
一、單選題
1．（2024·河南·三模）已知函數(shù)滿足：，且，，則的最小值是（）
A．135B．395C．855D．990
2．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）定義：在數(shù)列中，，其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列中，，，則（）
A．1763B．1935C．2125D．2303
二、多選題
3．（23-24高三下·甘肅·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，則（）
A．是等差數(shù)列
B．的前項(xiàng)和為
C．是單調(diào)遞增數(shù)列
D．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為4
4．（2024·山東煙臺(tái)·一模）給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．對(duì)任意，總存在，使得
D．對(duì)任意，總存在，使得
三、填空題
5．（23-24高二上·廣東河源·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則 .
6．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
反思提升：
(1)形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).
(2)形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq \f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1代入求出通項(xiàng).
(3)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.
(4)形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
【考點(diǎn)3】數(shù)列的性質(zhì)
一、單選題
1．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列中，，則（）
A．B．C．1D．2
2．（2024·天津·二模）已知數(shù)列為不單調(diào)的等比數(shù)列，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項(xiàng)為（）．
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·浙江紹興·二模）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，則（）
A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列
C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則
4．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契提出的“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在現(xiàn)代生物及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它可以表述為數(shù)列滿足.若此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則以下結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則；若，則的最大值為．
6．（23-24高二上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
反思提升：
1.解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.
2.求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法
(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項(xiàng)的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大(小)項(xiàng)，否則，利用作差法.
(2)利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng).
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·四川廣安·二模）已知數(shù)列滿足，（），則（）
A．B．C．D．2
2．（2024·廣東深圳·二模）已知n為正整數(shù)，且，則（）
A．B．C．D．
3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（2024·云南·二模）記數(shù)列的前項(xiàng)和為為常數(shù).下列選項(xiàng)正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．存在常數(shù)A、B，使數(shù)列是等比數(shù)列
D．對(duì)任意常數(shù)A、B，數(shù)列都是等差數(shù)列
6．（2024·云南昆明·一模）在數(shù)列中，，，，記的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
7．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，為其前n項(xiàng)和，則（）
A．B．
C．D．
三、填空題
8．（2022·黑龍江齊齊哈爾·一模）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
9．（23-24高二下·江西撫州·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，則 .
10．（2023·四川樂山·三模）已知數(shù)列滿足，，則．
四、解答題
11．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
12．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列中，已知，且滿足，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（）
A．3B．2C．1D．0
二、多選題
2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論成立的有（）
A．
B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和的最小值為
三、填空題
3．（2023·湖南邵陽(yáng)·二模）已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．
四、解答題
4．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·北京東城·二模）設(shè)無窮正數(shù)數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)，都存在唯一的正整數(shù)，使得，那么稱為內(nèi)和數(shù)列，并令，稱為的伴隨數(shù)列，則（）
A．若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列
B．若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列
C．若內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列
D．若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列
二、多選題
2．（22-23高二上·江蘇常州·期末）在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形紙片中，取邊的中點(diǎn)，在該紙片中剪去以為斜邊的等腰直角三角形得到新的紙片，再取的中點(diǎn)，在紙片中剪去以為斜邊的等腰直角三角形得到新的紙片，以此類推得到紙片，，……，，……，設(shè)的周長(zhǎng)為，面積為，則（）
A．B．
C．D．
三、填空題
3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）“冰天雪地也是金山銀山”，2023-2024年雪季，東北各地冰雪旅游呈現(xiàn)出一片欣欣向榮的景象，為東北經(jīng)濟(jì)發(fā)展增添了新動(dòng)能．某市以“冰雪童話”為主題打造—圓形“夢(mèng)幻冰雪大世界”，其中共設(shè)“森林姑娘”“扣像墻”“古堡滑梯”等16處打卡景觀．若這16處景觀分別用表示，某游客按照箭頭所示方向（不可逆行）可以任意選擇一條路徑走向其它景觀，并且每個(gè)景觀至多經(jīng)過一次，那么他從入口出發(fā)，按圖中所示方向到達(dá)有種不同的打卡路線；若該游客按上述規(guī)則從入口出發(fā)到達(dá)景觀的不同路線有條，其中，記，則（結(jié)果用表示）.
分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
項(xiàng)數(shù)
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)有限
無窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)無限
項(xiàng)與項(xiàng)
間的大
小關(guān)系
遞增數(shù)列
an＋1＞an
其中
n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1＜an
常數(shù)列
an＋1＝an
擺動(dòng)數(shù)列
從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

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