【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】8
【考點1】等差數(shù)列的基本運算8
【考點2】等差數(shù)列的判定與證明12
【考點3】等差數(shù)列的性質及應用19
【分層檢測】22
【基礎篇】22
【能力篇】29
【培優(yōu)篇】36
考試要求：
1.理解等差數(shù)列的概念.
2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用等差數(shù)列的有關知識解決相應的問題.
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系.
知識梳理
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.
數(shù)學語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).
(2)等差中項：由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.
2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差數(shù)列的性質
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.
(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.
1.已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.
2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.
3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當d＝0時，{an}是常數(shù)列.
4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).
真題自測
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．C．1D．
3．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（ ）
A．25B．22C．20D．15
4．（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
二、填空題
5．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則 .
6．（2024·北京·高考真題）設與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結論：
①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；
②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；
③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；
④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.
其中正確結論的序號是 .
7．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環(huán)權”．已知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則 ；數(shù)列所有項的和為 ．
8．（2022·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差 ．
參考答案：
1．B
【分析】由結合等差中項的性質可得，即可計算出公差，即可得的值.
【詳解】由，則，
則等差數(shù)列的公差，故.
故選：B.
2．D
【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質進行處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列的性質
根據(jù)等差數(shù)列的性質，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則.
故選：D
3．C
【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)前項和公式即可解出；
方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項和公式的性質即可解出．
【詳解】方法一：設等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
4．C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結合數(shù)列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設其首項為，公差為，
則，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數(shù)列，設數(shù)列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，
于是，又為常數(shù)，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
5．95
【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.
【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，
則.
故答案為：.
6．①③④
【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.
【詳解】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，
而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.
對于②，取則均為等比數(shù)列，
但當為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，故②錯誤.
對于③，設，，
若中至少四個元素，則關于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，
若，則由和的散點圖可得關于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；
若，考慮關于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，
當有偶數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個偶數(shù)解，
當有奇數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即
否則，因單調(diào)性相反，
方程至多一個奇數(shù)解，
因為，不可能同時成立，
故不可能有4個不同的整數(shù)解，即M中最多有3個元素，故③正確.
對于④，因為為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點圖呈上升趨勢，
后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.
故答案為：①③④.
【點睛】思路點睛：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質關系時，等比數(shù)列的公比可能為負，此時要注意合理轉化.
7． 48 384
【分析】方法一：根據(jù)題意結合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解，進而可求得結果；方法二：根據(jù)等比中項求，在結合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.
【詳解】方法一：設前3項的公差為，后7項公比為，
則，且，可得，
則，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因為為等比數(shù)列，則，
且，所以；
又因為，則；
空2：設后7項公比為，則，解得，
可得，所以.
故答案為：48；384.
8．2
【分析】轉化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡得，
即，解得.
故答案為：2.
考點突破
【考點1】等差數(shù)列的基本運算
一、單選題
1．（2024·四川攀枝花·三模）數(shù)列的前項和為，，，設，則數(shù)列的前51項之和為（ ）
A．B．C．49D．149
2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知在正項等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列，則（ ）
A．157B．156C．74D．73
二、多選題
3．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（ ）
A．B．
C．數(shù)列的前n項和為D．數(shù)列的前n項和為
4．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知各項都是正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，則下列結論正確的是（ ）
A．當時，B．
C．數(shù)列是等差數(shù)列D．
三、填空題
5．（2024·湖北襄陽·模擬預測）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習俗有關，如圖為某校數(shù)學社團用數(shù)學軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點（第一段圓?。?，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時，“蚊香”的長度為 .

6．（2024·內(nèi)蒙古·三模）假設在某種細菌培養(yǎng)過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.若1個正常細菌經(jīng)過14小時的培養(yǎng)，則可分裂成的細菌的個數(shù)為 .
參考答案：
1．B
【分析】由與的關系，結合等差數(shù)列的通項公式求得，即可得到，再由并項求和法計算可得．
【詳解】因為，
當時，，
即，
可得，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，則，
當時，
所以，當時也成立，
所以，
可得數(shù)列的前項之和為．
故選：B．
2．D
【分析】由等比中項性質求得，由等差中項性質得，根據(jù)等比數(shù)列通項公式基本量運算求得，進而求解即可.
【詳解】由等比中項性質知.
由成等差數(shù)列，得，所以，
所以等比數(shù)列的公比，所以，
所以.
故選：D.
3．ABD
【分析】由等差數(shù)列的性質和前n項和公式可求出，可判斷A；由等差數(shù)列的前n項和公式可判斷B；由裂項相消法可判斷C；由分組求和法可判斷D.
【詳解】對于A，設等差數(shù)列的首項和公差為，
所以，化簡可得：，
又因為，則，
所以，所以，
所以，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，
所以數(shù)列的前n項和為，故C錯誤；
對于D，令，
所以數(shù)列的前n項和為：
，故D正確.
故選：ABD.
4．BCD
【分析】計算數(shù)列首項及第二項可判定A，利用等差數(shù)列的定義及的關系可判定C，從而求出的通項公式結合基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性可判定B、D.
【詳解】對A，由題意可知，所以，
則，所以，故A錯誤；
對C，由，故C正確；
對C，所以，
則，故B正確；
對D，易知，令，
則，則單調(diào)遞增，
所以，即，故D正確.
故選：BCD
5．
【分析】根據(jù)題意分析可得：每段圓弧的圓心角為，半徑滿足，結合等差數(shù)列的通項公式和求和公式分析運算.
【詳解】由題意可知：每段圓弧的圓心角為，
設第段圓弧的半徑為，則可得，
故數(shù)列是以首項，公差的等差數(shù)列，
則，
則“蚊香”的長度為
.
故答案為：.
6．/131072
【分析】設經(jīng)過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，則，，由等比數(shù)列的性質求出的通項公式，再證得是與首相和公差均為的等差數(shù)列，即可求出的通項公式，進而求出答案.
【詳解】設經(jīng)過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，
則，.
又，，所以，，
則，所以，
所以是首項和公差均為的等差數(shù)列，
所以，
所以，所以.
故答案為：.
反思提升：
1.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.
2.數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
【考點2】等差數(shù)列的判定與證明
一、解答題
1．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．
2．（2024·重慶·三模）已知在數(shù)列中，．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項和；
(2)在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，求面積的最大值．
3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知（且，為常數(shù)）.
(1)數(shù)列能否是等比數(shù)列？若是，求的值（用表示）；否則，說明理由；
(2)已知，求數(shù)列的前項和.
4．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，求數(shù)列的前項和．
5．（2024·廣東深圳·一模）設為數(shù)列的前項和，已知，且為等差數(shù)列．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，且，設為數(shù)列的前項和，集合，求（用列舉法表示）．
6．（23-24高三上·北京東城·期末）若有窮數(shù)列滿足：，則稱此數(shù)列具有性質.
(1)若數(shù)列具有性質，求的值；
(2)設數(shù)列A具有性質，且為奇數(shù)，當時，存在正整數(shù)，使得，求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；
(3)把具有性質，且滿足（為常數(shù)）的數(shù)列A構成的集合記作.求出所有的，使得對任意給定的，當數(shù)列時，數(shù)列A中一定有相同的兩項，即存在.
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)作差得到，結合等差數(shù)列的定義證明即可；
（2）根據(jù)等比中項的性質及等差數(shù)列通項公式求出，即可得到的通項公式，結合的單調(diào)性及求和公式計算可得.
【詳解】（1）數(shù)列滿足①，
當時，有②，
①②可得：，
即，
變形可得，
故數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可知數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列，
若，，成等比數(shù)列，則有，
即，解得，
所以，
所以單調(diào)遞減，又當時，，當時，，當時，，
故當或時，取得最大值，
且．
2．(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件，由等差數(shù)列的定義寫出的通項公式，進而可得的通項公式，應用裂項相消法求前項和即可；
（2）根據(jù)題設三角恒等式，結合正弦定理得，由三角形內(nèi)角性質求角，由余弦定理及基本不等式求的范圍，應用三角形面積公式，求面積的最大值.
【詳解】（1）由題意，，即
為等差數(shù)列：首項，公差，
，則，
設，
（2）
由正弦定理，有，．
即，又，
，即
由，
由余弦定理得：，．
，即，當且僅當時取等號，
，即△ABC面積最大值為．
3．(1)不可能是等比數(shù)列，理由見解析
(2)，，且.
【分析】（1）利用與的關系計算可得，結合等差、等比數(shù)列的定義即可下結論；
（2）由（1）可得，結合等差數(shù)列前n項求和公式計算即可求解.
【詳解】（1）已知.
當時，，
兩式相減得：，，
顯然，所以.
于是可能是等差數(shù)列，若又是等比數(shù)列，則必為非零常數(shù)數(shù)列，則，
因，故不可能是等比數(shù)列.
（2）由（1）知，且，即，.
，所以當時，.
當，，.
而當時，，所以，，且.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結合與之間的關系可得，利用等差中項可得數(shù)列為等差數(shù)列，進而求；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法運算求解.
【詳解】（1）因為，即，則，
兩式相減并整理得，則，
兩式相減整理得，
所以數(shù)列為等差數(shù)列．
當時，，所以．
設等差數(shù)列的公差為，
因為，解得，
所以．
（2）由（1）可得，則，
則，
可得，
所以．
5．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，由題意可得、，解得，結合求得，即可證明；
（2）由（1）可得，根據(jù)累乘法可得，結合裂項相消求和法計算即可求解.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，則，即，①
因為，所以由，得．②
由①、②解得，所以，即，
當時，，
當時，，上式也成立，所以，
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）由（1）可知，
當時，，
因為滿足上式，所以．
，
因為當時，，所以．
6．(1)2；2；4
(2)證明見詳解
(3)
【分析】（1）由數(shù)列具有性質的定義可得；
（2）由數(shù)列具有性質的定義和等差數(shù)列的定義可得.
（3）分、和三種情況討論即得.
【詳解】（1）由已知可得數(shù)列共有5項，所以，
當時，有，
當時，有，所以，
當時，有，所以，
（2）數(shù)列A具有性質，且為奇數(shù)，令，
可得，
設，
由于當時，存在正整數(shù)，使得，
所以這項均為數(shù)列A中的項，
且，
因此一定有
即，
這說明：為公差為的等差數(shù)列，再數(shù)列A具有性質，
以及可得，數(shù)列A為等差數(shù)列；
（3）當時，
設A：，，， ，，
由于數(shù)列具有性質，且滿足，
由和，得，
當時，不妨設，此時：，，此時結論成立，
當時，同理可證，所以結論成立.
當時，不妨設，反例如下：
當時，不妨設，反例如下：
綜上所述，符合題意.
【點睛】思路點睛：關于新定義題的思路有：
（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；
（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數(shù)學語言；
（3）將已知條件代入新定義的要素中；
（4）結合數(shù)學知識進行解答.
反思提升：
1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：
(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù).即作差法，將關于an－1的an代入an－an－1，再化簡得到定值.
(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.
2.判定一個數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結論：
(1)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.
(2)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義.
【考點3】等差數(shù)列的性質及應用
一、單選題
1．（2024·山西運城·三模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（ ）
A．4B．C．D．
2．（2023·吉林白山·模擬預測）若等差數(shù)列的前項和為，且滿足，對任意正整數(shù)，都有，則的值為（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
二、多選題
3．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習）關于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中正確的有（ ）
A．等差數(shù)列，若，則
B．等比數(shù)列，若，則
C．若為數(shù)列前n項和，則，仍為等差數(shù)列
D．若為數(shù)列前n項和，則，仍為等比數(shù)列
4．（2024·遼寧·二模）設是等差數(shù)列，是其前n項的和.且，，則下面結論正確的是（ ）
A．B．
C．與均為的最大值D．滿足的n的最小值為14
三、填空題
5．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則 .
6．（23-24高二上·上?！て谀┑炔顢?shù)列中，已知，且在前項和中，僅當時，最大，則公差的取值范圍為 ．
參考答案：
1．C
【分析】利用下標和性質計算可得.
【詳解】因為，則，又，則，
解得，
所以.
故選：C
2．C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式以及數(shù)列的單調(diào)性得出結果.
【詳解】依題意，
又，即，則
則，且，
所以等差數(shù)列單調(diào)遞減，，
所以對任意正整數(shù)，都有，則．
故選，C．
3．AC
【分析】利用等差數(shù)列下標和性質判斷A；舉例說明判斷B；利用等差數(shù)列定義判斷C；舉例說明判斷D.
【詳解】對于A，由等差數(shù)列下標和性質知，A正確；
對于B，取，顯然數(shù)列成等比數(shù)列，且，而，B錯誤；
對于C，等差數(shù)列的公差為，，
，
有，因此成等差數(shù)列，C正確；
對于D，當?shù)缺葦?shù)列的公比，為正偶數(shù)時，，顯然不成等比數(shù)列，D錯誤.
故選：AC
4．BCD
【分析】由可判斷A錯誤；由A可得B正確；由，可得C正確；由等差中項和前項和的性質可得D正確.
【詳解】A：因為，所以，
所以，故A錯誤；
B：由A的解析可得B正確；
C：因為，，所以與均為的最大值，故C正確；
D：因為，由，，
故D正確；
故選：BCD.
5．
【分析】由等差數(shù)列前項和公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質求解即可.
【詳解】由，得，
則.
故答案為：.
6．
【分析】首先寫成等差數(shù)列前項和的函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的對稱軸的范圍，即可求解.
【詳解】為等差數(shù)列，且，
則前項和，是關于的二次函數(shù)，且，
因為僅當時，最大，所以對稱軸在區(qū)間，
即，解得：，
則公差的取值范圍是.
故答案為：
反思提升：
1.項的性質：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
2.和的性質：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k項和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.
3.求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉折項，或者利用性質求其正負轉折項，便可求得和的最值；(2)利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，A≠0)為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質求最值.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·天津濱海新·三模）已知數(shù)列為各項不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為（ ）
A．4B．8C．12D．16
2．（2024·海南·模擬預測）已知等比數(shù)列的公比不為1，若，且成等差數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山西陽泉·三模）已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的一個極大值點，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·模擬預測）已知遞增數(shù)列滿足．若，，則數(shù)列的前2023項和為（ ）
A．2044242B．2045253C．2046264D．2047276
二、多選題
5．（2024·河北滄州·模擬預測）設等差數(shù)列的前n項和為，e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，，，是等差數(shù)列
B．數(shù)列是等比數(shù)列
C．數(shù)列是等差數(shù)列
D．當p，q均為正整數(shù)且時，
6．（2023·山東濰坊·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，正項等比數(shù)列的前項積為，則（ ）
A．數(shù)列是等差數(shù)列B．數(shù)列是等比數(shù)列
C．數(shù)列是等差數(shù)列D．數(shù)列是等比數(shù)列
7．（2023·安徽安慶·二模）已知為等差數(shù)列，前項和為，，公差d = ?2 ，則（ ）
A．=
B．當n = 6或7時，取得最小值
C．數(shù)列的前10項和為50
D．當n≤2023時，與數(shù)列（m? N）共有671項互為相反數(shù)．
三、填空題
8．（2023·四川成都·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且，則 .
9．（2024·廣東深圳·模擬預測）設是等差數(shù)列的前n項和，若，則 ．
10．（2024·北京延慶·一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)， 環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石) 塊，則上層有扇形石板 塊．
四、解答題
11．（2024·陜西安康·模擬預測）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設，求的前n項和.
12．（2024·湖南·模擬預測）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且.
(1)求的通項公式；
(2)記是數(shù)列的前項和，證明: .
參考答案：
1．D
【分析】由數(shù)列的遞推式，分別令，結合等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可得到答案．
【詳解】設等差數(shù)列公差為，∵，
∴當時，，解得，
∴，
當時，，
∴，
∴．
故選：D．
2．C
【分析】利用等差中項的性質及等比數(shù)列基本量的計算求通項公式即可.
【詳解】設的公比為q，
則依題意有，
解方程得或（舍去），所以.
故選：C
3．D
【分析】求出函數(shù)的極大值點得，然后由等差數(shù)列性質結合誘導公式可得.
【詳解】由正弦函數(shù)性質知，當，即時，函數(shù)取得極大值，
則，由等差數(shù)列性質，得，
所以.
故選：D
4．D
【分析】根據(jù)，推出，推出數(shù)列是等差數(shù)列，設公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求出結果.
【詳解】因為，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，
設公差為，因為數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，
由，得，即，
由，得，將代入，得，
又，所以，，
所以數(shù)列的前2023項和為.
故選：D
5．BCD
【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義可判定A,B,C選項，利用等差數(shù)列的求和可判定D選項.
【詳解】對于A，令，則，，
當時，，即，
所以，，不是等差數(shù)列，故A錯誤；
對于B，設的公差為d，則（定值），
所以是公比為的等比數(shù)列，故B正確；
對于C，，故是公差為的等差數(shù)列，故C正確；
對于D，，
，
所以，故D正確．
故選：BCD．
6．ABD
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及等差數(shù)列前項和公式為計算即可.
【詳解】設的公差為，的公比為，
則，
所以是常數(shù)，故A正確；
易知是常數(shù)，故B正確；
由不是常數(shù)，故C錯誤；
是常數(shù)，故D正確.
故選：ABD
7．ACD
【分析】由等差數(shù)列的首項和公差求出等差數(shù)列的通項公式，即可結合等差數(shù)列的性質判斷ACD,由數(shù)列的單調(diào)性可判斷B.
【詳解】對于A，等差數(shù)列中，，公差，則，，故A正確；
對于B，由A的結論，，則，由d = ?2當時，，，當時，，則當或6時，取得最大值，且其最大值為，B錯誤；
對于C,
,故C正確，
對于D，由，則，
則數(shù)列中與數(shù)列中的項互為相反數(shù)的項依次為：
，，，，，，
可以組成以為首項，為公差的等差數(shù)列，設該數(shù)列為，則，
若，解可得，即兩個數(shù)列共有671項互為相反數(shù)，D正確．
故選：ACD．
8．
【分析】根據(jù)作差求出的通項公式，即可得解.
【詳解】因為，當時，
當時，
所以，
經(jīng)檢驗當時也成立，
所以，則，
所以.
故答案為：
9．
【分析】
由等差數(shù)列前項和公式計算的等量關系，代入所求即可求出結果.
【詳解】設數(shù)列的公差為，
，，
則，
故答案為：.
10．
【分析】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，則是等差數(shù)列，且公差為，，設每層有環(huán)，則，，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求出，再求出即可.
【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為，則是等差數(shù)列，且公差，，
設每層有環(huán)，則，，
所以，即，
即，解得或（舍去），
所以，則，
即上層有扇形石板塊.
故答案為：．
11．(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）根據(jù)（1）問，求出數(shù)列的通項公式，從而求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式，最后利用裂項相消求和法求得
【詳解】（1）證明：令，又，則有
，
又，所以
所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列
（2）由（1）知，，
又，所以，
所以，
所以
12．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設，再用已知條件列出兩個方程并解出其中的參數(shù)；
（2）直接求出，再用裂項法即可.
【詳解】（1）設，則由已知有，.
將第一個等式展開化簡可得，故由知.
再代入第二個等式可得，解得，從而.
故的通項公式是.
（2）由于，
故
.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．
二、多選題
2．（2024·山東臨沂·二模）已知是等差數(shù)列，是其前n項和，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，則B．若，則
C．若，則D．若和都為遞增數(shù)列，則
三、填空題
3．（2024·重慶·模擬預測）在正項等比數(shù)列中，，則的最大值為 ．
四、解答題
4．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知無窮數(shù)列，構造新數(shù)列滿足，滿足，，滿足，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，，，，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列.
(1)已知為二階等差數(shù)列，且，，，求的通項公式；
(2)若為階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列，證明：為階等比數(shù)列；
(3)已知，令的前項和為，，證明：.
參考答案：
1．C
【分析】結合等差數(shù)列性質將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結合法即可求解.
【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得
，即，令得，
故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，
設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，最小，
，此時.

故選：C
2．BC
【分析】根據(jù)題意，求得，結合，可判定A錯誤；根據(jù)數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質，可判定B正確；由，求得，可判定C正確；根據(jù)題意，求得任意的，結合的正負不確定，可判定D錯誤．
【詳解】對于A中，由，，
可得，所以，
又由，所以A錯誤；
對于B中，由，所以B正確；
對于C中，由，所以，
又因為，則，所以C正確；
對于D中，因為為遞增數(shù)列，可得公差，
因為為遞增數(shù)列，可得，
所以對任意的，但的正負不確定，所以D錯誤．
故選：BC.
3．
【分析】設等比數(shù)列的公比為，列出方程求得，得到，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，
因為，可得，即，解得，
所以，
所以當時，取得最大值，最大值為．
故答案為：.
4．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）直接根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求解；
（2）先確定是階等差數(shù)列的充分必要條件，再對已知條件進行轉化即可；
（3）先用數(shù)學歸納法證明，再利用該結果證明結論；或者先用導數(shù)方法證明，再利用該結果證明結論.
【詳解】（1）由知，故可設.
所以，故.
從而，代入，可得，所以.
故的通項公式為：.
（2）先證明2個引理.
引理1：對任意非負整數(shù)，存在，使得對任意正整數(shù)成立，這里約定.
證明：用數(shù)學歸納法證明該結論.
當時，有，取即可，故結論成立；
假設結論對成立，則
.
故可設，這就得到
.
所以取，，即可，這得到結論對成立.
由數(shù)學歸納法即知引理1成立.
引理2：是階等差數(shù)列的充分必要條件是能夠表示為關于的至多次的多項式形式，即.
證明：我們對使用數(shù)學歸納法.
當時，結論顯然成立；
對，假設結論對成立，考慮的情形：
一方面，如果，則有
.
故由于結論對成立，知是階等差數(shù)列，所以是階等差數(shù)列；
另一方面，如果是階等差數(shù)列，則是階等差數(shù)列.
故由于結論對成立，知的通項公式具有形式.
故.
據(jù)引理1可知，每個都可以表示為的形式，故
.
綜上，結論對成立.
由數(shù)學歸納法知引理2成立.
回到原題.
由于為一階等比數(shù)列，故恒為常值，設，則.
為使有意義，必有不為零.
所以.
由于為階等差數(shù)列，故由引理2，可設.
取就有，，所以由引理2可知和都是階等差數(shù)列.
設，，，，則和都是常值.
而歸納即知，故是常值，從而為階等比數(shù)列.
（3）方法一：
用數(shù)學歸納法證明：.
當時，由知結論成立；
對，假設結論已對成立，即，則
.
所以結論對也成立.
綜上，對任意的正整數(shù)，都有.
故.
這就得到
.
方法二：
對正整數(shù)，根據(jù)等比數(shù)列求和公式有.
兩邊同時求導，得.
所以.
再次求導，得.
所以.
從而當時，分別由上面的式子可以得到：
；
；
.
所以
.
故.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于基于等差數(shù)列和等比數(shù)列的新定義，理解新定義的本質方可解決問題.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）對于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，當任意正整數(shù)時均有，則稱為的“項遞增相伴數(shù)列”．若可取任意的正整數(shù)，則稱為的“無限遞增相伴數(shù)列”．
(1)已知，請寫出一個數(shù)列的“無限遞增相伴數(shù)列”，并說明理由？
(2)若滿足，其中是首項的等差數(shù)列，當為的“無限遞增相伴數(shù)列”時，求的通項公式：
(3)已知等差數(shù)列和正整數(shù)等比數(shù)列滿足：，其中k是正整數(shù)，求證：存在正整數(shù)k，使得為的“2024項遞增相伴數(shù)列”．
2．（2024·黑龍江·三模）如果n項有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對稱數(shù)列”.
(1)設數(shù)列是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中成等差數(shù)列，且，依次寫出數(shù)列的每一項；
(2)設數(shù)列是項數(shù)為(且)的“對稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前項和.
①若，，…，構成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當為何值時，取得最大值?
②若，且，求的最小值.
3．（2024·江蘇宿遷·三模）在數(shù)列中，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知數(shù)列滿足；
①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
②若，設數(shù)列的前n項和為，求證：．
參考答案：
1．(1)，理由見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）利用指數(shù)數(shù)列，構造一個加上正的常數(shù)，就可得到一個遞增相伴數(shù)列，只需要檢驗前二項和最后三項；
（2）由于有一個是等差數(shù)列，兩數(shù)列相加也是等差數(shù)列，說明另一個數(shù)列還是等差數(shù)列，通過假設，就可以表示出兩個數(shù)列的通項，進而引入后三項不等式進行分析，即可求出數(shù)列通項；
（3）利用前面兩小問，知道構造的數(shù)列比已知數(shù)列每項加1，再去證明即可.
【詳解】（1）由于，我們可以取，此時恒有，
再由，當時，，
所以恒有，即滿足題意.
（2）
設 ,
當為的“無限遞增相伴數(shù)列”時對任意恒成立
，當時，，因為，所以，
即.
（3）證明：取，若存在這樣的正整數(shù)k使得
成立，
所以，
由，得，
于是，
又因為，所以當時，，
而時，，
所以，最后說明存在正整數(shù)k使得，
由，
上式對于充分大的k成立，即總存在滿足條件的正整數(shù)k
【點睛】方法點睛：通過第一，第二問的求解，掌握問題得以解決的關鍵就是每一項加1，從而再進行證明即可得到第三問的解答.
2．(1)1，3，5，7，5，3，1
(2)①1012；②2025
【分析】（1）根據(jù)新定義“對稱數(shù)列”的定義和已知條件可求得公比，進而求得結果；
（2）①根據(jù)對稱數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質來求解；②由條件得到數(shù)列相鄰兩項間的大小關系，并結合定義求得的取值范圍，然后結合已知條件確定出最后的結果
【詳解】（1）因為數(shù)列是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，所以，
又因為成等差數(shù)列，其公差，…
所以數(shù)列的7項依次為1，3，5，7，5，3，1；
（2）①由，，…，是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列是項數(shù)為的“對稱數(shù)列”且滿足，
可知，，…，構成公差為2的等差數(shù)列，，，…，構成公差為的等差數(shù)列，
故
，
所以當時，取得最大值；
②因為即，
所以即，
于是，
因為數(shù)列是“對稱數(shù)列”，
所以
，
因為，故，
解得或，所以，
當，，…，構成公差為的等差數(shù)列時，滿足，
且，此時，所以的最小值為2025.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是理解對稱數(shù)列的定義，第二問①關鍵是得到，，…，構成公差為的等差數(shù)列.
3．(1)
(2)①證明見解析 ；②證明見解析
【分析】（1）變形得到，結合，故，從而得到；
（2）①化簡得到，利用得到，同理可得，證明出是等差數(shù)列；
②求出，結合，得到公差，得到通項公式，所以，裂項相消法求和證明出結論.
【詳解】（1）因為，
所以，
所以，
所以，
因為，所以n=1時，，
所以數(shù)列是各項為0的常數(shù)列，即，
所以．
（2）①由得
所以①
所以②
②-①得：③
所以④
④-③得，所以
即
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
②當時，由得，所以，
又，故的公差為1，所以，
所以，
即
．
【點睛】方法點睛：常見的裂項相消法求和類型：
分式型：，，等；
指數(shù)型：，等，
根式型：等，
對數(shù)型：，且；

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