（導圖+知識精講+高頻易錯點+一大考點講練+難度分層練）
學生能夠認識到數(shù)與形之間的聯(lián)系，理解以形助數(shù)、以數(shù)解形的數(shù)學思想。
掌握利用圖形解決數(shù)學問題的方法，如通過圖形理解和推導數(shù)學公式等。
能夠運用數(shù)與形的結合解決一些實際的數(shù)學問題。
【教學重點】
理解數(shù)與形之間的聯(lián)系，掌握利用圖形解決數(shù)學問題的方法。
引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運用數(shù)與形的結合解決問題。
【教學難點】
如何引導學生從圖形中抽象出數(shù)學規(guī)律，并用數(shù)學語言進行表達。
培養(yǎng)學生在解決問題時主動運用數(shù)與形結合的思想。
TOC \t "標題 2,1" \h \u \l "_Tc32344" 考點1：數(shù)與形（歸納遞推） PAGEREF _Tc32344 \h 2
\l "_Tc6373" 中等題真題訓練 PAGEREF _Tc6373 \h 3
\l "_Tc17184" 拔高題真題訓練 PAGEREF _Tc17184 \h 11
1.數(shù)形結合思想的意義。
數(shù)形結合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想．
2.尋找數(shù)與形規(guī)律的方法。
通常從相鄰數(shù)（或形）之間的關系，總結出一般的規(guī)律。
3.數(shù)與形找規(guī)律題的步驟。
第一步：尋找數(shù)量關系；
第二步：用代數(shù)式表示規(guī)律；
第三步：驗證規(guī)律。
在運用數(shù)形結合的方法探究數(shù)學規(guī)律時，一定要把圖形和數(shù)一一對應。
考點1：數(shù)與形（歸納遞推）
【精講題】（23-24六年級上·全國·單元測試）先觀察下面算式的規(guī)律，再按要求做一做。

利用上面的規(guī)律直接寫一寫。
( )2
( )2
【答案】 52 82
【思路點撥】發(fā)現(xiàn)規(guī)律為：從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和，等于數(shù)字個數(shù)的平方，據(jù)此直接寫結果。
【規(guī)范解答】1＋3＋5＋7＋9，一共是5個數(shù)字和，即1＋3＋5＋7＋9＝52
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15，一共是8個數(shù)字和，即1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82
【精練題1】（23-24六年級上·全國·課后作業(yè)）下列各圖形中的小正方形是按照一定的規(guī)律排列的。按照圖中的規(guī)律，第十個圖形中一共有( )個相同大小的小正方形。
【答案】55
【思路點撥】第一個圖形有1個小正方形；第二個圖形有3個小正方形，3＝2＋1；第三個圖形有6個小正方形，6＝3＋2＋1；第四個圖形有10個小正方形，10＝4＋3＋2＋1……，由此可知，小正方形的個數(shù)＝第幾個圖形就從幾依次加到1。
【規(guī)范解答】10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（個）
第十個圖形中一共有55個相同大小的小正方形。
【精練題2】（23-24六年級上·全國·課后作業(yè)）觀察下列由五角星組成的等邊三角形圖案：
它們是按一定規(guī)律排列的。依照此規(guī)律，第20個圖形中共有( )個★。
【答案】60
【思路點撥】觀察可知，第1個圖形有3個★，3＝1×3；第2個圖形有6個★，6＝2×3；第3個圖形有9個★，9＝3×3……，由此可知，★的個數(shù)＝第幾個圖形就用幾×3，據(jù)此分析。
【規(guī)范解答】20×3＝60（個）
第20個圖形中共有60個★。
中等題真題訓練
1．（22-23六年級上·甘肅隴南·期末）觀察下面的一組數(shù)：1，2，4，8，16，32…，第7個數(shù)是（ ）。
A．128B．512C．64
【答案】C
【思路點撥】觀察數(shù)列，用第1個數(shù)1乘2等于第2個數(shù)2，用第2個數(shù)2乘2等于第3個數(shù)4，用第3個數(shù)4乘2等于第4個數(shù)8，用第4個數(shù)8乘2等于第5個數(shù)16，用第5個數(shù)16乘2等于第6個數(shù)32，依次類推，用第6個數(shù)32乘2即可求出第7個數(shù)。
【規(guī)范解答】32×2＝64
即第7個數(shù)是64。
故答案為：C
2．（22-23六年級上·山西陽泉·期末）像下面這樣擺下去，擺n個正方形需要（ ）根火柴棒。
……
A．4nB．3nC．3n＋1
【答案】C
【思路點撥】根據(jù)圖可知，第一個小正方形需要4根小棒，兩個小正方形需要7根小棒，擺三個正方形需要10根小棒，所以每增加一個正方形就會增加3根小棒，可以把它們看作擺幾個正方形，就有幾個3，再加上最左側的一個小棒即可求出所有小棒，據(jù)此即可選擇。
【規(guī)范解答】由分析可知：
擺n個正方形需要（3n＋1）根小棒。
故答案為：C
3．（22-23四年級上·四川成都·期末）根據(jù)，，，，可推算出（ ）。
A．4225B．5625C．6425D．7225
【答案】D
【思路點撥】當個位數(shù)字是5的兩個相同的兩位數(shù)相乘時，積的后兩位數(shù)是25，前兩位數(shù)是因數(shù)中十位的數(shù)字和比它大1的數(shù)字的乘積，由此解答。
【規(guī)范解答】因為15×15＝225
所以85×85＝7225
故答案為：D
4．（23-24四年級上·陜西漢中·期末）根據(jù)下面一組有規(guī)律的算式，可以推出下一個算式是（ ）。
6×7＝42
66×67＝4422
666×667＝444222
A．6666×667＝4446222B．666×6667＝4440222C．6666×6677＝44508882D．6666×6667＝44442222
【答案】D
【思路點撥】第一個算式1個6和1個7相乘等于42，第二個算式2個6和67相乘等于4422，第三個算式3個6和667相乘等于444222，第四個算式應該是4個6和6667相乘等于44442222，據(jù)此選擇即可。
【規(guī)范解答】可以推出下一個算式是6666×6667＝44442222。
故答案為：D
5．（22-23六年級下·陜西咸陽·期末）下面是由完全相同的正方形按規(guī)律擺成的圖形，第1個圖中有1個正方形，第2個圖中有3個正方形，第3個圖中有6個正方形，第4個圖中有10個正方形，……，按此規(guī)律，第8個圖中有（ ）個正方形。

A．42B．40C．38D．36
【答案】D
【思路點撥】觀察可得規(guī)律，第1個圖中有1個正方形，第2個圖中有1＋2＝3個正方形，第3個圖中有1＋2＋3＝6個正方形，第4個圖中有1＋2＋3＋4＝10個正方形，按此規(guī)律，第8個圖中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8個正方形，據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（個）
按此規(guī)律，第8個圖中有36個正方形。
故答案為：D
6．（22-23四年級下·山東濰坊·期中）擺一個正方形需要4根小棒，每增加1個正方形增加3根小棒。
擺n個正方形需要( )根小棒。當n＝21時，需要( )根小棒。
【答案】 3n＋1 64
【思路點撥】通過題意和觀察圖形可知，第一個正方形由4根小棒擺成，以后加3根就可加一個正方形，擺第兩個要3×2＋1＝6＋1＝7根，擺第三個要3×3＋1＝9＋1＝10根，擺第四個要3×4＋1＝13根，以此類推，得出規(guī)律連著擺n個這樣的正方形需3n＋1根小棒，進一步代入n＝21求得答案即可。
【規(guī)范解答】3×21＋1
＝63＋1
＝64（根）
擺n個正方形需要3n＋1根小棒。當n＝21時，需要64根小棒。
7．（23-24六年級上·湖北十堰·期末）……
觀察上圖，照這樣畫下去，第8個圖的涂色小正方形有( )個，第n個圖的涂色小正方形有( )個。
【答案】 25 3n＋1
【思路點撥】第一個圖形有4個小正方形，第二個圖形比第一個圖形多3個涂色小正方形，第三個圖形比第一個多2個3，也就是多6個涂色的小正方形，所以第8個圖形比第一個圖形多7個3，也就是多21個涂色的小正方形，所以第8個圖形有21＋4個涂色的小正方形。第n個圖形應該比第一個圖形多（n－1）個3涂色的小正方形，所以第n個圖形有4＋3×（n－1），也就是3n＋1個涂色的小正方形。
【規(guī)范解答】
＝
＝
＝（個）
＝
＝（）個
所以第8個圖形有25個涂色的小正方形，第n個圖形有個涂色的小正方形。
（23-24六年級上·內蒙古呼倫貝爾·期末）圖中是用小棒擺的
……按這樣擺下去第7個圖形需要( )根小棒，擺第n個圖形需要( )根。
【答案】 15 2n＋1
【思路點撥】觀察圖形發(fā)現(xiàn)每多擺一個圖形就要比前一個圖形多用2根小棒，擺第1個圖形用了3根小棒，即2×1＋1；擺第2個圖形用了5根小棒，即2×2＋1；擺第3個圖形用了7根小棒，即2×3＋1；由此可推出擺第n個圖形用了2×n＋1＝（2n＋1）根小棒。繼而求出擺第7個圖形需要多少根小棒。
【規(guī)范解答】根據(jù)分析可得，擺第7個圖形用的小棒數(shù)量：2×7＋1＝14＋1＝15（根），擺第n個圖形用了（2n＋1）根小棒，所以擺第7個圖形用了15根小棒，擺第n個圖形用了（2n＋1）根小棒。
9．（22-23六年級上·河南信陽·期末）有一組數(shù)：1、2、5、10、17、26…根據(jù)這組數(shù)的排列規(guī)律，第8個數(shù)應是50。( )
【答案】√
【思路點撥】這組數(shù)據(jù)每相鄰的兩個數(shù)之間的差分別是1、3、5、7、9、11、13……，根據(jù)這個規(guī)律可以知道第七個數(shù)字和第八個數(shù)字分別是多少。
【規(guī)范解答】第七個數(shù)字：
第八個數(shù)字：
故答案為：√
10．（2024四年級下·遼寧·專題練習）根據(jù)統(tǒng)計圖回答問題。
（1）從（ ）月到（ ）月銷售量增長最快，從（ ）月到（ ）月銷售量下降最快。
（2）平均每月銷售多少臺？
【答案】（1）11；12；8；9
（2）110臺
【思路點撥】（1）根據(jù)折線統(tǒng)計圖的升降幅度可知，11－12月上升的幅度最大即代表銷售量增長最快，8－9月下降的幅度最大即代表銷售量下降最快。
（2）將6個月的銷售額相加再除以6即可求出平均每月銷售的臺數(shù)。
【規(guī)范解答】（1）從11月到12月銷售量增長最快，從8月到9月銷售量下降最快。
（2）（120＋130＋100＋90＋100＋120）÷6
＝（250＋100＋90＋100＋120）÷6
＝（350＋90＋100＋120）÷6
＝（440＋100＋120）÷6
＝（540＋120）÷6
＝660÷6
＝110（臺）
答：平均每月銷售110臺。
11．（23-24四年級下·遼寧·課后作業(yè)）下圖是四年級同學騎車去距學校10千米的公園秋游的情況。
（1）①同學們從學校去公園用了（ ）時，實際騎了（ ）時。
②同學們在公園游玩了（ ）時。
③同學們回來時平均每時騎（ ）千米。
（2）四名同學的平均體重是35千克，加上圖圖的體重后，平均體重增加1千克。圖圖的體重是多少千克？
【答案】（1）①3；2.5；②3；③5
（2）40千克
【思路點撥】（1）①觀察圖可知，這位同學從8時出發(fā)，11時到達，路上休息了半小時；據(jù)此解答即可。
②觀察圖可知，這位同學11時到達公園，開始游玩，14時結束游玩。
③從14時開始騎車，從14時到16時，騎了10千米，根據(jù)速度＝路程÷時間，據(jù)此解答即可。
（2）依題意，結合平均數(shù)的知識，已知四個人的平均體重是35千克，加入圖圖小亮之后，人數(shù)多了一個，平均體重多了1千克，為36千克，據(jù)此可以先求出5個人的總體重，然后再減去四個人的總體重就是圖圖的體重。
【規(guī)范解答】①11－8＝3（小時）
3－0.5＝2.5（小時）
同學們從學校去公園用了3小時，實際騎了2.5小時。
②14－11＝3（小時）
同學們在公園游玩了3小時。
③16－14＝2（小時）
10÷2＝5（千米/時）
同學們回來時平均每時騎5千米。
（2）（35＋1）×5－35×4
36×5－35×4
＝180－140
＝40（千克）
答：圖圖的體重是40千克。
12．（22-23四年級下·陜西西安·期末）某面粉廠2022年上半年各季度產(chǎn)量如下：
（1）請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)完成折線統(tǒng)計圖。

（2）從統(tǒng)計圖可以看出，第（ ）季度到第（ ）季度產(chǎn)量增幅最快。
（3）2022年平均每個季度的產(chǎn)量是（ ）噸。
【答案】（1）見詳解；（2）三；四；（3）375噸
【思路點撥】（1）請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，完成折線統(tǒng)計圖即可。（2）由折線統(tǒng)計圖可知，第三季度到第四季度產(chǎn)量增幅最快。（3）用四個季度的總和除以4即可求出平均每個季度的產(chǎn)量。
【規(guī)范解答】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)完成折線統(tǒng)計圖：

（2）從統(tǒng)計圖可以看出，第三季度和第四季度產(chǎn)量增幅最快；
（3）（250＋300＋350＋600）÷4
＝1500÷4
＝375（噸）
答：2022年平均每個季度的產(chǎn)量是375噸。
13．（22-23五年級·全國·假期作業(yè)）琪琪把某天神木市的氣溫變化情況畫成如圖所示的統(tǒng)計圖。
（1）琪琪每隔幾時測一次氣溫？這天12：00神木市的氣溫是多少攝氏度？
（2）這一天神木市8：00～12：00的氣溫是如何變化的？
【答案】（1）1時；26攝氏度
（2）呈現(xiàn)逐漸上升趨勢。
【思路點撥】（1）每個格代表時間是1小時，每一個小時測一個溫度，12時對應的溫度是26℃；
（2）從折線圖中觀察到溫度逐漸上升。
【規(guī)范解答】（1）琪琪每隔1時測一次氣溫，這天12：00神木市的氣溫是26攝氏度；
（2）這一天神木市8：00～12：00的氣溫呈現(xiàn)逐漸上升趨勢。
14．（22-23六年級上·湖南湘西·期末）觀察下列點陣，在□里面畫出第六個點陣，并寫出它的算式。
【答案】見詳解；1＋2＋3＋4＋5＋6
【思路點撥】根據(jù)圖可知，第幾個點陣，就在前一個點陣的基礎上，在最下面加幾個點即可，由此即可畫出第六個點陣；第一個點陣：1個點；第二個點陣：1＋2＝3個點，第三個點陣：1＋2＋3＝6個點，第四個點陣：1＋2＋3＋4＝10個點，由此即可知道第n個點陣的點數(shù)：1＋2＋3＋……＋n，據(jù)此寫出第六個點陣的算式。
【規(guī)范解答】由分析可得，第六個點陣如圖如下：
1＋2＋3＋4＋5＋6＝21
拔高題真題訓練
15．（23-24六年級上·河北邢臺·期中）如圖，觀察下列正三角形的三個頂點所標的數(shù)字規(guī)律，那么2014這個數(shù)在第（ ）個三角形的（ ）頂點處。
A．223，上B．672，左下C．672，右下D．672，上
【答案】D
【思路點撥】由圖可知，每個正三角形三個頂點處是三個連續(xù)的自然數(shù)，從1開始，按上、左下、右下的順序往下，把三個連續(xù)自然數(shù)看作一個周期，用2014除以3得到三角形的個數(shù)，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)，那么商是三角形的個數(shù)；如果商是整數(shù)并且有余數(shù)，那么（商＋1）是三角形的個數(shù)，余數(shù)是幾，就按照上、左下、右下的順序數(shù)出對應的頂點，據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】2014÷3＝671……1
671＋1＝672（個）
那么2014這個數(shù)在第672個三角形的上頂點處。
故答案為：D
16．（23-24六年級上·廣西玉林·期末）觀察下列圖形：第1個圖形有6根小棒，第2個圖形有11根小棒，第3個圖形有16根小棒……，第10個圖形有（ ）根小棒。
A．45B．51C．60
【答案】B
【思路點撥】觀察圖形可知，如果以最左邊的1根小棒為基礎，第1個圖形有6根小棒，6＝1＋5；第2個圖形有11根小棒，11＝1＋5×2；第3個圖形有16根小棒，16＝1＋5×3。由此可知：小棒的根數(shù)＝1＋5×圖形的序數(shù)，據(jù)此求出第10個圖形有多少根小棒。
【規(guī)范解答】通過分析可得：小棒的根數(shù)＝1＋5×圖形的序數(shù)
1＋5×10
＝1＋50
＝51（根）
則第10個圖形有51根小棒。
故答案為：B
17．（24-25六年級上·全國·課后作業(yè)）小軍從家出發(fā)去書店買書，當他走了大約一半路程時，想起忘記帶錢了。于是他回家取錢，然后再去書店，買了幾本書回家。下面（ ）幅圖比較準確地反映了小軍的行動軌跡。
A．B．C．
【答案】A
【思路點撥】離家的距離是隨時間是這樣變化的：（1）先離家越來越遠，到了最遠距離一半的時候；（2）然后越來越近直到為0；（3）到家拿錢有一段時間，所以有一段時間離家的距離為0；（4）然后再離家越來越遠，直到書店；（5）在書店買書還要一段時間，所以離家最遠的時候也是一條水平線段；（6）然后回家直到離家的距離為0。
【規(guī)范解答】A選項符合要求；
B選項，沒有從家出發(fā)，不符合要求；
C選項，在書店買書沒有停留，不符合要求。
故答案為：A
18．（23-24三年級下·湖南·期末）如圖，按照此規(guī)律，圖形⑥需要（ ）個○。
A．15B．21C．28
【答案】B
【思路點撥】第一個圖形有1個○，第二個圖形有3個○，第三個圖形有6個○，
1＝1
3＝1＋2
6＝1＋2＋3
那么第n個圖形中○的數(shù)量就是1＋2＋3＋…＋n，據(jù)此解答即可。
【規(guī)范解答】圖形⑥的○數(shù)：
1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（個）
故答案為：B
19．（23-24六年級下·湖南衡陽·期末）奇奇用大小相同的棋子按如圖規(guī)律擺放圖案。照這樣擺下去，第2024個圖案中有（ ）個棋子。
A．6072B．6075C．6078
【答案】B
【思路點撥】觀察圖形可知，第一個圖形的棋子數(shù)有（3＋3×1）個，第二個圖形的棋子數(shù)有（3＋3×2）個，第三個圖形有（3＋3×3）個，……可發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：第n個圖形的棋子數(shù)有（3＋3n）個。據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】3＋2024×3
＝3＋6072
＝6075（個）
所以，第2024個圖案中有6075個棋子。
故答案為：B。
20．（23-24五年級下·湖南邵陽·期末）珊珊用石子擺出了下圖中的圖案，根據(jù)規(guī)律判斷第6個圖案中石子總數(shù)為（ ）個。
A．16B．20C．24
【答案】C
【思路點撥】第1個圖案需要石子4個，第2個圖案需要石子8個，第3個圖案需要石子12個，第4個圖案需要石子16個，由此可知，下一個圖案比上一個圖案多4個石子；
第1個圖案需要石子4個，可以寫成：4×1；
第2個圖案需要石子8個，可以寫成：4×2；
第3個圖案需要石子12個，可以寫成：4×3；
第4個圖案需要石子16個，可以寫成：4×4；
……
由此可知，第n個圖案需要石子4n個，當n＝6時，求出石子的數(shù)量，據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】根據(jù)分析可知，第n個圖案需要石子4n個。
當n＝6時：
4×6＝24（個）
珊珊用石子擺出了下圖中的圖案，根據(jù)規(guī)律判斷第6個圖案中石子總數(shù)為24個。
故答案為：C
21．（23-24六年級上·江西南昌·期中）觀察下面圖形，找出規(guī)律。
……
依照此規(guī)律，第10個圖形中共有( )個★，第( )個圖形里有97個★。
【答案】 31 32
【思路點撥】觀察圖形可知：
第1個圖形有4個★，4＝3×1＋1；
第2個圖形有7個★，7＝3×2＋1；
第3個圖形有10個★，10＝3×3＋1；
第4個圖形有13個★，13＝3×4＋1；
……
規(guī)律：第n個圖形有（3n＋1）個★，按此規(guī)律解答。
【規(guī)范解答】規(guī)律：第n個圖形有（3n＋1）個★。
當n＝10時
3n＋1
＝3×10＋1
＝30＋1
＝31（個）
3n＋1＝97
解：3n＝97－1
3n＝96
n＝96÷3
n＝32
依照此規(guī)律，第10個圖形中共有31個★，第32個圖形里有97個★。
22．（23-24六年級上·浙江紹興·期末）用同樣邊長的正方形和等邊三角形按如圖的方式拼圖，照這樣接著拼下去，第10個圖形中有( )個正方形，第n個圖形中有( )個等邊三角形。
【答案】 10 4n－2
【思路點撥】（1）第1、2、3個圖形中，正方形的個數(shù)分別是1、2、3，發(fā)現(xiàn)第幾個圖形就有幾個正方形；
（2）第1、2、3個圖形中，等邊三角形的個數(shù)分別是2、6、10，發(fā)現(xiàn)每增加一個圖形，等邊三角形增加4個，據(jù)此得出規(guī)律，并按此規(guī)律解答。
【規(guī)范解答】（1）第1個圖形中有1個正方形；
第2個圖形中有2個正方形；
第3個圖形中有3個正方形；
……
第10個圖形中有10個正方形；
（2）第1個圖形中有2個等邊三角形，2＝1×4－2；
第2個圖形中有6個等邊三角形，6＝2×4－2；
第3個圖形中有10個等邊三角形，10＝3×4－2；
……
第n個圖形中有（4n－2）個等邊三角形。
23．（23-24六年級上·河北唐山·期中）找規(guī)律填數(shù)：，，，，( )…。
【答案】
【思路點撥】觀察發(fā)現(xiàn)：分子是按1、3、5、7…的順序排列，即前一個分子加2等于后一個分子；
分母是按2、5、8、11…的順序排列，即前一個分母加3等于后一個分母；
據(jù)此規(guī)律解答。
【規(guī)范解答】按規(guī)律可得：＝
填空如下：
，，，，（）…。
24．（23-24六年級上·重慶合川·期中）按規(guī)律填數(shù)。
（1）÷＝－，請再寫1個具有這種規(guī)律的式子：÷＝－。
（2），，□，，…這一列數(shù)中的第三個被遮住了，它的第15個數(shù)是（ ）。
【答案】（1）
（2）
【思路點撥】（1）觀察這個算式，兩個分數(shù)相除的商等于這兩個分數(shù)相減的差。并且左邊被除數(shù)的分子除以除數(shù)的分子的商等于右邊被減數(shù)的分子減減數(shù)的分子的差除以分母的商，而且被除數(shù)的分子除以除數(shù)的分子的商比分母大1，據(jù)此分析。
（2）將每個假分數(shù)的分數(shù)部分通分可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，整數(shù)部分為1、3、5、7…，分數(shù)部分分子為1、2、3、4…，據(jù)此確定第15個數(shù)。
【規(guī)范解答】（1）（答案不唯一）
（2）、、、、…
按照規(guī)律，它的第15個數(shù)是，化簡得。
25．（23-24四年級下·河南平頂山·期末）
根據(jù)如圖的排列規(guī)律，擺第6個圖形需要用( )根同樣長的小棒。繼續(xù)擺下去，第100個圖形用( )根同樣長的小棒。
【答案】 13 201
【思路點撥】根據(jù)圖意，第1個圖形需要3根小棒；第2個圖形需要3＋2＝5（根）小棒；第3個圖形需要3＋2＋2＝7（根）小棒；第4個圖形需要3＋2＋2＋2＝9（根）小棒……由此可見，每增加1個三角形就增加2根小棒，小棒的總根數(shù)可以用3加若干個2，2的個數(shù)比圖形個數(shù)少1；由此可以計算6個圖形的小棒根數(shù)是3＋（6－1）×2；100個圖形的小棒根數(shù)是3＋（100－1）×2，最后根據(jù)四則運算順序進行計算。據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】根據(jù)分析可知：
3＋（6－1）×2
＝3＋5×2
＝3＋10
＝13（根）
3＋（100－1）×2
＝3＋99×2
＝3＋198
＝201（根）
所以，擺第6個圖形需要用13根同樣長的小棒。繼續(xù)擺下去，第100個圖形用201同樣長的小棒。
26．（23-24六年級上·全國·期末）如下邊圖形，想一想，第十層有( )個。
【答案】19
【思路點撥】根據(jù)題意得：第一層有1個，第二層有3個，第三層有5個，第四層有7個，第5層有9個，依次類推，下面那一層比上面一層多2個，據(jù)此可得出答案。
【規(guī)范解答】根據(jù)題意得：圖形中下面一層比上面一層多兩個，第一層有1個，第二層有3個，第三層有5個，第四層有7個，第5層有9個，可得到規(guī)律：第幾層個數(shù)＝5×層數(shù)-1，則第十層有：
10×2－1
＝20－1
＝19（個）
27．（24-25六年級上·全國·課后作業(yè)）觀察下列數(shù)據(jù)，按某種規(guī)律在括號填上適當?shù)臄?shù)：
，，，，( )，( )，…
【答案】
【思路點撥】先觀察分子的規(guī)律，分子依次是1、3、5、7，可以發(fā)現(xiàn)這些數(shù)依次增加2；再觀察分母的規(guī)律，分母依次是1、4、9、16，可以看出1＝1×1，4＝2×2，9＝3×3，16＝4×4，即分母是連續(xù)自然數(shù)的平方。
【規(guī)范解答】第五個數(shù)的分子是7＋2＝9，分母是5×5＝25，所以這個數(shù)是；
第六個數(shù)的分子是9＋2＝11，分母是6×6＝36，所以這個數(shù)是。
，，，，，
28．（23-24六年級上·江西南昌·期中）圖①是一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖形②，再分別連接圖②中間的小三角形三邊的中點，得到圖③。以此類推，第20個圖形有幾個三角形？第幾個圖形里有197個三角形？
【答案】77個；第50個圖形
【思路點撥】觀察圖形可知，第①個圖形有4×1－3＝4－3＝1個三角形，第②個圖形有4×2－3＝8－3＝5個小三角形，第③個圖形有4×3－3＝12－3＝9個小三角形，……，則第n個圖形有4×n－3＝4n－3個三角形，據(jù)此規(guī)律進行解答即可。
【規(guī)范解答】第n個圖形有三角形：4×n－3＝4n－3（個）
當n＝20時，4n－3＝4×20－3＝80－3＝77
當4n－3＝197，則：
4n－3＋3＝197＋3
4n＝200
4n÷4＝200÷4
n＝50
答：第20個圖形有77個三角形，第50個圖形里有197個三角形。
29．（24-25六年級上·全國·課后作業(yè)）爸爸開車帶明明去動物園，在去的路上，明明畫出了汽車的速度隨時間的變化情況，如圖所示。
（1）汽車行駛了（ ）分鐘，它行駛的最大速度是（ ）千米/時。
（2）出發(fā)后8分鐘到10分鐘這段時間可能出現(xiàn)什么情況？
（3）用自己的語言描述這輛車的行駛情況。
【答案】（1）16；60
（2）見詳解
（3）見詳解
【思路點撥】（1）從圖中可知，0分鐘出發(fā)，18分鐘到達動物園，途中8～10分鐘這段時間停車，所以汽車的行駛時間要用總時間減去停車的2分鐘；折線的最高點表示汽車行駛的最大速度。
（2）圖中8分鐘到10分鐘這段時間，路程為0，表示汽車停車，沒有行駛，結合生活實際，得出可能出現(xiàn)的情況。
（3）結合圖象，可以分時間段描述這輛車的行駛情況，合理即可。
【規(guī)范解答】（1）18－（10－8）
＝18－2
＝16（分）
汽車行駛了16分鐘，它行駛的最大速度是60千米/時。
（2）出發(fā)后8分鐘到10分鐘這段時間可能出現(xiàn)的情況：汽車加油或堵車等。（答案不唯一）
（3）0～2分時汽車加速行駛，速度達到60千米/時，2～6分時勻速行駛，6～8分時減速行駛，直到停下，10分時又開始加速，12分時達到60千米/時的速度，12～16分勻速行駛，16～18分開始減速直到停下，到達目的地。（答案不唯一）
30．（23-24五年級上·全國·課后作業(yè)）如下圖在一些大小相等的正方形內分別排列著一些同樣大小的圓。
（1）請觀察上圖并填寫下表。
（2）你能試著表示出第n個正方形中圓的個數(shù)嗎？用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算出第18個圖形中有多少個圓。
【答案】（1）1；4；9；16；25；36
（2）n2；324個
【思路點撥】（1）通過觀察圖，可以發(fā)現(xiàn)圓的個數(shù)依次增加。得出規(guī)律如下
圖（1）中圓的個數(shù)：1＝1×1＝12；
圖（2）中圓的個數(shù)：4＝2×2＝22；
圖（3）中圓的個數(shù)：9＝3×3＝32；
……
圖（n）中圓的個數(shù)：n×n＝n2。
因此可得：
圖（4）中圓的個數(shù)：42＝16；
圖（5）中圓的個數(shù)：52＝25；
圖（6）中圓的個數(shù)：62＝36；
（2）由（1）可得，第n個正方形中圓的個數(shù)是n2，通過發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算出第18個圖形中有182個圓，據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】（1）填表如下：
（2）n×n＝n2
182＝18×18＝324（個）
答：第n個正方形中圓的個數(shù)是n2，第18個圖形中有324個圓。季度
一季度
二季度
三季度
四季度
產(chǎn)量（噸）
250
300
350
600
圖形編號
圖（1）
圖（2）
圖（3）
圖（4）
圖（5）
圖（6）
圓的個數(shù)
圖形編號
圖（1）
圖（2）
圖（3）
圖（4）
圖（5）
圖（6）
圓的個數(shù)
1
4
9
16
25
36

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