第四講比（單元講義）-2024-2025學(xué)年六年級上冊數(shù)學(xué)舉一反三變式拓展（人教版）學(xué)生版+教師版-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

（導(dǎo)圖+知識精講+高頻易錯點(diǎn)+八大考點(diǎn)講練+難度分層練）
教學(xué)目標(biāo)：
1、經(jīng)歷從具體情境中抽象出比的過程，理解比的意義，了解比的各部分名稱，能正確讀寫比，掌握求比值的方法，并能正確求出比值。
2、通過觀察、對比、辨析，理解比和比值的聯(lián)系與區(qū)別，理解比、除法和分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，滲透變中有不變的思想。
3、能利用比的知識解釋一些簡單的生活問題，感受數(shù)學(xué)知識在實(shí)際生活中的價值。
重點(diǎn)：理解比的意義。
難點(diǎn)：在具體情境中抽象出比，理解比的意義。
TOC \t "標(biāo)題 2,1" \h \u \l "_Tc4747" 知識梳理精講 PAGEREF _Tc4747 \h 2
\l "_Tc2942" 高頻易錯點(diǎn)撥 PAGEREF _Tc2942 \h 3
\l "_Tc2314" 考點(diǎn)一：比的認(rèn)識和讀寫 PAGEREF _Tc2314 \h 4
\l "_Tc27113" 考點(diǎn)二：比的認(rèn)識和讀寫額應(yīng)用 PAGEREF _Tc27113 \h 5
\l "_Tc17081" 考點(diǎn)三：比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系 PAGEREF _Tc17081 \h 5
\l "_Tc28210" 考點(diǎn)四：比的基本性質(zhì) PAGEREF _Tc28210 \h 5
\l "_Tc4471" 考點(diǎn)五：比的化簡與求值計算 PAGEREF _Tc4471 \h 6
\l "_Tc8267" 考點(diǎn)六：比的化簡與求值的應(yīng)用 PAGEREF _Tc8267 \h 6
\l "_Tc3284" 考點(diǎn)七：比的基本性質(zhì)的應(yīng)用 PAGEREF _Tc3284 \h 7
\l "_Tc13147" 考點(diǎn)八：比的應(yīng)用 PAGEREF _Tc13147 \h 7
\l "_Tc5579" 中等題真題訓(xùn)練 PAGEREF _Tc5579 \h 8
\l "_Tc23839" 拔高題真題訓(xùn)練 PAGEREF _Tc23839 \h 11
知識梳理精講
知識點(diǎn)01：比的意義與表示
定義：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。例如，a和b的比可以表示為a:b或a/b，其中“:”是比號，讀作“比”。
比的各部分名稱：比號前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的后項(xiàng)不能為0。
比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系：比的前項(xiàng)相當(dāng)于除法的被除數(shù)、分?jǐn)?shù)的分子；比的后項(xiàng)相當(dāng)于除法的除數(shù)、分?jǐn)?shù)的分母；比值則相當(dāng)于除法的商、分?jǐn)?shù)的值。
知識點(diǎn)02：比的基本性質(zhì)
比值不變性：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。這是比的基本性質(zhì)，也是化簡比的基礎(chǔ)。
最簡單的整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)是互質(zhì)數(shù)的比，叫做最簡單的整數(shù)比。
知識點(diǎn)03：求比值與化簡比
求比值：求比值就是求比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商。比值可以用小數(shù)、分?jǐn)?shù)或整數(shù)表示。
化簡比：化簡比則是把兩個數(shù)的比化成最簡單的整數(shù)比。化簡比時，通常需要根據(jù)比的基本性質(zhì)，將比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時乘或除以某個數(shù)，使它們成為互質(zhì)數(shù)。
知識點(diǎn)04：比的化簡方法
整數(shù)比的化簡：直接找出比的前項(xiàng)和后項(xiàng)的最大公因數(shù)，然后同時除以這個最大公因數(shù)即可。
分?jǐn)?shù)比的化簡：通常需要將比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時乘它們分母的最小公倍數(shù)，變成整數(shù)比，再進(jìn)行化簡。
小數(shù)比的化簡：將比的前項(xiàng)和后項(xiàng)的小數(shù)點(diǎn)同時向右移動相同的位數(shù)，變成整數(shù)比后再進(jìn)行化簡。
混合比（既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)）的化簡：可以先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)或分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再按照上述方法進(jìn)行化簡。
知識點(diǎn)05：比的應(yīng)用
按比例分配問題：已知幾個數(shù)量的和以及它們之間的比，求這幾個數(shù)量分別是多少。這類問題通常需要先求出每一份的數(shù)量，再分別乘以各自所占的份數(shù)。
通過比解決實(shí)際問題：比的概念在生活中有廣泛應(yīng)用，如地圖上的比例尺、溶液的濃度、速度的比等。通過學(xué)習(xí)和掌握比的知識，可以更好地解決這些實(shí)際問題。
知識點(diǎn)06：連比與連比化簡
連比的定義：當(dāng)涉及到三個或更多數(shù)量的比時，稱為連比。例如，甲:乙:丙 = 5:6:7。
連比的化簡：通常需要先找到一個公共的倍數(shù)來統(tǒng)一各個比的后項(xiàng)（或前項(xiàng)），然后按照化簡比的方法進(jìn)行化簡。
高頻易錯點(diǎn)撥
易錯知識點(diǎn)01：比的意義與基本性質(zhì)理解不清
混淆比與比值：學(xué)生可能將比（如a:b）與比值（a/b的結(jié)果）混淆。比是一個表示兩個數(shù)相除關(guān)系的式子，而比值是比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，通常是一個數(shù)（分?jǐn)?shù)、小數(shù)或整數(shù)）。
比的基本性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)：在利用比的基本性質(zhì)（比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時乘或除以相同的數(shù)，0除外，比值不變）進(jìn)行化簡或計算時，學(xué)生可能會忽略“0除外”的條件，導(dǎo)致錯誤。
易錯知識點(diǎn)02：求比值與化簡比混淆
目的不明確：學(xué)生可能不清楚求比值和化簡比的區(qū)別。求比值是求比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，結(jié)果是一個數(shù)；而化簡比則是把兩個數(shù)的比化成最簡單的整數(shù)比，結(jié)果仍然是一個比。
方法錯誤：在求比值時，學(xué)生可能忘記將結(jié)果化為最簡形式；在化簡比時，可能直接求出比值而沒有保持比的形式。
易錯知識點(diǎn)03：化簡比的方法掌握不牢固
整數(shù)比化簡：對于整數(shù)比，學(xué)生可能找不到前項(xiàng)和后項(xiàng)的最大公因數(shù)，導(dǎo)致化簡不徹底。
分?jǐn)?shù)比和小數(shù)比化簡：對于分?jǐn)?shù)比和小數(shù)比，學(xué)生可能不熟悉轉(zhuǎn)化為整數(shù)比再進(jìn)行化簡的方法，或者在轉(zhuǎn)化過程中出錯。
混合比（既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)）化簡：學(xué)生可能不清楚如何處理既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的比，導(dǎo)致化簡過程復(fù)雜且易出錯。
易錯知識點(diǎn)04：比的應(yīng)用問題理解不透徹
按比例分配問題：在解決按比例分配問題時，學(xué)生可能不理解如何將總數(shù)量按照給定的比例進(jìn)行分配，或者在分配過程中計算錯誤。
實(shí)際問題建模困難：學(xué)生可能難以將實(shí)際問題抽象為比的問題，或者無法準(zhǔn)確識別問題中的比例關(guān)系。
易錯知識點(diǎn)05：連比與連比化簡的掌握不足
連比的概念不清：學(xué)生可能對連比（如a:b:c）的概念理解不清，容易將其與多個單獨(dú)的比混淆。
連比化簡方法不當(dāng)：在化簡連比時，學(xué)生可能找不到一個合適的公共倍數(shù)來統(tǒng)一各個比的后項(xiàng)（或前項(xiàng)），導(dǎo)致化簡過程復(fù)雜且易出錯。
考點(diǎn)一：比的認(rèn)識和讀寫
【精講題】（2023六上·撫順期末）既可以表示比，也可以表示比值。（）判斷對錯
【精練題1】（2023六上·合川期末）下列說法中，錯誤的是（）。
A．比、分?jǐn)?shù)和除法都可以表示兩種量的倍數(shù)關(guān)系；
B．禮盒中皮蛋、鹽蛋和鮮蛋的個數(shù)比是4：3：8，說明比還可以表示三個量的倍數(shù)關(guān)系；
C．路程和時間的比是240：7，說明兩個量的比可以表示一種新的量；
D．小明收集的猴票和牛票的張數(shù)比是16：13，說明小明收集的牛票就是13張。
【精練題2】（2020六上·通榆期末）1.2：1.8=2：3，1.2是比的（）。
A．前項(xiàng)B．后項(xiàng)C．比值
考點(diǎn)二：比的認(rèn)識和讀寫額應(yīng)用
【精講題】（2022六上·衡山期中）教室里有20名同學(xué)，男、女生人數(shù)的比可能是（）
A．2：3B．5：2C．7：8
【精練題1】（2021六上·惠城）填空
（1）買6支鋼筆共付72元。
付的錢數(shù)與買的鋼筆支數(shù)的比是。
（2）合唱組共有32人，其中女生20人，男生12人。
女生人數(shù)與男生人數(shù)的比是，女生人數(shù)與全組人數(shù)的比是。
【精練題2】（2020六上·槐蔭期末）大圓的半徑是7厘米，小圓的半徑3厘米，大圓與小圓的周長比是，面積比是。
考點(diǎn)三：比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系
【精講題】（2023六上·鹿邑期中）10： =＝ ÷20＝＝（填小數(shù)）
【精練題1】9÷24= = ＝（填小數(shù)）。
【精練題2】（2023六上·洪山期末）9÷ ＝0.6＝：20＝（填最簡分?jǐn)?shù)）＝ %。
考點(diǎn)四：比的基本性質(zhì)
【精講題】（2024六上·義烏期末）若3：8的前項(xiàng)加6，要使比值不變，則后項(xiàng)應(yīng)加上。
【精練題1】（2024六上·寶安期末）把4：5這個比的前項(xiàng)加上8，要使比值不變，比的后項(xiàng)應(yīng)該（）
A．加上8B．乘C．加上15D．乘3
【精練題2】（2024六上·坪山期末）如果將8：9比的前項(xiàng)加上16，要使比值不變，后項(xiàng)應(yīng)加上18。（）判斷對錯
考點(diǎn)五：比的化簡與求值計算
【精講題】（2024六上·義烏期末）化簡比。
4.5：20%= 25公頃：
【精練題1】（2024六上·鄆城期末）化簡比。
36∶24 0.18∶2 40分∶時
【精練題2】（2024六上·寶安期末）化簡比。
3.6：＝ 2.5噸：400千克＝
考點(diǎn)六：比的化簡與求值的應(yīng)用
【精講題】（2024六上·慈溪期末）搭載“天舟四號”的長征七號新一代火箭液氧煤油的加注時間比原來火箭減少30%，下列說法正確的是（）。
A．原來火箭的加注時間比新一代多30%
B．原來火箭和新一代的加注時間比是7：10
C．新一代火箭和原來的加注時間比是10：13
D．原來火箭的加注時間比新一代多
【精練題1】（2024六上·淮濱月考）若男生人數(shù)占全班人數(shù)的，則女生人數(shù)與全班人數(shù)的比是，女生人數(shù)比男生人數(shù)少。
【精練題2】（2023六上·玉環(huán)期中）地球表面陸地面積和海洋面積之比是29：71，其中陸地面積的在北半球，那么南北半球海洋面積之比是（）。
A．2：1B．46：29C．121：29D．121：92
考點(diǎn)七：比的基本性質(zhì)的應(yīng)用
【精講題】（2024六上·康巴什期末）下列說法錯誤的有（）個。
①一件商品，連續(xù)兩次降價5%，現(xiàn)價相當(dāng)于原價的90%。②面積相等的兩個圓，周長不一定相等。③4：5后項(xiàng)增加10，要使比值不變，前項(xiàng)應(yīng)增加8。④一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)的商一定比原來的數(shù)大。
A．1B．2C．3D．4
【精練題1】（2022六上·贛州期中）下面說法錯誤的有（）個。
⑴比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘一個相同的數(shù)，比值不變。
⑵3千克鐵的和1千克棉花的同樣重。
⑶麗麗家在貝貝家北偏東45°的方向，那么貝貝家在麗麗家的東偏北45°方向。
⑷某件商品的原件是100元，先提價，再降價，還是賣100元。
A．1B．2C．3D．4
【精練題2】（2020六上·下城期末）一個三角形的三個內(nèi)角分別用∠1、∠2和∠3表示，如果∠1：∠2=2：5，∠1：∠3=1：1，那么三個內(nèi)角中最大的角是多少度？
考點(diǎn)八：比的應(yīng)用
【精講題】（2024六上·義烏期末）某學(xué)?？萍忌鐖F(tuán)男生人數(shù)的等于女生人數(shù)的，那么男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是；若男生比女生多3人，則科技社團(tuán)一共有人。
【精練題1】（2024六上·寶安期末）用240cm長的鐵絲焊接成一個長方體框架（鐵絲無剩余，接頭處忽略不計）。已知長與寬的比為2：1，寬與高的比為1：3，這個長方體的寬為 cm，體積為 cm3。
【精練題2】（2024六上·象山期末）修一條公路，已修的路程與未修的路程比是1：4，如果再修全長的又6千米，那么已修的路程與未修的路程比是2：1。這條公路全長多少千米?（畫一畫圖，再列式。）
中等題真題訓(xùn)練
1．（2024六下·陸河期末）一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)比是1：2：3，這個三角形是（）三角形。
A．銳角B．直角C．鈍角
2．（2024六上·金東期末）三角形三個內(nèi)角的度數(shù)比是2：3：5，這個三角形是（）三角形。
A．等腰B．銳角C．直角D．鈍角
3．（2024六上·蕭山月考）小明有故事書50本，小紅的故事書比小明少10本，下面說法錯誤的是（）。
A．小明、小紅故事書本數(shù)比是5：4
B．小紅的故事書本數(shù)是小明的80%
C．小紅的故事書本數(shù)比小明少25%
D．小明的故事書本數(shù)是小紅的125%
4．（2024六下·期中）一個等腰三角形的兩個內(nèi)角的度數(shù)比是1：4，頂角可能是，也可能是．
5．（2024六上·連南期末）小紅媽媽用18克川貝和360克雪梨做了一道藥膳，川貝和雪梨的最簡整數(shù)比是，比值是。
6．（2024六上·瑤海期末）鹽和水按1：199的比配置成的鹽水具有抑制、殺滅常見細(xì)菌和病毒的作用，這種鹽水的含鹽率是；現(xiàn)在有鹽15克，可配置這樣的鹽水克。
7．（2024六上·河北期末）把下面的此化成最簡單的整數(shù)比，并求出比值。
0.14：8.2 2.5千克：400克
0.75：：
8．（2024六上·慈溪期末）李大伯在墻邊圍一塊長方形菜地，籬笆的總長度是160米，菜地長和寬的比是3：1，這塊長方形菜地的面積是多少平方米?
9．（2024六上·南山期末）中國鐵路的發(fā)展見證了新中國的滄桑巨變，高鐵已成為中國的一張名片。由我國自主研發(fā)的“和諧號”動車組與“復(fù)興號”高鐵的速度比是5：7，“和諧號”動車組每小時比“復(fù)興號”高鐵少行100千米?！皬?fù)興號”高鐵每小時行多少千米?
（2024六上·黔江期末）某工廠計劃2024年第一季度生產(chǎn)1800個零件。先把的任務(wù)分給甲車間，其余按3∶2分給乙、丙兩個車間，甲乙兩個車間各生產(chǎn)多少個零件？
11．（2021六上·福田期末）如圖，大、小兩個圓。
（1）如果大圓半徑是6厘米，小圓半徑是4厘米。那么，大圓直徑與小圓直徑的比是；大圓周長與小圓周長的比是；大圓面積與小圓面積的比是。
（2）如果大圓半徑是m厘米，小圓半徑是n厘米。那么，大圓直徑與小圓直徑的比是；大圓周長與小圓周長的比是；大圓面積與小圓面積的比是。
12．（2020六上·香坊期末）網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，三角形和長方形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上。
（1）在圖1的網(wǎng)格中按2：1畫出網(wǎng)格中三角形放大后的圖形①；
（2）在圖2的網(wǎng)格中按1：2畫出網(wǎng)格中長方形縮小后的圖形②；
（3）請直接寫出圖形①的面積與圖形2的面積的最簡整數(shù)比為。
拔高題真題訓(xùn)練
13．（2023六上·如皋月考）六（2）班上學(xué)期男、女人數(shù)的比是4 ： 5，全班人數(shù)在40～50之間；下學(xué)期轉(zhuǎn)走了3名女生，下學(xué)期女生人數(shù)和全班人數(shù)的比是（）。
A．4：9B．5：9C．11：21D．10：21
14．（2023六上·杭州）圖形m和n的面積比與其它三個選項(xiàng)不同的是（）。
A．B．
C．D．
15．（2024六上·巴南期末）一杯果汁，喝去后用水加滿，又喝去，再用水加滿，這時杯子里水和果汁的比是。
16．（2024六上·長沙期末）《莊子?天下》中寫道：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭?！币馑季褪钦f：“一根一尺長的木棍，如果第一天截取它的長度的一半，以后每天截取它剩下的一半，那么永遠(yuǎn)截取不完。”按照這種截取的方法，在第四天截取完后，這根木棍截取的部分與剩余部分的比是。（填寫最簡整數(shù)比）
17．（2023六上·錢塘）如圖，兩個圓A，B重疊，重疊部分的面積是A的，是B的，如果A的面積比B的面積少12平方厘米，那么B的面積是平方厘米。
（2023六上·上思）⑴畫一個長方形，面積是32平方厘米，長與寬的比是2∶1。
⑵畫一個長方形，周長是28厘米，長與寬的比是4∶3。
19．（2024六上·印江期末）從2022年秋季學(xué)期開始，我國把勞動課正式確定為義務(wù)教育課程。其中日常生活勞動包括清潔與衛(wèi)生、整理與收納、烹飪與營養(yǎng)、家用器具使用與維護(hù)四個任務(wù)群。小美跟媽媽學(xué)做面包，下圖表示這種面包所用材料的份數(shù)。
（1）要做160克這樣的面包，三種材料各需多少克？
（2）如果這三種材料都有50千克，當(dāng)奶油用完時，白糖還剩多少千克？面粉需增加多少千克？
（2024六上·龍崗期末）一輛小汽車從甲地開往乙地，已走的路程與剩下路程的比是3：7，這時離中點(diǎn)還有120千米。甲地到乙地的路程有多少千米？
（2024六上·英山期末）一輛長途客車只有40%的座位坐了人，如果再增加16人，則已坐座位和空座的比是4：1。這輛車共有多少個座位？
22．（2019六上·浦口期末）笑笑把1500毫升果汁倒入9個小杯和2個大杯，正好都倒?jié)M。
（1）如果1個小杯與1個大杯容量的比是1：3，把小杯全部替換成大杯，1500毫升果汁能倒?jié)M 大杯。
（2）如果1個大杯比1個小杯多裝200毫升，把大杯全部替換成小杯，11個小杯裝的果汁比1500毫升少毫升。

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