【知識梳理】2
【真題自測】4
【考點突破】13
【考點1】基本事實的應(yīng)用13
【考點2】空間位置關(guān)系的判斷21
【考點3】異面直線所成的角28
【分層檢測】35
【基礎(chǔ)篇】35
【能力篇】47
【培優(yōu)篇】52
考試要求：
1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.
2.了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題.
知識梳理
1.與平面有關(guān)的基本事實及推論
(1)與平面有關(guān)的三個基本事實
(2)基本事實1的三個推論
2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
3.基本事實4和等角定理
平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.
4.異面直線所成的角
(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)范圍：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.
2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.
真題自測
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設(shè)為兩個平面，為兩條直線，且.下述四個命題：
①若，則或 ②若，則或
③若且，則 ④若與,所成的角相等，則
其中所有真命題的編號是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
2．（2024·天津·高考真題）若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，，則B．若，則
C．若，則D．若，則與相交
3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全國·高考真題）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
5．（2022·全國·高考真題）已知正方體，則（ ）
A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為D．直線與平面ABCD所成的角為
6．（2021·全國·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（ ）
A．B．
C．D．
三、解答題
7．（2021·北京·高考真題）如圖：在正方體中，為中點，與平面交于點．
（1）求證：為的中點；
（2）點是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值．
8．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.
【詳解】對①，當(dāng)，因為，，則，
當(dāng)，因為，，則，
當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因為，，則且，故①正確；
對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；
對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，
因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，
同理可得，則，因為平面，平面，則平面，
因為平面，，則，又因為，則，故③正確；
對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；
綜上只有①③正確，
故選：A.
2．C
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷CD的正誤.
【詳解】對于A，若，，則平行或異面或相交，故A錯誤.
對于B，若，則平行或異面或相交，故B錯誤.
對于C，，過作平面，使得，
因為，故，而，故，故，故C正確.
對于D，若，則與相交或異面，故D錯誤.
故選：C.
3．A
【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長關(guān)系即可比較大小．
【詳解】如圖所示，過點作于，過作于，連接，
則，，，
，，，
所以，
故選：A．
4．D
【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.
【詳解】
如圖，連接，因為∥，
所以或其補角為直線與所成的角，
因為平面，所以，又，，
所以平面，所以，
設(shè)正方體棱長為2，則，
，所以.
故選：D
5．ABD
【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進行判斷即可.
【詳解】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，
因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；
連接，因為平面，平面，則，
因為，，所以平面，
又平面，所以，故B正確；
連接，設(shè)，連接，
因為平面，平面，則，
因為，，所以平面，
所以為直線與平面所成的角，
設(shè)正方體棱長為，則，，，
所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；
因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.
故選：ABD
6．BC
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.
【詳解】設(shè)正方體的棱長為，
對于A，如圖（1）所示，連接，則，
故（或其補角）為異面直線所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A錯誤.
對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正確.
對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，
故，故C正確.
對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，
則，
因為，故，故，
所以或其補角為異面直線所成的角，
因為正方體的棱長為2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D錯誤.
故選：BC.
7．（1）證明見解析；（2）．
【分析】(1)首先將平面進行擴展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點即可證得題中的結(jié)論；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實數(shù)的值.
【詳解】(1)如圖所示，取的中點，連結(jié)，
由于為正方體，為中點，故，
從而四點共面，即平面CDE即平面，
據(jù)此可得：直線交平面于點，
當(dāng)直線與平面相交時只有唯一的交點，故點與點重合，
即點為中點.
(2)以點為坐標(biāo)原點，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，
則：，
從而：，
設(shè)平面的法向量為：，則：
，
令可得：，
設(shè)平面的法向量為：，則：
，
令可得：，
從而：，
則：，
整理可得：，故（舍去）.
【點睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
8．（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；
（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．
【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．
（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
又為中點，所以.
由（1）得平面，所以平面的一個法向量
從而直線與平面所成角的正弦值為．
【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，
題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得出．
考點突破
【考點1】基本事實的應(yīng)用
一、單選題
1．（2002·全國·高考真題）已知，為異面直線，平面，平面，，則（ ）
A．與，都相交B．與，中至少一條相交
C．與，都不相交D．至多與，中的一條相交
2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點，平面與棱交于點N.給出下面幾個結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（ ）
①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①②B．③④C．①④D．①②④
二、多選題
3．（2023·河北·模擬預(yù)測）如圖，已知正方體的棱長為1，O為底面 ABCD的中心，交平面于點E，點 F為棱CD的中點，則（ ）
A．三點共線B．異面直線 BD與所成的角為
C．點到平面的距離為D．過點的平面截該正方體所得截面的面積為
4．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，，分別為，的中點，則（ ）
A．，，三條直線不可能交于一點，平面平面
B．，，三條直線一定交于一點，平面平面
C．直線與直線異面，平面平面
D．直線與直線相交，平面平面
三、填空題
5．（2024·山東濟南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，則平面截該四棱柱所得截面的周長為 ．
6．（2021·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，D，E分別為，分如中點，則過點A，D，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線的長為 ．
參考答案：
1．B
【分析】由題意畫出滿足條件的圖象，結(jié)合圖象得到正確選項.
【詳解】若與都不相交，則，，則，這與是異面直線矛盾；
故C不正確；
如圖，與中的一條相交，另一條不相交，

也可以與兩條都相交，但不交于同一點，如圖

綜上：與中的至少一條相交.
故選：B
2．C
【分析】通過幾何性質(zhì)得出四邊形的形狀，由線線、線面垂直即可得出直線和平面與平面的關(guān)系.
【詳解】對于①，因為平面與棱交于點，所以四點共面，
在正方體中，由平面平面，
又平面平面，平面平面，所以，
同理可得，故四邊形一定是平行四邊形，故①正確
對于②，在正方體中，面，
因為面，所以，
若是正方形， 有，，
若不重合，則與矛盾，
若重合，則不成立，故②錯誤；
對于③，因為平面，，
若直線與平面垂直，則直線，顯然矛盾，
所以平面與直線不可能垂直，故③錯誤
對于④，因為平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理：，又平面，平面，，
所以平面，因為平面，所以平面平面，故④正確.
綜上所述，正確的有①④.
故選：C.
3．ACD
【分析】由題意可證得三點都在平面與平面的交線上，可判斷A；由題意可證得平面，從而，可判斷B；由題意可證得平面，則的長度就是點到平面的距離，求解可判斷C；取的中點，因為，所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.
【詳解】因為為底面ABCD的中心，所以為BD和AC的中點，則，
因為平面平面，所以平面平面，
所以點是平面與平面的公共點；
顯然是平面與平面的公共點；
因為交平面于點平面，
所以也是平面與平面的公共點，
所以三點都在平面與平面的交線上，即三點共線，故A正確；
因為平面平面ABCD，所以，
又平面，
所以平面，又平面，
所以，即異面直線BD與所成的角為，故B不正確；
根據(jù)證明的方法，同理可得，
因為平面，
所以平面，則的長度就是點到平面的距離，
顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為1，
所以正三角形的邊長為，所以，
又，所以,
即點到平面的距離為，故C正確；
取的中點，連，因為，
所以等腰梯形就是過點的平面截該正方體所得截面，如圖：
因為，，
所以等腰梯形的高為，
所以等腰梯形的面積為，
即過點的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確．
故選：ACD．
4．BC
【分析】證明出面面，判斷出多面體為三棱臺，由棱臺的結(jié)構(gòu)特征得到，，三條直線一定交于一點.判斷A，B；先證明出平面平面，由平面與平面不平行，得到平面與平面不垂直，判斷C，D.
【詳解】在正方體中，平面，
則.又，，所以平面，
又平面，所以平面平面.
因為，分別為，的中點，所以，
，，，
，，所以多面體為三棱臺，
所以，，三條直線一定交于一點，故A錯誤，B正確；
由題意知與相交，所以與異面，
因為平面，平面，
所以平面平面，又平面與平面不平行，
所以平面與平面不垂直，故C正確，D錯誤.
故選：BC.
5．
【分析】作出輔助線，得到平面截該四棱柱所得截面為五邊形，求出各邊邊長，相加得到答案.
【詳解】延長相交于點，連接交于點，連接，
因為正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，
所以，，，
因為∽，，故，，
在上取點，連接，則，
同理可知，所以四邊形為平行四邊形，
故四點共面，
則平面截該四棱柱所得的截面為五邊形，
，，
同理，
故截面周長為.

故答案為：
6．
【分析】首先根據(jù)平行線將平面進行擴展得到過點A，D，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線為，確定點為線段的三等分點靠近的點，最后在直角三角形中求得線段的長度即可.
【詳解】由題意將直三棱柱補成一個直四棱柱,
取中點，連接,顯然，
取中點，連接，則，
所以A，D，F(xiàn)，E四點共平面，連接與的交點為，連接
所以過點A，D，F(xiàn)，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線為，
因為，且,
所以點為線段的三等分點靠近的點，
因為，所以，
又D為中點，所以，
因為面,所以，
則.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查截面問題，如需要將平面進行擴展，一般有兩種方法，一是通過做平行線進行擴展，一種是找相交直線確定交線上的點進行擴展，在備考中注意多總結(jié).
反思提升：
共面、共線、共點問題的證明
(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).
(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.
(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.
【考點2】空間位置關(guān)系的判斷
一、單選題
1．（2023·浙江嘉興·二模）已知正方體的棱長為為空間內(nèi)一點且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點，則（ ）
A．1B．C．D．
2．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知，，是三條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
二、多選題
3．（2024·浙江·三模）已知平面，，直線，若，，與所成的角為，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．內(nèi)垂直a的直線必垂直于
B．內(nèi)的任意直線必垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線
C．b與所成的角為
D．b與內(nèi)的任意一條直線所成的角大于等于
4．（23-24高二上·湖北恩施·期中）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則（ ）
A．異面直線與所成角的余弦值為
B．點為正方形內(nèi)一點，當(dāng)平面時，的最大值為
C．過點，，的平面截正方體所得的截面周長為
D．當(dāng)三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為
三、填空題
5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是兩個不同的平面，是平面外兩條不同的直線，給出四個條件：①；②；③；④，以下四個推理與證明中，其中正確的是 .（填寫正確推理與證明的序號）
（1）已知②③④，則①成立
（2）已知①③④，則②成立
（3）已知①②④，則③成立
（4）已知①②③，則④成立
6．（2022·北京平谷·模擬預(yù)測）設(shè)棱長為2的正方體，是中點，點、分別是棱、上的動點，給出以下四個結(jié)論：
①存在；
②存在平面；
③存在無數(shù)個等腰三角形；
④三棱錐的體積的取值范圍是.
則所有結(jié)論正確的序號是 .
參考答案：
1．D
【分析】由題意知平面平面，可先令為中點，再證明當(dāng)點為中點時，滿足平面平面，即可輕易得出的值.
【詳解】因為為空間內(nèi)一點且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點，
所以∥平面,而平面，故平面平面.
在正方體中，如圖所示，取中點為,中點為,連接，
假設(shè)為中點，則為等腰三角形，中點為,所以;
又因為,,所以，
中點為,中點為,所以,而,所以，，平面，
所以平面，平面,所以；
因為，，,平面，
所以平面，平面，所以平面平面，符合題意，
故為中點，.
故選：D.
2．D
【分析】根據(jù)空間中的線線，線面，面面關(guān)系一一分析即可.
【詳解】對于A項，需要加上與相交才符合線面垂直的判定定理，故A錯誤；
對于B項，有可能，故B錯誤；
對于C項，與沒有關(guān)系，斜交?垂直平行都有可能，故C錯誤；
對于D項，若，，則，而，故，故D正確.
故選：D.
3．ABD
【分析】由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可判斷AB；線面位置關(guān)系可判斷C；由最小角定理可判斷D．
【詳解】對于A選項，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，內(nèi)垂直a的直線必垂直于β，A正確；
對于B選項，在內(nèi)作的垂線，則此垂線必垂直于，
自然也就垂直內(nèi)的任意直線，這種垂線可以作無數(shù)條，所以B正確；
對于C選項，b與所成的角為，但b與的位置關(guān)系不確定，不能確定b與β所成的角，
特殊情況下可以是，所以C錯誤；
對于D選項，由最小角定理可知，線面角是線與面內(nèi)的任意直線所成角中的最小的角，故D正確．
故選：ABD．
4．ACD
【分析】對于A：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在中即為異面直線與所成的角，即可判定；對于B：取的中點的中點，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過作，此時取得最小值，即可判定；對于C：過點的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設(shè)，，以為原點，分別以方向為軸?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，，的坐標(biāo)，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長，即過點的平面截正方體所得的截面周長，即可判定；對于D：取的中點，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定.
【詳解】對于A選項，，
在中即為異面直線與所成的角，
，
異面直線與所成的角的余弦值為．故A正確；
對于B選項，取的中點的中點，取的中點，連接，，，

四邊形為平行四邊形，，，，
同理可得，
又面，面，面，面，
面，面，
又，面，
面面，
又面，面，
軌跡為線段，
在中，過作，此時取得最小值，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
如圖，在中，，
即的最小值為，而的最大值為．故B錯誤；
對于C選項，過點的平面截正方體，
平面平面，則過點的平面必與與交于兩點，
設(shè)過點的平面必與與分別交于、，
過點的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，
如圖過點的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，
如圖以為原點，分別以方向為軸?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
則，，，，，
，，，，
，，
，解得，
，，，，
在中，，，，同理：，
在中，，，，同理：
在中，，，
，
即過點的平面截正方體所得的截面周長為．故C正確；
對于D選項，如圖所示，取的中點，則，過作，
且使得，則為三棱錐的外接球的球心，
所以為外接球的半徑，
在中，，
，
．故D項正確，
故選：ACD．
【點睛】關(guān)鍵點睛：通過證明面面平行得到動點的軌跡，利用空間向量法確定點的位置是B、C的關(guān)鍵.
5．（1）（3）
【分析】由線面平行，垂直的判定定理和性質(zhì)定理，以及面面平行的判定，性質(zhì)定理判斷即可，不正確的舉出一個反例即可.
【詳解】（1）若，，所以，因為，所以，（1）正確；
（2）若，，且是平面外的直線，則，又因為，所以與平行或相交，（2）錯誤；
（3）因為，，則，又因為，是平面外的直線，所以，（3）正確；
（4）若，，且是平面外的直線，則，又因為，則與平行或相交，（4）錯誤.
故答案為：（1）（3）
6．③④
【分析】結(jié)合正方體的性質(zhì)，利用棱錐的體積公式以及空間向量的坐標(biāo)運算逐一判斷即可.
【詳解】對于①：取中點P，當(dāng)點N在上移動時，直線平面，同時當(dāng)點M在直線AB上移動時平面，因為，故與不可能平行，①錯誤.
對于②：如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，,設(shè)，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則即，令得，所以，
所以，故與平面不垂直，②錯誤.
對于③：令即，化簡得，即，，，因為，所以該式在的范圍中存在無數(shù)組解，故說明有無數(shù)組可使，故③正確.
對于④：根據(jù)等體積性質(zhì)可知，所以該三棱錐高可以看作，所以體積的取值范圍即底面積的取值范圍，根據(jù)點M位置的變化可知，當(dāng)點M在A點時最小，當(dāng)點M在B點時最大，計算得，，所以，故④正確.
故答案為：③④
反思提升：
空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面，平行和垂直的判定.異面直線的判定可采用直接法或反證法；平行直線的判定可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、基本事實4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.
【考點3】異面直線所成的角
一、單選題
1．（2024·江西南昌·二模）在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，是異面直線，B．，是相交直線，
C．，是異面直線，與不垂直D．，是相交直線，與不垂直
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，在該正方體中，下列命題正確的是（ ）

A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為．若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點分別旋轉(zhuǎn)至點處，且四點共面，點分別位于兩側(cè)，則下列說法中正確的是（ ）

A．多面體存在外接球B．
C．平面D．點運動所形成的最短軌跡長大于
4．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，點在線段上運動，則（ ）
A．平面平面
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線與所成角的取值范圍是
D．當(dāng)為的中點時，三棱錐的外接球的表面積為
三、填空題
5．（2024·上海崇明·二模）已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個不同的點，是母線．若直線與所成角的大小為，則 ．
6．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如圖，已知，是相互垂直的兩條異面直線，直線與，均相互垂直，且，動點，分別位于直線，上，若直線與所成的角，三棱錐的體積的最大值為 .
參考答案：
1．A
【分析】先用定理判斷，是異面直線，再證明與垂直，連接，即可得到平面，取的中點，連接，，從而得到、，即可證明平面，從而得解．
【詳解】顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點的直線是異面直線．
下面證明與垂直：
證明：因為平面，平面，
所以，
因為，分別為的中點，連接，
所以，
因為，平面，
所以平面，
如圖：取的中點，連接，，
因為平面，所以，
又因為，所以，
因為，
所以，
又因為為的中點，所以，
因為，平面，
所以平面，
又因為平面，所以．
故選：A．
2．A
【分析】將正方體的展開圖重新組合成正方體，對選項逐個分析，判斷易得只有A選項正確.
【詳解】如圖所示，將展開圖重新組合成正方體. 顯然. 因此A選項正確.

由圖易得，顯然與所成角非直角，因此異面直線與所成角也非直角，所以不成立. 因此B、C選項不正確.
由圖易得，顯然與相交，因此不成立. 因此D選項不正確.
故選：A
3．BCD
【分析】若多面體存在外接球，則球心必為的外心，由即可判斷A；正三棱錐中側(cè)棱互相垂直且相等，正三棱錐中側(cè)棱互相垂直且相等，將正三棱錐放到正方體中，即可判斷BCD．
【詳解】若多面體存在外接球，則球心必為的外心，連接，，
則，平面，又平面，所以，
所以，
因為，所以多面體不存在外接球，故選項A錯誤；

因為正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為，
則正三棱錐中側(cè)棱兩兩互相垂直且相等，正三棱錐中側(cè)棱兩兩互相垂直且相等，
所以正三棱錐可以放到正方體中，當(dāng)點分別旋轉(zhuǎn)至點處，且四點共面，點分別位于兩側(cè)時，如圖所示，
易知四邊形為平行四邊形，則，
又平面，且平面，所以平面，故C正確；
因為四邊形為正方形，所以，所以，故B正確；

設(shè)交于點，則互相平分，，，
在中，，同理可得，
在中，，所以，
又因為點運動的最短軌跡是以的中點為圓心，半徑為的圓弧，
所以點運動所形成的最短軌跡長大于．故選項D正確．
故選：BCD．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題BC選項的關(guān)鍵是利用線面平行的判定得到平面，D選項的關(guān)鍵是得到點運動的最短軌跡是以的中點為圓心，半徑為的圓弧.
4．ABD
【分析】直接利用正方體的性質(zhì)，幾何體的體積公式, 異面直線的夾角和外接球的表面積公式逐項判斷即可.
【詳解】對于，由正方體的性質(zhì)，在、上的射影分別為、，
而，，則，，，
又平面ACD1
所以面，平面，所以平面平面，故正確；
對于，因為，平面，
所以點到平面的距離為定值，又的面積不變，
所以三棱錐的體積為定值，故正確；
對于，因為，
所以異面直線與所成的角就是直線與所成的角，
因為是等邊三角形，
當(dāng)與線段的兩個端點重合時，直線與所成的角最小為，
當(dāng)與線段的中點重合時，直線與所成的角最大為，
所以所求角的范圍是，故錯誤；
對于，該正四面體的外接球即為正方體外接球，，
故所求球的表面積為，故正確.
故選：.
5．
【分析】因為，且，得到直線與所成角即為直線與所成角在直角中，即可求解.
【詳解】如圖所示，因為，且
則直線與所成角即為直線與所成角的大小為，可得,
在直角中，可得，即.
故答案為：.
6．/
【分析】根據(jù)直線三條直線兩兩垂直，將圖形還原為長方體，再根據(jù)，可得即為直線與所成的角的平面角，由此可求得，從而可得，再根據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】因為直線三條直線兩兩垂直，
如圖，將圖形還原為長方體，
因為，所以即為直線與所成的角的平面角，
則，
因為平面，平面，所以，
在中，由，得，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，
所以三棱錐的體積的最大值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)直線三條直線兩兩垂直，將圖形還原為長方體，從特殊幾何體入手是解決本題的關(guān)鍵.
反思提升：
1.綜合法求異面直線所成角的步驟：
(1)作：通過作平行線得到相交直線.
(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補角).
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.
2.向量法：利用向量的數(shù)量積求所成角的余弦值.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·安徽蕪湖·三模）下列說法正確的是（ ）
A．正方體各面所在平面將空間分成27個部分
B．過平面外一點，有且僅有一條直線與這個平面平行
C．若空間中四條不同的直線滿足，則
D．若為異面直線，平面平面，且與相交，若直線滿足，則必平行于和的交線
2．（2024·上?！と＃┤鐖D，點N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段EB的中點，則（ ）
A．DM≠EN，且直線DM、EN是異面直線
B．DM＝EN，且直線DM、EN是異面直線
C．DM≠EN，且直線DM、EN是相交直線
D．DM＝EN，且直線DM、EN是相交直線
3．（2020·四川眉山·二模）給出以下四個命題：
①依次首尾相接的四條線段必共面；
②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；
③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；
④垂直于同一直線的兩條直線必平行.
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（2024·山東日照·一模）已知l，m是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（ ）
A．若l與不平行，則l與m一定是異面直線
B．若，則l與m可能垂直
C．若，且，則l與m可能平行
D．若，且l與不垂直，則l與m一定不垂直
二、多選題
5．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（ ）
A．B．
C．與成60°角D．與是異面直線
6．（2024·山西運城·一模）設(shè)a、b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
7．（2024·廣東深圳·二模）已知m，n是異面直線，，，那么（ ）
A．當(dāng)，或時，
B．當(dāng)，且時，
C．當(dāng)時，，或
D．當(dāng)，不平行時，m與不平行，且n與不平行
三、填空題
8．（20-21高二上·山西太原·階段練習(xí)）下列命題中正確的命題為 .
①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則三點共線；
②若三條直線互相平行且分別交直線于三點，則這四條直線共面；
③若直線異面，異面，則異面；
④若，則.
9．（2024·江蘇南通·二模）已知二面角為直二面角，，，，，則與，所成的角分別為，，與所成的角為 .
10．（2005·山東·高考真題）已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④m，n是兩條異面直線，若，則．
上面的命題中，真命題的序號是 ．（寫出所有真命題的序號）
四、解答題
11．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在正四面體A-BCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，點G，H分別在CD，AD上，且，．
(1)求證：直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，且這個交點在直線BD上；
(2)若，求點B到平面EFGH的距離．
12．（2023·廣東汕頭·二模）如圖，正方體中，直線平面，，.
(1)設(shè)，，試在所給圖中作出直線，使得，并說明理由；
(2)設(shè)點A與（1）中所作直線確定平面.
①求平面與平面ABCD的夾角的余弦值；
②請在備用圖中作出平面截正方體所得的截面，并寫出作法.
參考答案：
1．A
【分析】利用空間關(guān)系，可以判斷AB，對于C可用正方體模型來舉反例，對于D也是舉反例.
【詳解】對于A，利用四個側(cè)面將空間分成九個部分，再由上下底面又將空間分成上中下三層，所以可以將空間分成27個部分，故A是正確的；
對于B，因為過平面外一點可以作一個平面與該平面平行，在這個平行平面內(nèi)有無數(shù)條過該點的直線都與已知平面平行，故B是錯誤的；
對于C，
在正方體中，把看成，把看成，把看成，把看成，
它們滿足，但不滿足，故C是錯誤的；
對于D，由平面平面，且與相交于，則，
即滿足條件，但此時與重合，它們不平行，故D是錯誤的；
故選：A.
2．D
【分析】連接，可得是的中點，可得與相交，進而可證，從而可得，從而可得.
【詳解】連接，
因為點N為正方形ABCD的中心，所以是的中點，
所以平面，所以與相交，
因為四邊形ABCD是正方形，所以，
又因為平面平面，平面平面，
所以平面，因為平面，所以，
又因為是等邊三角形，所以，
所以，所以，又因為是的中點，
所以.
故選：D.
3．B
【解析】用空間四邊形對①進行判斷；根據(jù)公理2對②進行判斷；根據(jù)空間角的定義對③進行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對④進行判斷.
【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.
②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.
③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么
這兩個角相等或互補，故③錯誤.
④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.
故選：B
【點睛】本小題考查空間點，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.
4．B
【分析】根據(jù)空間中線、面位置關(guān)系分析逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：若l與不平行，則l與的位置關(guān)系有：相交或直線在平面內(nèi)，
且，則l與m的位置關(guān)系有：平行、相交或異面，故A錯誤；
對于選項B：若，則l與m可能垂直，
如圖所示：，可知：，故B正確；

對于選項C：若，且，，則l與m異面，故C錯誤；
對于選項D：若，且l與不垂直，則l與m可能垂直，
如圖，取為平面，，

符合題意，但，故D錯誤；
故選：B.
5．BCD
【分析】由展開圖翻折成正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷直線間的位置關(guān)系．
【詳解】展開圖翻折成的正方體如圖所示，因為，，因此，所以A錯誤；同理，，所以，B正確；
或其補角是與所成的角，又△是等邊三角形，所以，所以與所成的角是，C正確.
又平面，且與不平行，故與是異面直線，D正確.
故選：BCD.
6．BCD
【分析】利用空間中線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系，分別判斷即可.
【詳解】對于選項A，因為，所以或與相交或與異面，故選項A錯誤；
對于選項B，因為，根據(jù)垂直于同一平面的兩直線平行，所以，故選項B正確；
對于選項C，因為，所以與內(nèi)的某條直線平行，又，所以，
又，，所以，故選項C正確；
對于選項D，因為，所以與內(nèi)的某條直線平行，
因為，所以直線與內(nèi)的某條直線平行，所以，
因為，，所以，故選項D正確.
故選：BCD.
7．AB
【分析】根據(jù)線線、線面和面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項依次判斷即可.
【詳解】A：當(dāng)，時，；
當(dāng)，時，，故A正確；
B：當(dāng)，時，又為異面直線，所以，故B正確；
C：當(dāng)時，由，得或與相交；
當(dāng)時，由，得或與相交，故C錯誤；
D：當(dāng)不平行時，可能或與相交，或與相交，故D錯誤.
故選：AB
8．①②
【分析】根據(jù)三點共線和共面的性質(zhì)、異面直線的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對于①，設(shè)平面平面，因為，所以平面，
所以，同理，，故三點共線，①正確；
對于②，因為，所以可以確定一個平面，
因為所以，所以，又，
所以，因為，所以或，又，
所以不成立，所以，即這四條直線共面，所以②正確；
對于③，直線異面，異面，但是平行，所以③錯誤，如下右圖；
對于④，，但，所以④錯誤，如下左圖.
故正確的命題為①②.
故答案為：①②
9．/
【分析】如圖，設(shè)，根據(jù)勾股定理求得，，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線線角即可.
【詳解】如圖，
，則兩兩垂直.
作，垂足分別為，連接，
則，
所以為與的所成角，為與的所成角，
即，，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，得，
，所以，取，
則，又，
所以，即與所成的角為.
故答案為：
10．③④
【分析】利用平面與平面平行的判定和性質(zhì)可判斷各命題的真假．
【詳解】若，則m與n平行或異面，故①錯誤；
，但m與n不一定相交，不一定成立，故②錯誤；
若，則，又由，則，故③正確；
m，n是兩條異面直線，若，則過m的平面與平面相交于直線，有，過n的平面與平面相交于直線，有，m，n異面，一定相交，，如圖所示，
由面面平行的判定可知，故④正確；
故答案為：③④
11．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)公理2的推論可知，E，F(xiàn)，G，H四點共面，再根據(jù)公理3即可證出；
（2）根據(jù)等積法即可求出．
【詳解】（1）因為，，所以，又，所以，故E，F(xiàn)，G，H四點共面，且直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，設(shè)，因為，平面ABD，所以M∈平面ABD，同理：平面BCD，而平面平面，故平面BCD，即直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，且這個交點在直線BD上．
（2）連結(jié)EG，BG，點B到平面EFGH的距離為d，正四面體的棱長為2易知該正四面體的高為，所以E到平面BFG的距離為，在△CFG中，由余弦定理可得：，在等腰梯形EFGH中可得：G到EF的距離為，而G到BF的距離也為，則．
由可得：，故點B到平面EFGH的距離為．
12．(1)答案見解析；
(2)①；②答案見解析.
【分析】（1）取和中點分別為P、Q，利用正方體的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理可得平面，進而即得；
（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得；設(shè)直線交于，連接分別交于，進而可得截面.
【詳解】（1）由題意，P、Q分別為和的中點時，有，
證明過程如下：連接，取和中點分別為P、Q，連接，
∵，∴一定過經(jīng)過點E,∴PQ即為所求作的l.
∵P、Q分別為和的中點，∴P、Q為的中位線，
∴，且PQ過經(jīng)過點E，
∵正方體的的上底面為正方形.
∴，∵，∴，
又∵正方體的側(cè)棱垂直底面，，
∴，又∵，平面，.
∴平面，∵平面，
∴，即；
（2）①連接AP，AQ，∵正方體中，有AD，DC，DD兩兩垂直，以D點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)正方體邊長為2，則有，，，，，
所以，，
∵正方體的側(cè)棱垂直底面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.
設(shè)平面，即平面APQ的法向量，則，.
∴，，即
令，則，.
∴平面APQ的一個法向量.
，，，
設(shè)平面與平面ABCD的夾角的平面角為，
則；
②設(shè)直線交于，連接分別交于，連接，則平面即為平面截正方體所得的截面，如圖所示.
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·天津和平·三模）已知正方體的棱長為6，點，分別在棱，上，且滿足，點為底面的中心，過點，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則（ ）
A．若，則B．若，則與為異面直線
C．若，則D．若，則
三、填空題
3．（2006·四川·高考真題），是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同平面，下面有四個命題：
①，，；
②，，
③，，；
④，，．
其中真命題的編號是 ．
四、解答題
4．（2024·浙江·三模）在四棱錐中，，，，，、分別為直線，上的動點.
(1)若異面直線與所成的角為，判斷與是否具有垂直關(guān)系并說明理由；
(2)若，，求直線與平面所成角的最大值.
參考答案：
1．A
【分析】由于上下底平行，則可得平面與上下底面的交線平行，則可得為平面與上底面的交線，為平面與下底面的交線，則梯形為平面截正方體的截面，可證得梯形為等腰梯形，根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系求解即可.
【詳解】連接，，與交點即為，
因為，所以‖，
因為‖，所以‖，
所以共面，
所以平面截正方體所得的截面為梯形，
因為正方體的棱長為6，且，
所以，
在中，，則，
在中，，則
，
在，，則
，
過作于，則，
所以,
所以等腰梯形的面積為
,
故選：A

2．AD
【分析】運用線面平行的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理可推理A項正確，利用線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理可推理D項正確，B , C兩項可以通過舉反例說明其錯誤.
【詳解】對于A項，因，經(jīng)過直線可作平面，使，則，因，則，又，故得，即A項正確；
對于B項，若，則與可能相交、平行或異面，故B項錯誤；
對于C項，若，則或，故C項錯誤；
對于D項，因，經(jīng)過直線可作平面，使，則，又，，則，故得，即D項正確．
故選：AD．
3．①④
【解析】利用在內(nèi)有與平行的直線，判斷①正確；因為，，根據(jù)可能，判斷②錯誤；由可能且，判斷③錯誤；由，，，可得，判斷④正確.
【詳解】①因為，；所以在內(nèi)有與平行的直線，又，則，故①正確；
②因為，，所以，又因為，則可能，故②錯誤；
③因為，，，所以可能且，故③錯誤；
④因為，，，所以，故④正確.
故答案為：①④
【點睛】本題考查空間內(nèi)的直線與平面的平行關(guān)系和垂直關(guān)系，是基礎(chǔ)題.
4．(1)答案見解析，理由見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接，，即可說明，則（或其補角）為異面直線與所成的角，分和兩種情況討論，利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可求出線面角的最大值.
【詳解】（1）取的中點，連接，，
因為，，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以（或其補角）為異面直線與所成的角，
①當(dāng)時，在中，，，
由余弦定理可知，
所以，所以，所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，所以.
②當(dāng)，假設(shè)，則由①有平面，
因為平面，所以，，
這與相矛盾，故此時與不垂直.
綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，與不垂直.
（2）由，點是中點，可得，
從而由可得，
又，
所以，即，
因為，由（1）有，
所以，
所以兩兩互相垂直，
故可以為坐標(biāo)原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
故，，，，.
因為，設(shè)平面的法向量為，則有
設(shè)，則，又，所以有
令，則，故平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，則
，
令，則
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
（當(dāng)且僅當(dāng)，時取“＝”）.又，所以.
綜上所述，直線與平面所成角的最大值為.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長為，下列說法中正確的個數(shù)有（ ）
①異面直線與所成的角為45°；
②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為；
③若點為棱上的動點，則的最小值為；
④若點為四邊形的中心，點為此八面體表面上動點，且，則動點的軌跡長度為.
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平行六面體的所有棱長都相等，，，，，且點E，F(xiàn)滿足，，平面α過點A，E，F(xiàn)，則（ ）
A．
B．的面積是
C．平面α與平面的交線長為
D．點C到平面α的距離是點到平面α的距離的5倍
三、填空題
3．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在正方體中，是棱的中點，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，若直線分別與所成的角為，則 ， .
參考答案：
1．B
【分析】對①：借助等角定理，找到與平行，與相交的線段，計算即可得；對②：借助外接球與內(nèi)切球的性質(zhì)計算即可得；對③：空間中的距離和的最值問題可將其轉(zhuǎn)化到同意平面中進行計算.對④，計算的值，并比較它們的大小，即可得出當(dāng)點在平面內(nèi)時，點在三角形的內(nèi)切圓上運動，結(jié)合對稱性即可驗算.
【詳解】對①：連接，取中點，連接、，
由題意可得、為同一直線，、、、四點共面，
又，故四邊形為菱形，
故，故異面直線與所成的角等于直線與所成的角，
即異面直線與所成的角等于，故①錯誤；
對②：由四邊形為正方形，有，
故四邊形亦為正方形，即點到各頂點距離相等，
即此八面體的外接球球心為，半徑為，
設(shè)此八面體的內(nèi)切球半徑為，
則有，化簡得，
則此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為，故②正確；
對③：將延折疊至平面中，如圖所示：
則在新的平面中，、、三點共線時，有最小值，
則，故③錯誤.
對于④，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為，則由等面積法，有，
解得，
由②可知，點到平面的距離為，
所以，
這表明當(dāng)點在平面內(nèi)時，點在三角形的內(nèi)切圓上運動，
它的周長是，
根據(jù)對稱性可知動點的軌跡長度為，故④正確.
正確的編號有②④.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題④中，關(guān)鍵點在于得出當(dāng)點在平面內(nèi)時，點在三角形的內(nèi)切圓上運動，根據(jù)對稱性即可順利得解.
2．ACD
【分析】根據(jù)空間向量的模長關(guān)系的運算，即可得六面體的棱長，從而確定的面積，即可判斷B；連接AC，交BD于點O，連接，根據(jù)線面關(guān)系可得平面，再由即可得，即可判斷A；根據(jù)空間中直線與平面的關(guān)系，確定平面α與平面的交線，即可求長度，從而判斷C；根據(jù)線段長度關(guān)系，可得點C到平面α的距離是點到平面α的距離的倍數(shù)關(guān)系，即可判斷D.
【詳解】由題意知．將的兩邊平方，得，
所以，即平行六面體的棱長為2，所以是邊長為2的正三角形，
其面積為，B錯誤．
如圖，連接AC，交BD于點O，連接，
則，．又，AC，平面，所以平面．
又平面，所以．因為，所以，A正確．
連接AE，EF，延長EF與的延長線交于點G，則，所以．
過點G作AE的平行線，與交于點H，與交于點M，連接AM，則平面α與平面的交線即為MH．
易知，，．
在中，由余弦定理，得
，C正確．
由可得點C到平面α的距離是點到平面α的距離的5倍，D正確．
故選：ACD．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平行六面體與空間向量、空間中的直線與平面的關(guān)系問題.解決本題的關(guān)鍵是利用空間向量的運算確定平行六面體的棱長、角度關(guān)系，從而可結(jié)合平行六面體的線面關(guān)系得線線垂直、得面面交線、得點到平面的距離關(guān)系.
3． /0.5 /
【分析】利用平面基本事實作出直線，進而求出；利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合等角定理，再利用和角的正切計算即得.
【詳解】在正方體中，是棱的中點，
延長與延長線交于點，連接，則直線即為直線，，
由，得，又，于是，
由平面平面，平面平面，平面平面，
則，又，因此，，
所以.
故答案為：；
【點睛】關(guān)鍵點睛：利用平面的基本事實作出直線是求出角的關(guān)鍵.
基本事實
內(nèi)容
圖形
符號
基本
事實1
過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面
A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α
基本
事實2
如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
基本
事實3
如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
推論
內(nèi)容
圖形
作用
推論1
經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面
確定平面的依據(jù)
推論2
經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面
推論3
經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面
直線與直線
直線與平面
平面與平面
平行關(guān)系
圖形
語言
符號
語言
a∥b
a∥α
α∥β
相交關(guān)系
圖形
語言
符號
語言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
獨有關(guān)系
圖形
語言
符號
語言
a，b是
異面直線
a?α

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