【知識(shí)梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】5
【考點(diǎn)1】直線與平面平行的判定與性質(zhì)5
【考點(diǎn)2】平面與平面平行的判定與性質(zhì)7
【考點(diǎn)3】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用10
【分層檢測】12
【基礎(chǔ)篇】12
【能力篇】15
【培優(yōu)篇】17
考試要求：
從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.
知識(shí)梳理
1.直線與平面平行
(1)直線與平面平行的定義
直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.平面與平面平行
(1)平面與平面平行的定義
沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論
(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.
2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化
真題自測
一、解答題
1．（2024·全國·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到的距離.
2．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
3．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
4．（2022·全國·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．
(1)證明：平面；
(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．
5．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】直線與平面平行的判定與性質(zhì)
一、單選題
1．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知，是空間內(nèi)兩條不同的直線，，，是空間內(nèi)三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，，則或
2．（2024·內(nèi)蒙古·三模）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且則“”是“且”的（ ）
A．充分不必要條件B．充分必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)E、F，G分別在棱，，上，滿足，，記平面與平面的交線為l，則（ ）
A．，平面
B．平面截正方體所得截面圖形為六邊形的充分不必要條件是
C．時(shí)，三棱錐的外接球表面積為
D．時(shí)，直線l與平面所成角的正弦值為
4．（2023·遼寧沈陽·二模）在正方體中，，點(diǎn)P在正方體的面內(nèi)（含邊界）移動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)直線平面時(shí)，則直線與直線成角可能為
B．當(dāng)直線平面時(shí)，P點(diǎn)軌跡被以A為球心，為半徑的球截得的長度為
C．若直線與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長度為
D．當(dāng)直線時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)B，P，的平面被正方體所截，截面面積的取值范圍為
三、解答題
5．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且．
(1)設(shè)線段中點(diǎn)為，證明：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離等于，如果存在，求的長．
6．（2024·北京順義·三模）如圖在幾何體ABCDFE中，底面ABCD為菱形，，，，.
(1)判斷AD是否平行于平面CEF，并證明；
(2)若面面；求：
（?。┢矫媾c平面CEF所成角的大??；
（ⅱ）求點(diǎn)A到平面CEF的距離.
反思提升：
(1)判斷或證明線面平行的常用方法
①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).
②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).
③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).
④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).
(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線.
【考點(diǎn)2】平面與平面平行的判定與性質(zhì)
一、單選題
1．（2024·安徽安慶·三模）在正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)三點(diǎn)作該正方體的截面，則（ ）
A．該截面多邊形是四邊形
B．該截面多邊形與棱的交點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)
C．平面
D．平面平面
2．（2024·福建南平·二模）在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與平面平行，平面平面，平面平面，則，所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正方體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)的曲率為分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線平面
B．在三棱柱中，點(diǎn)的曲率為
C．在四面體中，點(diǎn)的曲率小于
D．二面角的大小為
4．（2024·河北保定·二模）如圖1，在等腰梯形中，，，，，，將四邊形沿進(jìn)行折疊，使到達(dá)位置，且平面平面，連接，，如圖2，則（ ）

A．B．平面平面
C．多面體為三棱臺(tái)D．直線與平面所成的角為
三、解答題
5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，四邊形是底面的內(nèi)接正方形，分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面為.
(1)證明：平面平面；
(2)若圓錐的底面圓半徑為2，高為，設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐的體積.
6．（2024·山東濰坊·三模）如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小．
反思提升：
1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).
2.面面平行條件的應(yīng)用
(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.
(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.
【考點(diǎn)3】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（2022·北京朝陽·一模）在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示，，，兩兩垂直，（單位：），小明同學(xué)計(jì)劃通過側(cè)面內(nèi)任意一點(diǎn)將木塊鋸開，使截面平行于直線和，則該截面面積（單位：）的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·新疆·二模）已知，，為三條不同的直線，，，為三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，，則
C．若，，，，則
D．若，，，則
二、多選題
3．（2024·湖南益陽·三模）如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)點(diǎn)P在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變
B．當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍為
C．使直線AP與平面ABCD所成角為的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為
D．若F是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，PF長度的最小值為
4．（2024·湖北·二模）如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（ ）

A．動(dòng)點(diǎn)軌跡的長度為
B．三棱錐體積的最小值為
C．與不可能垂直
D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為
三、解答題
5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)．
(1)證明： ∥平面；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．
6．（2024·貴州·模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，是上一點(diǎn)，且，連接與，為中點(diǎn).
(1)過點(diǎn)的平面平行于平面且與交于點(diǎn)，求；
(2)若平面平面，且，求點(diǎn)到平面的距離.
反思提升：
三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知兩條直線m，n和三個(gè)平面α，β，γ，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，，，則
2．（2024·貴州貴陽·二模）設(shè)為直線，為平面，則的一個(gè)充要條件是（ ）
A．內(nèi)存在一條直線與平行B．平行內(nèi)無數(shù)條直線
C．垂直于的直線都垂直于D．存在一個(gè)與平行的平面經(jīng)過
3．（2024·全國·三模）已知，是兩個(gè)不同的平面，m，l是兩條不同的直線，若，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正方體中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
二、多選題
5．（2024·吉林·二模）已知 為兩條不同的直線，兩個(gè)不同的平面，且，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
6．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面的兩條對(duì)角線恰好為圓的兩條直徑，分別為的中點(diǎn)，且，則下列說法中正確的有（ ）
A．平面
B．平面平面
C．
D．直線與所成的角為
7．（2020·山東泰安·一模）是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)命題其中正確的命題有（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么與所成的角和與所成的角相等
三、填空題
8．（2023·四川涼山·三模）在棱長為2的正方體中，若E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為 ．
9．（2022·廣西貴港·三模）正方體的棱長為，，，分別為，，的中點(diǎn)，給出下列四
個(gè)命題：
①上底邊的中點(diǎn)在平面內(nèi)
②直線與平面不平行
③平面截正方體所得的截面面積為
④點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等．
錯(cuò)誤的命題是 ．
10．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E、F、G分別為棱、、的中點(diǎn)，P是底面ABCD上的一點(diǎn)，若平面GEF，則下面的4個(gè)判斷
①點(diǎn)P的軌跡是一段長度為的線段；
②線段的最小值為；
③；
④與一定異面．
其中正確判斷的序號(hào)為 ．
四、解答題
11．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在正四棱柱中，，，E為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)F．
(1)證明：F為的中點(diǎn)；
(2)求直線AC與平面所成角的余弦值．

12．（23-24高三上·北京東城·期末）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·四川攀枝花·三模）在一個(gè)圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)， 為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑， 是底面圓的內(nèi)接正三角形，
①平面；
②平面；
③圓錐的側(cè)面積為；
④三棱錐的內(nèi)切球表面積為．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
2．（2024·湖北黃岡·二模）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列說法中正確的是（ ）
A．平面
B．若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段
C．若，則四面體的體積為定值
D．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為
三、填空題
3．（2023·貴州黔東南·三模）如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是 .（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①若，則平面；
②若，則直線與所成角的余弦值為；
③若，則的最大值為；
④若平面與正方體各個(gè)面都相交，且，則截面多邊形的周長一定為.
四、解答題
4．（2024·云南昆明·三模）如圖，在三棱臺(tái)中，上、下底面是邊長分別為2和4的正三角形，平面，設(shè)平面平面，點(diǎn)分別在直線和直線上，且滿足，．
(1)證明：平面；
(2)若直線和平面所成角的正弦值為，求該三棱臺(tái)的高．
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖所示是一個(gè)以為直徑，點(diǎn)為圓心的半圓，其半徑為4，為線段的中點(diǎn)，其中，，是半圓圓周上的三個(gè)點(diǎn)，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該半圓圍成一個(gè)以為頂點(diǎn)的圓錐的側(cè)面，則在該圓錐中下列結(jié)果正確的是（ ）
A．為正三角形B．平面
C．平面D．點(diǎn)到平面的距離為
二、多選題
2．（2024·福建·模擬預(yù)測）已知正方體，分別是邊上（含端點(diǎn)）的點(diǎn)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，直線相對(duì)于正方體的位置唯一確定
B．當(dāng)時(shí)，直線相對(duì)于正方體的位置唯一確定
C．當(dāng)平面時(shí)，直線相對(duì)于正方體的位置唯一確定
D．當(dāng)平面平面時(shí)，直線相對(duì)于正方體的位置唯一確定
三、解答題
3．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段與上，且，.
(1)若平面平面，求、的值；
(2)若平面，求的最小值.
文字語言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
a?α，b?α，a∥b?a∥α
性質(zhì)定理
一條直線和一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
文字語言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β
性質(zhì)
兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面
α∥β，a?α?a∥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b

相關(guān)試卷

專題39 空間直線、平面的垂直-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）：

這是一份專題39 空間直線、平面的垂直-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用），文件包含專題39空間直線平面的垂直-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測新高考專用原卷版docx、專題39空間直線平面的垂直-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測新高考專用解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共84頁， 歡迎下載使用。

專題35 數(shù)列求和-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）：

這是一份專題35 數(shù)列求和-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用），文件包含專題35數(shù)列求和-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測新高考專用原卷版docx、專題35數(shù)列求和-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測新高考專用解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共52頁， 歡迎下載使用。

專題31 復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）：

這是一份專題31 復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用），文件包含專題31復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測新高考專用原卷版docx、專題31復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測新高考專用解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共40頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）

專題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）
第38講 向量中的隱圓 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）

第38講 向量中的隱圓 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）
專題31 復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）

專題31 復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）
專題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）

專題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部