目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18021" 【考點(diǎn)一 分類討論思想在線段的計(jì)算中的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc18021 \h 1
\l "_Tc1603" 【考點(diǎn)二 分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc1603 \h 6
\l "_Tc18326" 【考點(diǎn)三 整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問(wèn)題】 PAGEREF _Tc18326 \h 12
\l "_Tc3145" 【考點(diǎn)四 整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】 PAGEREF _Tc3145 \h 18
【考點(diǎn)一 分類討論思想在線段的計(jì)算中的應(yīng)用】
例題：（23-24七年級(jí)下·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）已知線段，直線上有一點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）已知線段，點(diǎn)C在直線上，且，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，則 ．
2．（23-24七年級(jí)上·北京·期末）已知是直線上的點(diǎn)，線段，，是線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為 ．
3．（23-24七年級(jí)下·山東日照·開(kāi)學(xué)考試）已知三點(diǎn)在同一直線上，線段是線段的中點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)等于 ．
4．（23-24七年級(jí)上·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，有公共端點(diǎn)P的兩條線段，組成一條折線，若該折線上一點(diǎn)Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)Q叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．已知點(diǎn)D是折線的“折中點(diǎn)”，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，，，則線段的長(zhǎng)為 ．
5．（23-24七年級(jí)上·湖北隨州·期末）如圖，線段的長(zhǎng)為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且．圖中共有 條線段；若為直線上一點(diǎn)，且，則的值為 ．
【考點(diǎn)二 分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】
例題：（22-23七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）已知，，平分，平分，則 ．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23七年級(jí)上·湖南湘西·期末）已知，過(guò)O點(diǎn)作射線，，使得，是的平分線，則的度數(shù)為 ．
2．（23-24七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）已知，平分平分，則的度數(shù)是 ．
3．（22-23七年級(jí)上·海南三亞·期末）已知，在同一平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作射線平分，平分的度數(shù)為 ．
4．（23-24七年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，點(diǎn)G為直線上一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線始終平分；當(dāng)，三條射線中有一條是另外兩條射線所成夾角的平分線時(shí)，的度數(shù)為 ．
5．（23-24六年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）如圖，已知是內(nèi)部的一條射線，圖中有三個(gè)角：，和，當(dāng)其中一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，稱射線為的“巧分線”．如果，是的“巧分線”，則的度數(shù)為 ．
【考點(diǎn)三 整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問(wèn)題】
例題：（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）A，B 兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點(diǎn) A 對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，且．動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t）．

(1)當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為 ，點(diǎn) P 表示的有理數(shù)為 ；
(2)當(dāng)時(shí)，求t的值；
(3)M為線段的中點(diǎn)，N 為線段 的中點(diǎn)．在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出線段的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24七年級(jí)上·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)在線段上，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．
(1)若，求線段的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)為線段上任一點(diǎn)，其它條件不變，你能猜想線段與的數(shù)量關(guān)系嗎？并說(shuō)明你的理由；
(3)若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，你上述猜想的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)畫(huà)出圖形，直接寫(xiě)出你的結(jié)論．
2．（22-23六年級(jí)下·山東泰安·期中）（1）已知線段，點(diǎn)線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求：
①如圖1，若點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；
②如圖2，若點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖3，若點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．求：的值．
【考點(diǎn)四 整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】
例題：（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）【問(wèn)題驅(qū)動(dòng)】已知O是直線上的一點(diǎn)，，平分．
（1）如圖1，若，求的度數(shù)；
（2）如圖1，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____（用含有的式子表示）不必說(shuō)明理由；
【拓廣探索】
（3）將圖1中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究和度數(shù)之間的關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．
（4）將圖1中的繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其它條件不變，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____（用含有的式子表示），不必說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，已知平分平分．
(1)如圖， ___________；
(2)將繞O點(diǎn)向下旋轉(zhuǎn)，使，其他條件不變，能否求出的度數(shù)？若能，求出其值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若，仍然分別作的平分線，，能否求出的度數(shù)？若能，求的度數(shù)；若不能，試說(shuō)明理由．
2．（22-23七年級(jí)上·遼寧鞍山·期末）如圖，已知，，平分，平分．
(1)求的度數(shù)．
(2)若將題干中的改為，其余條件不變，求的度數(shù)；
(3)若將題干中的改為（β為銳角），其余條件不變，求的度數(shù)．
(4)從前面的結(jié)果中，你能得出什么結(jié)論？
3．（23-24七年級(jí)上·貴州六盤(pán)水·期末）如圖①所示，，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放置在O點(diǎn)，平分．
(1)若，則______，______．
(2)如果，，試判斷，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
(3)如圖②當(dāng)直角三角板繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得在的內(nèi)部，在的外部，若，，，是否還存在（2）中的數(shù)量關(guān)系，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不存在，請(qǐng)求出，的數(shù)量關(guān)系．
4．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·期末）綜合與探究
【問(wèn)題情境】
將一副三角尺按如圖1所示位置擺放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分別作的角平分線．
【初步探究】
現(xiàn)將三角尺按照?qǐng)D2，圖3所示的方式擺放，仍然是的角平分線．在圖2中與重合，在圖3中與重合在一起．
（1）計(jì)算：圖2中的度數(shù)為_(kāi)__________°，圖3中的度數(shù)為_(kāi)__________°（直接寫(xiě)出答案）．
【深入探究】
（2）通過(guò)初步探究，請(qǐng)你猜想圖1中的度數(shù)為_(kāi)__________°．
如果設(shè)，請(qǐng)求出圖1中的度數(shù)．
【類比拓展】
（3）再將三角尺按照?qǐng)D4所示的方式擺放，仍然是的平分線．請(qǐng)你求出的度數(shù)．
第04講 思想方法專題：線段與角計(jì)算中的思想方法
(4類熱點(diǎn)題型講練)

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\l "_Tc1603" 【考點(diǎn)二 分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc1603 \h 6
\l "_Tc18326" 【考點(diǎn)三 整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問(wèn)題】 PAGEREF _Tc18326 \h 12
\l "_Tc3145" 【考點(diǎn)四 整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】 PAGEREF _Tc3145 \h 18
【考點(diǎn)一 分類討論思想在線段的計(jì)算中的應(yīng)用】
例題：（23-24七年級(jí)下·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）已知線段，直線上有一點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為
【答案】27或35
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】根據(jù)題意可分當(dāng)點(diǎn)C在線段上和點(diǎn)C在線段外，且在點(diǎn)A的左邊，然后根據(jù)線段的中點(diǎn)及線段的和差可進(jìn)行求解．
本題主要考查線段的和差及線段中點(diǎn)的性質(zhì)，熟練掌握線段的和差及線段中點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：①如圖，
線段，直線上有一點(diǎn)，且，
，
∵為的中點(diǎn)，
，
；
②如圖，
線段，直線上有一點(diǎn)，且，
，
∵為的中點(diǎn)，
，
，
綜上所述，的長(zhǎng)為27或35．
故答案為：27或35．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）已知線段，點(diǎn)C在直線上，且，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，則 ．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、兩點(diǎn)間的距離、線段的和與差
【分析】本題考查的是線段的和差計(jì)算，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
分當(dāng)點(diǎn)C在線段上和點(diǎn)C在線段的反向延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義、結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，
∵，，
∴，
∵點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，
∴
∴；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵，，
∴，
∵點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，
∴，
∴，
綜上所述，或．
故答案為：或．
2．（23-24七年級(jí)上·北京·期末）已知是直線上的點(diǎn)，線段，，是線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為 ．
【答案】5或11
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題考查的是與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段計(jì)算，掌握線段中點(diǎn)的定義、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，分別畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形利用線段和差求解即可．
【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，
，
又，，
點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
；
（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，
，
又，，
點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
．
綜上，的長(zhǎng)為5或11．
故答案為：5或11．
3．（23-24七年級(jí)下·山東日照·開(kāi)學(xué)考試）已知三點(diǎn)在同一直線上，線段是線段的中點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)等于 ．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)運(yùn)算以及線段的和差運(yùn)算，分類討論且結(jié)合圖形進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．
【詳解】解：∵三點(diǎn)在同一直線上，線段是線段的中點(diǎn)，
∴
∵，
∴
如圖：
∴
或
故答案為：或
4．（23-24七年級(jí)上·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，有公共端點(diǎn)P的兩條線段，組成一條折線，若該折線上一點(diǎn)Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個(gè)點(diǎn)Q叫做這條折線的“折中點(diǎn)”．已知點(diǎn)D是折線的“折中點(diǎn)”，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，，，則線段的長(zhǎng)為 ．
【答案】4或24
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“折中點(diǎn)”的定義分情況求出的長(zhǎng)度即可．
【詳解】①如圖，，，
∵點(diǎn)D是折線的“折中點(diǎn)”，
∴，
∵點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖，，，
∵點(diǎn)D是折線的“折中點(diǎn)”，
∴，
∵點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，
∴
∴，
∴，
∴；
綜上所述，的長(zhǎng)為4或24，
故答案為：4或24．
5．（23-24七年級(jí)上·湖北隨州·期末）如圖，線段的長(zhǎng)為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且．圖中共有 條線段；若為直線上一點(diǎn)，且，則的值為 ．
【答案】 6 或
【知識(shí)點(diǎn)】線段之間的數(shù)量關(guān)系、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、兩點(diǎn)間的距離、線段的和與差
【分析】本題主要考查了線段的數(shù)量問(wèn)題、線段的中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和差等知識(shí)點(diǎn)，明確各線段間的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)線段的定義寫(xiě)出所有的線段，然后統(tǒng)計(jì)條數(shù)即可解答；分點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上和點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別運(yùn)用線段的和差關(guān)系即可解答．
【詳解】解：圖中的線段有：共6條線段，
故答案為：6；
∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，
∴，
∵，
∴點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上和點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線，
如圖:當(dāng)點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上時(shí)，則，
∵，
∴，解得：，
∴,
∴，
∴；
如圖:當(dāng)點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上時(shí)，則，
∵，
∴，解得：，
∴,
∴，
∴．
故答案為：或．
【考點(diǎn)二 分類討論思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用】
例題：（22-23七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）已知，，平分，平分，則 ．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的角的運(yùn)算．分類討論是解答此題的關(guān)鍵．
分射線在內(nèi)部和外部?jī)煞N可能來(lái)解答．
【詳解】解：當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，如圖，
， 平分，
，
∵，平分，
∴，
；
當(dāng)射線在外部時(shí)，如圖，
， 平分，
，
∵，平分，
∴，
，
故答案為：或．
【變式訓(xùn)練】
1．（22-23七年級(jí)上·湖南湘西·期末）已知，過(guò)O點(diǎn)作射線，，使得，是的平分線，則的度數(shù)為 ．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題
【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，分當(dāng)在外部時(shí)和當(dāng)在內(nèi)部時(shí)兩種情況求解即可．
【詳解】當(dāng)在外部時(shí)，如圖，
∵，，
∴．
∵是的平分線，
∴．
當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖，
∵，，
∴．
∵是的平分線，
∴．
綜上可知，的度數(shù)為或．
2．（23-24七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）已知，平分平分，則的度數(shù)是 ．
【答案】30°或
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)題意畫(huà)出滿足條件的兩種情況即可求解．
【詳解】解：如圖所示：第一種情況如下圖
∵，
∴
∵平分平分，
∴
∴
第二種情況如圖
此時(shí)，
故答案為：30°或
3．（22-23七年級(jí)上·海南三亞·期末）已知，在同一平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作射線平分，平分的度數(shù)為 ．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算
【詳解】本題主要考查角平分線的定義，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義可得，分三種情況討論，結(jié)合的度數(shù)可求解．
【解答】解：當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，如圖，
∵射線平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
當(dāng)射線在的外部且在射線上方時(shí)，如圖，
∵射線平分，平分，
∴，
∵，
∴；
當(dāng)射線在的外部且在射線下方時(shí)，如圖，
∵射線平分，平分，
∴，
，
，
，
；
綜上，的度數(shù)為或，
故答案為：或．
4．（23-24七年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，點(diǎn)G為直線上一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線始終平分；當(dāng)，三條射線中有一條是另外兩條射線所成夾角的平分線時(shí)，的度數(shù)為 ．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計(jì)算，分平分和平分兩種情況進(jìn)行討論求解即可．理清角度之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，當(dāng)平分時(shí)：則：，
∵平分；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度數(shù)為；
當(dāng)平分時(shí)，則：，
∵平分；
∴，
∴，
∴，
∴；
綜上：的度數(shù)為或；
故答案為：或．
5．（23-24六年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）如圖，已知是內(nèi)部的一條射線，圖中有三個(gè)角：，和，當(dāng)其中一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，稱射線為的“巧分線”．如果，是的“巧分線”，則的度數(shù)為 ．
【答案】或或
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題考查了角的定義和巧分線定義，正確理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵．
分3種情況，根據(jù)巧分線定義即可求解．
【詳解】解：∵，是的“巧分線”，
則由“巧分線”的定義可知有三種情況符合題意：
①，此時(shí)；
②，此時(shí)；
③，此時(shí)；
∴的度數(shù)為或或．
故答案為：或或．
【考點(diǎn)三 整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問(wèn)題】
例題：（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）A，B 兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點(diǎn) A 對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，且．動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t）．

(1)當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為 ，點(diǎn) P 表示的有理數(shù)為 ；
(2)當(dāng)時(shí)，求t的值；
(3)M為線段的中點(diǎn)，N 為線段 的中點(diǎn)．在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)2，；
(2)或；
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離
【分析】本題主要是考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，線段的和差運(yùn)算和線段的中點(diǎn)的定義，只要能夠畫(huà)出圖形就可以輕松解決，但是要注意考慮問(wèn)題要全面．
（1）根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度，即可求出；
（2）當(dāng)時(shí)，要分兩種情況討論，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)或是右側(cè)；
（3）分兩種情況結(jié)合中點(diǎn)的定義可以求出線段的長(zhǎng)度不變．
【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，
所以當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為2，
因?yàn)辄c(diǎn) A 對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，，
所以點(diǎn)P表示的有理數(shù)為；
（2）解：當(dāng)，要分兩種情況討論，
點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以?br>點(diǎn)P在點(diǎn)B的是右側(cè)時(shí)，，所以；
（3）解：MN長(zhǎng)度不變且長(zhǎng)為5．
理由如下：當(dāng)在線段上時(shí)，如圖，

∵M(jìn)為線段 的中點(diǎn)，N 為線段的中點(diǎn)，
∴，，
∴ ，
∵，
∴．
當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

同理可得：；
綜上：．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24七年級(jí)上·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)在線段上，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．
(1)若，求線段的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)為線段上任一點(diǎn)，其它條件不變，你能猜想線段與的數(shù)量關(guān)系嗎？并說(shuō)明你的理由；
(3)若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，你上述猜想的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)畫(huà)出圖形，直接寫(xiě)出你的結(jié)論．
【答案】(1)
(2)；理由見(jiàn)解析
(3)成立；理由見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題考查了線段的和差，利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡(jiǎn)潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．
（1）根據(jù)“點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)”，先求出、的長(zhǎng)度，再利用即可求出的長(zhǎng)度即可；
（2）當(dāng)C為線段上一點(diǎn)，且M，N分別是的中點(diǎn)，可表示線段、的長(zhǎng)度，再利用，則；
（3）點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)M、N分別為的中點(diǎn)，即可求出的長(zhǎng)度．
【詳解】（1）解：∵，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴，
∵，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴線段的長(zhǎng)度為5；
（2）解：．理由如下：
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，
∴，，
∴；
（3）解：成立，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖：
則，
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴，
∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，
∴，
∴．
2．（22-23六年級(jí)下·山東泰安·期中）（1）已知線段，點(diǎn)線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求：
①如圖1，若點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；
②如圖2，若點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖3，若點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．求：的值．
【答案】（1）①，②的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析；（2）
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算：
（1）①根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，可得，即可求解；
②根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，可得，即可求解；
（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，可得，再由，可得，即可求解．
【詳解】解：（1）①點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)，
，，
∴，
，
；
②的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，理由：
點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)，
，，
∴，
，
；
（2）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
，
，
，
∴，
，
．
3．（23-24七年級(jí)下·黑龍江大慶·開(kāi)學(xué)考試）如圖（1），已知點(diǎn)C在線段上，且．
(1)若，求線段的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)C為線段上任意一點(diǎn)，其他條件不變，且滿足，求線段 的長(zhǎng)；
(3)如圖（2），若點(diǎn)C為線段延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，且滿足，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)12
(2)
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題主要考查了線段的和差計(jì)算：
（1）先求出，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；
（2）先求出，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；
（3）先求出，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：解：∵，，
∴．
4．（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）【感悟體驗(yàn)】如圖，三點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，請(qǐng)僅用一把圓規(guī)在圖中確定點(diǎn)的位置．
【認(rèn)識(shí)概念】在同一直線上依次有四點(diǎn)，且，那么稱與互為“對(duì)稱線段”，其中為的“對(duì)稱線段”，亦為的“對(duì)稱線段”．
如圖，下列情形中與互為“對(duì)稱線段”的是 （直接填序號(hào)）．
；；．
【運(yùn)用概念】如圖，與互為“對(duì)稱線段”，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且．
（1）若，求的長(zhǎng)；
（2）若，求的長(zhǎng)；
【拓展提升】如圖，在同一直線上依次有四點(diǎn)，且（為常數(shù)），點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上且．是否存在的值使得的長(zhǎng)為定值？若存在，請(qǐng)求出的值以及這個(gè)定值（用含的代數(shù)式表示）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】【感悟體驗(yàn)】畫(huà)圖見(jiàn)解析；【認(rèn)識(shí)概念】；【運(yùn)用概念】（1），（2），【拓展提升】當(dāng)時(shí),為定值．
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】【感悟體驗(yàn)】 ：以點(diǎn)為圓心以長(zhǎng)度為半徑交直線于點(diǎn)即可求解；
【認(rèn)識(shí)概念】，故①不符合題意； ，，故不符合題意；設(shè)，則，同理可得，即可求解；
【運(yùn)用概念】
設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，則點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，，
則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，即可求解；
【拓展提升】設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，則點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為：，，求出 ，即可求解；
本題考查了幾何變換，涉及到新定義、中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用等，準(zhǔn)確設(shè)定點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是解題的關(guān)鍵.
【詳解】【感悟體驗(yàn)】：以點(diǎn)為圓心以長(zhǎng)度為半徑交直線于點(diǎn)
則點(diǎn)為所求點(diǎn)，如下圖：
【認(rèn)識(shí)概念】 ，故不符合題意；
，故不符合題意；
設(shè) ，則，
同理可得：，故符合題意，
故答案為：；
【運(yùn)用概念】設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，則點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，，
則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，
（）當(dāng)，即，則，
則，
（）當(dāng)，即，
則，
【拓展提升】存在，理由：
設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，
則點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為：，，
則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，
而，
則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為： ，
則 ，
當(dāng)時(shí)，為定值．
【考點(diǎn)四 整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問(wèn)題】
例題：（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）【問(wèn)題驅(qū)動(dòng)】已知O是直線上的一點(diǎn)，，平分．
（1）如圖1，若，求的度數(shù)；
（2）如圖1，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____（用含有的式子表示）不必說(shuō)明理由；
【拓廣探索】
（3）將圖1中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究和度數(shù)之間的關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．
（4）將圖1中的繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其它條件不變，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____（用含有的式子表示），不必說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）；（3），理由見(jiàn)解析；（4）
【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及角的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)以及角的和差關(guān)系求角成為解題的關(guān)鍵．
（1）由已知可求出，再由、平分求出的度數(shù)即可；
（2）由（1）得，從而用含a的代數(shù)式表示出的度數(shù)即可；
（3）由可得，再根據(jù)角平分線的定義以及角的和差關(guān)系解答即可；
（4）根據(jù)角的和差關(guān)系以及角平分線的定義解答即可．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴；
（2）由（1）得，，
，
．
故答案為：；
（3）．理由如下:
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（4）∵平分，
又∵，
．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，已知平分平分．
(1)如圖， ___________；
(2)將繞O點(diǎn)向下旋轉(zhuǎn)，使，其他條件不變，能否求出的度數(shù)？若能，求出其值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若，仍然分別作的平分線，，能否求出的度數(shù)？若能，求的度數(shù)；若不能，試說(shuō)明理由．
【答案】(1)45
(2)
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算
【分析】（1）根據(jù)角平分線的以求出與的度數(shù)，然后相減即可求出的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的求解思路，先利用角平分線的定義表示出與的度數(shù)，然后相減即可得到的度數(shù)；
（3）根據(jù)前兩題的求解思路把具體數(shù)據(jù)換為、，然后整理即可得出規(guī)律．
本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，讀懂題意，看懂題目圖形找準(zhǔn)解題思路是解題的關(guān)鍵，此類題目通常都是各小題都用同一個(gè)解題思路，所以準(zhǔn)確確定思路比較關(guān)鍵．
【詳解】（1）解： ，，
，
平分，平分，
，
，
；
（2）解：能．過(guò)程如下：
，，
，
、分別平分，，
，
，
；
（3）解：能．過(guò)程如下：
，，
，
、分別平分，，
，
，
，
即
2．（22-23七年級(jí)上·遼寧鞍山·期末）如圖，已知，，平分，平分．
(1)求的度數(shù)．
(2)若將題干中的改為，其余條件不變，求的度數(shù)；
(3)若將題干中的改為（β為銳角），其余條件不變，求的度數(shù)．
(4)從前面的結(jié)果中，你能得出什么結(jié)論？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義
（1）由已知結(jié)合圖形可求得的度數(shù)，再由角平分線的定義可分別求得與的度數(shù)，再由角的差的關(guān)系即可得結(jié)果；
（2）分析與（1）相同；
（3）分析與（1）相同；
（4）設(shè)，（為銳角），余下與（1）相同．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案為：．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案為：．
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案為：．
（4）解：設(shè)，（為銳角），
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
3．（23-24七年級(jí)上·貴州六盤(pán)水·期末）如圖①所示，，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放置在O點(diǎn)，平分．
(1)若，則______，______．
(2)如果，，試判斷，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
(3)如圖②當(dāng)直角三角板繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得在的內(nèi)部，在的外部，若，，，是否還存在（2）中的數(shù)量關(guān)系，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不存在，請(qǐng)求出，的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)；
，
即，
故．
4．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·期末）綜合與探究
【問(wèn)題情境】
將一副三角尺按如圖1所示位置擺放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分別作的角平分線．
【初步探究】
現(xiàn)將三角尺按照?qǐng)D2，圖3所示的方式擺放，仍然是的角平分線．在圖2中與重合，在圖3中與重合在一起．
（1）計(jì)算：圖2中的度數(shù)為_(kāi)__________°，圖3中的度數(shù)為_(kāi)__________°（直接寫(xiě)出答案）．
【深入探究】
（2）通過(guò)初步探究，請(qǐng)你猜想圖1中的度數(shù)為_(kāi)__________°．
如果設(shè)，請(qǐng)求出圖1中的度數(shù)．
【類比拓展】
（3）再將三角尺按照?qǐng)D4所示的方式擺放，仍然是的平分線．請(qǐng)你求出的度數(shù)．
【答案】（1），；（2）；60°；（3）
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角板中角度計(jì)算問(wèn)題
【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，幾何中角度的計(jì)算，理解圖示，掌握角度的和差運(yùn)算，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，在圖2中與重合，；在圖3中與重合在一起，；由此即可求解；
（2），根據(jù)平分，得；根據(jù)平分，得，再根據(jù)即可求解；
（3），根據(jù)角平分線可得，，再根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：（1）分別是的角平分線，
∴，
在圖2中與重合，
∴，
∵
∴
；
在圖3中與重合在一起，
∴，，
∵
∴
；
故答案為：，；
（2）由（1）可得圖1中，，
故答案為：；
若，
，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
；
（3）設(shè)，
，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
．

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北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第2章第03講數(shù)軸(學(xué)生版+解析)

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北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第1章第01講生活中的立體圖形(學(xué)生版+解析)

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