知識點01 角的概念
1.角的定義：
（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．
（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．
注意：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．
（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：
注意：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數(shù)字或小寫希臘字母．
3.角的畫法
（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．
（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．
【即學(xué)即練1】
1．（23-24六年級下·山東煙臺·期中）在下列四個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，用三個大寫字母表示所標記的各角．
（1）可以表示為 ；
（2）可以表示為 ；
（3）可以表示為 ．
知識點02 角度制及其換算
角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：在進行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進位．
【即學(xué)即練2】
1．（23-24七年級下·山東淄博·階段練習(xí)） ′ ″；
知識點03 鐘表上有關(guān)夾角問題
鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．
【即學(xué)即練3】
1．（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）小明每天下午放學(xué)，此時鐘面上時針和分針的夾角是 ．
知識點04 方位角
在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示．
（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°” ．
（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向．
（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點．
【即學(xué)即練4】
1．（23-24六年級下·黑龍江綏化·開學(xué)考試）如圖是依依家到學(xué)校的行走路線圖．
(1)小公園在依依家的 偏 米處．
(2)小公園在銀行的 偏 米處．
(3)學(xué)校西偏南，距離處是超市，請用★標出超市的位置．（表示）
知識點05 角平分線
從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．

注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．
【即學(xué)即練5】
1．（23-24七年級上·江西贛州·期末）如圖，已知是內(nèi)部任意的一條射線，、分別是，的平分線．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，則 ；若，則 ．
知識點06 角的運算
如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
【即學(xué)即練6】
1．（23-24六年級下·山東煙臺·期中）如圖，已知是內(nèi)部的一條射線，圖中有三個角：，和，當其中一個角是另一個角的兩倍時，稱射線為的“巧分線”．如果，是的“巧分線”，則的度數(shù)為 ．
知識點07 角的比較
角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種：
方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。?br>方法2：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．
如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。?如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【即學(xué)即練7】
1．（23-24七年級下·山東菏澤·期中）用疊合的方法比較和兩個角的大小，先將的頂點與的頂點O重合，邊與邊重合，邊落在了的內(nèi)部，則和的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．不確定
題型01 角的概念和表示
【典例1】（24-25七年級上·全國·單元測試）下列說法錯誤的是（ ）
A．由兩條具有公共端點的射線組成的圖形就是角
B．角是由始邊繞著端點旋轉(zhuǎn)形成的圖形
C．角是由兩條直線相交形成的圖形
D．角的兩邊是射線
【變式1】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）下列四個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24七年級下·山東淄博·期末）下列圖中的也可以用表示的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24七年級下·山東聊城·期中）如圖所示，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是（ ）
A． B． C． D．
題型02 角的單位與角度制
【典例2】（23-24六年級下·山東濟南·開學(xué)考試）用度、分、秒表示 ′ ″
【變式1】（23-24七年級上·天津河西·期末） ．
【變式2】（23-24七年級下·山東淄博·期中） 度 分 秒．
【變式3】（23-24七年級上·江西吉安·期末） ； °
題型03 鐘面角
【典例3】（24-25七年級上·全國·單元測試）自習(xí)課上，一名同學(xué)抬頭看見掛在黑板上方的時鐘顯示為，此時時針與分針的夾角是 ．
【變式1】（23-24七年級上·湖南永州·期末）若此時時鐘表上的時間是分，則時針與分針的夾角為 度．
【變式2】（23-24七年級下·山東日照·開學(xué)考試）2點分鐘時，鐘表的時針與分針形成的夾角的度數(shù)是 ．
【變式3】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖是一個時鐘的鐘面，此時鐘面上的時間是下午1點30分，時鐘的分針與時針所成的鈍角的度數(shù)為 度．
題型04 與方位角有關(guān)的計算題
【典例4】（23-24七年級上·四川成都·期末）如圖，已知輪船在燈塔的北偏東方向，輪船在燈塔的南偏東方向，則的度數(shù)為 ．
【變式1】（23-24七年級下·廣西欽州·期中）如圖，李華同學(xué)從點沿北偏東的方向行走到點，再從點沿南偏西方向行走到點，則的大小為 ．
【變式2】（23-24七年級下·北京·期中）如圖，一艘船從A點出發(fā)先沿北偏東方向航行，到達B點時發(fā)現(xiàn)前方有冰山，緊急向左進行了90°的轉(zhuǎn)彎，然后沿著方向航行，則 ．
【變式3】（23-24七年級上·山東臨沂·期末）如圖，射線的方向是北偏東，射線的方向是北偏西，，射線是的反向延長線．
(1)射線的方向是________；
(2)求的度數(shù)；
(3)若射線平分，求的度數(shù)．
題型05 角的比較
【典例5】（23-24七年級上·江蘇揚州·期末）如圖，用同樣大小的三角板此較和的大小，下列判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．沒有量角器，無法確定
【變式1】（23-24七年級上·河北保定·期末）如圖，下列各式中不一定正確的是（ ）
A． B．
C．D．
【變式2】（23-24七年級下·山東濰坊·期中）如圖，已知是內(nèi)部的一條射線，下列說法一定正確的是（ ）
A．B．
C．可以用表示D．與表示同一個角
【變式3】（23-24六年級下·山東淄博·期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，則與的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．無法比較
題型06 三角板中角度計算問題
【典例6】（23-24七年級上·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點重合于點O，若，為的角平分線，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（23-24七年級下·遼寧鞍山·開學(xué)考試）如圖，將一副三角板擺成如圖形狀，如果，那么的度數(shù)是 ．

【變式2】（22-23七年級上·河南洛陽·期末）將一副直角三角尺按如圖1方式疊放，．如圖2，現(xiàn)將三角尺固定，令三角尺繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)一周．若要使，則的度數(shù)為 ．
【變式3】（24-25八年級上·河北邢臺·開學(xué)考試）直角三角板的一個頂點O在直線上，．
(1)如圖1，三角板在直線上方．
①若，則 ；
②若平分，則 ；
(2)若三角板在直線下方，．求的度數(shù)；
(3)類比探究：如圖3，在數(shù)軸上，點為原點，點表示的數(shù)是，，線段在數(shù)軸上移動，且（點在點的左側(cè)），當時，求出點表示的數(shù)．
題型07 角平分線的有關(guān)計算
【典例7】（23-24七年級上·全國·單元測試）如圖，點A，O，B在一條直線上，，，是的平分線．
(1)求和的度數(shù)；
(2)是的平分線嗎？為什么？
【變式1】（23-24七年級上·廣東惠州·期末）（1）如圖1，射線在的內(nèi)部，平分，平分，若，求的度數(shù)；
（2）射線，在的內(nèi)部，平分，平分，若，，求的度數(shù)；
（3）在（2）中，，，其他條件不變，請用含，的代數(shù)式表示的度數(shù)（不用說理）．

【變式2】（23-24七年級上·四川達州·期末）如圖①，已知射線、在的內(nèi)部在右側(cè)），，．
(1)如果射線平分，，如圖②，則 ；
(2)如果射線、分別平分、，如圖③，求的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，當時，求的度數(shù)．
【變式3】（23-24七年級上·廣西貴港·期末）劉星對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和他一起探究下面問題吧．已知，射線，分別是和的角平分線．
(1)如圖1，若射線在的內(nèi)部，且，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點旋轉(zhuǎn)，求的度數(shù)
(3)若射線在的外部繞點旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中，均指小于的角），其余條件不變，請借助圖3探究的大?。?br>題型08 角n等分線的有關(guān)計算
【典例8】（22-23七年級上·山西大同·期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
【變式1】（22-23七年級上·浙江湖州·期末）定義：從的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
【變式2】（23-24七年級上·江西撫州·期中）定義：從的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為 ．
一、單選題
1．（22-23六年級下·山東東營·期中）如圖，下列表示角的說法，錯誤的是（ ）
A．也可用表示B．與表示同一個角
C．表示的是D．和都不能用表示
2．（23-24七年級上·全國·單元測試）已知，，，下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25七年級上·全國·單元測試）上午時，時針與分針的夾角為（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24六年級下·全國·單元測試）如下圖，，平分，已知，則（ ）
A．B．C．D．
三、解答題
11．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）計算（結(jié)果用度、分、秒表示）．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．（23-24七年級上·四川資陽·開學(xué)考試）觀察如圖回答問題：
(1)銀行在市政府的____偏____ ____的方向上，距離是______米．
(2)青少年宮在市政府的____偏____ ____的方向上，距離是______米．
(3)博物館在市政府的東偏南的方向400米處，請你在平面圖上標出博物館的位置．
13．（24-25七年級上·全國·單元測試）三角尺的直角頂點P在直線上，點A，B在直線的同側(cè)．
(1)如圖①，若，求的度數(shù)；
(2)如圖②，若平分，平分，求的度數(shù)．
14．（23-24七年級下·吉林·開學(xué)考試）如圖①是一副三角尺拼成的圖案（所涉及角度均小于或等于度）

(1)如圖①，的度數(shù)為______度；
(2)將圖①中的三角尺繞點旋轉(zhuǎn)度，能否使？若能，求出的值；若不能，說明理由．
15．（24-25七年級上·全國·單元測試）如圖，以直線上一點為端點作射線，使，將一個直角三角形的直角頂點放在點處．（）
(1)將直角三角尺的一邊放在射線上，如圖1，則的度數(shù)為___________，其補角的度數(shù)為___________．
(2)將直角三角尺繞點O逆時針方向轉(zhuǎn)動到如圖2的位置，若恰好平分，求的度數(shù)；
(3)如圖3，將直角三角尺繞點O轉(zhuǎn)動如果始終在的內(nèi)部，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．
16．（22-23七年級上·湖南永州·期末）點O為直線上一點，在直線AB同側(cè)任作射線同側(cè)任作射線，使得．
(1)如圖一，過點O作射線，使為的角平分線．若時．則 ， ；
(2)如圖二，過點O作射線．當恰好為的角平分線時，另作射線．使得平分．
①若，求的度數(shù)；
②若（），則的度數(shù)是 （直接填空）；
(3)過點O作射線，當恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，當時，則的度數(shù)是 ．
課程標準
學(xué)習(xí)目標
①掌握角的概念及角的表示方法
②掌握角的有關(guān)計算
1．掌握角的概念及角的表示方法，鐘面角、方位角，并掌握其運算,并能進行角度的互換；掌握運用尺規(guī)作已知角，相等角等；
2．會利用角平分線的意義進行有關(guān)表示或計算;并掌握角大小比較方法.
七年級數(shù)學(xué)上冊同步講義（北師大版）第四章 第03講 角
知識點01 角的概念
1.角的定義：
（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．
（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．
注意：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．
（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．
2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：
注意：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數(shù)字或小寫希臘字母．
3.角的畫法
（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．
（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．
【即學(xué)即練1】
1．（23-24六年級下·山東煙臺·期中）在下列四個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了角的概念．角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．角還可以用一個希臘字母表示，或用阿拉伯數(shù)字表示．
【詳解】解：能用，，三種方法表示同一個角的圖形是選項B中的圖，
選項A，C，D中的圖都不能用，，三種方法表示同一個角的圖形，
故選：B．
2．（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，用三個大寫字母表示所標記的各角．
（1）可以表示為 ；
（2）可以表示為 ；
（3）可以表示為 ．
【答案】 （或） （或） （或）
【分析】本題考查角的表示，根據(jù)角的表示方法直接求解即可得到答案，熟記角的表示方法是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（1）可以表示為或；
（2）可以表示為或；
（3）可以表示為或；
故答案為：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）．
知識點02 角度制及其換算
角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
注意：在進行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進位．
【即學(xué)即練2】
1．（23-24七年級下·山東淄博·階段練習(xí)） ′ ″；
【答案】 1 9 36
【分析】本題考查了度、分、秒之間的換算．度、分、秒之間是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60．
【詳解】解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴；
故答案為：1，9，36；．
知識點03 鐘表上有關(guān)夾角問題
鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．
【即學(xué)即練3】
1．（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）小明每天下午放學(xué)，此時鐘面上時針和分針的夾角是 ．
【答案】/40度
【分析】根據(jù)每2個數(shù)字之間相隔30度和時針1分鐘走0.5度可得夾角度數(shù)．考查鐘面角的計算；用到的知識點為：鐘面上每2個數(shù)字之間相隔30度；時針1分鐘走0.5度．
【詳解】解：時針20分所走的度數(shù)為，時，分針指著4，4與5之間的夾角為，
答：此時鐘面上時針和分針的夾角是．
故答案為：．
知識點04 方位角
在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示．
（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°” ．
（3）在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點的正東、正西、正南、正北的方向．
（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點．
【即學(xué)即練4】
1．（23-24六年級下·黑龍江綏化·開學(xué)考試）如圖是依依家到學(xué)校的行走路線圖．
(1)小公園在依依家的 偏 米處．
(2)小公園在銀行的 偏 米處．
(3)學(xué)校西偏南，距離處是超市，請用★標出超市的位置．（表示）
【答案】(1)北；西20；距離80．
(2)南；西30；距離100
(3)見解析
【分析】本題主要考查了方位角的表示，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方位角的定義．
（1）根據(jù)方位角的定義進行解答即可；
（2）根據(jù)方位角的定義進行解答即可；
（3）根據(jù)學(xué)校西偏南，距離處是超市，進行解答即可．
【詳解】（1）解：小公園在依依家的北偏西距離80米處．
故答案為：北；西20；80．
（2）解：∵銀行在小公園的北偏東距離100米處；
∴小公園在銀行的南偏西距離100米處．
故答案為：南；西30；距離100．
（3）解：如圖所示：
知識點05 角平分線
從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．

注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．
【即學(xué)即練5】
1．（23-24七年級上·江西贛州·期末）如圖，已知是內(nèi)部任意的一條射線，、分別是，的平分線．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，則 ；若，則 ．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本題主要考查角平分線的定義，角的和差計算，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)角平分線的定義可知，，再根據(jù)計算，即得答案；
（2）根據(jù)角平分線定義可知，，，再根據(jù)計算，即得答案．
【詳解】（1）解：、分別是，的平分線，
，，
；
（2）解：、分別是，的平分線，
，，
，
，
．
同理：，
．
知識點06 角的運算
如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
【即學(xué)即練6】
1．（23-24六年級下·山東煙臺·期中）如圖，已知是內(nèi)部的一條射線，圖中有三個角：，和，當其中一個角是另一個角的兩倍時，稱射線為的“巧分線”．如果，是的“巧分線”，則的度數(shù)為 ．
【答案】或或
【分析】本題考查了角的定義和巧分線定義，正確理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵．
分3種情況，根據(jù)巧分線定義即可求解．
【詳解】解：∵，是的“巧分線”，
則由“巧分線”的定義可知有三種情況符合題意：
①，此時；
②，此時；
③，此時；
∴的度數(shù)為或或．
故答案為：或或．
知識點07 角的比較
角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種：
方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。?br>方法2：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．
如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。?如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【即學(xué)即練7】
1．（23-24七年級下·山東菏澤·期中）用疊合的方法比較和兩個角的大小，先將的頂點與的頂點O重合，邊與邊重合，邊落在了的內(nèi)部，則和的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．不確定
【答案】D
【分析】本題考查了角的比較，根據(jù)角的大小比較即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，
∴，
題型01 角的概念和表示
【典例1】（24-25七年級上·全國·單元測試）下列說法錯誤的是（ ）
A．由兩條具有公共端點的射線組成的圖形就是角
B．角是由始邊繞著端點旋轉(zhuǎn)形成的圖形
C．角是由兩條直線相交形成的圖形
D．角的兩邊是射線
【答案】A
【知識點】角的概念理解
【分析】本題考查了角的定義，由兩條具有公共端點的射線組成的圖形叫做角，也可以看作由一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形，根據(jù)定義逐一判斷，即可解題．
【詳解】解：A、由兩條具有公共端點的射線組成的圖形就是角，正確，不符合題意；
B、角是由始邊繞著端點旋轉(zhuǎn)形成的圖形，正確，不符合題意；
C、角是由兩條直線相交形成的圖形，說法錯誤，兩條相交直線可以形成四個角，符合題意；
D、角的兩邊是射線，正確，不符合題意；
．
【變式1】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）下列四個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】角的表示方法
【分析】本題考查了角的表示方法的應(yīng)用，根據(jù)角的表示方法和圖形逐個判斷即可，解題的關(guān)鍵正確理解角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示，其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．
【詳解】解：、因為頂點處有四個角，所以這個角不能用，，表示，故本選項錯誤；
、因為頂點處只有一個角，所以這個角能用，，表示，故本選項正確；
、因為頂點處有三個角，所以這個角不能用，，表示，故本選項錯誤；
、因為頂點處有兩個角，所以這個角不能用，，表示，故本選項錯誤；
故選：．
【變式2】（23-24七年級下·山東淄博·期末）下列圖中的也可以用表示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】角的表示方法
【分析】本題考查了角的表示方法；
角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．角還可以用一個希臘字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯數(shù)字（，…）表示，據(jù)此進行分析即可．
【詳解】解：A.可以用表示，符合題意；
B.可以用表示，但不能用表示，不符合題意；
C.可以用表示，但不能用表示，不符合題意；
D.可以用表示，但不能用表示，不符合題意；
．
【變式3】（23-24七年級下·山東聊城·期中）如圖所示，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】角的表示方法
【分析】本題考查了角的概念．解題的關(guān)鍵是掌握角的表示方法的運用．根據(jù)角的表示方法和圖形逐個判斷即可．
【詳解】解：A、不能用，，三種方法表示同一個角，故A選項錯誤；
B、能用，，三種方法表示同一個角，故B選項正確；
C、不能用，，三種方法表示同一個角，故C選項錯誤；
D、不能用，，三種方法表示同一個角，故D選項錯誤；
故選：B．
題型02 角的單位與角度制
【典例2】（23-24六年級下·山東濟南·開學(xué)考試）用度、分、秒表示 ′ ″
【答案】 34 10 48
【知識點】角的單位與角度制
【分析】本題考查了度、分、秒的轉(zhuǎn)化運算．進行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運算，注意以為進制．，．
【詳解】解：
．
故答案為：34；10；48．
【變式1】（23-24七年級上·天津河西·期末） ．
【答案】
【知識點】角的單位與角度制
【分析】角的單位換算計算即可．
本題考查了角的單位換算，熟練掌握換算進制是階梯的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
【變式2】（23-24七年級下·山東淄博·期中） 度 分 秒．
【答案】
【知識點】角的單位與角度制
【分析】本題考查了度分秒的換算，掌握度分秒的進制關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．先把化為分，再把小數(shù)分化為秒即可．
【詳解】解：，
，
．
故答案為：，，．
【變式3】（23-24七年級上·江西吉安·期末） ； °
【答案】 12 18
【知識點】角的單位與角度制
【分析】此題主要考查度、分、秒的轉(zhuǎn)化運算，進行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運算，注意以60為進制．
根據(jù)大單位化小單位乘以進率，小單位化大單位除以進率可得答案．
【詳解】解：，．
故答案為：12，18，．
題型03 鐘面角
【典例3】（24-25七年級上·全國·單元測試）自習(xí)課上，一名同學(xué)抬頭看見掛在黑板上方的時鐘顯示為，此時時針與分針的夾角是 ．
【答案】/75度
【知識點】鐘面角
【分析】本題考查鐘面角，理解鐘面角為把圓分成12等分是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意當時鐘顯示為，時針與分針的夾角由兩部分組成，分別是之間的兩格和之間的半格，求出它們的度數(shù)即可得到答案．
【詳解】解：如圖，
∴時針與分針的夾角為.
【變式1】（23-24七年級上·湖南永州·期末）若此時時鐘表上的時間是分，則時針與分針的夾角為 度．
【答案】90
【知識點】鐘面角
【分析】本題主要考查了鐘面角的計算，先求出時鐘上相鄰數(shù)字之間的度數(shù)，再根據(jù)時，時針指向數(shù)字3，分鐘指向數(shù)字12進行求解即可．
【詳解】解：，
∴此時時針與分針的夾角為90度，
故答案為：90．
【變式2】（23-24七年級下·山東日照·開學(xué)考試）2點分鐘時，鐘表的時針與分針形成的夾角的度數(shù)是 ．
【答案】/度
【知識點】鐘面角
【分析】本題考考查了鐘面角度的計算和時針、分針的轉(zhuǎn)動速度．熟練掌握鐘面角度的計算和時針、分針的轉(zhuǎn)動速度是解題的關(guān)鍵．鐘面被平均分成了個大格，每個大格的角度是；時針每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)．
先求出2點時，時針與分針的初始夾角，再根據(jù)時針和分針的轉(zhuǎn)動速度，計算分鐘后它們的夾角即可．
【詳解】解：2點分鐘時，鐘表的時針與分針形成的夾角的度數(shù)為：．
故答案為：．
【變式3】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖是一個時鐘的鐘面，此時鐘面上的時間是下午1點30分，時鐘的分針與時針所成的鈍角的度數(shù)為 度．
【答案】135
【知識點】鐘面角
【分析】本題考查鐘面角，整個圓分為12個大格，每個大格30度，下午1點30分時，時針與分針所成的鈍角含4.5個大格，由此可解．
【詳解】解：下午1點30分時，時針與分針所成的鈍角含4.5個大格，每個大格30度，
因此時鐘的分針與時針所成的鈍角的度數(shù)為：（度），
故答案為：135．
題型04 與方位角有關(guān)的計算題
【典例4】（23-24七年級上·四川成都·期末）如圖，已知輪船在燈塔的北偏東方向，輪船在燈塔的南偏東方向，則的度數(shù)為 ．
【答案】
【知識點】與方向角有關(guān)的計算題
【分析】本題考查了方向角，根據(jù)題意即可求解，掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵
【詳解】解：如圖所示標注字母，
由題意知：， ，
∴，
故答案為：．
【變式1】（23-24七年級下·廣西欽州·期中）如圖，李華同學(xué)從點沿北偏東的方向行走到點，再從點沿南偏西方向行走到點，則的大小為 ．
【答案】
【知識點】與方向角有關(guān)的計算題
【分析】本題考查了方位角．畫圖正確表示出方位角，利用角的和與差計算即可求解．
【詳解】解：如圖，
由題意得，，
．
故答案是：40．
【變式2】（23-24七年級下·北京·期中）如圖，一艘船從A點出發(fā)先沿北偏東方向航行，到達B點時發(fā)現(xiàn)前方有冰山，緊急向左進行了90°的轉(zhuǎn)彎，然后沿著方向航行，則 ．
【答案】
【知識點】與方向角有關(guān)的計算題
【分析】本題考查方向角、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識的．利用平行線的性質(zhì)求得即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【變式3】（23-24七年級上·山東臨沂·期末）如圖，射線的方向是北偏東，射線的方向是北偏西，，射線是的反向延長線．
(1)射線的方向是________；
(2)求的度數(shù)；
(3)若射線平分，求的度數(shù)．
【答案】(1)北偏東
(2)
(3)
【知識點】方向角的表示、與方向角有關(guān)的計算題、角平分線的有關(guān)計算、鄰補角的定義理解
【分析】此題主要考查了方向角的表達，角平分線的定義，鄰補角，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
（1）先求出，再求得的度數(shù)，即可確定的方向；
（2）根據(jù)，，得出，進而求出的度數(shù)；
（3）根據(jù)射線平分，即可求出再利用求出答案即可．
【詳解】（1）解：如圖，
的方向是北偏西，的方向是北偏東，
，，
，
，
，
，
的方向是北偏東；
故答案為：北偏東；
（2）解：如圖，
，，
．
又射線是的反向延長線，
．
．
（3）解：如圖，
，平分，
．
．
．
題型05 角的比較
【典例5】（23-24七年級上·江蘇揚州·期末）如圖，用同樣大小的三角板此較和的大小，下列判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．沒有量角器，無法確定
【答案】D
【知識點】角的比較
【分析】本題考查了角的大小比較，根據(jù)圖中的三角尺為等腰直角三角形得，，利用中間角比較角的大小是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵圖中的三角尺為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
．
【變式1】（23-24七年級上·河北保定·期末）如圖，下列各式中不一定正確的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角的比較
【分析】此題考查了角的比較大小與和差，根據(jù)圖形進行判斷即可．
【詳解】解：∵在的內(nèi)部，
∴，選項A正確，不符合題意；
∵，
∴選項B正確，不符合題意；
根據(jù)題意，無法比較和的大小，選項C不一定正確，符合題意；
∵，
∴選項D正確，不符合題意；
．
【變式2】（23-24七年級下·山東濰坊·期中）如圖，已知是內(nèi)部的一條射線，下列說法一定正確的是（ ）
A．B．
C．可以用表示D．與表示同一個角
【答案】D
【知識點】角的比較、角的表示方法
【分析】本題主要考查角的大小比較及角的概念，根據(jù)角的大小比較及角的概念進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A．∵是內(nèi)部的一條射線而不是角平分線，∴，故本選項不符合題意；
B．可能大于，也可能小于，也有可能等于，故本選項不符合題意；
C．不可以用表示，故本選項不符合題意；
D．與表示同一個角，故本選項符合題意．
故選：D．
【變式3】（23-24六年級下·山東淄博·期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，則與的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．無法比較
【答案】D
【知識點】角的比較
【分析】本題考查了角的大小比較，利用平移的方法是解題的關(guān)鍵．將平移，讓與兩個角的頂點重合，即可解答．
【詳解】解：將平移，讓與兩個角的頂點重合，
如圖：
可得： 在的內(nèi)部，
所以．
．
題型06 三角板中角度計算問題
【典例6】（23-24七年級上·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點重合于點O，若，為的角平分線，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】角平分線的有關(guān)計算、三角板中角度計算問題
【分析】本題考查了三角板中的角度計算和角平分線的定義，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)，則，得到，則，解得，則，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：設(shè)，則，
由題意可知，，
，
∴
解得，，
∴，
∵為的角平分線，
∴，
∴
故選：D．
【變式1】（23-24七年級下·遼寧鞍山·開學(xué)考試）如圖，將一副三角板擺成如圖形狀，如果，那么的度數(shù)是 ．

【答案】22°/度
【知識點】三角板中角度計算問題
【分析】本題考查三角板中角度的計算．正確的識圖，理清角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
利用即可求解．
【詳解】解：由圖可知：，
，
，
．
故答案為：．
【變式2】（22-23七年級上·河南洛陽·期末）將一副直角三角尺按如圖1方式疊放，．如圖2，現(xiàn)將三角尺固定，令三角尺繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)一周．若要使，則的度數(shù)為 ．
【答案】或
【知識點】三角板中角度計算問題、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)
【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)及直角三角板的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．分兩種情況進行討論，分別依據(jù)平行線的性質(zhì)進行計算即可得到的度數(shù)．
【詳解】如圖，當時，，
，
，
；
如圖，當時，，
，
；
綜上所述，要使，則的度數(shù)為或，
故答案為：或
【變式3】（24-25八年級上·河北邢臺·開學(xué)考試）直角三角板的一個頂點O在直線上，．
(1)如圖1，三角板在直線上方．
①若，則 ；
②若平分，則 ；
(2)若三角板在直線下方，．求的度數(shù)；
(3)類比探究：如圖3，在數(shù)軸上，點為原點，點表示的數(shù)是，，線段在數(shù)軸上移動，且（點在點的左側(cè)），當時，求出點表示的數(shù)．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)4或16
【知識點】三角板中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算、數(shù)軸上兩點之間的距離、線段的和與差
【分析】本題考查三角板中角度的計算，與角平分線有關(guān)的計算，線段的和與差．
（1）①利用平角的定義，進行計算即可；②根據(jù)角平分線平分角，求出的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，求解即可；
（2）根據(jù)，結(jié)合，得到，求解即可；
（3）分線段在線段上，線段在線段右側(cè)與線段在線段左側(cè)，三種情況進行討論求解即可．
正確的識圖，找準角度之間的和差關(guān)系，線段之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：①∵，，
∴；
故答案為：；
②∵平分，
∴，
∴，
故答案為：60°；
（2）由圖2可知，，
，，
，
，
；
（3）點A表示的數(shù)是，，
點B表示的數(shù)為10，
①當線段在線段上時，如圖，
由圖可知，，
，，
，
，
，
點C表示的數(shù)為4；
②當線段在線段右側(cè)時，如圖，
由圖可知，，
，，
，
，
，
點表示的數(shù)為16；
③當線段在線段左側(cè)時，此種情況不成立．
綜上，點表示的數(shù)為4或16．
題型07 角平分線的有關(guān)計算
【典例7】（23-24七年級上·全國·單元測試）如圖，點A，O，B在一條直線上，，，是的平分線．
(1)求和的度數(shù)；
(2)是的平分線嗎？為什么？
【答案】(1)，
(2)是的平分線，理由見詳解
【知識點】求一個角的補角、角平分線的有關(guān)計算
【分析】本題考查了角的和差，補角的定義，角平分線的定義；
（1）由角的和差得，由角的平分線及角的和差得，即可求解；
（2）由補角的定義得，由角平分線的定義即可求解；
理解補角的定義，角平分線的定義，能用角的和差表示出所求的角是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：，，
；
是的平分線，
，
；
（2）解：是的平分線；
理由如下：
，
，
，
，
是的平分線．
【變式1】（23-24七年級上·廣東惠州·期末）（1）如圖1，射線在的內(nèi)部，平分，平分，若，求的度數(shù)；
（2）射線，在的內(nèi)部，平分，平分，若，，求的度數(shù)；
（3）在（2）中，，，其他條件不變，請用含，的代數(shù)式表示的度數(shù)（不用說理）．

【答案】（1）；（2），（3）
【知識點】角平分線的有關(guān)計算、幾何圖形中角度計算問題
【分析】本題是有關(guān)角的計算，考查了角平分線的定義及角的和差倍分，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想．
（1）根據(jù)角平分線的定義可得：，，相加可得的度數(shù)；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得：，，將分成三個角相加，并等量代換可得結(jié)論；
（3）同理可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）平分，
，
同理，
，
；
（2）平分，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
，，
，
（3）平分，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
，，
．
【變式2】（23-24七年級上·四川達州·期末）如圖①，已知射線、在的內(nèi)部在右側(cè)），，．
(1)如果射線平分，，如圖②，則 ；
(2)如果射線、分別平分、，如圖③，求的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，當時，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識點】角平分線的有關(guān)計算、幾何圖形中角度計算問題
【分析】本題考查了角的運算，利用角的和差得出是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合可得答案；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的和差，數(shù)形結(jié)合可得答案；
（3）根據(jù)角的和差，可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，根據(jù)角的和差可得答案．
【詳解】（1）解：，，
，
平分，
，
故答案為：；
（2）解：平分，
，
，，
；
（3）解：平分，，
，
由，得，
，，
平分，
，
由角的和差可得．
【變式3】（23-24七年級上·廣西貴港·期末）劉星對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和他一起探究下面問題吧．已知，射線，分別是和的角平分線．
(1)如圖1，若射線在的內(nèi)部，且，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點旋轉(zhuǎn)，求的度數(shù)
(3)若射線在的外部繞點旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中，均指小于的角），其余條件不變，請借助圖3探究的大?。?br>【答案】(1)
(2)
(3)或
【知識點】角平分線的有關(guān)計算、幾何圖形中角度計算問題
【分析】本題考查的是角的計算，角平分線的定義，熟知從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．注意分類思想的運用．
（1）先求出度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，求和即可得出答案；
（2）根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可；
（3）分兩種情況：①射線，只有1個在外面，根據(jù)角平分線定義得出，，求出；②射線，個都在外面，根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．
【詳解】（1）解： 是 的平分線，，
是 的平分線，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解： 是 的平分線，是 的平分線，
，，
①延長至點，當在 的內(nèi)部，
；
②延長至點，延長至點，當在內(nèi)部，
，
；
③延長至點，當在 內(nèi)部，
，
，
，
綜上，度數(shù)為 或．
題型08 角n等分線的有關(guān)計算
【典例8】（22-23七年級上·山西大同·期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【知識點】角n等分線的有關(guān)計算
【分析】根據(jù)題意得出或，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，綜合即可得出答案．
【詳解】解：∵，射線為的三等分線．
∴或，
∴，
∴的度數(shù)為或．
．
【點睛】本題考查了角度的計算，理解題意，分類討論是解本題的關(guān)鍵．
【變式1】（22-23七年級上·浙江湖州·期末）定義：從的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
【答案】A
【知識點】角n等分線的有關(guān)計算
【分析】分四種情況，分別計算，即可求解．
【詳解】解：如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，
則，，
；
如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，
則，，
；
如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，
則，，
；
如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，
則，，
；
綜上，為或或，
．
【點睛】本題考查了角的有關(guān)計算，畫出圖形，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2】（23-24七年級上·江西撫州·期中）定義：從的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為 ．
【答案】或或
【知識點】角n等分線的有關(guān)計算
【分析】本題考查角的計算．解題關(guān)鍵是做出圖形，列方程計算．注意要分類討論．
【詳解】如圖，
∵射線是的三等分線，
∴把分成的兩部分，
∴或，
∵射線是的三等分線，
∴把分成的兩部分，
∴或，
∵，
∴或，
當時，或，
當時，或，
故答案為：或或．
一、單選題
1．（22-23六年級下·山東東營·期中）如圖，下列表示角的說法，錯誤的是（ ）
A．也可用表示B．與表示同一個角
C．表示的是D．和都不能用表示
【答案】D
【知識點】角的表示方法
【分析】本題主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角的表示方法，逐一判斷即可得到答案
【詳解】解：A、由于頂點處不止一個角，故不可用表示，原說法錯誤，符合題意；
B、與表示同一個角，原說法正確，不符合題意；
C、表示的是，原說法正確，不符合題意；
D、和都不能用表示，原說法正確，不符合題意；
．
2．（23-24七年級上·全國·單元測試）已知，，，下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】角的度數(shù)大小比較、角的單位與角度制
【分析】本題考查了度分秒之間的換算，屬于基礎(chǔ)題，注意兩者之間的進位關(guān)系．將各角的單位統(tǒng)一，繼而可得出答案．
【詳解】解：，
，
，
∴，
故選B．
3．（24-25七年級上·全國·單元測試）上午時，時針與分針的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】鐘面角
【分析】本題考查鐘面角，根據(jù)午時，鐘面上時針指向9，分針指向12，每一個大格是即可求解．
【詳解】上午時，鐘面上時針指向9，分針指向12，每一個大格是
9和12之間有3個大格，
∴時針與分針的夾角為
故選：D．
4．（23-24六年級下·全國·單元測試）如下圖，，平分，已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算
【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，先由角平分線的定義得到，再由已知條件得到，則．
【詳解】解：∵平分，，
∴，
∴，
∴，
．
5．（23-24六年級下·上海松江·期末）如圖，一副三角尺（度數(shù)分別為、、和、、）按下面不同的方式擺放，其中的圖形有（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）
C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（3）（4）
【答案】A
【知識點】與余角、補角有關(guān)的計算、三角板中角度計算問題
【分析】本題主要考查了余角和補角，三角板中角度的計算，掌握鄰補角的定義及“同角的余角相等”、“等角的補角相等”是解決本題的關(guān)鍵．
利用互余、互補關(guān)系，鄰補角的定義逐個分析得結(jié)論．
【詳解】解：圖（1）中，由于，，可得到；
圖（2）中，根據(jù)“同角的余角相等”，可得到；
圖（3）中，根據(jù)“等角的補角相等“，可得到；
圖（4）中，由于，，所以．
∴的圖形有（1）（2）（3）．
．
二、填空題
6．（23-24七年級下·山東淄博·階段練習(xí)） ′ ″；
【答案】 1 9 36
【知識點】角的單位與角度制
【分析】本題考查了度、分、秒之間的換算．度、分、秒之間是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60．
【詳解】解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴；
故答案為：1，9，36；．
7．（23-24七年級上·江蘇南京·期末）已知、分別是、的角平分線．是內(nèi)部的一條射線，若，，則的度數(shù)為 ．

【答案】90°/度
【知識點】角平分線的有關(guān)計算
【分析】本題考查了角的平分的定義，角的和，熟練掌握定義和角的和是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)是的角平分線，求得，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵是的角平分線，，
∴，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∴，
故答案為 ：．
8．（21-22九年級上·全國·單元測試）鐘表上的時針繞其中心旋轉(zhuǎn)一周是小時，則時針經(jīng)過個小時所轉(zhuǎn)過的角度為 ，若時針從時開始，繞中心旋轉(zhuǎn)，則它所指向的具體數(shù)字是 ．
【答案】 /120度 5
【知識點】鐘面角
【分析】本題考查了鐘面角，鐘表的指針運動，是典型的旋轉(zhuǎn)問題，其旋轉(zhuǎn)中心就是鐘表圓盤的中心位置；鐘表內(nèi)，每一大格所對應(yīng)的圓心角是，時針經(jīng)過4小時整，需要旋轉(zhuǎn)4大格，即可求得時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；繞中心旋轉(zhuǎn)，則用即可．
【詳解】解：時針經(jīng)過個小時所轉(zhuǎn)過的角度為，
時針從時開始，繞中心旋轉(zhuǎn)，則它所指向的具體數(shù)字，
故答案為：，5．
9．（23-24七年級上·山西大同·期末）把一副三角尺與按如圖所示那樣拼在一起，其中三點在同直線上，為的平分線，為的平分線，則 ．
【答案】/45度
【知識點】角平分線的有關(guān)計算、三角板中角度計算問題
【分析】本題考查與三角板有關(guān)的計算，與角平分線有關(guān)的計算，先求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出的度數(shù)，進一步求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴，
∵為的平分線，為的平分線，
∴，
∴；
故答案為：．
10．（22-23七年級上·廣東湛江·期末）如圖，直線，相交于點，，，平分，給出下列結(jié)論:
①當時，；
②為的平分線；
③若，則；
④．
其中正確的結(jié)論有 ．
【答案】①③④
【知識點】角平分線的有關(guān)計算、幾何圖形中角度計算問題
【分析】本題考查了鄰補角，角平分線的定義，余角的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．
由鄰補角，角平分線的定義，余角的性質(zhì)進行依次判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴當時，；
故①正確；
∵平分，
∴，
∴，
故④正確；
∵，
∴，
∴
故③正確；
若為的平分線，則，
∴，
∴，而無法確定，
∴無法說明②的正確性；
故答案為：①③④．
三、解答題
11．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）計算（結(jié)果用度、分、秒表示）．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知識點】角度的四則運算、角的單位與角度制
【分析】本題考查度，分，秒的計算，解題的關(guān)鍵是掌握，進行計算，即可．
（1）根據(jù)，進行計算，即可；
（2）根據(jù)，，進行計算，即可；
（3）根據(jù)，，進行計算，即可；
（4）根據(jù)，，進行計算，即可．
【詳解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
12．（23-24七年級上·四川資陽·開學(xué)考試）觀察如圖回答問題：
(1)銀行在市政府的____偏____ ____的方向上，距離是______米．
(2)青少年宮在市政府的____偏____ ____的方向上，距離是______米．
(3)博物館在市政府的東偏南的方向400米處，請你在平面圖上標出博物館的位置．
【答案】(1)南；西；25；600
(2)北；東；50；800
(3)見解析
【知識點】方向角的表示
【分析】本題主要考查了方向角，熟練掌握方向角的定義，數(shù)形結(jié)合，是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)方向角定義，結(jié)合圖形進行解答即可；
（2）根據(jù)方向角定義，結(jié)合圖形進行解答即可；
（3）根據(jù)博物館在市政府的東偏南的方向400米處，結(jié)合方向角定義，在圖上標出具體位置即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)圖形可知：銀行在市政府的南偏西的方向上，距離是米；
（2）解：青少年宮在市政府的北偏東的方向上，距離是米；
（3）解：博物館的位置，如圖所示：
13．（24-25七年級上·全國·單元測試）三角尺的直角頂點P在直線上，點A，B在直線的同側(cè)．
(1)如圖①，若，求的度數(shù)；
(2)如圖②，若平分，平分，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【知識點】角平分線的有關(guān)計算、三角板中角度計算問題
【分析】本題考查了角平分線，與三角板有關(guān)的角度計算．明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）由題意知，根據(jù)，計算求解即可；
（2）由角平分線可得，．由，可得，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】（1）解：由題意知．
∴，
∴．
（2）解：∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
14．（23-24七年級下·吉林·開學(xué)考試）如圖①是一副三角尺拼成的圖案（所涉及角度均小于或等于度）

(1)如圖①，的度數(shù)為______度；
(2)將圖①中的三角尺繞點旋轉(zhuǎn)度，能否使？若能，求出的值；若不能，說明理由．
【答案】(1)；
(2)逆時針旋轉(zhuǎn)或順時針旋轉(zhuǎn)，能使．
【知識點】三角板中角度計算問題
【分析】（）根據(jù)圖形計算即可求解；
（）分逆時針旋轉(zhuǎn)和順時針旋轉(zhuǎn)兩種情況，分別畫出圖形，根據(jù)角的和差關(guān)系列出方程即可求解；
本題考查了三角板中的角度計算問題，運用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由圖可得，，
故答案為：；
（2）解：能．
①逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖，

由題意得，，
解得；
②順時針旋轉(zhuǎn)，如圖，

；
（3）解：，
理由如下：
，，
，
，
．
16．（22-23七年級上·湖南永州·期末）點O為直線上一點，在直線AB同側(cè)任作射線同側(cè)任作射線，使得．
(1)如圖一，過點O作射線，使為的角平分線．若時．則 ， ；
(2)如圖二，過點O作射線．當恰好為的角平分線時，另作射線．使得平分．
①若，求的度數(shù)；
②若（），則的度數(shù)是 （直接填空）；
(3)過點O作射線，當恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，當時，則的度數(shù)是 ．
【答案】(1)65，40
(2)①；②
(3)或
【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算
【分析】本題考查幾何圖形中角度的計算，角平分線的相關(guān)計算．熟練掌握角平分線定義，得出角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖中角的和差關(guān)系和角平分線的定義求解；
（2）根據(jù)角平分線的定義求出和，再根據(jù)求解；
（3）分在內(nèi)部和在外部兩種情況，分別計算即可．
【詳解】（1）解：∵，
，
平分，
，
，
故答案為：65，40；
（2）解：①
，
平分平分，
，
；
②，
，
平分平分，
，
，
故答案為：；
（3）解：當在內(nèi)部時，如圖：
平分，
，
，
，
平分，
；
當在外部時，如圖：
平分，
，
，
，
平分，
，
綜上可知，的度數(shù)是或，
故答案為：或．
課程標準
學(xué)習(xí)目標
①掌握角的概念及角的表示方法
②掌握角的有關(guān)計算
1．掌握角的概念及角的表示方法，鐘面角、方位角，并掌握其運算,并能進行角度的互換；掌握運用尺規(guī)作已知角，相等角等；
2．會利用角平分線的意義進行有關(guān)表示或計算;并掌握角大小比較方法.

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