知識(shí)點(diǎn)01 線段的性質(zhì)
兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短.簡(jiǎn)單地：兩點(diǎn)之間線段最短.我們把兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離.
【即學(xué)即練1】
1．（2024·重慶·二模）高速公路是指專(zhuān)供汽車(chē)高速行駛的公路．高速公路在建設(shè)過(guò)程中，通常要從大山中開(kāi)挖隧道穿過(guò)，把道路取直以縮短路程．其中的數(shù)學(xué)原理是（ ）

A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線
C．平行線之間的距離最短D．垂線段最短
知識(shí)點(diǎn)02 線段大小比較
1.比較線段大小的方法：（1）目測(cè)法；（2）度量法；（3）疊合法
2.疊合比較法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè)端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來(lái)比較長(zhǎng)短．如下圖：

【說(shuō)明】線段的比較方法除了疊合比較法外，度量比較法也是常用的方法．
【即學(xué)即練2】
1．（23-24六年級(jí)下·上海寶山·期末）如圖，點(diǎn)、在線段上，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，且，那么線段的長(zhǎng)是 ．
知識(shí)點(diǎn)03 尺規(guī)作圖
僅用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖.
【說(shuō)明】（1）只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖題．
（2）直尺必須沒(méi)有刻度，無(wú)限長(zhǎng)，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來(lái)將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上面畫(huà)刻度．
（3）圓規(guī)可以開(kāi)至無(wú)限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開(kāi)成之前構(gòu)造過(guò)的長(zhǎng)度．
【即學(xué)即練3】
1．（23-24六年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）作圖題：如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，根據(jù)下列語(yǔ)句畫(huà)圖：
(1)做射線；
(2)取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P既在直線上又在直線上；
(3)若A、C兩點(diǎn)之間的距離為4，B、D兩點(diǎn)之間的距離為3，點(diǎn)M到A，B，C，D四點(diǎn)距離之和最短．畫(huà)出點(diǎn)M的位置，并寫(xiě)出該最短距離和是___________．
知識(shí)點(diǎn)04 線段的和與差
如下圖：線段AB上有一點(diǎn)C，則AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC，
在這里線段AC、BC、AB表示線段的長(zhǎng)度，如AC+BC=AB表示AC長(zhǎng)度與BC長(zhǎng)度之和等于AB長(zhǎng)度.
【即學(xué)即練4】
1．（23-24六年級(jí)下·山東淄博·期中）如圖，點(diǎn)是線段上兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，．
(1)圖中共有_______條線段；
(2)求的長(zhǎng)；
(3)若，求的長(zhǎng)．
知識(shí)點(diǎn)05 線段的中點(diǎn)
線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC．
【說(shuō)明】若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C一定在線段AB上．
【即學(xué)即練5】
1．（23-24七年級(jí)上·福建廈門(mén)·開(kāi)學(xué)考試）線段上，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，，，（ ）．
A．B．C．D．
2．（23-24七年級(jí)上·四川自貢·期末）如圖，，，，是直線上的四個(gè)點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．
(1)如果，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______cm；
(2)如果，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________cm；
(3)如果，，求的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由．
題型01 兩點(diǎn)之間線段最短
【典例1】（23-24七年級(jí)上·福建漳州·期末）在下列現(xiàn)象中，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)解釋的是（ ）
A．木匠彈墨線B．打靶瞄準(zhǔn)
C．彎曲公路改直 D．拉繩插秧
【變式1】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）“愚公移山”是我國(guó)著名的寓言故事，它告訴了我們堅(jiān)持不懈的道理．如圖，假設(shè)愚公在運(yùn)輸山石等雜物時(shí)（從點(diǎn)運(yùn)輸?shù)近c(diǎn)），有條路可行，線路：折線．線路：折線．線路：．線路：線段AB．如果僅從距離最短考慮，愚公選取的線路應(yīng)是（ ）
A．線路B．線路C．線路D．線路
【變式2】（23-24八年級(jí)下·重慶開(kāi)州·開(kāi)學(xué)考試）直線是一條河，，是在同側(cè)的兩個(gè)村莊，欲在上的處修建一個(gè)水泉站，向，兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則處到，兩地距離之和最短的方案是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，一只電子螞蟻從正方體的頂點(diǎn)處沿著表面爬到頂點(diǎn)處，電子螞蟻的爬行路線在平面展開(kāi)圖（部分）中如實(shí)線所示，其中路線最短的是（ ）
A．B．C．D．
題型02 線段的應(yīng)用
【典例2】（23-24七年級(jí)下·山東泰安·期中）一條鐵路有個(gè)火車(chē)站，若一列火車(chē)往返過(guò)程中必須?？棵總€(gè)車(chē)站，則鐵路局需為這條線路準(zhǔn)備車(chē)票（ ）種．
A．B．C．D．
【變式1】（23-24六年級(jí)下·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）乘特快列車(chē)從濟(jì)南西站出發(fā)，沿途經(jīng)過(guò)泰安站、曲阜東站、滕州東站，最后到達(dá)棗莊站，那么從濟(jì)南西站到棗莊站這段線路的火車(chē)票最多有（ ）
A．6種B．20種C．10種D．12種
【變式2】（23-24七年級(jí)上·廣西百色·期末）由百色站至南寧站的某趟動(dòng)車(chē)，運(yùn)行途中停靠的車(chē)站依次是：百色站—田陽(yáng)站—田東站—平果站—隆安站—南寧站，那么鐵路運(yùn)營(yíng)公司要為這條路線制作的往返車(chē)票有 種．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·河南許昌·期末）前段時(shí)間，一條好消息迅速在長(zhǎng)葛人朋友圈刷屏：大長(zhǎng)葛也有地鐵了！鄭許市域鐵路12月26日-27日免費(fèi)試乘，“雙城生活模式”正式啟動(dòng)．圖中展示了鄭許市域鐵路長(zhǎng)葛市域內(nèi)的五個(gè)站點(diǎn)，若要滿足乘客在這五個(gè)站點(diǎn)之間的往返需求，鐵路公司需要準(zhǔn)備 種不同的車(chē)票．

題型03 線段的和與差
【典例3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)C在線段上，，則 ．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·期末）線段AB的長(zhǎng)為，延長(zhǎng)AB到，使，再反向延長(zhǎng)AB到，使，則線段CD的長(zhǎng)為 ．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）同一條直線上有三點(diǎn)且線段，點(diǎn)是的中點(diǎn)，厘米，則線段的長(zhǎng)為 ．
【變式3】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知線段．
(1)若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為 ；
(2)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為 ；
(3)若點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，則的長(zhǎng)為 ．
題型04 作線段（尺規(guī)作圖）
【典例4】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知線段，用直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡），并用字母表示所作線段．
(1)作一條線段，使它等于；
(2)作一條線段，使它等于．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·天津·期末）按要求畫(huà)一畫(huà)，再填空：
(1)畫(huà)線段；
(2)延長(zhǎng)線段到點(diǎn)C，使；
(3)延長(zhǎng)線段到點(diǎn)，使；
(4)根據(jù)上述畫(huà)法可知， ， ．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·福建福州·期末）如圖，已知線段，其中，．
(1)作線段，使得；(尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)
(2)若點(diǎn)P是（1）中所作的線段的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·河南三門(mén)峽·階段練習(xí)）如圖，在平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)A，B，
(1)請(qǐng)利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，按下面的要求作圖
（保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法，不寫(xiě)結(jié)論）：
①連接，作射線；
②在射線上作線段，使．
(2)在（1）中所作的圖形中，若，，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)P，并求線段的長(zhǎng)．
題型05 線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【典例5】（23-24七年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，線設(shè)，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)．
(1)如圖①，求線段的長(zhǎng)；
(2)如圖②，點(diǎn)N是線段上的一點(diǎn)，且滿足，求的長(zhǎng)度．
【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如果一點(diǎn)在由兩條公共端點(diǎn)的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長(zhǎng)度相等的兩部分，我們稱(chēng)該點(diǎn)為這條折線的“折中點(diǎn)”．已知點(diǎn)D是圖中折線的“折中點(diǎn)”，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：
(1)①若，點(diǎn)D在線段______（填“”或“”）上；
②若，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
(2)若E為線段的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)度．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·安徽·單元測(cè)試）如圖，為線段AB上一點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)．
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)若，求的值．
【變式3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，，，，是直線上的四個(gè)點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)如果，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______；
(2)如果，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________；
(3)如果，，求的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由．
題型06 線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【典例6】（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）二等分點(diǎn)：又叫線段的 ，把線段分成 的兩部分．
即：如圖，若點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，則或
三等分點(diǎn)：把線段分成 的三部分．以此類(lèi)推．
【變式1】（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知線段，延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使，點(diǎn)D、E均為線段延長(zhǎng)線上兩點(diǎn)，且，M、N分別是線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為 ．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，已知．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·江西南昌·期末）已知線段，C是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．
(1)若M，N分別是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度；
(2)若，，求的長(zhǎng)；
(3)在（2）的條件下，若且G點(diǎn)在直線上，，求的長(zhǎng)度．
題型07 與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
【典例7】（22-23七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖①，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段厘米，厘米，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)．
(1)求線段的長(zhǎng)度；
(2)根據(jù)第（1）題的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，設(shè)，其他條件不變，求的長(zhǎng)度；
(3)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)：
①點(diǎn)P恰好為線段的中點(diǎn)？
②直接寫(xiě)出C、P、Q三點(diǎn)中有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)？（除①外）
【變式1】（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是線段上一點(diǎn)，，，兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)沿射線向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)處即停止運(yùn)動(dòng)．
(1)若點(diǎn)，的速度分別是，．
①若，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)了時(shí)，求的值；
②若點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，求；
(2)若動(dòng)點(diǎn)，的速度分別是，，點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的長(zhǎng)度．
【變式2】（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖1，M是定長(zhǎng)線段上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）
(1)若，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了，求的值．
(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，直接填空： ___________．
(3)在（2）的條件下，N是直線上一點(diǎn)，且，求的值．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·江西南昌·期末）已知：如圖，點(diǎn)M是線段上一定點(diǎn)，，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）
(1)若，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了，此時(shí) ， ；（直接填空）
(2)當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了，求的值；
(3)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，則 ；（直接填空）
(4)在（3）的條件下，是直線上一點(diǎn)，且，求的值．
一、單選題
1．（24-25七年級(jí)上·遼寧·期末）在直線上順次取三點(diǎn)、、，使線段，，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）有下列三個(gè)生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：①植樹(shù)時(shí)，只要定出兩棵樹(shù)的位置，就能確定同一行樹(shù)所在的直線；②從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段架設(shè)；③把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中，可用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短”來(lái)解釋的現(xiàn)象有（ ）．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
3．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）已知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)．若線段，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．或D．或
4．（23-24六年級(jí)下·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知是線段中點(diǎn)，延長(zhǎng)線段至，使，則下列結(jié)論中①；②；③；④；⑤；⑥，正確的有（ ）
12．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段的中點(diǎn)．

(1)如圖①，若點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)_____，線段長(zhǎng)______；
(2)如圖②，若點(diǎn)P是線段上的任意一點(diǎn)，且，求線段的長(zhǎng)．
13．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)B，D在線段上．
(1)填空：
①圖中有______條線段，以A為端點(diǎn)的線段有_____條；
②___________．
(2)若D是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)，且，求線段的長(zhǎng)．
14．（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期中）如圖，已知點(diǎn)，，，．按要求畫(huà)圖（保留作圖痕跡）．
(1)連接，作射線，并在射線上截?。?br>(2)畫(huà)點(diǎn)P，使的值最小；
(3)畫(huà)點(diǎn)E，使點(diǎn)E既在直線上，又在直線上．
15．（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）A，B 兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點(diǎn) A 對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，且．動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t）．

(1)當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為 ，點(diǎn) P 表示的有理數(shù)為 ；
(2)當(dāng)時(shí)，求t的值；
(3)M為線段的中點(diǎn)，N 為線段 的中點(diǎn)．在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出線段的長(zhǎng)．
16．（23-24七年級(jí)上·江蘇常州·期末）直線l上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，若滿足，則稱(chēng)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“半距點(diǎn)”．如圖1， ，此時(shí)點(diǎn)C就是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的一個(gè)“半距點(diǎn)”．
若M、N、P三個(gè)點(diǎn)在同一條直線m上，且點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，．
(1) ． ；
(2)若點(diǎn)G也是直線m上一點(diǎn)，且點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．
17．（24-25七年級(jí)上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的有理數(shù)分別為，3，點(diǎn)P是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），M是線段靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0，那么的長(zhǎng)為_(kāi)__________；若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6，那么的長(zhǎng)為_(kāi)__________．
(2)點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合）的過(guò)程中，的長(zhǎng)是否發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)寫(xiě)出求的長(zhǎng)的過(guò)程；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．
18．（23-24七年級(jí)上·安徽蚌埠·開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)C在線段上，，點(diǎn)D、E在直線上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，
(1)若，，線段DE在線段上移動(dòng)，
①如圖1，當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；
(2)若，線段在直線上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式，求．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解兩點(diǎn)之間線段最短的事實(shí)
②兩點(diǎn)間的距離和線段中點(diǎn)
1．理解兩點(diǎn)之間線段最短的事實(shí)；
2．知道兩點(diǎn)間的距離和線段中點(diǎn)的含義，并能進(jìn)行線段的計(jì)算.
第02講 比較線段的長(zhǎng)短


知識(shí)點(diǎn)01 線段的性質(zhì)
兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短.簡(jiǎn)單地：兩點(diǎn)之間線段最短.我們把兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離.
【即學(xué)即練1】
1．（2024·重慶·二模）高速公路是指專(zhuān)供汽車(chē)高速行駛的公路．高速公路在建設(shè)過(guò)程中，通常要從大山中開(kāi)挖隧道穿過(guò)，把道路取直以縮短路程．其中的數(shù)學(xué)原理是（ ）

A．兩點(diǎn)之間，線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線
C．平行線之間的距離最短D．垂線段最短
【答案】D
【分析】本題考查線段的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：兩點(diǎn)之間，線段最短．
【詳解】解：在高速公路的建設(shè)中，通常從大山中開(kāi)挖隧道穿過(guò)，把道路取直，以縮短路程，這是因?yàn)椋簝牲c(diǎn)之間，線段最短．
故選A．
知識(shí)點(diǎn)02 線段大小比較
1.比較線段大小的方法：（1）目測(cè)法；（2）度量法；（3）疊合法
2.疊合比較法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個(gè)端點(diǎn)重合，另一個(gè)端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來(lái)比較長(zhǎng)短．如下圖：

【說(shuō)明】線段的比較方法除了疊合比較法外，度量比較法也是常用的方法．
【即學(xué)即練2】
1．（23-24六年級(jí)下·上海寶山·期末）如圖，點(diǎn)、在線段上，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，且，那么線段的長(zhǎng)是 ．
【答案】
【分析】本題考查了線段和差的計(jì)算以及線段中點(diǎn)的定義，比例的性質(zhì)，根據(jù)題意得，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：∵，且，
∴
∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，
∴
∴，
故答案為：．
知識(shí)點(diǎn)03 尺規(guī)作圖
僅用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖.
【說(shuō)明】（1）只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖題．
（2）直尺必須沒(méi)有刻度，無(wú)限長(zhǎng)，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來(lái)將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上面畫(huà)刻度．
（3）圓規(guī)可以開(kāi)至無(wú)限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開(kāi)成之前構(gòu)造過(guò)的長(zhǎng)度．
【即學(xué)即練3】
1．（23-24六年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）作圖題：如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，根據(jù)下列語(yǔ)句畫(huà)圖：
(1)做射線；
(2)取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P既在直線上又在直線上；
(3)若A、C兩點(diǎn)之間的距離為4，B、D兩點(diǎn)之間的距離為3，點(diǎn)M到A，B，C，D四點(diǎn)距離之和最短．畫(huà)出點(diǎn)M的位置，并寫(xiě)出該最短距離和是___________．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)圖見(jiàn)解析，
【分析】本題考查射線，直線和線段，以及線段的性質(zhì)：
（1）根據(jù)射線的定義，作圖即可；
（2）直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)；
（3）兩點(diǎn)之間線段最短，得到，的交點(diǎn)即為點(diǎn)，再進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：作射線，如圖；
（2）直線和直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P；
（3）連接，交于M，點(diǎn)M即為所求，最短距離和是
知識(shí)點(diǎn)04 線段的和與差
如下圖：線段AB上有一點(diǎn)C，則AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC，
在這里線段AC、BC、AB表示線段的長(zhǎng)度，如AC+BC=AB表示AC長(zhǎng)度與BC長(zhǎng)度之和等于AB長(zhǎng)度.
【即學(xué)即練4】
1．（23-24六年級(jí)下·山東淄博·期中）如圖，點(diǎn)是線段上兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，．
(1)圖中共有_______條線段；
(2)求的長(zhǎng)；
(3)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）根據(jù)線段的定義即可求解；
（）根據(jù)線段中點(diǎn)定義及線段和差關(guān)系即可求解；
（）利用線段和差關(guān)系求出，再根據(jù)線段的比即可求解；
本題考查了線段，線段的和差，中點(diǎn)的定義，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由圖可得，線段共有條，
故答案為：；
（2）解：∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴．
知識(shí)點(diǎn)05 線段的中點(diǎn)
線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC．
【說(shuō)明】若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C一定在線段AB上．
【即學(xué)即練5】
1．（23-24七年級(jí)上·福建廈門(mén)·開(kāi)學(xué)考試）線段上，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，，，（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)．先由，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得，，最后由線段的和差關(guān)系即可求出結(jié)果．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，
∴，，
∴．
故選：D．
2．（23-24七年級(jí)上·四川自貢·期末）如圖，，，，是直線上的四個(gè)點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．
(1)如果，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______cm；
(2)如果，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________cm；
(3)如果，，求的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)14
(3)．
【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段的和差得出的長(zhǎng)，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得出，．
（1）根據(jù)線段的和，可得的長(zhǎng)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，與的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；
（2）先根據(jù)線段的和與差，計(jì)算出的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，與的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；
（3）根據(jù)（2）的解題過(guò)程，即可解答．
【詳解】（1）解：，，
，
，分別是，的中點(diǎn)，
，，
，
，
故答案為：；
（2）解：，，
，
，分別是，的中點(diǎn)，
，，
，
，
故答案為：14；
（3）解：，，
，
，分別是，的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
．
題型01 兩點(diǎn)之間線段最短
【典例1】（23-24七年級(jí)上·福建漳州·期末）在下列現(xiàn)象中，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)解釋的是（ ）
A．木匠彈墨線B．打靶瞄準(zhǔn)
C．彎曲公路改直 D．拉繩插秧
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短、兩點(diǎn)確定一條直線
【分析】本題考查的是線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間，線段最短．，根據(jù)線段的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：A、B、D依據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線；
C依據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短．
．
【變式1】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）“愚公移山”是我國(guó)著名的寓言故事，它告訴了我們堅(jiān)持不懈的道理．如圖，假設(shè)愚公在運(yùn)輸山石等雜物時(shí)（從點(diǎn)運(yùn)輸?shù)近c(diǎn)），有條路可行，線路：折線．線路：折線．線路：．線路：線段AB．如果僅從距離最短考慮，愚公選取的線路應(yīng)是（ ）
A．線路B．線路C．線路D．線路
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短
【分析】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷求解，掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴僅從距離最短考慮，愚公選取的線路應(yīng)是線路，
故選：．
【變式2】（23-24八年級(jí)下·重慶開(kāi)州·開(kāi)學(xué)考試）直線是一條河，，是在同側(cè)的兩個(gè)村莊，欲在上的處修建一個(gè)水泉站，向，兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則處到，兩地距離之和最短的方案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)及最短路徑問(wèn)題解答．
本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的應(yīng)用．熟練掌握線段和最短的解法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意，符合題意的作法是
故選：D．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，一只電子螞蟻從正方體的頂點(diǎn)處沿著表面爬到頂點(diǎn)處，電子螞蟻的爬行路線在平面展開(kāi)圖（部分）中如實(shí)線所示，其中路線最短的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短、最短路徑問(wèn)題
【分析】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，通過(guò)平面展開(kāi)圖和兩點(diǎn)之間線段最短即可求解，正確理解兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：一只螞蟻要從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)沿表面爬行到頂點(diǎn)，
根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，則沿線段爬行，就可以使爬行路線最短，
故選：．
題型02 線段的應(yīng)用
【典例2】（23-24七年級(jí)下·山東泰安·期中）一條鐵路有個(gè)火車(chē)站，若一列火車(chē)往返過(guò)程中必須?？棵總€(gè)車(chē)站，則鐵路局需為這條線路準(zhǔn)備車(chē)票（ ）種．
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】直線、線段、射線的數(shù)量問(wèn)題
【分析】本題考查了線段的概念：直線上兩點(diǎn)間的有限部分（包括兩個(gè)端點(diǎn)），熟記概念是解題關(guān)鍵．
【詳解】如圖，線段上點(diǎn)到點(diǎn)個(gè)點(diǎn)代表個(gè)火車(chē)站，

圖中的線段一共有：（條）
每?jī)蓚€(gè)車(chē)站有往返兩種情況，所以，車(chē)票的種類(lèi)一共：（種）
．
【變式1】（23-24六年級(jí)下·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）乘特快列車(chē)從濟(jì)南西站出發(fā)，沿途經(jīng)過(guò)泰安站、曲阜東站、滕州東站，最后到達(dá)棗莊站，那么從濟(jì)南西站到棗莊站這段線路的火車(chē)票最多有（ ）
A．6種B．20種C．10種D．12種
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】直線、線段、射線的數(shù)量問(wèn)題
【分析】本題考查了線段條數(shù)的問(wèn)題，根據(jù)題意確定出數(shù)學(xué)模型，求出五點(diǎn)確定出線段的條數(shù)即可得到答案．
【詳解】解：∵一共有五個(gè)站，相當(dāng)于有5個(gè)點(diǎn)，
∴從濟(jì)南西站到棗莊站這段線路的火車(chē)票張數(shù)即為5個(gè)點(diǎn)所能組成的線段條數(shù)，
∵2點(diǎn)能確定一條線段，
∴5個(gè)點(diǎn)一共最多能確定條線段，
∴從濟(jì)南西站到棗莊站這段線路的火車(chē)票最多有10種，
【變式2】（23-24七年級(jí)上·廣西百色·期末）由百色站至南寧站的某趟動(dòng)車(chē)，運(yùn)行途中停靠的車(chē)站依次是：百色站—田陽(yáng)站—田東站—平果站—隆安站—南寧站，那么鐵路運(yùn)營(yíng)公司要為這條路線制作的往返車(chē)票有 種．
【答案】30
【知識(shí)點(diǎn)】直線、線段、射線的數(shù)量問(wèn)題
【分析】本題考查線段、直線、射線，掌握線段條數(shù)的計(jì)算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．將每一個(gè)車(chē)站看作一個(gè)點(diǎn)，鐵路線為線段，求出所有線段條數(shù)的2倍即可．
【詳解】解：如圖：
圖中線段的條數(shù)為（條），
（種），
即鐵路運(yùn)營(yíng)公司為這條路線制作的往返車(chē)票有30種．
故答案為：30．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·河南許昌·期末）前段時(shí)間，一條好消息迅速在長(zhǎng)葛人朋友圈刷屏：大長(zhǎng)葛也有地鐵了！鄭許市域鐵路12月26日-27日免費(fèi)試乘，“雙城生活模式”正式啟動(dòng)．圖中展示了鄭許市域鐵路長(zhǎng)葛市域內(nèi)的五個(gè)站點(diǎn)，若要滿足乘客在這五個(gè)站點(diǎn)之間的往返需求，鐵路公司需要準(zhǔn)備 種不同的車(chē)票．

【答案】20
【知識(shí)點(diǎn)】直線、線段、射線的數(shù)量問(wèn)題
【分析】此題考查了數(shù)線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握“直線上有個(gè)點(diǎn)，則線段的數(shù)量有條”．先求得單程的車(chē)票數(shù)，在求出往返的車(chē)票數(shù)即可．
【詳解】解：5個(gè)點(diǎn)中線段的總條數(shù)是（種），
∵任何兩站之間，往返兩種車(chē)票，
∴應(yīng)印制（種），
故答案為：20．
題型03 線段的和與差
【典例3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)C在線段上，，則 ．
【答案】4
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差
【分析】本題主要考查了線段的和差計(jì)算，根據(jù)線段的和差關(guān)系列式求解即可．
【詳解】解；∵點(diǎn)C在線段上，，
∴，
故答案為：．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·期末）線段AB的長(zhǎng)為，延長(zhǎng)AB到，使，再反向延長(zhǎng)AB到，使，則線段CD的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離、線段的和與差
【分析】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
根據(jù)已知分別得出的長(zhǎng)，即可得出線段的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵線段，延長(zhǎng)到C，使，再反向延長(zhǎng)到D，使，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）同一條直線上有三點(diǎn)且線段，點(diǎn)是的中點(diǎn)，厘米，則線段的長(zhǎng)為 ．
【答案】或/或
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)，和差運(yùn)算，根據(jù)題意，由點(diǎn)為中點(diǎn)，，可得的值，圖形結(jié)合，分類(lèi)討論即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如圖所示，
∵，
∴，
∴
∴；
故答案為：或 ．
【變式3】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知線段．
(1)若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為 ；
(2)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為 ；
(3)若點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】(1)7
(2)4.5
(3)3或6
【知識(shí)點(diǎn)】線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題考查線段的和差，線段中點(diǎn)、以及三等分點(diǎn)的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于利用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．
（1）根據(jù)線段的和差計(jì)算即可；
（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的特點(diǎn)計(jì)算即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)為的三等分點(diǎn)分兩種情況討論：①點(diǎn)靠近點(diǎn)；②點(diǎn)靠近點(diǎn)，結(jié)合線段的和差計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：；
故答案為：．
（2）解：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
；
故答案為：4.5．
（3）解：點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，
①當(dāng)點(diǎn)靠近點(diǎn)時(shí)，
；
②當(dāng)點(diǎn)靠近點(diǎn)時(shí)，
；
綜上所述，的長(zhǎng)為3或6．
故答案為：3或6．
題型04 作線段（尺規(guī)作圖）
【典例4】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知線段，用直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡），并用字母表示所作線段．
(1)作一條線段，使它等于；
(2)作一條線段，使它等于．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】作線段(尺規(guī)作圖)
【分析】本題主要考查了線段的尺規(guī)作圖：
（1）如圖所示，先作射線，再以A為圓心，線段a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線于B，再以B為圓心，線段c的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線于C，最后以C為圓心，線段c的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線于D，則線段即為所求；
（2）如圖所示，先作射線，再以A為圓心，線段a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線于B，再以B為圓心，線段b的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線于E，則線段即為所求．
【詳解】（1）解：如圖所示，先作射線，再以A為圓心，線段a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線于B，再以B為圓心，線段c的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線于C，最后以C為圓心，線段c的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線于D，則線段即為所求；
（2）解：如圖所示，先作射線，再以A為圓心，線段a的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線于B，再以B為圓心，線段b的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線于E，則線段即為所求．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·天津·期末）按要求畫(huà)一畫(huà)，再填空：
(1)畫(huà)線段；
(2)延長(zhǎng)線段到點(diǎn)C，使；
(3)延長(zhǎng)線段到點(diǎn)，使；
(4)根據(jù)上述畫(huà)法可知， ， ．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
(4)2；；
【知識(shí)點(diǎn)】畫(huà)出直線、射線、線段、線段的和與差、作線段(尺規(guī)作圖)
【分析】此題重點(diǎn)考查尺規(guī)作圖、用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段、線段的中點(diǎn)、線段的和差等知識(shí)與方法，正確地按要求作出圖形是解題的關(guān)鍵．
（1）作射線并在上取一點(diǎn)，即得到線段；
（2）在的延長(zhǎng)線上截取，即得到所求的點(diǎn)；
（3）以為端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，在的延長(zhǎng)線上截取，即得到所求的點(diǎn)；
（4）由，，得，則是線段的中點(diǎn)，所以；由，，得，于是得到問(wèn)題的答案．
【詳解】（1）解：如圖1，作射線，在上取一點(diǎn)，
線段就是所求的線段；
（2）解：如圖2，在的延長(zhǎng)線上截取，
點(diǎn)就是所求的點(diǎn)；
（3）解：如圖3，以為端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，在的延長(zhǎng)線上截取，
點(diǎn)就是所求的點(diǎn)；
（4）解：，，
，
是線段的中點(diǎn)，
；
，，
，
，
，
故答案為：2，，．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·福建福州·期末）如圖，已知線段，其中，．
(1)作線段，使得；(尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)
(2)若點(diǎn)P是（1）中所作的線段的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差、作線段(尺規(guī)作圖)
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作線段，線段的中點(diǎn)，線段的和差．解題的關(guān)鍵在于明確線段之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）依次按步驟尺規(guī)作圖即可；
（2）先求出，然后根據(jù)線段中點(diǎn)定義求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求．
（2）解：，，
，
，
，
點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，
．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·河南三門(mén)峽·階段練習(xí)）如圖，在平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)A，B，
(1)請(qǐng)利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，按下面的要求作圖
（保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法，不寫(xiě)結(jié)論）：
①連接，作射線；
②在射線上作線段，使．
(2)在（1）中所作的圖形中，若，，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出點(diǎn)P，并求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)2
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、畫(huà)出直線、射線、線段、作線段(尺規(guī)作圖)
【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段，射線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．
（1）①根據(jù)線段，射線的定義畫(huà)出圖形即可．②根據(jù)要求作出圖形即可．
（2）利用線段和差定義以及線段的中點(diǎn)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
【詳解】（1）解：（1）①如圖，線段，射線即為所求作．
②如圖，線段即為所求作．
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴．
題型05 線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【典例5】（23-24七年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，線設(shè)，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)．
(1)如圖①，求線段的長(zhǎng)；
(2)如圖②，點(diǎn)N是線段上的一點(diǎn)，且滿足，求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離，掌握線段中點(diǎn)的定義是正確解答的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義以及圖形中線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）由線段的比例關(guān)系以及線段中點(diǎn)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，
，
又點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，，
；
（2）解：，
，
∴
．
【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如果一點(diǎn)在由兩條公共端點(diǎn)的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長(zhǎng)度相等的兩部分，我們稱(chēng)該點(diǎn)為這條折線的“折中點(diǎn)”．已知點(diǎn)D是圖中折線的“折中點(diǎn)”，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：
(1)①若，點(diǎn)D在線段______（填“”或“”）上；
②若，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
(2)若E為線段的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)①，②2或14
(2)的長(zhǎng)度是4或28
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題主要考查了線段的和差計(jì)算，線段中點(diǎn)的定義：
（1）①根據(jù)“折中點(diǎn)”的定義進(jìn)行求解即可；②分當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，兩種情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的示意圖，進(jìn)行討論求解即可；
（2）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到的長(zhǎng)，再同分當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，兩種情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的示意圖，進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵，點(diǎn)D是圖中折線的“折中點(diǎn)”，
∴點(diǎn)D在線段上，
故答案為：；
②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，
∵，
∴，
∵，
∴
如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，
∵，
∴，
∴；
綜上所述，的長(zhǎng)為2或14；
（2）解：E為線段中點(diǎn)，，
∴．
①點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖所示，
∵，
∴．
∵D為折中點(diǎn)，
∴．
∴；
②點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖所示，
∴，
∴．
∴．
∴．
綜上所述，的長(zhǎng)度是4或28．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·安徽·單元測(cè)試）如圖，為線段AB上一點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)．
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)若，求的值．
【答案】(1)4
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題主要考查線段中點(diǎn)，線段和差的計(jì)算，
（1）根據(jù)題意，，由此即可求解；
（2）由（1）可得，，由此可得，，代入計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）可得，，，
∵，
∴，
∴．
【變式3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，，，，是直線上的四個(gè)點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)如果，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______；
(2)如果，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________；
(3)如果，，求的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)14
(3)，理由見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、兩點(diǎn)間的距離
【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段的和差得出的長(zhǎng)，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得出，．
（1）根據(jù)線段的和，可得的長(zhǎng)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，與的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；
（2）先根據(jù)線段的和與差，計(jì)算出的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，與的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；
（3）根據(jù)（2）的解題過(guò)程，即可解答．
【詳解】（1）解：，，
，
，分別是，的中點(diǎn)，
，，
，
，
故答案為：；
（2）解：，，
，
，分別是，的中點(diǎn)，
，，
，
，
故答案為：14；
（3）解：，，
，
，分別是，的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
．
題型06 線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【典例6】（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）二等分點(diǎn)：又叫線段的 ，把線段分成 的兩部分．
即：如圖，若點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，則或
三等分點(diǎn)：把線段分成 的三部分．以此類(lèi)推．
【答案】 中點(diǎn) 相等 相等
【知識(shí)點(diǎn)】線段之間的數(shù)量關(guān)系、線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)，線段的三等分點(diǎn)，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】二等分點(diǎn)：又叫線段的中點(diǎn)，把線段分成相等的兩部分．
即：如圖，若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，

則或
三等分點(diǎn)：把線段分成相等的三部分．以此類(lèi)推．
故答案為：中點(diǎn)；相等；相等．
【變式1】（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知線段，延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使，點(diǎn)D、E均為線段延長(zhǎng)線上兩點(diǎn)，且，M、N分別是線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為 ．
【答案】40或80
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題考查了線段的和差問(wèn)題，畫(huà)出線段有助于更直觀地解題，注意分情況討論．分時(shí)和時(shí)兩種情況，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形分別討論求解即可．
【詳解】解：∵，，N是線段的中點(diǎn)，
∴，，
①若，如圖1所示：
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵M(jìn)是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，
∴，，
∴；
②若，如圖：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵M(jìn)是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，
∴，，
∴；
故答案為：40或80．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，為線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，已知．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題考查的是線段的中點(diǎn)的含義，線段的和差關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)線段的和差，求得的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可求出的長(zhǎng)；
（2）先求得的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差，可得答案．
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以；
（2）解：因?yàn)?，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，
所以，
則．
所以．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·江西南昌·期末）已知線段，C是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．
(1)若M，N分別是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度；
(2)若，，求的長(zhǎng)；
(3)在（2）的條件下，若且G點(diǎn)在直線上，，求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題考查了線段的n等分點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，線段的和差，理解線段n等分點(diǎn)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
（1）由中點(diǎn)的定義可得，，然后根據(jù)求解即可；
（2）由，可得，，然后根據(jù)求解即可；
（3）先求出線段的長(zhǎng)，然后分點(diǎn)G在線段上和點(diǎn)G在線段的延長(zhǎng)線上兩種情況求解即可．
【詳解】（1）∵M(jìn)，N分別是的中點(diǎn)，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)G在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，．
綜上可知，的長(zhǎng)度為或．
題型07 與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
【典例7】（22-23七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖①，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段厘米，厘米，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)．
(1)求線段的長(zhǎng)度；
(2)根據(jù)第（1）題的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，設(shè)，其他條件不變，求的長(zhǎng)度；
(3)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)：
①點(diǎn)P恰好為線段的中點(diǎn)？
②直接寫(xiě)出C、P、Q三點(diǎn)中有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)？（除①外）
【答案】(1)厘米
(2)
(3)① ②或
【知識(shí)點(diǎn)】與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)和計(jì)算，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類(lèi)討論，以防遺漏．
（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義、線段的和差，可得答案；
（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義、線段的和差，可得答案；
（3）①分為為線段的中點(diǎn)和為線段的中點(diǎn)，利用線段中點(diǎn)的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；
②分為C為線段的中點(diǎn)和點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，利用線段中點(diǎn)的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．
【詳解】（1）解：∵線段 厘米， 厘米，點(diǎn), 分別是, 的中點(diǎn),
厘米， 厘米，
厘米；
（2）∵點(diǎn), 分別是的中點(diǎn),
，
；
（3）解：①當(dāng) 時(shí)，為線段的中點(diǎn)，，
解得；
②當(dāng)時(shí)，是線段的中點(diǎn)，得
解得
當(dāng) 時(shí)，為線段的中點(diǎn)，
解得
當(dāng)時(shí)，為線段的中點(diǎn)，
解得(舍) ,
綜上所述：或
【變式1】（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是線段上一點(diǎn)，，，兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)沿射線向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)處即停止運(yùn)動(dòng)．
(1)若點(diǎn)，的速度分別是，．
①若，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)了時(shí)，求的值；
②若點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，求；
(2)若動(dòng)點(diǎn)，的速度分別是，，點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)；；
(2)．
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
【分析】（）先計(jì)算，再計(jì)算即可；利用中點(diǎn)的性質(zhì)求解即可；
（）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，得到，又由，得到，進(jìn)而得到即可求解；
本題考查了線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、求線段的長(zhǎng)度，充分利用中點(diǎn)和線段的倍數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由題意得：，，
；
∵點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也剛好到達(dá)的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，
則：，，
；
（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，
，
，
．
【變式2】（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖1，M是定長(zhǎng)線段上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）
(1)若，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了，求的值．
(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，直接填空： ___________．
(3)在（2）的條件下，N是直線上一點(diǎn)，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或1
【知識(shí)點(diǎn)】與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、線段的和與差
【分析】（1）本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意算出，，再由，即可解題．
（2）本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則，，根據(jù)，，結(jié)合，即可解題．
（3）本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)N是直線上一點(diǎn)，且，可分為以下兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)合線段之間的和差關(guān)系，得出與的數(shù)量關(guān)系，即可解題．
【詳解】（1）解：（1）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了時(shí)，，，
，，，
．
（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
則，，
，，
又，
，
即，
，
，
，
故答案為：．
（3）解：當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，如圖
，
又，
，
，即．
當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：
，
又，
，即．綜上所述的值為或．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·江西南昌·期末）已知：如圖，點(diǎn)M是線段上一定點(diǎn)，，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）
(1)若，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了，此時(shí) ， ；（直接填空）
(2)當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了，求的值；
(3)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，則 ；（直接填空）
(4)在（3）的條件下，是直線上一點(diǎn)，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)或1
【知識(shí)點(diǎn)】與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、線段之間的數(shù)量關(guān)系、線段的和與差
【分析】本題考查了線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，線段的和差，較難的是題（4），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
（1）先求出、的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差即可得；
（2）先求出與的關(guān)系，再根據(jù)線段的和差即可得；
（3）根據(jù)已知得，然后根據(jù)，代入即可求解；
（4）分點(diǎn)N在線段上和點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上兩種情況，再分別根據(jù)線段的和差倍分即可得．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，，，
∵，，
∴，
∴，，
故答案為：；．
（2）解：當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了時(shí)，，，
∵，
∴；
故答案為：；
（3）解：根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案為：；
（4）解：①當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，如圖1，

∵，
又∵
∴，
∴
∴；
②當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，

∵，
又∵，
∴，
∴；
綜上所述：或1．
一、單選題
1．（24-25七年級(jí)上·遼寧·期末）在直線上順次取三點(diǎn)、、，使線段，，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差
【分析】本題考查了線段的和差運(yùn)算，根據(jù)在直線上順次取三點(diǎn)、、，得出，再代數(shù)計(jì)算，即可作答．
【詳解】解：在直線上順次取三點(diǎn)、、，
，
，，
，
故選：D．
2．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）有下列三個(gè)生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：①植樹(shù)時(shí)，只要定出兩棵樹(shù)的位置，就能確定同一行樹(shù)所在的直線；②從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段架設(shè)；③把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中，可用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短”來(lái)解釋的現(xiàn)象有（ ）．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短、兩點(diǎn)確定一條直線
【分析】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，從兩點(diǎn)之間起到的作用，用途出發(fā)，試想一個(gè)點(diǎn)會(huì)不會(huì)達(dá)到如此的效果即能判斷．①根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì)即可求解；②對(duì)，兩點(diǎn)之間線段最短，減少了距離；③對(duì)，兩點(diǎn)之間線段最短，減少了距離．
【詳解】解：①屬于兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì)，不符合題意；
②從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著直線架設(shè)，是兩點(diǎn)之間，線段最短，符合題意；
③兩點(diǎn)之間線段最短，減少了距離，符合題意．
．
3．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）已知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)．若線段，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題主要考查線段的和差，根據(jù)題意作圖，分情況討論，由線段之間的關(guān)系求解即可得到答案；
【詳解】解：如圖，
∵點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，，
∴，
①當(dāng)時(shí)，，
∴；
②當(dāng)時(shí)，，
∴；
．
4．（23-24六年級(jí)下·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知是線段中點(diǎn)，延長(zhǎng)線段至，使，則下列結(jié)論中①；②；③；④；⑤；⑥，正確的有（ ）
A．①②④⑥B．①②⑤⑥C．①②③④D．②③⑤⑥
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、兩點(diǎn)間的距離
【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段線段中點(diǎn)的定義．根據(jù)線段中點(diǎn)的定義以及線段的和差逐一判斷即可得到結(jié)論．
【詳解】解：是線段中點(diǎn)，
，故①正確；
，
，故②正確；
，，故③④錯(cuò)誤；
是線段中點(diǎn)，
，
，
，故⑤正確；
，，
，故⑥正確；
故選：B．
5．（23-24七年級(jí)下·重慶沙坪壩·開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知C是線段上的一點(diǎn)，P、Q分別是線段的中點(diǎn)，M、N分別是線段的中點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是由線段中點(diǎn)定義得到，即可求出的值為．
由線段中點(diǎn)定義得到，由，即可得到，由線段中點(diǎn)定義得到，因此，即可求出的值為．
【詳解】解：∵分別是線段的中點(diǎn)，
，
，
，
，
∵分別是線段的中點(diǎn)，
，
，
，
，
的值為，
故選：B．
二、填空題
6．（23-24七年級(jí)上·江西贛州·期末）把原來(lái)彎曲的河道改直，河道長(zhǎng)度變短，其原理能用基本事實(shí)“ ”解釋?zhuān)?br>【答案】?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短
【分析】本題主要考查了線段的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短．
根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短求解即可．
【詳解】解：把原來(lái)彎曲的河道改直，則河道的長(zhǎng)度變短了，這里用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是兩點(diǎn)之間線段最短．
故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短．
7．（23-24六年級(jí)下·黑龍江大慶·期末）往返A(chǔ)，B兩地的客車(chē)，中途?？?jī)蓚€(gè)站，客運(yùn)站根據(jù)兩站之間的距離確定票價(jià)（距離不相等，票價(jià)就不同）．若任意兩站之間的距離都不相等，則不同的票價(jià)共有 種．
【答案】6
【知識(shí)點(diǎn)】直線、線段、射線的數(shù)量問(wèn)題
【分析】本題考查直線、射線、線段，掌握線段條數(shù)的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．
根據(jù)線段的數(shù)量解答即可．
【詳解】
解：如圖，
圖中共有條線段，即，，， ，，，
因此不同的票價(jià)共有6種，
故答案為：6．
8．（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）在同一班上學(xué)的小明、小偉、小紅三位同學(xué)住在A，B，C三個(gè)住宅區(qū)，如圖（A，B，C三點(diǎn)在一條直線上），且．他們打算合租一輛接送車(chē)去上學(xué)，由于車(chē)位緊張，準(zhǔn)備在此三個(gè)點(diǎn)之中只設(shè)一個(gè)點(diǎn)為?？奎c(diǎn)．為使三位同學(xué)步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，你認(rèn)為停靠點(diǎn)的位置應(yīng)該設(shè)在點(diǎn) 處．

【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、兩點(diǎn)之間線段最短
【分析】本題考查直線、射線、線段,熟記線段的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知?？奎c(diǎn)在B時(shí)，三人步行的路程之和最小為間的距離．
【詳解】解：當(dāng)?？奎c(diǎn)在B小區(qū)時(shí)，三位同學(xué)步行到?？奎c(diǎn)的路程之和為：
，
當(dāng)?？奎c(diǎn)在A小區(qū)時(shí)，三位同學(xué)步行到停靠點(diǎn)的路程之和為：
，
當(dāng)停靠點(diǎn)在C小區(qū)時(shí)，三位同學(xué)步行到?？奎c(diǎn)的路程之和為：
，
∵，
∴?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在B小區(qū)．
故答案為：B．
9．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，一條直線上從左到右依次有A、B、C、…、S共19個(gè)點(diǎn)，已知點(diǎn)A與其他點(diǎn)的距離之和為2024，點(diǎn)D與其他點(diǎn)的距離之和為1949，若，則點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離為 ．
【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差
【分析】設(shè)，則，，再得出一個(gè)端點(diǎn)是A的線段和一段端點(diǎn)是D的線段，再求出兩者之差，即可．
本題考查線段的和差，圖形變換的規(guī)律，根據(jù)線段的規(guī)律得出方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)，則，，則，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：3．
10．（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）已知點(diǎn)是線段AB上的點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，若點(diǎn)是DB的中點(diǎn)，則線段CE的長(zhǎng)為 ．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題考查了線段的和差計(jì)算，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，分點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，分別畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，即可求解．
【詳解】解：∵
∴，
∵，
∴，
①如圖，若點(diǎn)在線段上，
∴，
∵點(diǎn)是DB的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
②如圖，若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，
∴，
∵點(diǎn)是DB的中點(diǎn)，
∴，
∴，
故答案為：或．
三、解答題
11．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，兩個(gè)村莊在一條河（不計(jì)河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到兩個(gè)村莊的距離之和最小，在圖中畫(huà)出點(diǎn)C的位置．
【答案】見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短
【分析】此題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，正確將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．利用兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)而分析得出答案．
【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，如圖所示，連接AB與直線的交點(diǎn)C即為所求碼頭的位置．
12．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是線段的中點(diǎn)．

(1)如圖①，若點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)_____，線段長(zhǎng)______；
(2)如圖②，若點(diǎn)P是線段上的任意一點(diǎn)，且，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)20；10；
(2)．
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計(jì)算：
（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，則，，再由線段中點(diǎn)的定義得到，則；
（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，則可得．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，，
∴，
∵點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，
∴，，
∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，
∴，
∴；
（2）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，
∴，
∴．
13．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)B，D在線段上．
(1)填空：
①圖中有______條線段，以A為端點(diǎn)的線段有_____條；
②___________．
(2)若D是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)，且，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)①6；3，②；
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、直線、線段、射線的數(shù)量問(wèn)題、線段的和與差
【分析】本題主要考查了線段的條數(shù)問(wèn)題，與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計(jì)算；
（1）①根據(jù)兩點(diǎn)確定一條線段進(jìn)行求解即可；②根據(jù)線段的和差關(guān)系求解即可；
（2）先由線段中點(diǎn)的定義得到，則，據(jù)此可得．
【詳解】（1）解：①圖中的線段有共6條線段，其中以A為端點(diǎn)的線段有3條；
②由題意得，；
（2）解：∵D是線段的中點(diǎn)，，
∴．
∵，
∴，
∴．
14．（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期中）如圖，已知點(diǎn)，，，．按要求畫(huà)圖（保留作圖痕跡）．
(1)連接，作射線，并在射線上截?。?br>(2)畫(huà)點(diǎn)P，使的值最??；
(3)畫(huà)點(diǎn)E，使點(diǎn)E既在直線上，又在直線上．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】畫(huà)出直線、射線、線段、作線段(尺規(guī)作圖)
【分析】本題考查了畫(huà)直線、射線、線段，熟練掌握直線、射線、線段的定義是解此題的關(guān)鍵．
（1）連接，作射線、線段即可；
（2）連接、相交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；
（3）作直線、交于點(diǎn)．
【詳解】（1）解：如圖，線段、射線、線段即為所作；
（2）解：如圖，點(diǎn)即為所作，
（3）解：如圖，點(diǎn)即為所作，
15．（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）A，B 兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點(diǎn) A 對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，且．動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t）．

(1)當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為 ，點(diǎn) P 表示的有理數(shù)為 ；
(2)當(dāng)時(shí)，求t的值；
(3)M為線段的中點(diǎn)，N 為線段 的中點(diǎn)．在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)2，；
(2)或；
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離
【分析】本題主要是考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，線段的和差運(yùn)算和線段的中點(diǎn)的定義，只要能夠畫(huà)出圖形就可以輕松解決，但是要注意考慮問(wèn)題要全面．
（1）根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度，即可求出；
（2）當(dāng)時(shí)，要分兩種情況討論，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)或是右側(cè)；
（3）分兩種情況結(jié)合中點(diǎn)的定義可以求出線段的長(zhǎng)度不變．
【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，
所以當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為2，
因?yàn)辄c(diǎn) A 對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，，
所以點(diǎn)P表示的有理數(shù)為；
（2）解：當(dāng)，要分兩種情況討論，
點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，因?yàn)椋裕裕?br>點(diǎn)P在點(diǎn)B的是右側(cè)時(shí)，，所以；
（3）解：MN長(zhǎng)度不變且長(zhǎng)為5．
理由如下：當(dāng)在線段上時(shí)，如圖，

∵M(jìn)為線段 的中點(diǎn)，N 為線段的中點(diǎn)，
∴，，
∴ ，
∵，
∴．
當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

同理可得：；
綜上：．
16．（23-24七年級(jí)上·江蘇常州·期末）直線l上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，若滿足，則稱(chēng)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“半距點(diǎn)”．如圖1， ，此時(shí)點(diǎn)C就是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的一個(gè)“半距點(diǎn)”．
若M、N、P三個(gè)點(diǎn)在同一條直線m上，且點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，．
(1) ． ；
(2)若點(diǎn)G也是直線m上一點(diǎn)，且點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．
【答案】(1)4；12或4
(2)或
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、兩點(diǎn)間的距離、線段的和與差
【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解決本題的關(guān)鍵是分情況討論．
（1）根據(jù)點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，可得，然后分兩種情況，求解即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，結(jié)合（1）分兩種情況即可求得線段的長(zhǎng)度．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，．
∴，
若點(diǎn)P在射線上，；
若點(diǎn)P在線段上，；
綜上所述，或4；
故答案為：4；12或4
（2）解：若點(diǎn)P在射線上，
∵點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，
∴，
∴；
若點(diǎn)P在線段上，
∵點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，
∴，
∴；
綜上所述，線段的長(zhǎng)度為或．
17．（24-25七年級(jí)上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的有理數(shù)分別為，3，點(diǎn)P是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），M是線段靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0，那么的長(zhǎng)為_(kāi)__________；若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是6，那么的長(zhǎng)為_(kāi)__________．
；
綜上所述，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合）的過(guò)程中，的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生改變，長(zhǎng)是定值．
18．（23-24七年級(jí)上·安徽蚌埠·開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)C在線段上，，點(diǎn)D、E在直線上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，
(1)若，，線段DE在線段上移動(dòng)，
①如圖1，當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；
(2)若，線段在直線上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式，求．
【答案】(1)①7；②或
(2)或．
【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差
【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和差、準(zhǔn)確識(shí)圖分類(lèi)討論DE的位置是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)已知條件得到，①由線段中點(diǎn)的定義得到，求得，由線段的和差得到；②當(dāng)點(diǎn)C線段DE的三等分點(diǎn)時(shí)，可求得或，則或，由線段的和差即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段之間時(shí)，設(shè)，則，求得，設(shè)，得到，求得，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，設(shè)，則，設(shè)，求得，得到，于是得到結(jié)論．
【詳解】（1）∵，
∴，
①∵E為中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵點(diǎn)C是線段DE的三等分點(diǎn)，，
∴或，
∴或，
∴或；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段之間時(shí)，如圖，
設(shè)，
則，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴x，
∴；
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，如圖，
設(shè)，同理，
設(shè)，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
當(dāng)點(diǎn)E在線段上及點(diǎn)E在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，無(wú)解，
綜上所述的值為或．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解兩點(diǎn)之間線段最短的事實(shí)
②兩點(diǎn)間的距離和線段中點(diǎn)
1．理解兩點(diǎn)之間線段最短的事實(shí)；
2．知道兩點(diǎn)間的距離和線段中點(diǎn)的含義，并能進(jìn)行線段的計(jì)算.

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