知識點01 規(guī)律類：數(shù)字變化型
一、等差規(guī)律：前后兩項差幾寫成幾×n，令 n=1，在通過加減來湊第一個數(shù)。
例如：上面的第（3）列數(shù)，相差 3，則先得到 3n，而第 1 項是 4，當 n=1 時，
3n=3，3+1=4，所有第n項表示為 3n+1.
拓展延申：
【即學即練1】
1．（23-24七年級下·江蘇常州·期中）“一尺之錘，日取其半，萬世不竭．”在如圖的三角形中，一條中線將一個三角形分為面積相等的兩部分，在此基礎上再作一條中線，可得到原三角形一半面積的一半，即，已知，根據(jù)這個幾何圖形的規(guī)律求得…的值為（ ）
A．1B．C．D．
2．（23-24九年級下·廣東茂名·期末）觀察下列等式：，，，，，，，，．回答下面問題：的末位數(shù)字是 ．
知識點02 規(guī)律型：圖形變化類
1.基本思想：圖形規(guī)律 數(shù)字規(guī)律
2.基本方法：
（1）從具體的實際問題出發(fā),觀察各個數(shù)量的特點及相互之間的變化規(guī)律.
（2）由此及彼,合理聯(lián)想,大膽猜想
（3）善于類比,從不同事物中發(fā)現(xiàn)相似或相同點；
（4）總結規(guī)律,得出結論,并驗證結論正確與否;
【即學即練2】
1．（2024·安徽池州·三模）化學中把僅有碳和氫兩種元素組成的有機化合物稱為碳氫化合物，又叫烴，如圖，這是部分碳氫化合物的結構式，第1個結構式中有1個C和4個H，分子式是；第2個結構式中有2個C和6個H，分子式是；第3個結構式中有3個C和8個H，分子式是…按照此規(guī)律，回答下列問題．
(1)第6個結構式的分子式是________；
(2)第n個結構式的分子式是________；
(3)試通過計算說明分子式的化合物是否屬于上述的碳氫化合物．
2．（2024·安徽馬鞍山·二模）【觀察思考】
用同樣大小的圓形棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個圖形中有6個棋子，第2個圖形中有9個棋子，第3個圖形中有12個棋子，第4個圖形中有15個棋子，以此類推．
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
（1）第6個圖形中有____________個圓形棋子；
（2）第n個圖形中有____________個圓形棋子；（用含n的代數(shù)式表示）
【規(guī)律應用】
（3）將2024個圓形棋子按照題中的規(guī)律一次性擺放，且棋子全部用完．若能擺放，是第幾個圖形？若不能，請說明理由．
題型01 數(shù)字類規(guī)律探索之排列問題
【典例1】（24-25七年級上·江蘇蘇州·階段練習）按一定規(guī)律排成的一列數(shù)：，，，，，，，則這列數(shù)中的第2016個數(shù)是 ．
【變式1】（24-25七年級上·湖北武漢·階段練習）一組數(shù)據(jù)，，，，，按這種規(guī)律得第十個數(shù)為
【變式2】（23-24九年級上·內(nèi)蒙古興安盟·階段練習）一組數(shù)：，，，，，，…，根據(jù)這個規(guī)律，第n個數(shù)是 （n為正整數(shù)）．（用含n的代數(shù)式表示）
【變式3】（23-24七年級下·河北石家莊·開學考試）仔細觀察，思考下面 一列數(shù)有哪些規(guī)律：，2，，8，，32，…，然后填空：
（1）第7個數(shù)是 ，（2）第2012個數(shù)是 ，（3）第n個數(shù)是 ．
題型02 數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問題
【典例2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）已知，，，，，，，推測的個位數(shù)字是 ．
【變式1】（22-23七年級上·河南洛陽·階段練習）觀察等式：，，，，，，，．通過觀察，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定的個位數(shù)字是 ．
【變式2】（23-24七年級下·湖南岳陽·階段練習）已知 ，，， 根據(jù)前面各式的規(guī)律，可得：
（1） ( )；
（2）的值的個位數(shù)字是 ．
題型03 數(shù)字類規(guī)律探索之新運算問題
【典例3】（24-25七年級上·四川成都·開學考試）已知有一個新算符“”，使下列算式，，，那么 ．
【變式1】（23-24七年級上·廣西桂林·期中）定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當n為奇數(shù)時，結果為；②當n為偶數(shù)時，結果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復進行，例如，取，則：
若，則第2024次“F運算”的結果是 ．
【變式2】（23-24八年級上·湖南岳陽·開學考試）定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，依此類推，計算： ．
題型04 數(shù)字類規(guī)律探索之等式問題
【典例4】（24-25七年級上·陜西西安·階段練習）已知，，，，，…，若符合前面式子的規(guī)律，則 ．
【變式1】（24-25八年級上·河北邯鄲·開學考試）觀察下面的等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……
（1）寫出第5個等式： ；
（2）寫出第n個等式： （用含n的式子表示）．
【變式2】（2024·安徽六安·模擬預測）觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；．
…．
(1)請寫出第5個等式：______；
(2)寫出第個等式：______；（用含n的式子表示，n為正整數(shù)）
(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：．
題型05 圖形類規(guī)律探索之數(shù)字問題
【典例5】（2024·湖南·二模）下面每個表格中的四個數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的．

根據(jù)此規(guī)律確定a的值為 ，b的值為 ，x的值為 ．
【變式1】（23-24七年級下·全國·單元測試）某城市大劇院地面的一部分為扇形，觀眾席的座位按如下表方式設置，則第五排、第六排分別有 個座位；第n排有 個座位．
【變式2】（23-24七年級上·安徽·期末）探索規(guī)律：
在數(shù)學探究課上，小明將一張面積為1的正方形紙片進行分割，如圖所示：
第1次分割，將此正方形的紙片三等分，其中空白部分的面積記為；
第2次分割，將第1次分割圖中空白部分的紙片繼續(xù)三等分，其中空白部分的面積記為；
第3次分割，將第2次分割圖中空白部分的紙片繼續(xù)三等分，其中空白部分的面積記為；
……
根據(jù)以上規(guī)律，完成下列問題：
(1)嘗試：第4次分割后，______
(2)初步應用：根據(jù)規(guī)律，求的值．
(3)拓展應用：利用以上規(guī)律，求的值．
題型06 圖形類規(guī)律探索之數(shù)量問題
【典例6】（24-25七年級上·江蘇連云港·階段練習）下列是用火柴棒拼出的一列圖形．
仔細觀察，找出規(guī)律，解答下列各題：
(1)第6個圖中共有______根火柴；
(2)第n個圖形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示）
(3)第2021個圖形中共有多少根火柴？
【變式1】（23-24七年級上·安徽·單元測試）觀察下列圖形中點的個數(shù)．
(1)圖2中點的個數(shù)是 ；
(2)若按其規(guī)律再畫下去，如果圖形中有36個點，那它是第 個圖形；
(3)若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數(shù)為 （用含n的代數(shù)式表示）．
【變式2】（24-25七年級上·全國·單元測試）將一張等邊三角形紙片剪成四個大小、形狀一樣的小等邊三角形（如圖所示），記為第一次操作，然后將其中右下角的等邊三角形又按同樣的方法剪成四小片，記為第二次操作，若每次都把右下角的等邊三角形按此方法剪成四小片，如此循環(huán)進行下去．
(1)如果剪n次共能得到 個等邊三角形．
(2)若原等邊三角形的邊長為1，設表示第n次所剪出的小等邊三角形的邊長，如．
①試用含的式子表示 ；
②計算 ．
【變式3】（23-24七年級上·四川達州·期末）用三角形和六邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案．
(1)第4個圖案中，三角形的個數(shù)有 個，六邊形的個數(shù)有 個；
(2)第n（n為正整數(shù)）個圖案中，三角形的個數(shù)與六邊形的個數(shù)各有多少個？
(3)第2024個圖案中，三角形的個數(shù)與六邊形的個數(shù)各有多少個？
(4)是否存在某個符合上述規(guī)律的圖案，其中有100個三角形與30個六邊形？如果有，指出是第幾個圖案；如果沒有，說明理由．
，，．回答下面問題：的末位數(shù)字是 ．
6．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知一組有理數(shù)a，b，我們將左邊的數(shù)減去右邊相鄰的數(shù)即的值插入到a，b之間稱之為一次“差數(shù)操作”．若，，第一次“差數(shù)操作”得2，5，；第二次“差數(shù)操作”得2，，5，8，；則第2024次“差數(shù)操作”所得數(shù)的和是 ．
7．（2024·湖南婁底·模擬預測）一個自然數(shù)的立方，可以分裂成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，例如：、和分別可以分裂成2個、3個和4個連續(xù)奇數(shù)的和，即，，，…若也按照此規(guī)律來進行分裂，則分裂出的奇數(shù)中，最小的奇數(shù)是 ．
8．（2024·四川成都·模擬預測）觀察按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2，，，…，其中第個數(shù)記為，第個數(shù)記為，且滿足，則 ； ．
三、解答題
9．（23-24七年級上·江西吉安·期中）有一列數(shù)，按一定規(guī)律排列成，…，觀察這列數(shù)的規(guī)律解決如下問題：
(1)第七個數(shù)是______，第n個數(shù)可表示為________；
(2)若其中某三個相鄰數(shù)的積是，求這三個數(shù)的和．
10．（24-25七年級上·河南焦作·開學考試）擺一擺，找規(guī)律．

(1)依次擺下去，圖形⑤是什么圖形？畫出來．
(2)擺圖形⑥需要用多少根小棒？
11．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）觀察下面三行數(shù)：
；①
；②
；③
(1)第①行數(shù)第8個數(shù)是________；
(2)取每行數(shù)的第10個數(shù)，計算這三個數(shù)的和．
12．（23-24八年級下·江西吉安·期末）觀察下面的變形規(guī)律：
解答下面的問題：
(1)若n為正整數(shù)，且寫成上面式子的形式，請你猜想_____．
(2)計算：
(3)計算：
13．（22-23七年級上·江蘇徐州·階段練習）觀察下列圖案：
它們是按照一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，
(1)第1個圖案中共有 ______ 個三角形，第2個圖案中共有______個三角形．
(2)第4個圖案中共有______個三角形，第5個圖案中共有______個三角形．
(3)計算：第120個圖案中三角形的個數(shù)是多少？
14．（23-24七年級上·安徽合肥·單元測試）如圖，每個小正方形的面積均為1．認真研讀圖形及對應的等式，尋找規(guī)律，完成下列問題：
(1)請寫出第5個等式；
(2)猜想第n個等式，用含n的等式表示這個等式；
(3)一個用形狀大小一樣的無數(shù)個小正方體搭成的幾何體，若從其正面看到的形狀圖是上面規(guī)律圖的左圖，從其上面看到的形狀圖是由400個小正方形組成的大正方形，則這個幾何體最多共有多少個小正方體？
15．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，，排成如下的數(shù)表：十字框框出5個數(shù)和（如圖所示），問：
(1)十字框框出5個數(shù)的和與框子正中間的數(shù)17有什么關系？
(2)若將十字框上下左右平移，可框住另外5個數(shù)，這5個數(shù)還有這種規(guī)律嗎？
(3)若設中間的數(shù)為，用代數(shù)式表示十字框框住的5個數(shù)字之和；
(4)十字框框住的5個數(shù)之和能等于2000嗎？能等于2055嗎？若能，請分別寫出十字框框住的5個數(shù)．
課程標準
學習目標
①掌握規(guī)律探索的方法
②掌握從特殊到一般、從個體到整體地觀察
1．初步掌握規(guī)律探索的方法，并能對簡單的規(guī)律進行用數(shù)學語言描述；
2．培養(yǎng)學生對數(shù)和字母應用的理解，從而拓展學生的視野；
3．掌握從特殊到一般、從個體到整體地觀察。分析問題的方法，嘗試從不同角度探究問題， 培養(yǎng)應用意識和創(chuàng)新意識。
排數(shù)
1
2
3
4
…
座位數(shù)
50
53
56
59
…
第05講 探究與表達規(guī)律

知識點01 規(guī)律類：數(shù)字變化型
一、等差規(guī)律：前后兩項差幾寫成幾×n，令 n=1，在通過加減來湊第一個數(shù)。
例如：上面的第（3）列數(shù)，相差 3，則先得到 3n，而第 1 項是 4，當 n=1 時，
3n=3，3+1=4，所有第n項表示為 3n+1.
拓展延申：
【即學即練1】
1．（23-24七年級下·江蘇常州·期中）“一尺之錘，日取其半，萬世不竭．”在如圖的三角形中，一條中線將一個三角形分為面積相等的兩部分，在此基礎上再作一條中線，可得到原三角形一半面積的一半，即，已知，根據(jù)這個幾何圖形的規(guī)律求得…的值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了數(shù)字的規(guī)律，結合圖形可知：，，，……，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解．
【詳解】結合圖形可知：
，
，
，
……
，
則：
故選：B．
【點睛】本題考查分數(shù)乘方的應用，根據(jù)題意得到規(guī)律，掌握有理數(shù)乘方的的運算是解題關鍵．
2．（23-24九年級下·廣東茂名·期末）觀察下列等式：，，，，，，，，．回答下面問題：的末位數(shù)字是 ．
【答案】4
【分析】本題考查了數(shù)字型規(guī)律的探究．2的個位數(shù)字為2；的個位數(shù)字為6；的個位數(shù)字為4；的個位數(shù)字為0；的個位數(shù)字為2；確定循環(huán)節(jié)為4，計算，確定末位數(shù)字即可．
【詳解】解：2的個位數(shù)字為2；
的個位數(shù)字為6；
的個位數(shù)字為4；
的個位數(shù)字為0；
的個位數(shù)字為2；
所以循環(huán)節(jié)為4，
因為，
所以的末位數(shù)字是4．
故答案為：4．
知識點02 規(guī)律型：圖形變化類
1.基本思想：圖形規(guī)律 數(shù)字規(guī)律
2.基本方法：
（1）從具體的實際問題出發(fā),觀察各個數(shù)量的特點及相互之間的變化規(guī)律.
（2）由此及彼,合理聯(lián)想,大膽猜想
（3）善于類比,從不同事物中發(fā)現(xiàn)相似或相同點；
（4）總結規(guī)律,得出結論,并驗證結論正確與否;
【即學即練2】
1．（2024·安徽池州·三模）化學中把僅有碳和氫兩種元素組成的有機化合物稱為碳氫化合物，又叫烴，如圖，這是部分碳氫化合物的結構式，第1個結構式中有1個C和4個H，分子式是；第2個結構式中有2個C和6個H，分子式是；第3個結構式中有3個C和8個H，分子式是…按照此規(guī)律，回答下列問題．
(1)第6個結構式的分子式是________；
(2)第n個結構式的分子式是________；
(3)試通過計算說明分子式的化合物是否屬于上述的碳氫化合物．
【答案】(1)
(2)
(3)不屬于，理由見解析
【分析】本題考查了圖形規(guī)律問題 ，旨在考查學生的抽象概括能力，根據(jù)圖示確定一般規(guī)律即可求解．
（1）由圖可知：第n個結構式中有個C和個H，分子式是，據(jù)此即可求解；
（2）由（1）中的結論即可求解；
（3）令，計算即可判斷；
【詳解】（1）解：由圖可知：第n個結構式中有個C和個H，分子式是；
∴第6個結構式的分子式是，
故答案為：
（2）解：由（1）可知：第n個結構式的分子式是，
故答案為：
（3）解：令，則，
∴分子式的化合物不屬于上述的碳氫化合物
2．（2024·安徽馬鞍山·二模）【觀察思考】
用同樣大小的圓形棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個圖形中有6個棋子，第2個圖形中有9個棋子，第3個圖形中有12個棋子，第4個圖形中有15個棋子，以此類推．
【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】
（1）第6個圖形中有____________個圓形棋子；
（2）第n個圖形中有____________個圓形棋子；（用含n的代數(shù)式表示）
【規(guī)律應用】
（3）將2024個圓形棋子按照題中的規(guī)律一次性擺放，且棋子全部用完．若能擺放，是第幾個圖形？若不能，請說明理由．
【答案】（1）（2）（3）不能，理由見解析
【分析】本題主要考查數(shù)與形結合的規(guī)律，以及列代數(shù)式相關知識，發(fā)現(xiàn)每一個圖形中的棋子數(shù)比前一個圖形多3個是解本題的關鍵．
（1）觀察得到每一個圖形中的棋子數(shù)比前一個圖形多3個，即可得出答案；
（2）根據(jù)（1）中規(guī)律表示出第n個圖形中的棋子數(shù)，即可得解；
（3）由（2）中的規(guī)律可知，，解方程并分析即可解題．
【詳解】（1）解：由圖知，第1個圖形中有個圓形棋子，
第2個圖形中有個圓形棋子，
第3個圖形中有個圓形棋子，
第4個圖形中有個圓形棋子，
，依此類推，
第6個圖形中有個圓形棋子，
故答案為：．
（2）解：由（1）中規(guī)律可知，第個圖形中有個圓形棋子，
故答案為：．
（3）解：不能，理由如下：
由題知，，解得，不為整數(shù)．
2024個圓形棋子不能按照題中的規(guī)律一次性擺放．
題型01 數(shù)字類規(guī)律探索之排列問題
【典例1】（24-25七年級上·江蘇蘇州·階段練習）按一定規(guī)律排成的一列數(shù)：，，，，，，，則這列數(shù)中的第2016個數(shù)是 ．
【答案】
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，此列數(shù)可變?yōu)椋?，，，，，，，可以找到每個分數(shù)與數(shù)的個數(shù)的關系，進而求得第2016個數(shù)，得出規(guī)律是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵，，，
∴此列數(shù)可變?yōu)椋?，，，，，，，每個分數(shù)的分子是數(shù)的個數(shù)，分母是數(shù)的個數(shù)加2，
∴第2016個數(shù)為，即，
故答案是：．
【變式1】（24-25七年級上·湖北武漢·階段練習）一組數(shù)據(jù)，，，，，按這種規(guī)律得第十個數(shù)為
【答案】
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，解題的關鍵是根據(jù)題意找出規(guī)律．
正負間隔出現(xiàn)，分母是連續(xù)的奇數(shù)，分子為連續(xù)自然數(shù)的平方，第項為
【詳解】解：根據(jù)題中規(guī)律可得第項為，
當時，．
故答案為：．
【變式2】（23-24九年級上·內(nèi)蒙古興安盟·階段練習）一組數(shù)：，，，，，，…，根據(jù)這個規(guī)律，第n個數(shù)是 （n為正整數(shù)）．（用含n的代數(shù)式表示）
【答案】
【知識點】用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】
根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)奇數(shù)個數(shù)都是負數(shù)、偶數(shù)個數(shù)都是正數(shù)、整數(shù)部分的絕對值是按照1，2，3，4，…，在變化，分數(shù)部分的分子是一些連續(xù)的奇數(shù)，分母部分是對應的個數(shù)的平方加1，然后即可寫出第n個數(shù)．
【詳解】
解：∵一組數(shù)：，，，，，，…，
∴這列數(shù)可以表示為：，，，，…，
∴這組數(shù)的第n個數(shù)為：，
故答案為：．
【點睛】
本題考查數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，表示出第n個數(shù)．
【變式3】（23-24七年級下·河北石家莊·開學考試）仔細觀察，思考下面 一列數(shù)有哪些規(guī)律：，2，，8，，32，…，然后填空：
（1）第7個數(shù)是 ，（2）第2012個數(shù)是 ，（3）第n個數(shù)是 ．
【答案】
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查數(shù)字規(guī)律，根據(jù)規(guī)律寫出一般式是關鍵．
（1）觀察發(fā)現(xiàn)后一個數(shù)是前一個數(shù)的倍，即可求解；
（2）利用（1）的規(guī)律，把各數(shù)寫成乘方的形式，即可求解；
（3）利用（2）的規(guī)律即可求解．
【詳解】解：（1）∵，，，，，，…
∴從第2個數(shù)開始，后面每一個數(shù)是前一個數(shù)的倍，
∴第7個數(shù)是，
故答案為：；
（2）由（1）知：，，，，，，
∴第2012個數(shù)是，
故答案為：；
（3）由（2）知：第n個數(shù)是，
故答案為：．
題型02 數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問題
【典例2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）已知，，，，，，，推測的個位數(shù)字是 ．
【答案】9
【知識點】有理數(shù)的乘方運算、數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意，對于3的正整數(shù)冪，個位數(shù)字只出現(xiàn)3、9、7、1這四個數(shù)，且按這一順序每四個一循環(huán)，據(jù)此可求．
【詳解】解：，，，，，，，
個位數(shù)3、9、7、1按這一順序每四個一循環(huán)，
，
的個位數(shù)是：9．
故答案為：9．
【變式1】（22-23七年級上·河南洛陽·階段練習）觀察等式：，，，，，，，．通過觀察，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定的個位數(shù)字是 ．
【答案】2
【知識點】有理數(shù)的乘方運算、數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方規(guī)律型題．解決本題的關鍵是熟練掌握以2為底的冪的末位數(shù)字的循環(huán)規(guī)律．
可以看出，以2為底的冪的末位數(shù)字是2，4，8，6依次循的，根據(jù)，得到的個位數(shù)字是2．
【詳解】∵，，，，
，，，，
，，
∴以2為底的冪的末位數(shù)字是以2，4，8，6依次循環(huán)，
∴，
∴的個位數(shù)字是2，
故答案為：2．
【變式2】（23-24七年級下·湖南岳陽·階段練習）已知 ，，， 根據(jù)前面各式的規(guī)律，可得：
（1） ( )；
（2）的值的個位數(shù)字是 ．
【答案】
【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算、數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，掌握整式的混合運算，找出數(shù)字計算的規(guī)律是解題的關鍵．
（1）根據(jù)材料提示的運算法則即可求解；
（2）由材料提示找到運算規(guī)律可得，再計算冪的結果的個位數(shù)，由此即可求解．
【詳解】解：（1）根據(jù)材料提示得，，
故答案為：；
（2）
，
∵，，，，，，……即個位數(shù)字4次以循環(huán)，在，
∴的個位數(shù)為，
∴，
故答案為：．
題型03 數(shù)字類規(guī)律探索之新運算問題
【典例3】（24-25七年級上·四川成都·開學考試）已知有一個新算符“”，使下列算式，，，那么 ．
【答案】
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律題．根據(jù)題意可得，，，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
，，，
∴．
故答案為：．
【變式1】（23-24七年級上·廣西桂林·期中）定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當n為奇數(shù)時，結果為；②當n為偶數(shù)時，結果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復進行，例如，取，則：
若，則第2024次“F運算”的結果是 ．
【答案】19
【知識點】程序流程圖與有理數(shù)計算、數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算和數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是經(jīng)過運算發(fā)現(xiàn)其數(shù)字的變化規(guī)律．根據(jù)運行的框圖依次計算，發(fā)現(xiàn)其運算結果的循環(huán)規(guī)律：6次一循環(huán)，再計算求解即可．
【詳解】解：本題提供的“運算”，需要對正整數(shù)分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計算，由于為奇數(shù)應先進行①運算，
即（偶數(shù)），需再進行②運算，
即（奇數(shù)），
再進行①運算，得到（偶數(shù)），
再進行②運算，即（奇數(shù)），
再進行①運算，得到（偶數(shù)），
再進行②運算，即，
再進行①運算，得到（偶數(shù)），，
即第1次運算結果為152，，
第4次運算結果為31，第5次運算結果為98，，
可以發(fā)現(xiàn)第6次運算結果為49，第7次運算結果為152，
則6次一循環(huán)，
，
則第2024次“運算”的結果是19．
故答案為：19．
【變式2】（23-24八年級上·湖南岳陽·開學考試）定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，依此類推，計算： ．
【答案】
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查數(shù)字的變化類、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，求出相應項的值．根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出這列數(shù)的前幾項，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，然后即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，，，，，
…，
由上可得，這列數(shù)依次以，，循環(huán)出現(xiàn)，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
題型04 數(shù)字類規(guī)律探索之等式問題
【典例4】（24-25七年級上·陜西西安·階段練習）已知，，，，，…，若符合前面式子的規(guī)律，則 ．
【答案】239
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律的探索，根據(jù)前面幾個式子的特點，得到規(guī)律，即可確定a與b的值，從而求解．
【詳解】解：，，，，
觀察得規(guī)律：，
則，
所以；
故答案為：239．
【變式1】（24-25八年級上·河北邯鄲·開學考試）觀察下面的等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……
（1）寫出第5個等式： ；
（2）寫出第n個等式： （用含n的式子表示）．
【答案】
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】（1）觀察一系列等式，歸納總結得到第5個等式即可；
（2）觀察一系列等式，歸納總結得到第個等式，用字母表示出所得的規(guī)律即可．
此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．
【詳解】解：（1）
∵第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；……
通過觀察前面式子可得：
第5個等式：，
故答案為：
（2）通過觀察前面式子可得：
第個等式：．
故答案為：
【變式2】（2024·安徽六安·模擬預測）觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；．
…．
(1)請寫出第5個等式：______；
(2)寫出第個等式：______；（用含n的式子表示，n為正整數(shù)）
(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識點】有理數(shù)四則混合運算、數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律題，有理數(shù)的四則混合運算，掌握數(shù)字類規(guī)律是解題的關鍵．
（1）根據(jù)規(guī)律計算即可求解；
（2）根據(jù)規(guī)律即可求解；
（3）先將乘法化為加法，再加減即可求解；
【詳解】（1）解：第5個等式：，
故答案為：；
（2）解：第n個等式：，
故答案為：；
（3）解：原式．
．
題型05 圖形類規(guī)律探索之數(shù)字問題
【典例5】（2024·湖南·二模）下面每個表格中的四個數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的．

根據(jù)此規(guī)律確定a的值為 ，b的值為 ，x的值為 ．
【答案】 9 10 69
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，可得規(guī)律，，即可求解；找出規(guī)律是解題的關鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意得
，
解得：，
．
．
【變式1】（23-24七年級下·全國·單元測試）某城市大劇院地面的一部分為扇形，觀眾席的座位按如下表方式設置，則第五排、第六排分別有 個座位；第n排有 個座位．
【答案】 62，65
【知識點】有理數(shù)加法在生活中的應用、用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律探究，列代數(shù)式．有理數(shù)加減的應用等知識．
（1）由后一排比前一排多3個座位，進而可求出第5排和第6排的座位數(shù)．
（2）由后一排比前一排多3個座位，從而可得出規(guī)律，從而可得答案．
【詳解】解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知：后邊一排都比前邊一排多3個座位，
所以第5排的座位為：（個）；6排有（個）
（2）第一排有50，
第二排有，
第三排有，
第三排有，
…
∴第n排有：，
故答案為：62，65，．
【變式2】（23-24七年級上·安徽·期末）探索規(guī)律：
在數(shù)學探究課上，小明將一張面積為1的正方形紙片進行分割，如圖所示：
第1次分割，將此正方形的紙片三等分，其中空白部分的面積記為；
第2次分割，將第1次分割圖中空白部分的紙片繼續(xù)三等分，其中空白部分的面積記為；
第3次分割，將第2次分割圖中空白部分的紙片繼續(xù)三等分，其中空白部分的面積記為；
……
根據(jù)以上規(guī)律，完成下列問題：
(1)嘗試：第4次分割后，______
(2)初步應用：根據(jù)規(guī)律，求的值．
(3)拓展應用：利用以上規(guī)律，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識點】圖形類規(guī)律探索
【分析】（1）根據(jù)正方形面積為1，構建關系式，可得結論．
（2）利用規(guī)律解決問題即可．
（3）用轉化的思想解決問題即可．
本題考查規(guī)律型圖形變化類，有理數(shù)的混合運算，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
【詳解】（1）解：第4次分割后空白部分的面積為
故答案為：；
（2）解：第1次分割后空白部分的面積為
第2次分割后空白部分的面積為
第3次分割后空白部分的面積為
第4次分割后空白部分的面積為
∴
故答案為：
（3）解：由（2）得出
第n次分割后空白部分的面積為
∴
∴
題型06 圖形類規(guī)律探索之數(shù)量問題
【典例6】（24-25七年級上·江蘇連云港·階段練習）下列是用火柴棒拼出的一列圖形．
仔細觀察，找出規(guī)律，解答下列各題：
(1)第6個圖中共有______根火柴；
(2)第n個圖形中共有__________根火柴；（用含n的式子表示）
(3)第2021個圖形中共有多少根火柴？
【答案】(1)19
(2)
(3)第2021個圖形中共有6064根火柴．
【知識點】已知字母的值 ，求代數(shù)式的值、圖形類規(guī)律探索
【分析】本題考查了規(guī)律型－圖形的變化類，對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．
（1）觀察圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每個圖形比前一個圖形多3根火柴，進而求解；
（2）根據(jù)每個圖形比前一個圖形多3根火柴，總結規(guī)律即可；
（3）將代入（2）中代數(shù)式求解即可．
【詳解】（1）解：第1個圖中，火柴的根數(shù)是；
第2個圖中，火柴的根數(shù)是；
第3個圖中，火柴的根數(shù)是；
，
第6個圖中，火柴的根數(shù)是；
即第6個圖中共有19根火柴；
故答案為：19；
（2）解：由（1）可得第個圖形中火柴有根，
故答案為：；
（3）解：當時，，
所以第2021個圖形中共有6064根火柴．
【變式1】（23-24七年級上·安徽·單元測試）觀察下列圖形中點的個數(shù)．
(1)圖2中點的個數(shù)是 ；
(2)若按其規(guī)律再畫下去，如果圖形中有36個點，那它是第 個圖形；
(3)若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有點的個數(shù)為 （用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)9；
(2)5；
(3)．
【知識點】用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、圖形類規(guī)律探索
【分析】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．
（1）圖2中點的個數(shù)為：
（2）由第1個圖形中點的個數(shù)為：， 第2個圖形中點的個數(shù)為：，第3個圖形中點的個數(shù)為：，得出第n個圖形中點的個數(shù)為：，進一步得出也就是第5個圖形；
（3）利用 （2）中的規(guī)律得出答案即可．
【詳解】（1）解：圖2中點的個數(shù)是：，
故答案為：；
（2）解：第1個圖形中點的個數(shù)為：
第2個圖形中點的個數(shù)為：
第3個圖形中點的個數(shù)為：，
…
∴第n個圖形中點的個數(shù)為：
，
∴
∴是第5個圖形，
故答案為：5；
（3）解：第n個圖形中點的個數(shù)為：
故答案為：．
【變式2】（24-25七年級上·全國·單元測試）將一張等邊三角形紙片剪成四個大小、形狀一樣的小等邊三角形（如圖所示），記為第一次操作，然后將其中右下角的等邊三角形又按同樣的方法剪成四小片，記為第二次操作，若每次都把右下角的等邊三角形按此方法剪成四小片，如此循環(huán)進行下去．
(1)如果剪n次共能得到 個等邊三角形．
(2)若原等邊三角形的邊長為1，設表示第n次所剪出的小等邊三角形的邊長，如．
①試用含的式子表示 ；
②計算 ．
【答案】(1)
(2)①；②
【知識點】圖形類規(guī)律探索
【分析】本題z主要考查圖形變化的規(guī)律、數(shù)字變化規(guī)律等知識點，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)三角形的個數(shù)及邊長的變化規(guī)律是解題的關鍵．
（1）觀察發(fā)現(xiàn)：每剪一次，等邊三角形的個數(shù)增加3，據(jù)此寫出代數(shù)式即可；
（2）①依次求出等邊三角形的邊長，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解答；
②運用①中的結論進行解答即可．
【詳解】（1）解：由題意可知：
剪1次共得到的等邊三角形個數(shù)為：；
剪2次共得到的等邊三角形個數(shù)為：；
剪3次共得到的等邊三角形個數(shù)為：；
…，
所以剪n次共得到的等邊三角形個數(shù)為個．
故答案為：．
（2）解：①因為原等邊三角形的邊長為1，
所以第1次所剪出的小等邊三角形的邊長為：；
第2次所剪出的小等邊三角形的邊長為：；
第3次所剪出的小等邊三角形的邊長為：；
…，
所以第n次所剪出的小等邊三角形的邊長為：，即，
故答案為：；
②由①題可知：
；
令①，
則②，
得： ，
即．
故答案為：．
【變式3】（23-24七年級上·四川達州·期末）用三角形和六邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案．
(1)第4個圖案中，三角形的個數(shù)有 個，六邊形的個數(shù)有 個；
(2)第n（n為正整數(shù)）個圖案中，三角形的個數(shù)與六邊形的個數(shù)各有多少個？
(3)第2024個圖案中，三角形的個數(shù)與六邊形的個數(shù)各有多少個？
(4)是否存在某個符合上述規(guī)律的圖案，其中有100個三角形與30個六邊形？如果有，指出是第幾個圖案；如果沒有，說明理由．
【答案】(1)10；4
(2)第個圖案中有正三角形個．六邊形有個
(3)三角形的個數(shù)為個；六邊形的個數(shù)為個
(4)沒有，理由見詳解
【知識點】用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、圖形類規(guī)律探索
【分析】（1）觀察圖案，首先找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．即可得結論；
（2）結合（1）即可得一般形式；
（3）將代入（2）中所得的一般式即可求解；
（4）根據(jù)，可得不存在某個符合上述規(guī)律的圖案，其中有100個三角形與30個六邊形．
本題是一道找規(guī)律的題目，注意由特殊到一般的分析方法，此題的規(guī)律為：第個就有正三角形個．這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．
【詳解】（1）解：第4個圖案中，三角形10個，六邊形有4個；
故答案為：10；4；
（2）解：由圖可知：
第一個圖案有正三角形4個為．
第二圖案比第一個圖案多2個為（個．
第三個圖案比第二個多2個為（個．
那么第個圖案中有正三角形個．六邊形有個．
（3）解：由（2）知第個圖案中有正三角形個．六邊形有個
∴第2024個圖案中，三角形與六邊形各有：（個，
∴三角形的個數(shù)為個；六邊形的個數(shù)為個
（4）解：沒有，理由如下：
∵，
∴不存在某個符合上述規(guī)律的圖案，其中有100個三角形與30個六邊形．
一、單選題
1．（2024九年級下·云南·學業(yè)考試）按一定規(guī)律排列的多項式：，，，，，…，第個多項式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題主要考查了與多項式有關的規(guī)律探索，觀察可知每個式子都是由a、b兩個字母組成的，其中第n個式子的字母a的系數(shù)為，次數(shù)為 1，字母b的系數(shù)為1，次數(shù)為，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：第一個式子為，
第二個式子為，
第三個式子為，
第四個式子為，
第五個式子為，
……，
以此類推可知，每個式子都是由a、b兩個字母組成的，其中第n個式子的字母a的系數(shù)為，次數(shù)為 1，字母b的系數(shù)為1，次數(shù)為，
∴第個多項式是，
．
2．（23-24七年級上·江蘇鹽城·階段練習）為了便于管理，毓龍路實驗學校決定給每個學生編號，末尾用1表示男生，用2表示女生．例如：編號201901232表示2019年入學的1班23號學生，是位女生．那么2023年入學的10班3號男學生的編號為（ ）
A．202310301B．202301032C．202310031D．202310032
【答案】A
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查了觀察類比，關鍵在于理解題干給出的信息去類比歸納得出結果，根據(jù)題干規(guī)律，編號前四位數(shù)為年份，中間的四位數(shù)是班級與學號，最后一位數(shù)為1代表男生2代表女生，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：2023年入學的10班3號男學生的編號為202310031，
．
3．（23-24七年級上·廣西桂林·期中）觀察下面三行數(shù)：
，9，，81……①
1，，9，……②
，10，，82……③
設x，y，z分別為第①②③行的202個數(shù)，則的值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索、已知字母的值 ，求代數(shù)式的值
【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究、代數(shù)式求值，找到每行數(shù)字的變化規(guī)律是解答的關鍵．先根據(jù)每行前幾個數(shù)字的變化得到變化規(guī)律，進而求得a、b、c，然后代值求解即可．
【詳解】解：①由，9，，81……，得第n個數(shù)為，則；
②由1，，9，……，得第n個數(shù)為，則；
③由，10，，82……，得第n個數(shù)為，則，
∴
，
．
4．（23-24七年級上·江蘇鹽城·階段練習）利用如圖1的二維碼可以進行身份識別．我校建立了一個身份識別系統(tǒng)，圖2是某個學生的識別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數(shù)字從左到右依次記為a，b，c，d，那么可以轉換為該生所在班級序號，其序號為，如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號為，表示該生為5班學生．表示6班學生的識別圖案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】圖形類規(guī)律探索、有理數(shù)的乘方運算
【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，有理數(shù)的乘方運算，根據(jù)班級序號的計算方法，進行計算即可．
【詳解】解：、第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，1，0，序號為，表示該生為10班學生，不符合題意；
、第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，1，0，序號為，表示該生為6班學生，符合題意；
、第一行數(shù)字從左到右依次為1，0，0，1，序號為，表示該生為9班學生，不符合題意；
、第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，1，1，序號為，表示該生為7班學生，不符合題意；
故選：．
二、填空題
5．（23-24九年級下·廣東茂名·期末）觀察下列等式：，，，，，，，，．回答下面問題：的末位數(shù)字是 ．
【答案】4
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查了數(shù)字型規(guī)律的探究．2的個位數(shù)字為2；的個位數(shù)字為6；的個位數(shù)字為4；的個位數(shù)字為0；的個位數(shù)字為2；確定循環(huán)節(jié)為4，計算，確定末位數(shù)字即可．
【詳解】解：2的個位數(shù)字為2；
的個位數(shù)字為6；
的個位數(shù)字為4；
的個位數(shù)字為0；
的個位數(shù)字為2；
所以循環(huán)節(jié)為4，
因為，
所以的末位數(shù)字是4．
故答案為：4．
6．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知一組有理數(shù)a，b，我們將左邊的數(shù)減去右邊相鄰的數(shù)即的值插入到a，b之間稱之為一次“差數(shù)操作”．若，，第一次“差數(shù)操作”得2，5，；第二次“差數(shù)操作”得2，，5，8，；則第2024次“差數(shù)操作”所得數(shù)的和是 ．
【答案】
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律，理解“差數(shù)操作”的定義和發(fā)現(xiàn)操作一次數(shù)串比前一次之和多5的規(guī)律是解答本題的關鍵．根據(jù)題意，求出操作一次數(shù)串比前一次之和多5，進行求解即可．
【詳解】解：第一次“差數(shù)操作”得2，5，；和為：；
第二次“差數(shù)操作”得2，，5，8，；和為：；
第三次“差數(shù)操作”得2，5，，，5，，8，，；和為：；
觀察可知：操作一次數(shù)串比前一次之和多5
∴第次操作后，和為，
∴第2024次“差數(shù)操作”所得數(shù)的和是；
故答案為：．
7．（2024·湖南婁底·模擬預測）一個自然數(shù)的立方，可以分裂成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，例如：、和分別可以分裂成2個、3個和4個連續(xù)奇數(shù)的和，即，，，…若也按照此規(guī)律來進行分裂，則分裂出的奇數(shù)中，最小的奇數(shù)是 ．
【答案】999001
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律變化，一般按照題中給出的形式寫出前幾組式子，正確找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關鍵．根據(jù)“，，”，歸納出 “分裂”出的奇數(shù)中最小的奇數(shù)是，把代入，計算求值即可．
【詳解】解：，且，
，且，
，且，
∴“分裂”出的奇數(shù)中最小的奇數(shù)是，
∴“分裂”出的奇數(shù)中最小的奇數(shù)是，
故答案為：999001．
8．（2024·四川成都·模擬預測）觀察按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2，，，…，其中第個數(shù)記為，第個數(shù)記為，且滿足，則 ； ．
【答案】 15/0.2
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題主要考查數(shù)字的變換規(guī)律，解答的關鍵是由所給的數(shù)總結出存在的規(guī)律．把相應的數(shù)字代入，從而得到，在分析其中的規(guī)律進行求解即可．
【詳解】解由題意得：，
，
時，，
，
解得，
當時，可求得，
則這列數(shù)為：，
可看出分子為，分母為，
第個數(shù)為：，
．
故答案為：，．
三、解答題
9．（23-24七年級上·江西吉安·期中）有一列數(shù)，按一定規(guī)律排列成，…，觀察這列數(shù)的規(guī)律解決如下問題：
(1)第七個數(shù)是______，第n個數(shù)可表示為________；
(2)若其中某三個相鄰數(shù)的積是，求這三個數(shù)的和．
【答案】(1)64，
(2)12
【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點．
（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，從而可以寫出相應的數(shù)據(jù)；
（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的數(shù)字的特點和題意，可以計算出這三個數(shù)，從而可以得到這三個數(shù)的和．
【詳解】（1）這列數(shù)為，…，
這列數(shù)的第個數(shù)為，
當時，這個數(shù)是，
故答案為：64，；
（2）設這三個數(shù)是，，，
則，
即，
解得，
這三個數(shù)是4，，16，
這三個數(shù)的和是．
10．（24-25七年級上·河南焦作·開學考試）擺一擺，找規(guī)律．

(1)依次擺下去，圖形⑤是什么圖形？畫出來．
(2)擺圖形⑥需要用多少根小棒？
【答案】(1)長方形，見解析
(2)19
【知識點】圖形類規(guī)律探索
【分析】本題考查了圖形的變化類問題，能夠根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律：多一個正方形，則多用3根火柴．
（1）根據(jù)規(guī)律畫出圖形即可；
（2）根據(jù)規(guī)律計算即可
【詳解】（1）解：圖形⑤是長方形，如圖：

（2）解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：第一個圖形需要4根火柴，多一個正方形，多用3根火柴，則第n個圖形中，需要火柴；
當時，，
所以，擺圖形⑥需要用19根小棒.
11．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）觀察下面三行數(shù)：
；①
；②
；③
(1)第①行數(shù)第8個數(shù)是________；
(2)取每行數(shù)的第10個數(shù)，計算這三個數(shù)的和．
【答案】(1)256
(2)
【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算、數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，有理數(shù)的混合運算：
（1）觀察第①行的數(shù)據(jù)可知，第個數(shù)據(jù)為，進行求解即可；
（2）觀察數(shù)據(jù)可知，第②行數(shù)據(jù)為第①行數(shù)據(jù)加2得到，第③行數(shù)據(jù)為第①行數(shù)據(jù)除以2得到，進而表示出每行數(shù)的第10個數(shù)，列式計算即可．
【詳解】（1）解：觀察第①行的數(shù)據(jù)可知，第個數(shù)據(jù)為，
∴第①行數(shù)第8個數(shù)是；
故答案為：256；
（2）觀察數(shù)據(jù)可知，第②行數(shù)據(jù)為第①行數(shù)據(jù)加2得到，第③行數(shù)據(jù)為第①行數(shù)據(jù)除以2得到，
∴每行數(shù)中的第10個數(shù)的和是
．
12．（23-24八年級下·江西吉安·期末）觀察下面的變形規(guī)律：
解答下面的問題：
(1)若n為正整數(shù)，且寫成上面式子的形式，請你猜想_____．
(2)計算：
(3)計算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【知識點】有理數(shù)四則混合運算、數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算、數(shù)字規(guī)律等知識點，熟練掌握與運用對相應的運算法則是解答的關鍵．
（1）分析所給的等式的形式，猜想規(guī)律即可解答；
（2）利用（1）所得的規(guī)律對代數(shù)式進行變形即可解答；
（3）利用（1）所得的規(guī)律對代數(shù)式進行變形即可解答．
【詳解】（1）解：∵；；；
猜想．
故答案為：．
（2）解：


．
（3）解：
（3）解：由（2）可知規(guī)律：第個圖案中三角形個數(shù)為，
第120個圖案中三角形的個數(shù)是，
即第120個圖案中三角形的個數(shù)是個．
14．（23-24七年級上·安徽合肥·單元測試）如圖，每個小正方形的面積均為1．認真研讀圖形及對應的等式，尋找規(guī)律，完成下列問題：
(1)請寫出第5個等式；
(2)猜想第n個等式，用含n的等式表示這個等式；
(3)一個用形狀大小一樣的無數(shù)個小正方體搭成的幾何體，若從其正面看到的形狀圖是上面規(guī)律圖的左圖，從其上面看到的形狀圖是由400個小正方形組成的大正方形，則這個幾何體最多共有多少個小正方體？
【答案】(1)；
(2)；
(3)這個幾何體最多共有2200小正方體．
【知識點】圖形類規(guī)律探索、從不同方向看幾何體
【分析】本題考查由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．
（1）根據(jù)規(guī)律解答即可；
（2）利用規(guī)律可得第個等式：；
（3）根據(jù)從不同方向看到的幾何體以及題目要求計算即可．
【詳解】（1）解：∵第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
，
∴第5個等式：；
（2）解：猜想第個等式：；
（3）解：這個幾何體最多共有：（個）．
答：這個幾何體最多共有2200小正方體．
15．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，，排成如下的數(shù)表：十字框框出5個數(shù)和（如圖所示），問：
(1)十字框框出5個數(shù)的和與框子正中間的數(shù)17有什么關系？
(2)若將十字框上下左右平移，可框住另外5個數(shù)，這5個數(shù)還有這種規(guī)律嗎？
(3)若設中間的數(shù)為，用代數(shù)式表示十字框框住的5個數(shù)字之和；
(4)十字框框住的5個數(shù)之和能等于2000嗎？能等于2055嗎？若能，請分別寫出十字框框住的5個數(shù)．
【答案】(1)十字框框住的5個數(shù)的和是17的5倍
(2)有，見解析
(3)
(4)不能等于2000，能等于2055；399、409、411、413、423
【知識點】用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、整式加減的應用、數(shù)字類規(guī)律探索
【分析】本題主要考查列代數(shù)式、數(shù)字的規(guī)律及一元一次方程的應用，根據(jù)數(shù)列的構成特點得出5個數(shù)之間的關系，列出方程依據(jù)條件取舍是解題的關鍵．
（1）求出這5個數(shù)的和即可得；
（2）根據(jù)表中的數(shù)，易發(fā)現(xiàn)另外的四個數(shù)中，上下的數(shù)相差是12，左右的數(shù)相差是2．根據(jù)這一關系進行表示各個數(shù)，再求和；
（3）若設中間的數(shù)為，則上面的為，下面的為，左面的為，右面的為，據(jù)此可得；
（4）根據(jù)五個數(shù)的和為2000或2055列方程求解后，依據(jù)數(shù)列為奇數(shù)列即可判斷．
【詳解】（1）解：，
十字框框住的5個數(shù)的和是17的5倍；
（2）解：如圖所示：
，
若將十字框上下左右平移，可框住另外5個數(shù)，這5個數(shù)的和仍然是中間的數(shù)的5倍；
（3）解：若設中間的數(shù)為，則上面的為，下面的為，左面的為，右面的為，
；
（4）解：5個數(shù)之和不能等于2000，
當時，得，
不是奇數(shù)，
個數(shù)之和不能等于2000；
5個數(shù)之和能等于2055，
當時，得，
是奇數(shù)，
個數(shù)之和能等于2055，這5個數(shù)分別為399、409、411、413、423．
課程標準
學習目標
①掌握規(guī)律探索的方法
②掌握從特殊到一般、從個體到整體地觀察
1．初步掌握規(guī)律探索的方法，并能對簡單的規(guī)律進行用數(shù)學語言描述；
2．培養(yǎng)學生對數(shù)和字母應用的理解，從而拓展學生的視野；
3．掌握從特殊到一般、從個體到整體地觀察。分析問題的方法，嘗試從不同角度探究問題， 培養(yǎng)應用意識和創(chuàng)新意識。
排數(shù)
1
2
3
4
…
座位數(shù)
50
53
56
59
…

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