知識(shí)點(diǎn)01 有理數(shù)的混合運(yùn)算
（1）先乘方，再乘除，最后加減。
（2）同級(jí)運(yùn)算，從左到右的順序進(jìn)行。
（3）如有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行。在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，要分兩步走：先確定符號(hào)，再求值。
【即學(xué)即練1】
1．（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算下列各題：
(1) (2)
(3) (4)
題型01 有理數(shù)四則混合運(yùn)算
【典例1】（23-24七年級(jí)上·寧夏銀川·期末）計(jì)算
(1) (2)
(3) (4)
【變式1】（23-24七年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期中）計(jì)算
(1)
(2)
(3)
【變式2】（23-24七年級(jí)下·重慶九龍坡·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【變式3】（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
題型02 含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算
【典例2】（23-24七年級(jí)上·湖北荊門(mén)·單元測(cè)試）計(jì)算：
(1)； (2)．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·單元測(cè)試）計(jì)算：
(1)． (2)．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）計(jì)算：
(1) (2)
【變式3】（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·單元測(cè)試）計(jì)算：
(1)； (2)．
題型03 有理數(shù)的混合運(yùn)算中錯(cuò)題復(fù)原問(wèn)題
【典例3】（23-24七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）小蘭在計(jì)算：時(shí)，步驟如下：
(1)小蘭的計(jì)算過(guò)程中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是______（填序號(hào)），錯(cuò)誤的原因是______；
(2)請(qǐng)給出正確的解題過(guò)程．
(3)計(jì)算：．
【變式1】（22-23七年級(jí)上·浙江衢州·階段練習(xí)）下面的計(jì)算錯(cuò)在哪里？指出錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并給出正確的解答過(guò)程．
①
②
③
【變式2】（22-23七年級(jí)上·寧夏銀川·期中）閱讀下面的解題過(guò)程：
解：
＝
＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
回答：
(1)解題過(guò)程中有兩處錯(cuò)誤，第一處是第______步，錯(cuò)誤原因是______；第二處是第______步，錯(cuò)誤的原因是____________．
(2)正確的結(jié)果是__________________．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·寧夏銀川·期末）計(jì)算：
下面是小穎的解答過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：
原式第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
(1)任務(wù)一：小穎的解答過(guò)程共存在兩處錯(cuò)誤，分別在第________步和第________步；
(2)任務(wù)二：請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程.
題型04 程序流程圖與有理數(shù)的混合運(yùn)算
【典例4】（22-23七年級(jí)上·河北滄州·期中）洪洪同學(xué)在電腦中設(shè)置了一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算程序：輸入數(shù)“”加“★”鍵，再輸入“”，就可以得到運(yùn)算．按此程序 ．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期末）小明在電腦中設(shè)置一個(gè)有理數(shù)運(yùn)算程序：輸入數(shù)，加鍵，再輸入數(shù)，就可以得到運(yùn)算：．則的值為 ．
【變式2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，是一個(gè)有理數(shù)運(yùn)算程序的流程圖，請(qǐng)根據(jù)這個(gè)程序回答問(wèn)題：當(dāng)輸入的x為時(shí)，最后輸出的結(jié)果y是 ．
【變式3】（22-23七年級(jí)上·河南平頂山·期中）如圖，是一個(gè)有理數(shù)混合運(yùn)算程序的流程圖，請(qǐng)根據(jù)這個(gè)程序回答問(wèn)題：當(dāng)輸入的x為時(shí)，最后輸出的結(jié)果y是多少？（寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）
題型05 利用有理數(shù)的混合運(yùn)算算“24”點(diǎn)
【典例5】（23-24七年級(jí)上·湖北荊門(mén)·單元測(cè)試）如圖，小聰有4張寫(xiě)著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列問(wèn)題：
(1)從中取出兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽取？最大值是多少？
(2)從中取出兩張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)字組成一個(gè)最大的數(shù)，如何抽??？最大的數(shù)是多少？
(3)將這4張卡片上的數(shù)字用學(xué)過(guò)的方法計(jì)算，使結(jié)果為24，寫(xiě)出運(yùn)算式子．（寫(xiě)出一種即可）
【變式1】（22-23七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）有一種“24”點(diǎn)游戲，其游戲規(guī)則是：任取一副撲克牌，我們約定A為1，并規(guī)定方塊、紅桃牌為正，黑桃、梅花牌為負(fù)．任取4張牌（可使用括號(hào)）．每個(gè)數(shù)用且只用一次，使其結(jié)果等于24．
如：抽出4張牌黑桃4、梅花2、方塊4、紅桃3，可做運(yùn)算：．
(1)若抽出黑桃3，梅花1，方塊5，紅桃3，請(qǐng)寫(xiě)出1種算式，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，驗(yàn)證結(jié)果為24；
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方塊8、紅桃Q，請(qǐng)寫(xiě)出2種不同的算式，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，驗(yàn)證結(jié)果為24；
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方塊2、紅桃3，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)1種含“乘方”的混合運(yùn)算的算式，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，驗(yàn)證結(jié)果為24．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）小明有5張寫(xiě)著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列問(wèn)題：
(1)從中2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽取，最大值是多少？
(2)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？
(3)從中取出4張卡片，用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，使結(jié)果為24．寫(xiě)出運(yùn)算式子．（寫(xiě)出一種運(yùn)算式）．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）小明有5張寫(xiě)著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列各問(wèn)題：
(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽?。孔畲笾凳嵌嗌?？
答：我抽取的2張卡片是 、 ，乘積的最大值為 ．
(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
答：我抽取的2張卡片是 、 ，商的最小值為 ．
(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字組成一個(gè)最大的數(shù)，如何抽?。孔畲蟮臄?shù)是多少；
答：我抽取的2張卡片是 、 ，組成一個(gè)最大的數(shù)為 ．
(4)從中取出4張卡片，用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，使結(jié)果為24．如何抽??？寫(xiě)出運(yùn)算式子．（寫(xiě)出一種即可）．
答：我抽取的4張卡片算24的式子為 ．
題型06 新定義型有理數(shù)的混合運(yùn)算
【典例6】（23-24七年級(jí)下·安徽合肥·期末）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“”如下：
，則 ．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)則為：例：，則 ．
【變式2】（2024·河南南陽(yáng)·一模）數(shù)學(xué)小組定義一個(gè)新運(yùn)算“”如下：時(shí)，；時(shí)，．則當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為 ．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·重慶墊江·階段練習(xí)）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（其中，k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），……，兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行，例如，取，則運(yùn)算過(guò)程如圖所示：
若，則第2023次“F”運(yùn)算的結(jié)果是 ．
題型07 有理數(shù)的混合運(yùn)算中規(guī)律探究問(wèn)題
【典例7】（23-24七年級(jí)上·四川成都·期末）觀察下列等式：
第1個(gè)等式： ；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
第4個(gè)等式：．
請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式： ．
(2)用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式： （n為正整數(shù)）；
(3)求．
【變式1】（2023·河北張家口·模擬預(yù)測(cè)）觀察以下等式：
①，
②______，
③______，
……
探究：
（1）觀察等式①②③的規(guī)律，并將等式補(bǔ)充完整；
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出第④個(gè)等式；
拓展：
（3）按照你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)等式；
（4）計(jì)算：．
【變式2】（22-23九年級(jí)上·廣東湛江·期中）觀察下列各式的計(jì)算結(jié)果：
(1)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫(xiě)下列式子的結(jié)果：
× ；
× ．
(2)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：
【變式3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）觀察下列各式：



…
(1)猜想_______
(2)根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
①
②將減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的，以此類推，直到最后減去余下的，最后結(jié)果是多少？
題型08 有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用
【典例8】（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·開(kāi)學(xué)考試）【流水行船】水庫(kù)A與小鎮(zhèn)B之間有一條河道，當(dāng)水庫(kù)不放水時(shí)，河道里的水不流動(dòng)；當(dāng)水庫(kù)放水時(shí)，河道里的水勻速流動(dòng)．在水庫(kù)沒(méi)有放水時(shí)，快艇M從A出發(fā)向B行駛了50分鐘，經(jīng)過(guò)了河道長(zhǎng)度．此時(shí)水庫(kù)放水，快艇又行駛河道長(zhǎng)度，只用了20分鐘．此時(shí)，駕駛員關(guān)閉快艇動(dòng)力，任由快艇隨河水漂流，又經(jīng)過(guò)多少分鐘快艇到達(dá)B?
【變式1】（23-24七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）一出租車一天下午2小時(shí)內(nèi) 以鼓樓為出發(fā)地在東西方向營(yíng)運(yùn)，向東走為正，向西走為負(fù)，行車?yán)锍蹋▎挝唬汗铮┮老群蟠涡蛴涗浫缦拢?，，，，，?br>(1)該車2小時(shí)內(nèi)最遠(yuǎn)時(shí)在鼓樓什么方向?離鼓樓多遠(yuǎn)?將最后一名乘客送到目的地，該車在出發(fā)地什么方向?離出發(fā)地多遠(yuǎn)?
(2)若每公里收費(fèi)為3元，且每百公里耗油10升，汽油價(jià)格每升6元，那么該司機(jī)這2小時(shí)除去汽油費(fèi)后收入是多少?
(3)司機(jī)每天還要向出租車公司上交180元的管理費(fèi)，若一天按照工作8小時(shí)計(jì)算，一月安28天算，問(wèn)該司機(jī)辛苦一個(gè)月后的收入約為多少元?
【變式2】（23-24七年級(jí)上·浙江麗水·期末）如圖1是1個(gè)紙杯和6個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，量得1個(gè)紙杯的高為，6個(gè)疊放在一起的紙杯的高為．
(1)問(wèn)2個(gè)疊放在一起的紙杯的高是多少？
(2)若一批這樣的紙杯按照?qǐng)D2的方式疊放，測(cè)得總高度為，求紙杯個(gè)數(shù)．
【變式3】（22-23七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）為鼓勵(lì)人們節(jié)約用水，某市居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”收費(fèi)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：用戶每月用水量在20噸及以內(nèi)的為第一級(jí)水量基數(shù)，按一級(jí)用水價(jià)格收??；超過(guò)20噸且不超過(guò)30噸的部分為第二級(jí)水量基數(shù)，按一級(jí)用水價(jià)格的1.5倍收??；超過(guò)30噸的部分為第三級(jí)水量基數(shù)，按一級(jí)用水價(jià)格的1.8倍收?。疄楣?jié)約用水量，小高記錄了1~7月份他家每月1號(hào)的水表讀數(shù)．
二、填空題
6．（23-24七年級(jí)上·福建莆田·期末）求值： ．
7．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）按照以下程序圖輸入的值為，則輸出的值為 ．
8．（23-24七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）若a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，，則的值是 ．
9．（23-24六年級(jí)上·山東威?！て谀┯幸环N“二十四點(diǎn)”游戲，其游戲規(guī)則是：任取1至13之間的四個(gè)自然數(shù)，將這四個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)用且只用一次，可以加括號(hào)）進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算，使其結(jié)果等于24．現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)，請(qǐng)仿照“二十四點(diǎn)”游戲規(guī)則寫(xiě)出一個(gè)算式 ，使其結(jié)果等于24．
10．（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則 ．
三、解答題
11．（23-24七年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）計(jì)算：
(1)；
(2)．
12．（23-24七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
(4)
13．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，計(jì)算機(jī)程序使用的是二進(jìn)制數(shù)（只有數(shù)碼0和1），它們兩者之間可以互相換算，如：將，換算成十進(jìn)制數(shù)應(yīng)為：，
．按此方式，將二進(jìn)制換算成十進(jìn)制數(shù)．
15．（23-24七年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí)）淇淇在計(jì)算時(shí)，步驟如下：
解：原式①
②
③
(1)請(qǐng)指出淇淇在第一步中的兩處錯(cuò)誤原因______、______；
(2)請(qǐng)給出正確的解題過(guò)程．
16．（22-23七年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）用“☆”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定．如：．
(1)求的值；
(2)的值．
17．（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）小明在計(jì)算這道題時(shí)，他看到每一項(xiàng)的分母之間有倍數(shù)關(guān)系，所以他設(shè)．①
那么， ．②
接著他將，結(jié)果這樣操作沒(méi)有辦法較為簡(jiǎn)便地計(jì)算出結(jié)果．于是，他拿著題目去問(wèn)老師，老師告訴他，可以，得
．
．
．
請(qǐng)你模仿上述求解的方法，進(jìn)行計(jì)算：
(1)；
(2)．
18．（22-23七年級(jí)上·安徽合肥·期末）觀察下列等式：；；；；；
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
(1)請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)等式： ， ；
(2)根據(jù)以上式子的規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出第個(gè)式子；（為正整數(shù)）
(3)利用這個(gè)規(guī)律計(jì)算的值．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則
②有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用
1．掌握有理數(shù)的加減乘除及其乘方的混合運(yùn)算；
2．靈活應(yīng)用有理數(shù)的運(yùn)算法則解決問(wèn)題；
解：原式①
②
③
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
水表讀數(shù)（噸）
433
450
468
485
500
514
535
第08講 有理數(shù)的混合運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)01 有理數(shù)的混合運(yùn)算
（1）先乘方，再乘除，最后加減。
（2）同級(jí)運(yùn)算，從左到右的順序進(jìn)行。
（3）如有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行。在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，要分兩步走：先確定符號(hào)，再求值。
【即學(xué)即練1】
1．（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算下列各題：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)17
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握有理混合運(yùn)算法則與順序是解題的關(guān)鍵．
（1）先計(jì)算乘除，再計(jì)算減法即可；
（2）先計(jì)算小括號(hào)里的，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算減法即可；
（3）先計(jì)算小括號(hào)，再計(jì)算中括號(hào)，即可求解；
（4）先計(jì)算除法，并運(yùn)用乘法分配律將括號(hào)展開(kāi)，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式
；
（4）解：原式．
題型01 有理數(shù)四則混合運(yùn)算
【典例1】（23-24七年級(jí)上·寧夏銀川·期末）計(jì)算
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)2
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查含乘方的有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法運(yùn)算法則進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)有理數(shù)的四則混合運(yùn)算法則進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行求解；
（4）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期中）計(jì)算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．
（1）利用有理數(shù)加法運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算即可；
（2）利用有理數(shù)乘法運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算即可；
（3）先算乘方，再算乘法，最后算加減即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【變式2】（23-24七年級(jí)下·重慶九龍坡·開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟記有理數(shù)混合運(yùn)算的順序，運(yùn)算法則，運(yùn)算定律是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)有理數(shù)加減法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)有理數(shù)加減法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）先根據(jù)有理數(shù)加減法計(jì)算出括號(hào)里的結(jié)果，再計(jì)算括號(hào)外的除法；
（4）先計(jì)算乘方和括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算減法．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
，
；
（4）解：，
，
，
，
．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）先把復(fù)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，同分母的先合并，最后通分即可；
（2）按照先平方，后乘除，再加減運(yùn)算即可；
（3）先算括號(hào)里的，再?gòu)淖蟮接矣?jì)算即可；
（4）先算括號(hào)里的，再?gòu)淖蟮接矣?jì)算即可；
（5）按照先平方，后乘除，再加減運(yùn)算即可；
（6）先乘方，再利用乘法分配律計(jì)算括號(hào)里的，最后從左到右計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
題型02 含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算
【典例2】（23-24七年級(jí)上·湖北荊門(mén)·單元測(cè)試）計(jì)算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算：
（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先乘方，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后算加減即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·單元測(cè)試）計(jì)算：
(1)． (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序．
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有絕對(duì)值，要先做絕對(duì)值內(nèi)的運(yùn)算．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）計(jì)算：
(1) (2)
【答案】(1)0
(2)
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
（1）先算乘方和括號(hào)，再算乘除，后算加減；
（2）先算乘方、絕對(duì)值，再算乘除，后算加減．
【詳解】（1）
（2）
【變式3】（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·單元測(cè)試）計(jì)算：
(1)； (2)．
【答案】(1)0；
(2)．
【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
（1）先計(jì)算有理數(shù)乘方和括號(hào)內(nèi)的，再進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算即可；
（2）先計(jì)算有理數(shù)乘方和括號(hào)內(nèi)的，再進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
題型03 有理數(shù)的混合運(yùn)算中錯(cuò)題復(fù)原問(wèn)題
【典例3】（23-24七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）小蘭在計(jì)算：時(shí)，步驟如下：
(1)小蘭的計(jì)算過(guò)程中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是______（填序號(hào)），錯(cuò)誤的原因是______；
(2)請(qǐng)給出正確的解題過(guò)程．
(3)計(jì)算：．
【答案】(1)①，運(yùn)算順序出錯(cuò)；去負(fù)括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)
(2)見(jiàn)解析
(3)
【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）觀察解題過(guò)程可知，在第①步計(jì)算時(shí)，先計(jì)算了乘法，而不是先計(jì)算的乘方，并且在去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)，據(jù)此可得答案；
（2）按照先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除法，最后計(jì)算加減法，有括號(hào)先計(jì)算括號(hào)的運(yùn)算順序求解即可；
（3）按照先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除法，最后計(jì)算加減法，有括號(hào)先計(jì)算括號(hào)的運(yùn)算順序求解即可．
【詳解】（1）解：觀察解題過(guò)程可知，在第①步計(jì)算時(shí)，先計(jì)算了乘法，而不是先計(jì)算的乘方，并且在去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；從而導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算錯(cuò)誤，
故答案為：①，運(yùn)算順序出錯(cuò)；去負(fù)括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；
（2）解：原式
；
（3）解：
．
【變式1】（22-23七年級(jí)上·浙江衢州·階段練習(xí)）下面的計(jì)算錯(cuò)在哪里？指出錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并給出正確的解答過(guò)程．
①
②
③
【答案】錯(cuò)在第①步和②步，見(jiàn)解析
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．先算乘方即可發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，再根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：錯(cuò)在第①步和②步，
正確的解答過(guò)程是：
①
②
．
【變式2】（22-23七年級(jí)上·寧夏銀川·期中）閱讀下面的解題過(guò)程：
解：
＝
＝（第一步）
＝（第二步）
＝（第三步）
回答：
(1)解題過(guò)程中有兩處錯(cuò)誤，第一處是第______步，錯(cuò)誤原因是______；第二處是第______步，錯(cuò)誤的原因是____________．
(2)正確的結(jié)果是__________________．
【答案】(1)二、運(yùn)算順序錯(cuò)誤、三、符號(hào)錯(cuò)誤
(2)
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的加減，乘除運(yùn)算，運(yùn)算法則為先乘除，后加減，進(jìn)行計(jì)算，即可．
【詳解】（1）解：在解題過(guò)程中有兩處錯(cuò)誤，第一處是第二步，錯(cuò)誤原因是運(yùn)算順序錯(cuò)誤，應(yīng)該從左往右依次算起；第二處是第三步，錯(cuò)誤的原因是符號(hào)錯(cuò)誤，因?yàn)橥?hào)得正；
故答案為：二、運(yùn)算順序錯(cuò)誤、三、符號(hào)錯(cuò)誤．
（2）解：
．
故答案為：．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·寧夏銀川·期末）計(jì)算：
下面是小穎的解答過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：
原式第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
(1)任務(wù)一：小穎的解答過(guò)程共存在兩處錯(cuò)誤，分別在第________步和第________步；
(2)任務(wù)二：請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程.
【答案】(1)一；四；
(2)見(jiàn)解析
【分析】此題主要考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知其原運(yùn)算法則．
（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可判斷；
（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解．
【詳解】（1）解：解答過(guò)程共存在2處錯(cuò)誤，分別是第一步和第四步
故答案為：一；四；
（2）原式

．
題型04 程序流程圖與有理數(shù)的混合運(yùn)算
【典例4】（22-23七年級(jí)上·河北滄州·期中）洪洪同學(xué)在電腦中設(shè)置了一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算程序：輸入數(shù)“”加“★”鍵，再輸入“”，就可以得到運(yùn)算．按此程序 ．
【答案】8.5
【分析】根據(jù)題意列出算式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
．
故答案為：8.5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，準(zhǔn)確計(jì)算．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期末）小明在電腦中設(shè)置一個(gè)有理數(shù)運(yùn)算程序：輸入數(shù)，加鍵，再輸入數(shù)，就可以得到運(yùn)算：．則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了新定義下的有理數(shù)運(yùn)算，正確理解運(yùn)算規(guī)則即可求解．
【詳解】解：由題意得：
故答案為：
【變式2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，是一個(gè)有理數(shù)運(yùn)算程序的流程圖，請(qǐng)根據(jù)這個(gè)程序回答問(wèn)題：當(dāng)輸入的x為時(shí)，最后輸出的結(jié)果y是 ．
【答案】
【分析】此題考查了代數(shù)式求值，根據(jù)題中的流程圖計(jì)算即可得出答案，弄清題中的程序流程是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：把代入可得：，
再把代入可得：，
所以y，
故答案為：．
【變式3】（22-23七年級(jí)上·河南平頂山·期中）如圖，是一個(gè)有理數(shù)混合運(yùn)算程序的流程圖，請(qǐng)根據(jù)這個(gè)程序回答問(wèn)題：當(dāng)輸入的x為時(shí)，最后輸出的結(jié)果y是多少？（寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）
【答案】最后輸出的結(jié)果y是
【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算和代數(shù)式的值，根據(jù)題意得到代數(shù)式為，依次進(jìn)行計(jì)算，直到結(jié)果符合要求，輸出為止．
【詳解】解：根據(jù)題意，得，
輸入時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴最后輸出的結(jié)果y是．
題型05 利用有理數(shù)的混合運(yùn)算算“24”點(diǎn)
【典例5】（23-24七年級(jí)上·湖北荊門(mén)·單元測(cè)試）如圖，小聰有4張寫(xiě)著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列問(wèn)題：
(1)從中取出兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽?。孔畲笾凳嵌嗌?？
(2)從中取出兩張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)字組成一個(gè)最大的數(shù)，如何抽??？最大的數(shù)是多少？
(3)將這4張卡片上的數(shù)字用學(xué)過(guò)的方法計(jì)算，使結(jié)果為24，寫(xiě)出運(yùn)算式子．（寫(xiě)出一種即可）
【答案】(1)一個(gè)數(shù)抽，另一個(gè)數(shù)是時(shí)，乘積最大，最大是
(2)其中的一個(gè)數(shù)抽，另一個(gè)數(shù)是時(shí)，得到最大，最大是625
(3)（答案不唯一）
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
（1）從中抽張卡片，要使這張卡片上數(shù)字的乘積最大，則兩個(gè)數(shù)必須同號(hào)，據(jù)此求解即可；
（2）這2張卡片上數(shù)字組成一個(gè)最大的數(shù)，除了有個(gè)位十位相組成之外，還有乘方；
（3）用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，構(gòu)造出算式，使結(jié)果為即可．
【詳解】（1）解：，
，
因?yàn)椋?br>所以其中的一個(gè)數(shù)抽，另一個(gè)數(shù)是時(shí)，最大值是；
（2）解：抽取兩個(gè)數(shù)直接組成一個(gè)兩位數(shù)，最大的為；
抽取兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)冪，最大為，
因?yàn)椋?br>所以其中的一個(gè)數(shù)抽，另一個(gè)數(shù)是時(shí)，得到最大，最大為625；
（3）解：從中取出張卡片，用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，使結(jié)果為，運(yùn)算式子為：
．
【變式1】（22-23七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）有一種“24”點(diǎn)游戲，其游戲規(guī)則是：任取一副撲克牌，我們約定A為1，并規(guī)定方塊、紅桃牌為正，黑桃、梅花牌為負(fù)．任取4張牌（可使用括號(hào)）．每個(gè)數(shù)用且只用一次，使其結(jié)果等于24．
如：抽出4張牌黑桃4、梅花2、方塊4、紅桃3，可做運(yùn)算：．
(1)若抽出黑桃3，梅花1，方塊5，紅桃3，請(qǐng)寫(xiě)出1種算式，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，驗(yàn)證結(jié)果為24；
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方塊8、紅桃Q，請(qǐng)寫(xiě)出2種不同的算式，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，驗(yàn)證結(jié)果為24；
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方塊2、紅桃3，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)1種含“乘方”的混合運(yùn)算的算式，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，驗(yàn)證結(jié)果為24．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意數(shù)字的正負(fù)，巧妙利用計(jì)算解決問(wèn)題．
（1）所給的數(shù)字為：、、5、3；
（2）所給的數(shù)字為：、、8、12；
（3）所給的數(shù)字為：、、2、3；
利用數(shù)字特點(diǎn)，注意數(shù)字符號(hào)：選用運(yùn)算符號(hào)解決問(wèn)題即可．
【詳解】（1）（1）答案不唯一，如
；
（2）①答案不唯一，如
；
②答案不唯一，如
；
（3）答案不唯一，如
．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）小明有5張寫(xiě)著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列問(wèn)題：
(1)從中2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽取，最大值是多少？
(2)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？
(3)從中取出4張卡片，用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，使結(jié)果為24．寫(xiě)出運(yùn)算式子．（寫(xiě)出一種運(yùn)算式）．
【答案】(1)一個(gè)數(shù)抽，另一個(gè)數(shù)是時(shí)，最大值是
(2)一個(gè)數(shù)抽，另一個(gè)數(shù)是時(shí)，它們相除的最小值是
(3)
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算；
（1）從中抽張卡片，要使這張卡片上數(shù)字的乘積最大，則兩個(gè)數(shù)必須同號(hào)，據(jù)此求解即可；
（2）從中抽取張卡片，要使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，則一個(gè)是正數(shù)，另一個(gè)是負(fù)數(shù)，據(jù)此求出最小值是多少即可．
（3）用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，構(gòu)造出算式，使結(jié)果為即可．
【詳解】（1），
，
因?yàn)椋?br>所以其中的一個(gè)數(shù)抽，另一個(gè)數(shù)是時(shí)，最大值是；
（2），
所以其中的一個(gè)數(shù)抽，另一個(gè)數(shù)是時(shí)，它們相除的最小值是；
（3）從中取出張卡片，用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，使結(jié)果為，運(yùn)算式子為：
．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）小明有5張寫(xiě)著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列各問(wèn)題：
(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽取？最大值是多少？
答：我抽取的2張卡片是 、 ，乘積的最大值為 ．
(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，如何抽??？最小值是多少？
答：我抽取的2張卡片是 、 ，商的最小值為 ．
(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字組成一個(gè)最大的數(shù)，如何抽取？最大的數(shù)是多少；
答：我抽取的2張卡片是 、 ，組成一個(gè)最大的數(shù)為 ．
(4)從中取出4張卡片，用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，使結(jié)果為24．如何抽??？寫(xiě)出運(yùn)算式子．（寫(xiě)出一種即可）．
答：我抽取的4張卡片算24的式子為 ．
【答案】(1)、；15；
(2)、；
(3)、4；
(4)
【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算．熟練掌握運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則即可確定；
（2）根據(jù)有理數(shù)的除法法則即可確定；
（3）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算即可確定；
（4）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可確定．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴抽取、兩張卡片的乘積最大，最大值為15．
故答案為：、；15；
（2）∵，
∴抽取、兩張卡片相除的商最小，最小值為．
故答案為：、；．
（3）∵，，
∴抽取、4兩張卡片，組成的最大值為．
故答案為：、4；．
（4）抽取、、0、3，則．
故答案為：．
題型06 新定義型有理數(shù)的混合運(yùn)算
【典例6】（23-24七年級(jí)下·安徽合肥·期末）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“”如下：
，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．利用定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：由題意得：
，
故答案為：．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“”，規(guī)則為：例：，則 ．
【答案】4
【分析】此題主要考查了新定義以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確利用新定義轉(zhuǎn)化為有理數(shù)混合運(yùn)算是解題關(guān)鍵．根據(jù)題中的新定義將所求式子化為有理數(shù)混合運(yùn)算，計(jì)算即可．
【詳解】解：，
，
，
，
；
故答案為：4．
【變式2】（2024·河南南陽(yáng)·一模）數(shù)學(xué)小組定義一個(gè)新運(yùn)算“”如下：時(shí)，；時(shí)，．則當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，有理數(shù)大小比較，理解題中給出的定義做出正確的計(jì)算是解題關(guān)鍵．
原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．
【詳解】根據(jù)題意得，當(dāng)時(shí)，
∵
∴
．
故答案為：．
【變式3】（23-24七年級(jí)上·重慶墊江·階段練習(xí)）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（其中，k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），……，兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行，例如，取，則運(yùn)算過(guò)程如圖所示：
若，則第2023次“F”運(yùn)算的結(jié)果是 ．
【答案】48
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算與數(shù)字的變化類．根據(jù)運(yùn)算過(guò)程分別求出前四次“”運(yùn)算的結(jié)果，可得“”運(yùn)算結(jié)果每四次一循環(huán)，再由，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意知，第一次“”運(yùn)算的結(jié)果是：；
第二次“”運(yùn)算的結(jié)果是：；
第三次“”運(yùn)算的結(jié)果是：；
第四次“”運(yùn)算的結(jié)果是：；
“”運(yùn)算結(jié)果每四次一循環(huán)，
，
第2023次“”運(yùn)算的結(jié)果是48，
故答案為：48．
題型07 有理數(shù)的混合運(yùn)算中規(guī)律探究問(wèn)題
【典例7】（23-24七年級(jí)上·四川成都·期末）觀察下列等式：
第1個(gè)等式： ；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
第4個(gè)等式：．
請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式： ．
(2)用含有n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式： （n為正整數(shù)）；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題目所給等式，總結(jié)出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題目所給的前幾個(gè)等式，即可寫(xiě)出第五個(gè)等式；
（2）根據(jù)題目所給的等式，總結(jié)出變化規(guī)律，即可解答；
（3）根據(jù)題目所給的等式變化規(guī)則，分別計(jì)算和，兩者相減即可得到．
【詳解】（1）解：由題意得：第5個(gè)等式為：，
故答案為：；
（2）解：∵第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
第4個(gè)等式：；
…，
∴第n個(gè)等式：
故答案為：；
（3）解：∵
又∵
∴
【變式1】（2023·河北張家口·模擬預(yù)測(cè)）觀察以下等式：
①，
②______，
③______，
……
探究：
（1）觀察等式①②③的規(guī)律，并將等式補(bǔ)充完整；
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出第④個(gè)等式；
拓展：
（3）按照你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)等式；
（4）計(jì)算：．
【答案】（1）1，，2，，3；（2）；（3）；（4）
【分析】探究：（1）計(jì)算出結(jié)果即可．
（2）根據(jù)①②③的規(guī)律寫(xiě)出第四個(gè)式子即可．
拓展：（1）根據(jù)①②③的規(guī)律寫(xiě)出第個(gè)等式即可．
（2）首先提取負(fù)號(hào)，得出前面的規(guī)律式子，兩個(gè)兩個(gè)的相減，最后做到即可．
本題考查數(shù)字規(guī)律，有理數(shù)計(jì)算，解題關(guān)鍵是計(jì)算正確．
【詳解】解：探究：（1）①，
②，
③，
故答案為：1，，2，，3
（2）④，
拓展：（1）第個(gè)式子：，
（2）
．
【變式2】（22-23九年級(jí)上·廣東湛江·期中）觀察下列各式的計(jì)算結(jié)果：
(1)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫(xiě)下列式子的結(jié)果：
× ；
× ．
(2)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題目中的規(guī)律解答即可；
（2）根據(jù)題目中的規(guī)律解答即可；
此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律與變換方法，得出規(guī)律解決問(wèn)題．
【詳解】（1）解：依題意，，
；
故答案為：；
（2）解：
．
【變式3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）觀察下列各式：



…
(1)猜想_______
(2)根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
①
②將減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的，以此類推，直到最后減去余下的，最后結(jié)果是多少？
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則即可求解；
（2）①根據(jù)材料提示，以及有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則即可求解；②有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則，材料提示信息進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵


…
∴
故答案為：；
（2）解：①
；
②由題意得，
．
題型08 有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用
【典例8】（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·開(kāi)學(xué)考試）【流水行船】水庫(kù)A與小鎮(zhèn)B之間有一條河道，當(dāng)水庫(kù)不放水時(shí)，河道里的水不流動(dòng)；當(dāng)水庫(kù)放水時(shí)，河道里的水勻速流動(dòng)．在水庫(kù)沒(méi)有放水時(shí)，快艇M從A出發(fā)向B行駛了50分鐘，經(jīng)過(guò)了河道長(zhǎng)度．此時(shí)水庫(kù)放水，快艇又行駛河道長(zhǎng)度，只用了20分鐘．此時(shí)，駕駛員關(guān)閉快艇動(dòng)力，任由快艇隨河水漂流，又經(jīng)過(guò)多少分鐘快艇到達(dá)B?
【答案】分鐘
【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，把河道長(zhǎng)度看作整體“1”，那么水庫(kù)沒(méi)有放水時(shí)，快艇的速度為，水庫(kù)放水時(shí)，快艇速度與水流速度的和為，進(jìn)而可求出水流速度，用快艇隨河水漂流的路程除以水流速度可得時(shí)間．
【詳解】解：
（分鐘）
答：又經(jīng)過(guò)分鐘快艇到達(dá)B．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）一出租車一天下午2小時(shí)內(nèi) 以鼓樓為出發(fā)地在東西方向營(yíng)運(yùn)，向東走為正，向西走為負(fù)，行車?yán)锍蹋▎挝唬汗铮┮老群蟠涡蛴涗浫缦拢?，，，，，?br>(1)該車2小時(shí)內(nèi)最遠(yuǎn)時(shí)在鼓樓什么方向?離鼓樓多遠(yuǎn)?將最后一名乘客送到目的地，該車在出發(fā)地什么方向?離出發(fā)地多遠(yuǎn)?
(2)若每公里收費(fèi)為3元，且每百公里耗油10升，汽油價(jià)格每升6元，那么該司機(jī)這2小時(shí)除去汽油費(fèi)后收入是多少?
(3)司機(jī)每天還要向出租車公司上交180元的管理費(fèi)，若一天按照工作8小時(shí)計(jì)算，一月安28天算，問(wèn)該司機(jī)辛苦一個(gè)月后的收入約為多少元?
【答案】(1)該車2小時(shí)內(nèi)最遠(yuǎn)在鼓樓的東方，離鼓樓有9公里，將最后一名乘客送到目的地，該車在鼓樓的東方，離出發(fā)點(diǎn)3公里
(2)84元
(3)4368元
【分析】此題考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用，正數(shù)與負(fù)數(shù)，以及絕對(duì)值，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
（1）將記錄的數(shù)字相加得到結(jié)果，即可做出判斷；
（2）將記錄的數(shù)字絕對(duì)值相加得到總路程數(shù)，算出總收入-汽油費(fèi)，即可解答；
（3）計(jì)算出司機(jī)的總收入-所交的管理費(fèi)，即可解答．
【詳解】（1）解：送完第1名乘客，離出發(fā)地（鼓樓）的距離為9公里，
第2名：（公里），
第3名：（公里），
第4名：（公里），
第5名：（公里），
第6名：（公里），
則，該車2小時(shí)內(nèi)最遠(yuǎn)在鼓樓的東方，離鼓樓有9公里，將最后一名乘客送到目的地，該車在鼓樓的東方，離出發(fā)點(diǎn)3公里；
（2）（公里），
（元），（元），
（元），
答：該司機(jī)這2小時(shí)除去汽油費(fèi)后收入是84元．
（3）（元）
答：該司機(jī)辛苦一個(gè)月后得收入約為4368元．
【變式2】（23-24七年級(jí)上·浙江麗水·期末）如圖1是1個(gè)紙杯和6個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，量得1個(gè)紙杯的高為，6個(gè)疊放在一起的紙杯的高為．
(1)問(wèn)2個(gè)疊放在一起的紙杯的高是多少？
(2)若一批這樣的紙杯按照?qǐng)D2的方式疊放，測(cè)得總高度為，求紙杯個(gè)數(shù)．
【答案】(1)
(2)101個(gè)
【分析】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，正確列出算式是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)求出每增加一個(gè)紙杯增加的高度即可；
（2）根據(jù)總高度求出紙杯的個(gè)數(shù)即可．
【詳解】（1）根據(jù)題意得：
，
，
則2個(gè)疊放在一起的紙杯的高是；
（2）根據(jù)題意得：
（個(gè)），
則紙杯個(gè)數(shù)為101個(gè)．
【變式3】（22-23七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）為鼓勵(lì)人們節(jié)約用水，某市居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”收費(fèi)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：用戶每月用水量在20噸及以內(nèi)的為第一級(jí)水量基數(shù)，按一級(jí)用水價(jià)格收取；超過(guò)20噸且不超過(guò)30噸的部分為第二級(jí)水量基數(shù)，按一級(jí)用水價(jià)格的1.5倍收取；超過(guò)30噸的部分為第三級(jí)水量基數(shù)，按一級(jí)用水價(jià)格的1.8倍收?。疄楣?jié)約用水量，小高記錄了1~7月份他家每月1號(hào)的水表讀數(shù)．
(1)直接寫(xiě)出小高家1月份的用水量__________噸及1~6月平均每月用水量為_(kāi)___________噸．
(2)已知小高家2月份的水費(fèi)為36元，試求他家6月份需繳納水費(fèi)多少元？
(3)7月份放暑假后，小高的爺爺、奶奶來(lái)到家里和小高一起生活，用水量明顯增加，比6月份多用水14噸，試求小高家7月份需繳納水費(fèi)多少元？
(4)為節(jié)約水資源，請(qǐng)你提出一條生活中節(jié)約用水的合理建議．
【答案】(1)17，17
(2)43元
(3)88元
(4)見(jiàn)解析
【分析】本題考查有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用：
（1）用2月的數(shù)據(jù)減去1月的數(shù)據(jù)，求出1月份的用水量，用表格中最后一個(gè)數(shù)據(jù)減去第一個(gè)數(shù)據(jù)，再除以6求出平均用水量；
（2）根據(jù)小高家2月份的水費(fèi)為36元，求出一級(jí)用水價(jià)格，進(jìn)而求出6月份需繳納水費(fèi)即可；
（3）根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，列式計(jì)算即可；
（4）提出一條節(jié)約用水的建議即可．
【詳解】（1）解：（噸），（噸）；
故答案為：17，17；
（2）解：小高家二月用水量為：（噸），
由題意，得：一級(jí)用水價(jià)格為：（元），
小高家6月用水量為：噸，
∴他家6月份需繳納水費(fèi)為（元）；
（3）解：七月份用水量為：（噸），
（元）；
（4）解：淘米水澆花（合理即可）．
一、單選題
1．（23-24七年級(jí)上·廣東東莞·期末）式子計(jì)算正確的是（ ）
A．0B．C．17D．
【答案】D
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，先將乘方化簡(jiǎn)，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，
故選：D．
2．（22-23六年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）下列各式結(jié)果為正數(shù)的是（ ）
A．B．
C．（n為正整數(shù)）D．
【答案】D
【分析】題目主要考查含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，將各個(gè)選項(xiàng)依次化簡(jiǎn)即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵
【詳解】解：A、，不符合題意；
B、，不符合題意；
C、n為正整數(shù)，為奇數(shù)，
∴，不符合題意；
D、，符合題意；
故選：D
3．（22-23七年級(jí)上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用有理數(shù)的相應(yīng)的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可求解．解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
【詳解】解：A．，故此選項(xiàng)符合題意；
B．，故此選項(xiàng)不符合題意；
C．，故此選項(xiàng)不符合題意；
D．，故此選項(xiàng)不符合題意．
．
4．（23-24七年級(jí)上·廣東珠?！て谥校┯谩啊睢倍x一種新運(yùn)算：對(duì)于任何不為零的整數(shù)a和b，，例如：，則的值為（ ）
A．B．5C．13D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給新運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．根據(jù)題目所給新運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：B．
5．（23-24七年級(jí)下·江蘇連云港·期末）我國(guó)古代《易經(jīng)》一書(shū)中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，采取滿七進(jìn)一的方式，用來(lái)記錄孩子自出生后的天數(shù)．如圖1，孩子出生后的天數(shù)是（天），那么圖2所表示孩子出生后的天數(shù)是（ ）
A．1234天B．466天C．396天D．284天
【答案】B
【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)題中計(jì)算方法列式計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意，圖2所表示孩子出生后的天數(shù)是
（天），
故選：B
二、填空題
6．（23-24七年級(jí)上·福建莆田·期末）求值： ．
【答案】
【分析】本題考查的是化簡(jiǎn)絕對(duì)值，乘方運(yùn)算的含義，有理數(shù)的混合運(yùn)算，先計(jì)算乘方與絕對(duì)值，再計(jì)算乘法運(yùn)算即可．
【詳解】解：，
故答案為：
7．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）按照以下程序圖輸入的值為，則輸出的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵就是弄清楚題中圖形給出的計(jì)算程序．由于將開(kāi)始代入計(jì)算是6，不是負(fù)數(shù)，返回繼續(xù)計(jì)算，要平方后再代入，這是本題易出錯(cuò)的地方．
【詳解】解：，
，
故答案為：．
8．（23-24七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）若a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，，則的值是 ．
【答案】11
【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟知有理數(shù)混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意得出，，，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，互為倒數(shù)，，互為相反數(shù)，，
，，，
．
故答案為：11．
9．（23-24六年級(jí)上·山東威海·期末）有一種“二十四點(diǎn)”游戲，其游戲規(guī)則是：任取1至13之間的四個(gè)自然數(shù)，將這四個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)用且只用一次，可以加括號(hào)）進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算，使其結(jié)果等于24．現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)，請(qǐng)仿照“二十四點(diǎn)”游戲規(guī)則寫(xiě)出一個(gè)算式 ，使其結(jié)果等于24．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用混合運(yùn)算的特點(diǎn)構(gòu)建是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴這個(gè)算式為：，
故答案為：
10．（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則 ．
【答案】8
【分析】根據(jù)定義，得，解得即可．
本題考查了新定義計(jì)算，正確理解定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】根據(jù)定義，得，
故答案為：8．
三、解答題
11．（23-24七年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)32
【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則，“先算乘方，再算乘除，最后算加減，有小括號(hào)的先算小括號(hào)里面的”．
（1）根據(jù)有理數(shù)四則混合運(yùn)算法則，結(jié)合乘法分配律，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（23-24七年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)1
(2)
(3)3
(4)2
【分析】（1）原式利用減法法則變形，計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再把除法化為乘法，最后運(yùn)算乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，即可作答．
（3）運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，即可作答．
（4）先算乘方，再算乘法，最后運(yùn)算加減，即可作答．
本題考查了有理數(shù)的乘方的混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，乘法運(yùn)算律，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：
13．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則，“先算乘方，再算乘除，最后算加減，有小括號(hào)的先算小括號(hào)里面的”．
（1）根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
14．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，計(jì)算機(jī)程序使用的是二進(jìn)制數(shù)（只有數(shù)碼0和1），它們兩者之間可以互相換算，如：將，換算成十進(jìn)制數(shù)應(yīng)為：，
．按此方式，將二進(jìn)制換算成十進(jìn)制數(shù)．
【答案】9
【分析】首先理解二進(jìn)制的含義，再結(jié)合四則運(yùn)算的順序和計(jì)算法則計(jì)算即可求解．
考查了二進(jìn)制位值原則，關(guān)鍵是掌握四則運(yùn)算的順序和計(jì)算法則，正確進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】解：；
故答案為：9．
15．（23-24七年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí)）淇淇在計(jì)算時(shí)，步驟如下：
解：原式①
．
17．（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）小明在計(jì)算這道題時(shí)，他看到每一項(xiàng)的分母之間有倍數(shù)關(guān)系，所以他設(shè)．①
那么， ．②
接著他將，結(jié)果這樣操作沒(méi)有辦法較為簡(jiǎn)便地計(jì)算出結(jié)果．于是，他拿著題目去問(wèn)老師，老師告訴他，可以，得
．
．
．
請(qǐng)你模仿上述求解的方法，進(jìn)行計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)510
(2)364
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合，有理數(shù)加法的運(yùn)算技巧，解題關(guān)鍵理解小明解題的方法，并能靈活運(yùn)用．
（1）設(shè)，求出，再列出算式求出即可；
（2）設(shè)m＝1+3+9+27+81+243，求出3m，再列出算式求出3m﹣m，進(jìn)而求出m即可．
【詳解】（1）解：設(shè)，
則
，
∴
，
∴；
（2）解：設(shè)，
∴，
，
，
,
∴，
∴．
18．（22-23七年級(jí)上·安徽合肥·期末）觀察下列等式：；；；；；
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
(1)請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)等式： ， ；
(2)根據(jù)以上式子的規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出第個(gè)式子；（為正整數(shù)）
(3)利用這個(gè)規(guī)律計(jì)算的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律探索，有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)觀察所給的式子，探索出式子的一般規(guī)律，并能根據(jù)所求靈活應(yīng)用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)所給等式的規(guī)律，直接寫(xiě)出即可；
（2）通過(guò)觀察可得，第個(gè)等式為；
（3）由（2）可得，原式，再求解即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)所給等式的規(guī)律可知：
，
，
故答案為：，；
（2）解：根據(jù)所給等式的規(guī)律可知，第個(gè)等式為：
；
（3）解：
．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則
②有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用
1．掌握有理數(shù)的加減乘除及其乘方的混合運(yùn)算；
2．靈活應(yīng)用有理數(shù)的運(yùn)算法則解決問(wèn)題；
解：原式①
②
③
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
水表讀數(shù)（噸）
433
450
468
485
500
514
535

相關(guān)學(xué)案

北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第4章第03講角(學(xué)生版+解析)：

這是一份北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第4章第03講角(學(xué)生版+解析)，共59頁(yè)。學(xué)案主要包含了即學(xué)即練1，即學(xué)即練2，即學(xué)即練3，即學(xué)即練4，即學(xué)即練5，即學(xué)即練6，即學(xué)即練7等內(nèi)容，歡迎下載使用。

北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第4章第01講線段、射線、直線(學(xué)生版+解析)：

這是一份北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第4章第01講線段、射線、直線(學(xué)生版+解析)，共35頁(yè)。學(xué)案主要包含了即學(xué)即練1，即學(xué)即練2等內(nèi)容，歡迎下載使用。

北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第3章第05講探究與表達(dá)規(guī)律(學(xué)生版+解析)：

這是一份北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第3章第05講探究與表達(dá)規(guī)律(學(xué)生版+解析)，共40頁(yè)。學(xué)案主要包含了等差規(guī)律，解答題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第3章第03講整式的加減(學(xué)生版+解析)

北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第3章第03講整式的加減(學(xué)生版+解析)
北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第3章第01講代數(shù)式(學(xué)生版+解析)

北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第3章第01講代數(shù)式(學(xué)生版+解析)
北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第2章第03講數(shù)軸(學(xué)生版+解析)

北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第2章第03講數(shù)軸(學(xué)生版+解析)
北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第2章第01講有理數(shù)(學(xué)生版+解析)

北師大版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第2章第01講有理數(shù)(學(xué)生版+解析)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部