知識點(diǎn)01 有理數(shù)的乘方
一般地，個(gè)相同的因數(shù)相乘，即，記作，讀作的次方.求個(gè)相同因數(shù)的積的
運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.
在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù).讀作的次方，也可以讀作的次冪.
【即學(xué)即練1】
1．（23-24七年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）在中底數(shù)是 ，指數(shù)是 ．
知識點(diǎn)02 有理數(shù)的乘方運(yùn)算
（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；
（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；
（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；
（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計(jì)算冪的絕對值.
【即學(xué)即練2】
1．（2023七年級上·江蘇·專題練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)
知識點(diǎn)03 科學(xué)記數(shù)法
把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．
【即學(xué)即練3】
1．（2024·浙江嘉興·一模）年春節(jié)，嘉興文旅市場大放異彩！據(jù)統(tǒng)計(jì)，我市假日期間共接待游客萬人次，實(shí)現(xiàn)旅游收入億元，較年分別增長和．則數(shù)據(jù)“萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
題型01 有理數(shù)冪的概念理解
【典例1】（23-24七年級上·福建廈門·期中）下列對于式子的說法，錯(cuò)誤的是（ ）
A．指數(shù)是2B．底數(shù)是C．冪為D．表示2個(gè)相乘
【變式1】（23-24七年級上·福建福州·期中）關(guān)于說法正確的是（ ）
A．結(jié)果是B．底數(shù)是4，指數(shù)是
C．可以表示為D．底數(shù)是，指數(shù)是4
【變式2】（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）下列對于，敘述正確的是（ ）
A．底數(shù)是、指數(shù)是4B．表示4個(gè)3相乘的積的相反數(shù)
C．表示4個(gè)相乘的積D．表示4與的積
【變式3】（23-24七年級上·安徽安慶·期末）下列說法正確的是（ ）
A．的底數(shù)是B．表示5個(gè)2相加
C．與意義相同D．的底數(shù)是2
題型02 有理數(shù)的乘方運(yùn)算
【典例2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算下列各題，并說說它們的區(qū)別．
(1)； (2)； (3)．
【變式1】（23-24七年級上·四川成都·期中）下列各組數(shù)中，相等的一組是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)．
【變式3】（2024六年級上·上?！ｎ}練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)； (3)
(4)； (5)； (6)．
題型03 有理數(shù)的乘方運(yùn)算的符號規(guī)律
【典例3】（23-24七年級上·河南周口·期末）當(dāng)時(shí)，下列各式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（23-24七年級上·河南信陽·期中）在，，，0中，非負(fù)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式2】（23-24七年級上·全國·課堂例題）有下列各數(shù)：①；②；③；④，其中結(jié)果等于的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【變式3】（23-24七年級上·全國·課堂例題）當(dāng)時(shí)，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
題型04 用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)
【典例4】（23-24七年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）某公司去年的營業(yè)額約為407000 元，則此營業(yè)額用科學(xué)記數(shù)法可表示為 元．
【變式1】（23-24七年級上·江西南昌·期末）據(jù)悉，截至2023年，我國累計(jì)建成并開通的5G基站總數(shù)將超過290萬個(gè)．?dāng)?shù)據(jù)“290萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
【變式2】（23-24九年級下·黑龍江大慶·期中）二十大報(bào)告中，一組組亮眼的數(shù)字，吸引無數(shù)目光，折射出新時(shí)代十年的非凡成就．其中，國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增長到114萬億元．請你把114萬用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
【變式3】（23-24七年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）《2023年政府工作報(bào)告》中指出：我國有2.8億在校學(xué)生，要堅(jiān)持把教育這個(gè)關(guān)乎千家萬戶和中華民族未來的大事辦好．將2.8億用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為 ．
題型05 用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)
【典例5】（2024·陜西渭南·二模）用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)為，則這個(gè)數(shù)原來是 ．
【變式1】（2024·廣東汕頭·一模）2023年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值約億元，用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)億元的原數(shù)約為 億元．
【變式2】（23-24七年級上·河南鄭州·期中）2023年國慶期間，鄭州新彩虹橋順利通車．通車當(dāng)天搜索“鄭州新彩虹橋”，找到相關(guān)結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示為個(gè)，則原數(shù)是 個(gè)．
【變式3】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）某市將投入元推進(jìn)“美麗鄉(xiāng)村”全域化建設(shè)，現(xiàn)將元還原成以“億元”為單位的原數(shù)是 億元．
題型06 與有理數(shù)乘方有關(guān)的新定義型問題
【典例6】（23-24七年級上·吉林松原·期末）定義一種新運(yùn)算▽：對任意有理數(shù)a、b都有，如，則 ．
【變式1】（23-24七年級上·遼寧沈陽·期末）若定義有理數(shù)x，y有，則 ．
【變式2】（23-24七年級上·貴州銅仁·期中）定義一種新運(yùn)算：，如．則
一、單選題
1．（23-24七年級下·廣西貴港·期中）計(jì)算的正確結(jié)果是（ ）
A．B．1C．D．6
2．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2023年末全國人口（包括31個(gè)省、自治區(qū)、直轄市和現(xiàn)役軍人的人口，不包括居住在31個(gè)省、自治區(qū)、直轄市的港澳臺居民和外籍人員）60歲及以上人口29697萬人，占全國人口的．?dāng)?shù)據(jù)“29697萬”用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24七年級上·福建莆田·階段練習(xí)）下列各組數(shù)中，結(jié)果相等的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
4．（23-24七年級上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）在，，，，，中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24七年級下·山東聊城·階段練習(xí)）觀察下列算式：，，，，，，，，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出的末位數(shù)字是（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空題
6．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算： ， ， ．
7．（23-24七年級上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）《紅樓夢》是我國古代四大名著之一，全書約有個(gè)字，用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的原數(shù)是 ．
8．（2023·湖南懷化·模擬預(yù)測）下列數(shù)：，，，，0，，其中非負(fù)數(shù)有 個(gè)．
9．（23-24七年級上·北京·期末）已知，則的值是 ．
10．（23-24七年級上·江蘇徐州·期中）定義一種新的運(yùn)算：，如：，則 ．
三、解答題
11．（23-24七年級上·全國·課堂例題）計(jì)算：
(1)，；
(2)，．
12．（23-24七年級上·陜西西安·期中）將有理數(shù)，，，用“”連接起來．
13．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)，并用“>”號把這些數(shù)連接起來．
，0，，，
14．（23-24七年級上·廣東梅州·期中）如圖是某種細(xì)胞分裂示意圖，這種細(xì)胞經(jīng)過1次分裂便由1個(gè)分裂成2個(gè)．
根據(jù)此規(guī)律可得：
(1)這樣的一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過2次分裂后可分裂成 個(gè)細(xì)胞；
(2)這樣的一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過5次分裂后可分裂成 個(gè)細(xì)胞；
(3)這樣的一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過n（n為正整數(shù)）次分裂后可分裂成 個(gè)細(xì)胞．
15．（23-24七年級上·全國·課堂例題）求出下列各組中兩個(gè)算式的值，找出兩個(gè)算式之間的關(guān)系．
（1）與；
（2）與；
（3）與；
（4）與．
利用所得規(guī)律計(jì)算：．
16．（23-24七年級上·廣東中山·階段練習(xí)）閱讀與運(yùn)用：
規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于０）的除法運(yùn)算叫做除方．如，等．類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“2的3次商”， 記作，讀作“的4次商”．一般地，我們把n個(gè)a（）相除記作，讀作“a的n次商”．
(1)初步探究：直接寫出結(jié)果： ； ；
(2)理解概念：關(guān)于除方，下列說法錯(cuò)誤的是 ；
A． B.負(fù)數(shù)的2次商都等于
C． D．，其中π為正整數(shù)
(3)探究應(yīng)用
我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算能夠轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？
例：
①試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成乘方（冪）的形式： ；
②想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的n次商寫成冪的形式等于 ；
③算一算：
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①有理數(shù)乘方的定義及運(yùn)算
②科學(xué)記數(shù)法的定義
1．理解有理數(shù)乘方定義及運(yùn)算；
2．進(jìn)一步掌握有理數(shù)的五則混合運(yùn)算；
3．掌握科學(xué)記數(shù)法，了解近似數(shù)；能運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)。
第07講 有理數(shù)的乘方
知識點(diǎn)01 有理數(shù)的乘方
一般地，個(gè)相同的因數(shù)相乘，即，記作，讀作的次方.求個(gè)相同因數(shù)的積的
運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪.
在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù).讀作的次方，也可以讀作的次冪.
【即學(xué)即練1】
1．（23-24七年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）在中底數(shù)是 ，指數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)冪的定義中指數(shù)與底數(shù)的說明解答本題．
【詳解】解：在中底數(shù)是，指數(shù)是，
故答案為：，
知識點(diǎn)02 有理數(shù)的乘方運(yùn)算
（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；
（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；
（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；
（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號，然后再計(jì)算冪的絕對值.
【即學(xué)即練2】
1．（2023七年級上·江蘇·專題練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練運(yùn)用運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
知識點(diǎn)03 科學(xué)記數(shù)法
把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．
【即學(xué)即練3】
1．（2024·浙江嘉興·一模）年春節(jié)，嘉興文旅市場大放異彩！據(jù)統(tǒng)計(jì)，我市假日期間共接待游客萬人次，實(shí)現(xiàn)旅游收入億元，較年分別增長和．則數(shù)據(jù)“萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：萬，
故選A．
題型01 有理數(shù)冪的概念理解
【典例1】（23-24七年級上·福建廈門·期中）下列對于式子的說法，錯(cuò)誤的是（ ）
A．指數(shù)是2B．底數(shù)是C．冪為D．表示2個(gè)相乘
【答案】A
【分析】根據(jù)乘方的定義解答即可．
【詳解】A．指數(shù)是2，正確；
B．底數(shù)是，正確；
C．冪為9，故錯(cuò)誤；
D．表示2個(gè)相乘，正確；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．乘方的定義為：求n個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方運(yùn)算的結(jié)果叫做冪．在中，它表示n個(gè)a相乘，其中a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．
【變式1】（23-24七年級上·福建福州·期中）關(guān)于說法正確的是（ ）
A．結(jié)果是B．底數(shù)是4，指數(shù)是
C．可以表示為D．底數(shù)是，指數(shù)是4
【答案】D
【分析】根據(jù)乘方的運(yùn)算法則，冪的有關(guān)定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，故A不正確，不符合題意；
底數(shù)是，指數(shù)是4，
故B不正確，不符合題意；D正確，符合題意；
C、，故C不正確，不符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方的運(yùn)算在，冪的有關(guān)定義，解題的關(guān)鍵是掌握表示n個(gè)a相乘，a為底數(shù)，n為指數(shù)．
【變式2】（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）下列對于，敘述正確的是（ ）
A．底數(shù)是、指數(shù)是4B．表示4個(gè)3相乘的積的相反數(shù)
C．表示4個(gè)相乘的積D．表示4與的積
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的含義判斷即可．
【詳解】表示4個(gè)3相乘的積的相反數(shù)，
故選B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的乘方的定義以及相關(guān)概念，解答此題的關(guān)鍵是要明確：乘方的結(jié)果叫做冪，在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．
【變式3】（23-24七年級上·安徽安慶·期末）下列說法正確的是（ ）
A．的底數(shù)是B．表示5個(gè)2相加
C．與意義相同D．的底數(shù)是2
【答案】D
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方．根據(jù)乘方的意義，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、的底數(shù)是2，∴此選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤，故不符合題意；
B、表示5個(gè)2相乘，∴此選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤，故不符合題意；
C、表示3個(gè)相乘，表示3個(gè)3相乘的相反數(shù)，∴它們表示的意義不同，故不符合題意；
D、的底數(shù)是2，∴此選項(xiàng)的說法正確，故此選項(xiàng)符合題意，
故選：D．
題型02 有理數(shù)的乘方運(yùn)算
【典例2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算下列各題，并說說它們的區(qū)別．
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查乘方運(yùn)算．
（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；
（3）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
區(qū)別：有理數(shù)的乘方運(yùn)算，底數(shù)不同，第（1）題進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算，其底數(shù)是，第（2）題分子部分進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算，其底數(shù)是3，第（3）題分母部分進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算，其底數(shù)是5．
【變式1】（23-24七年級上·四川成都·期中）下列各組數(shù)中，相等的一組是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
【答案】A
【分析】本師考查有理數(shù)的乘方，有理數(shù)比較大小，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)有理數(shù)乘方法則計(jì)算，并比較大小即可求解．
【詳解】解：A、∵，，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、∵，，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、∵，，∴，故此選項(xiàng)符合題意；
D、∵，，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；
．
【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根據(jù)乘方的意義，乘方的運(yùn)算可以利用乘法的運(yùn)算來進(jìn)行即可；
（）根據(jù)乘方的意義，乘方的運(yùn)算可以利用乘法的運(yùn)算來進(jìn)行即可；
本題考查了乘方的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，的任何正整數(shù)次冪都是．
【詳解】（1）原式
；
（2）原式
．
【變式3】（2024六年級上·上海·專題練習(xí)）計(jì)算：
(1)； (2)； (3)
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)
(2)16
(3)
(4)
(5)8
(6)36
【分析】本題考查了乘方的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行解題．
（1）根據(jù)乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．
（2）根據(jù)乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．
（3）根據(jù)乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．
（4）根據(jù)乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．
（5）根據(jù)乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．
（6）根據(jù)乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案．
【詳解】（1）解： ；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：．
題型03 有理數(shù)的乘方運(yùn)算的符號規(guī)律
【典例3】（23-24七年級上·河南周口·期末）當(dāng)時(shí)，下列各式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查有理數(shù)的乘方、偶次方的非負(fù)性、絕對值，根據(jù)有理數(shù)的乘方、偶次方的非負(fù)性、絕對值的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：只要，恒有，故A選項(xiàng)成立；
∵，故B選項(xiàng)不成立，C成立；
∵，
∴，
∴，故D選項(xiàng)成立，
故選：B．
【變式1】（23-24七年級上·河南信陽·期中）在，，，0中，非負(fù)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】本題考查有理數(shù)乘方中的符號問題，判斷每個(gè)數(shù)的正負(fù)號即可求解．
【詳解】解：∵，，，
∴，，，0中，只有0是非負(fù)數(shù)．
．
【變式2】（23-24七年級上·全國·課堂例題）有下列各數(shù)：①；②；③；④，其中結(jié)果等于的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，以及相反數(shù)的求法，逐項(xiàng)判定即可．
【詳解】解：①，
②，
③，
④，
∴其中結(jié)果等于的是：①②③④．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的乘方，以及相反數(shù)的求法，求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“”．
【變式3】（23-24七年級上·全國·課堂例題）當(dāng)時(shí)，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】D
【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，偶次冪是正數(shù)即可解答．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，
是負(fù)數(shù)，故①正確；
，故②正確，④錯(cuò)誤；
，故③正確；
綜上所述，①②③正確．
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號規(guī)律，掌握有理數(shù)乘方的符號規(guī)律：一個(gè)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)．
題型04 用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)
【典例4】（23-24七年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）某公司去年的營業(yè)額約為407000 元，則此營業(yè)額用科學(xué)記數(shù)法可表示為 元．
【答案】
【分析】此題考查了正整數(shù)指數(shù)科學(xué)記數(shù)法，對于一個(gè)絕對值大于10的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1的正整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
【詳解】解：
故答案為：
【變式1】（23-24七年級上·江西南昌·期末）據(jù)悉，截至2023年，我國累計(jì)建成并開通的5G基站總數(shù)將超過290萬個(gè)．?dāng)?shù)據(jù)“290萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
【答案】
【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)．絕對值大于1的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，為正整數(shù)，且比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此可以解答．
【詳解】解：290萬．
故答案為：
【變式2】（23-24九年級下·黑龍江大慶·期中）二十大報(bào)告中，一組組亮眼的數(shù)字，吸引無數(shù)目光，折射出新時(shí)代十年的非凡成就．其中，國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增長到114萬億元．請你把114萬用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
【答案】
【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時(shí)，是負(fù)數(shù)．表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：萬，
故答案為：．
【變式3】（23-24七年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）《2023年政府工作報(bào)告》中指出：我國有2.8億在校學(xué)生，要堅(jiān)持把教育這個(gè)關(guān)乎千家萬戶和中華民族未來的大事辦好．將2.8億用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法求解即可．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．解題關(guān)鍵是正確確定a的值以及n的值．
【詳解】將2.8億用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為．
故答案為：．
題型05 用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)
【典例5】（2024·陜西渭南·二模）用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)數(shù)為，則這個(gè)數(shù)原來是 ．
【答案】1500
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)．科學(xué)記數(shù)法指把一個(gè)數(shù)寫成（其中，為整數(shù)）的形式．
【詳解】解：．
故答案為：1500．
【變式1】（2024·廣東汕頭·一模）2023年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值約億元，用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)億元的原數(shù)約為 億元．
【答案】1260000
【分析】本題考查了將科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)恢復(fù)為原數(shù)，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法中n值的確定方法，將恢復(fù)原數(shù)后應(yīng)該是一個(gè)七位數(shù)的整數(shù)，即可得出答案．
【詳解】解：億元的原數(shù)約為1260000億元．
故答案為：1260000．
【變式2】（23-24七年級上·河南鄭州·期中）2023年國慶期間，鄭州新彩虹橋順利通車．通車當(dāng)天搜索“鄭州新彩虹橋”，找到相關(guān)結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示為個(gè)，則原數(shù)是 個(gè)．
【答案】
【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原成原數(shù)．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式中，原數(shù)的整數(shù)位數(shù)等于．原數(shù)等于把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動n位所得的數(shù)，若向右移動，位數(shù)不夠則用0補(bǔ)上．據(jù)此解答即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【變式3】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）某市將投入元推進(jìn)“美麗鄉(xiāng)村”全域化建設(shè)，現(xiàn)將元還原成以“億元”為單位的原數(shù)是 億元．
【答案】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．據(jù)此解答即可．
【詳解】解：將元還原成以“億元”為單位的原數(shù)是億元，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要確定a的值以及n的值．
題型06 與有理數(shù)乘方有關(guān)的新定義型問題
【典例6】（23-24七年級上·吉林松原·期末）定義一種新運(yùn)算▽：對任意有理數(shù)a、b都有，如，則 ．
【答案】2019
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的減法運(yùn)算，正確理解新定義運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先計(jì)算括號內(nèi)，再計(jì)算括號外即可．
【詳解】解：，
則原式，
故答案為：2019．
【變式1】（23-24七年級上·遼寧沈陽·期末）若定義有理數(shù)x，y有，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題中所給新定義運(yùn)算可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由題意得：
；
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（23-24七年級上·貴州銅仁·期中）定義一種新運(yùn)算：，如．則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)可求的值．
【詳解】解：∵，
∴，
故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查新定義及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法．
【變式3】（23-24七年級上·浙江金華·期中）定義運(yùn)算：，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：
；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算．理解并掌握新運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
題型07 有理數(shù)的乘方的應(yīng)用
【典例7】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）當(dāng)細(xì)菌繁殖時(shí)，每隔一段時(shí)間，一個(gè)細(xì)菌就分裂成兩個(gè)．
(1)一個(gè)細(xì)菌在分裂n次后，數(shù)量變?yōu)?個(gè)．
(2)有一種分裂速度很快的細(xì)菌，它每12分鐘分裂一次，如果現(xiàn)在盤子里有1000個(gè)這樣的細(xì)菌，那么1小時(shí)后，盤子里有 個(gè)細(xì)菌．
(3)求兩個(gè)小時(shí)后的數(shù)量是1小時(shí)后的多少倍？
【答案】(1)
(2)32000
(3)32倍
【分析】本題考查有理數(shù)的乘方的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是理解題意，算出細(xì)菌分裂的次數(shù)．
（1）根據(jù)每分裂1次，數(shù)量是之前的2倍求解可得；
（2）由每12分鐘分裂一次知1小時(shí)分裂5次，據(jù)此求解可得；
（3）先算出兩個(gè)小時(shí)后的數(shù)量是，計(jì)算可得答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意：一個(gè)細(xì)菌在分裂n次后，數(shù)量變?yōu)閭€(gè)；
（2）解：，
1小時(shí)后，盤子里有個(gè)細(xì)菌；
（3）解：，
兩個(gè)小時(shí)后的數(shù)量是，
∴兩個(gè)小時(shí)后的數(shù)量是1小時(shí)后的（倍）．
【變式1】（23-24七年級上·內(nèi)蒙古興安盟·期中）拉面館的師傅用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條拉成許多細(xì)的面條，如圖所示，這樣捏合到第8次后，就可以拉出（ ）根細(xì)面條．
A．16B．32C．64D．
【答案】D
【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，能夠根據(jù)題意列出式子是解題的關(guān)鍵．由圖可知，第一次捏合是，即，第二次是，即，第三次是，即，即可得到答案．
【詳解】解：第一次捏合后面條根，即根，
第二次捏合后面條根，即根，
第三次捏合后面條根，即根，
故第8次捏合后面條為根，
故選D．
【變式2】（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）有一種細(xì)菌，經(jīng)過1分鐘分裂成2個(gè)，再過1分鐘，又發(fā)生了分裂，變成4個(gè)．把這樣一個(gè)細(xì)菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被細(xì)菌充滿為止，用了1小時(shí)，如果開始時(shí)，就在瓶子里放入這樣的細(xì)菌16個(gè)，那么細(xì)菌充滿瓶子所需要的時(shí)間為（ ）
A．44分鐘B．56分鐘C．半小時(shí)D．1小時(shí)
【答案】B
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法的應(yīng)用，列出等式是解此題的關(guān)鍵．先計(jì)算出裝滿一瓶的細(xì)菌，個(gè)，設(shè)將16個(gè)這種細(xì)菌放入同樣的培養(yǎng)瓶中經(jīng)過分鐘就能分裂至滿一瓶，則，再根據(jù)1小時(shí)分，求解即可．
【詳解】解：一個(gè)細(xì)菌1分鐘分裂成2個(gè)，2分鐘分裂成4個(gè)，分鐘分裂成個(gè)，一個(gè)細(xì)菌經(jīng)過1小時(shí)的繁殖能使瓶子充滿，
設(shè)將16個(gè)這種細(xì)菌放入同樣的培養(yǎng)瓶中經(jīng)過分鐘就能分裂至滿一瓶．
，
，
小時(shí)分，
，
故選：B
【變式3】（2024七年級上·江蘇·專題練習(xí)）水葫蘆是一種水生漂浮植物，有著驚人的繁殖能力．據(jù)研究表明：適量的水葫蘆生長對水質(zhì)的凈化是有利的，關(guān)鍵是科學(xué)管理和轉(zhuǎn)化利用，若在適宜的條件下，1株水葫蘆每5天就能繁殖1株．（不考慮死亡、被打撈等其他因素）
(1)假設(shè)湖面上現(xiàn)有1株水葫蘆，填寫下表：
(2)假定某個(gè)水域的水葫蘆維持在1280株以內(nèi)對水質(zhì)凈化有益．若現(xiàn)有10株水葫蘆，請你計(jì)算，按照上述生長速度，多少天時(shí)有1280株水葫蘆？
【答案】(1)見解析；
(2)35天
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解乘方的意義并讀懂圖表信息是解題的關(guān)鍵．
（1 ）根據(jù)有理數(shù)乘方的定義填寫即可；
（2 ）根據(jù)（1 ）的結(jié)論列出方程求出n，然后乘以5即可．
【詳解】（1）根據(jù)題意得，當(dāng)天數(shù)為15時(shí)，總株數(shù)為，
當(dāng)天數(shù)為25時(shí)，總株數(shù)為，
∴當(dāng)天數(shù)為時(shí)，總株數(shù)為，
填表如下：
（2）根據(jù)題意得，，
解得，
（天）．
答：按照上述生長速度，35天時(shí)有1280株水葫蘆．
一、單選題
1．（23-24七年級下·廣西貴港·期中）計(jì)算的正確結(jié)果是（ ）
A．B．1C．D．6
【答案】B
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的乘方法則．按照有理數(shù)的乘方法則，先算括號里面的，再算括號外面的即可．
【詳解】解：
，
故選：B
2．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2023年末全國人口（包括31個(gè)省、自治區(qū)、直轄市和現(xiàn)役軍人的人口，不包括居住在31個(gè)省、自治區(qū)、直轄市的港澳臺居民和外籍人員）60歲及以上人口29697萬人，占全國人口的．?dāng)?shù)據(jù)“29697萬”用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于時(shí)，是負(fù)整數(shù)．
【詳解】“29697萬”用科學(xué)記數(shù)法可表示為，
故選C．
3．（23-24七年級上·福建莆田·階段練習(xí)）下列各組數(shù)中，結(jié)果相等的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】D
【分析】本題考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的乘方法則，逐一進(jìn)行計(jì)算后，判斷即可．
【詳解】解：，
∴；故選項(xiàng)A不符合題意；
，
∴與不相等，故選項(xiàng)B不符合題意；
，
∴與不相等，故選項(xiàng)C不符合題意；
，
∴與相等，故選項(xiàng)D符合題意；
故選D．
4．（23-24七年級上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）在，，，，，中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查負(fù)數(shù)的定義和有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握負(fù)數(shù)的定義，需要注意并不是有負(fù)號的數(shù)就一定是負(fù)數(shù)．先把需要化簡或者計(jì)算的數(shù)算出來，再根據(jù)負(fù)數(shù)的定義去判斷．
【詳解】解：是正數(shù)，
是負(fù)數(shù)，
是正數(shù)，
0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，
是負(fù)數(shù)，
是負(fù)數(shù)，
∴一共有3個(gè)負(fù)數(shù)．
故選：B．
5．（23-24七年級下·山東聊城·階段練習(xí)）觀察下列算式：，，，，，，，，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出的末位數(shù)字是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】本題考查了乘方的應(yīng)用，數(shù)字規(guī)律探索，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出規(guī)律，進(jìn)一步得出算式．由題意可知的末位數(shù)字是按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)的．則，即可得出答案．
【詳解】解：∵，，，，，，，，
∴的末位數(shù)字是按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)的．
∴，
故的末位數(shù)字是2，
．
二、填空題
6．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算： ， ， ．
【答案】 4 /
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握乘方的意義的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘方法則計(jì)算即可．
【詳解】解：，
，
，
故答案為：，4，．
7．（23-24七年級上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）《紅樓夢》是我國古代四大名著之一，全書約有個(gè)字，用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的原數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法數(shù)字還原，根據(jù)指數(shù)是幾，小數(shù)點(diǎn)向右移即為求解即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
，
故答案為：．
8．（2023·湖南懷化·模擬預(yù)測）下列數(shù)：，，，，0，，其中非負(fù)數(shù)有 個(gè)．
【答案】3
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，絕對值定義，非負(fù)數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握這些定義．據(jù)有理數(shù)的乘方，絕對值定義，計(jì)算后判斷．
【詳解】解：，，，，，
其中非負(fù)數(shù)有，0，，共計(jì)3個(gè)．
故答案為：3．
9．（23-24七年級上·北京·期末）已知，則的值是 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，絕對值有非負(fù)性，偶次方的非負(fù)性，有理數(shù)的乘方，正確得出，的值是解題關(guān)鍵．
直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出，的值，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：，
，，
解得：，，
則的值是：．
故答案為：．
10．（23-24七年級上·江蘇徐州·期中）定義一種新的運(yùn)算：，如：，則 ．
【答案】36
【分析】題目主要考查新定義運(yùn)算，理解新定義運(yùn)算，然后代入計(jì)算即可．
【詳解】解：，
故答案為：36．
三、解答題
11．（23-24七年級上·全國·課堂例題）計(jì)算：
(1)，；
(2)，．
【答案】(1)；；；；．
(2)；；．
【分析】（1）根據(jù)乘方的意義進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)乘方的意義進(jìn)行計(jì)算即可．
(3)這樣的一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過n（n為正整數(shù)）次分裂后可分裂成 個(gè)細(xì)胞．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方的應(yīng)用；
（1）根據(jù)題意，一次分裂成2個(gè)，則2次分裂成4個(gè)．
（2）根據(jù)題意，5次分裂成個(gè)；
（3）根據(jù)規(guī)律可得次后分裂為個(gè)
【詳解】（1）解：依題意，一次分裂成2個(gè)，則2次分裂成4個(gè)；
故答案為：．
（2）解：依題意，5次分裂成個(gè)；
故答案為：．
（3）解：根據(jù)規(guī)律可得次后分裂為個(gè)
故答案為：．
15．（23-24七年級上·全國·課堂例題）求出下列各組中兩個(gè)算式的值，找出兩個(gè)算式之間的關(guān)系．
（1）與；
（2）與；
（3）與；
（4）與．
利用所得規(guī)律計(jì)算：．
【答案】見解析
【分析】先分別求出各個(gè)式子，再根據(jù)結(jié)果即可總結(jié)出規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律即可得出答案．
【詳解】解：（1）．
（2），，．
（3），．
（4），．
由上述可得，兩個(gè)數(shù)的相同次冪的積等于這兩個(gè)數(shù)乘積的相同次冪，即 (m為正整數(shù))．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)冪的計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
16．（23-24七年級上·廣東中山·階段練習(xí)）閱讀與運(yùn)用：
規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于０）的除法運(yùn)算叫做除方．如，等．類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“2的3次商”， 記作，讀作“的4次商”．一般地，我們把n個(gè)a（）相除記作，讀作“a的n次商”．
(1)初步探究：直接寫出結(jié)果： ； ；
(2)理解概念：關(guān)于除方，下列說法錯(cuò)誤的是 ；
A． B.負(fù)數(shù)的2次商都等于
C． D．，其中π為正整數(shù)
(3)探究應(yīng)用
我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算能夠轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？
例：
①試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成乘方（冪）的形式： ；
②想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的n次商寫成冪的形式等于 ；
③算一算：
【答案】(1)
(2)BCD
(3)①，；②；③7
【分析】（1）根據(jù)題意，直接求解即可；
（2）根據(jù)定義，逐項(xiàng)判斷即可；
（3）①根據(jù)定義進(jìn)行仿寫即可；②根據(jù)定義進(jìn)行作答即可；③根據(jù)定義進(jìn)行計(jì)算即可
【詳解】（1）由題意得，；；
故答案為：；
（2）A.，該選項(xiàng)正確，不符合題意；
B.負(fù)數(shù)的2次商都等于，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
C．，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
D.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
故選：BCD；
（3）①；，
故答案為：，；
②將一個(gè)非零有理數(shù)a的n次商寫成冪的形式等于，
故答案為：；
③原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，涉及有理數(shù)的除法運(yùn)算和乘方運(yùn)算，準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①有理數(shù)乘方的定義及運(yùn)算
②科學(xué)記數(shù)法的定義
1．理解有理數(shù)乘方定義及運(yùn)算；
2．進(jìn)一步掌握有理數(shù)的五則混合運(yùn)算；
3．掌握科學(xué)記數(shù)法，了解近似數(shù)；能運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)。
天數(shù)
5
10
15
…
25
…
總株數(shù)
2
4
…
…
天數(shù)
5
10
15
…
25
…
總株數(shù)
2
4
8
…
32
…

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