知識點01 有理數(shù)的乘法法則
（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.
（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.
（3）多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有奇
數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．
倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù).
【注意】：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)有1和-1.
【即學即練1】
1.（23-24七年級上·內(nèi)蒙古通遼·期中）的倒數(shù)是（ ）
A．B．2C．D．
2．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
知識點02 有理數(shù)的乘法運算律
（1）乘法交換律：；（2）乘法結(jié)合律：；（3）乘法分配律：．
【即學即練2】
1.（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）（1）計算：；
（2）計算：．
知識點03 確定乘積符號
（1）若a＜0，b＞0，則ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，則ab > 0；（3）若ab＞0，則a、b同號；
（4）若ab＜0，則a、b異號；（5）若ab = 0，則a、b中至少有一個數(shù)為0.
【即學即練3】
1．（2024七年級上·廣西·專題練習）下列式子中，積的符號為負的是（ ）
A．B．
C．D．
知識點04 有理數(shù)除法法則
◆除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)
◆兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負，并把絕對值相除.
【注意】：0除以任何不為0的數(shù)，都得0.
【即學即練4】
1．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：
(1)； (2)．
題型01 兩個有理數(shù)的乘法運算
【典例1】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：
(1)； (2)．
【變式1】（23-24七年級上·浙江金華·階段練習）計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【變式2】（2024六年級上·上海·專題練習）計算
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)；
(7)； (8)．
題型02 多個有理數(shù)的乘法運算
【典例2】（2024七年級上·全國·專題練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)．
【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)．
【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習）計算：
(1)．
(2)．
(3)．
【變式3】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
題型03 有理數(shù)乘法運算律
【典例3】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）用簡便方法計算：
(1)；
(2)．
【變式1】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）用簡便方法計算：
(1)；
(2)．
【變式2】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）用簡便方法計算：
(1)；
(2)．
【變式3】（23-24七年級上·浙江杭州·開學考試）計算與解釋
一道計算測試題為，小明計算如下：
解：
①
②
（ ）．③
(1)解題過程中第①步計算運用的運算律是______．第②步計算運用的運算律是______．
A．乘法結(jié)合律 B．乘法交換律 C．乘法分配律
(2)第③步運算結(jié)果是______．
題型04 倒數(shù)
【典例4】（23-24七年級上·福建福州·期末）的倒數(shù)是 ．
【變式1】（23-24六年級上·山東泰安·階段練習）的倒數(shù)是 ，的絕對值是 ．
【變式2】（23-24七年級上·遼寧盤錦·期末）的倒數(shù)的相反數(shù)是 ．
【變式3】（23-24七年級上·河南商丘·期末）如果的相反數(shù)是，那么的倒數(shù)是 ．
題型05 有理數(shù)乘法的實際應用
【典例5】（23-24七年級上·山東棗莊·階段練習）某自行車廠一周計劃生產(chǎn)輛自行車，平均每天生產(chǎn)輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入，如下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負）：
(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)______輛；
(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)______輛；
(3)該廠實行計件工資制，每輛車元，超額完成任務每輛獎元，少生產(chǎn)一輛扣元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？
【變式1】（22-23七年級上·河南漯河·階段練習）某檢修小組乘一輛汽車沿東西走向的公路檢修線路，約定向東走為正，某天從A地出發(fā)到收工時，行走記錄如下（單位：）：，，，，，，，，，，．
(1)收工時，檢修小組在A地的哪一邊，距A地多遠？
(2)若汽車每千米耗油3升，已知汽車出發(fā)時油箱里有180升汽油，問收工前是否需要中途加油？若加，應加多少升？若不加，還剩多少升汽油？
【變式2】（22-23七年級上·廣東茂名·階段練習）某淘寶商家計劃平均每天銷售某品牌兒童滑板車100輛，但由于種種原因，實際每天的銷售量與計劃量相比有出入．下表是某周的銷售情況（超額記為正、不足記為負）：
(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多銷售___________輛；
(2)本周實際銷售總量達到了計劃數(shù)量沒有？請說明理由．
(3)該店實行每日計件工資制，每銷售一輛車可得30元，若超額完成任務，則超過部分每輛另獎10元；少銷售一輛扣15元，那么該店鋪的銷售人員這一周的工資總額是多少元？
題型06 有理數(shù)的除法運算
【典例6】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【變式1】（23-24七年級上·全國·課堂例題）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【變式2】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【變式3】（23-24七年級上·全國·課堂例題）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)．
題型07 有理數(shù)的乘除混合運算
【典例7】（23-24六年級下·上海楊浦·期中）計算：
【變式1】（23-24七年級上·山東德州·階段練習）計算：
(1)
(2)
【變式2】（23-24七年級上·湖北武漢·階段練習）計算：
(1)
(2)．
【變式3】（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
題型08 有理數(shù)的乘除混合運算之新定義型問題
【典例8】（23-24七年級上·廣西防城港·期中）對于任意的有理數(shù)，定義新運算：，如．
試計算： ．
【變式1】（23-24七年級上·浙江杭州·期中）定義一種新運算：，如，則 ．
【變式2】（23-24七年級上·湖南懷化·期中）定義一種新的運算：，如，則= ．
【變式3】（23-24七年級上·浙江衢州·期中）定義一種運算“”：，則 ， ．
題型09 有理數(shù)的除法中絕對值之分類討論問題
【典例9】（23-24七年級上·黑龍江佳木斯·期末）a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．
(1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0；
(2)化簡：．
【變式1】（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）我們知道：在研究和解決數(shù)學問題時．當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究時，我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”，這一數(shù)學思想用處非常廣泛，我們經(jīng)常用這種方法解答問題．
例如，我們在討論的值時，就會對進行分類討論，當時，；當時，；現(xiàn)在請你利用這一思想解決下列問題：
(1)填空：_________（）；_________（）
(2)若，求的值．
【變式2】（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習）【總結(jié)提煉】
小明學習了絕對值的性質(zhì)后，有這樣的思考和總結(jié)：當時，，則；當時，，則．
【解決問題】
（1）若，則 ．
（2）若，則 ．
【拓展提升】
（3）若，計算：_________．
一、單選題
1．（2024·山東菏澤·二模）實數(shù)的倒數(shù)是，的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·云南臨滄·一模）計算的結(jié)果是（ ）
A．2B．C．6D．
3．（22-23六年級上·山東泰安·階段練習）若，則一定有（ ）
A． B．，且C． D．a(chǎn)，b異號，且
4．（2024七年級上·全國·專題練習）將式子中的除法轉(zhuǎn)化為乘法運算，正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·廣東·二模）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（ ）
A．B．1C．2D．3
二、填空題
6．（23-24六年級下·上海徐匯·期末）計算： ．
7．（23-24七年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，數(shù)軸上兩點對應的數(shù)a、b，則 0（用“>”“ 0；（3）若ab＞0，則a、b同號；
（4）若ab＜0，則a、b異號；（5）若ab = 0，則a、b中至少有一個數(shù)為0.
【即學即練3】
1．（2024七年級上·廣西·專題練習）下列式子中，積的符號為負的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了幾個有理數(shù)的乘法．熟練掌握幾個有理數(shù)的乘法的符號法則，是解決問題的關(guān)鍵．幾個不為零的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)個數(shù)決定，當負因數(shù)個數(shù)是奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時，積為正；幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積為零．
根據(jù)幾個有理數(shù)的乘法的符號法則逐一判斷，即可以得到答案．
【詳解】A、有兩個負因數(shù)，積為正，故A不符合題意．
B、有三個負因數(shù)，積為負，故B符合題意．
C、有一個因數(shù)0，積為0，故C不符合題意．
D、有四個負因數(shù)，積為正，故D不符合題意．
故選：B．
知識點04 有理數(shù)除法法則
◆除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)
◆兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負，并把絕對值相除.
【注意】：0除以任何不為0的數(shù)，都得0.
【即學即練4】
1．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘除法，關(guān)鍵是熟記有理數(shù)乘除法法則和混合運算順序．
（1）根據(jù)有理數(shù)的乘除法運算法則進行計算便可；
（2）根據(jù)有理數(shù)的乘除法運算法則進行計算便可．
【詳解】（1）

；
（2）

．
題型01 兩個有理數(shù)的乘法運算
【典例1】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：
(1)； (2)．
【答案】(1)6
(2)-2
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，關(guān)鍵是熟記有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．
根據(jù)有理數(shù)乘法法則進行計算便可．
【詳解】（1）
；
（2）
．
【變式1】（23-24七年級上·浙江金華·階段練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法計算，有理數(shù)乘法分配律：
（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法計算法則求解即可；
（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法計算法則求解即可；
（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法計算法則求解即可；
（4）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律求解即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【變式2】（2024六年級上·上?！ｎ}練習）計算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【答案】(1)0；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)0；
(6)；
(7)1；
(8)
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法法則，正確運用有理數(shù)的乘法法則，尤其是符號法則，是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)0與任何數(shù)相乘都得0進行計算；
（2）根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負進行計算；
（3）根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負進行計算；
（4）根據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正進行計算；
（5）根據(jù)0與任何數(shù)相乘都得0進行計算；
（6）根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負進行計算；
（7）先利用乘法交換律，再根據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正進行計算；
（8）先計算括號中的式子，再根據(jù)兩數(shù)相乘，異號得負進行計算．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：；
（7）解：；
（8）解：．
題型02 多個有理數(shù)的乘法運算
【典例2】（2024七年級上·全國·專題練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】本題考查有理數(shù)的乘法運算，熟練掌握有理數(shù)的乘法運算法則是解決問題的關(guān)鍵．
根據(jù)有理數(shù)乘法運算直接求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．
根據(jù)有理數(shù)乘法法則，先確定結(jié)果的正負，再絕對值相乘，即可得到結(jié)果．0乘任何數(shù)都等于0．
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習）計算：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法法則，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵，
（1）首先根據(jù)負因數(shù)的個數(shù)可判斷積為負，再把絕對值相乘，然后約分計算即可；
（2）首先根據(jù)負因數(shù)的個數(shù)可判斷積為正，再把絕對值相乘，然后約分計算即可；
（3）觀察發(fā)現(xiàn)因數(shù)中有0，故結(jié)果為零．
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式．
【變式3】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)0
(2)35
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，解題關(guān)鍵是熟記有理數(shù)的乘法法則：幾個有理數(shù)相乘，其中有個因數(shù)為0，其積為0；幾個不為0的有理數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)個數(shù)決定，負因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)積為負，負因數(shù)個數(shù)為偶數(shù)積為正，并把絕對值相乘．根據(jù)有理數(shù)乘法法則進行計算便可．
【詳解】（1）解：；
（2）
；
（3）

；
（4）
．
題型03 有理數(shù)乘法運算律
【典例3】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）用簡便方法計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法，關(guān)鍵是熟記有理數(shù)乘法法則與運算定律．
（1）根據(jù)有理數(shù)乘法法則與乘法的結(jié)合律進行簡便運算；
（2）運用乘法的結(jié)合律與分配律進行簡便運算便可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【變式1】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）用簡便方法計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)35
【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法，熟記乘法法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法交換律和結(jié)合律計算即可；
（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法交換律和結(jié)合律計算即可．
【詳解】（1）
；
（2）
．
【變式2】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）用簡便方法計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本題考查有理數(shù)的運算，掌握乘法分配律是解題的關(guān)鍵．
（1）逆用乘法分配律進行計算即可；
（2）利用乘法分配律進行計算即可．
【詳解】（1）
；
（2）
．
【變式3】（23-24七年級上·浙江杭州·開學考試）計算與解釋
一道計算測試題為，小明計算如下：
解：
①
②
（ ）．③
(1)解題過程中第①步計算運用的運算律是______．第②步計算運用的運算律是______．
A．乘法結(jié)合律 B．乘法交換律 C．乘法分配律
(2)第③步運算結(jié)果是______．
【答案】(1)B，C
(2)
【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運算和乘法運算律，根據(jù)有理數(shù)的運算律進行解答和計算即可．
（1）根據(jù)計算使用的運算律進行解答即可；
（2）完成解答過程，寫出答案即可．
【詳解】（1）解：有題意可知，解題過程中第①步計算運用的運算律是乘法交換律．第②步計算運用的運算律是乘法分配律．
故答案為：B，C
（2）解：
．
故答案為：
題型04 倒數(shù)
【典例4】（23-24七年級上·福建福州·期末）的倒數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題考查了倒數(shù)，乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：的倒數(shù)是，
故答案為：．
【變式1】（23-24六年級上·山東泰安·階段練習）的倒數(shù)是 ，的絕對值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了倒數(shù)的概念、絕對值的性質(zhì)，掌握乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)、負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
則的倒數(shù)是，的絕對值是，
故答案為：，．
【變式2】（23-24七年級上·遼寧盤錦·期末）的倒數(shù)的相反數(shù)是 ．
【答案】/
【分析】本題考查倒數(shù)的定義，以及相反數(shù)的概念，根據(jù)倒數(shù)的定義先得到的倒數(shù)，再得出倒數(shù)的相反數(shù)即可解題．
【詳解】解：的倒數(shù)為，的相反數(shù)是．
的倒數(shù)的數(shù)的相反數(shù)是，
故答案為：．
【變式3】（23-24七年級上·河南商丘·期末）如果的相反數(shù)是，那么的倒數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了倒數(shù)和相反數(shù)的知識，理解并掌握倒數(shù)和相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)“只有符號不相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)；乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)”求解即可．
【詳解】解：如果的相反數(shù)是，
則，
所以，的倒數(shù)是．
故答案為：．
題型05 有理數(shù)乘法的實際應用
【典例5】（23-24七年級上·山東棗莊·階段練習）某自行車廠一周計劃生產(chǎn)輛自行車，平均每天生產(chǎn)輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入，如下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負）：
(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)______輛；
(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)______輛；
(3)該廠實行計件工資制，每輛車元，超額完成任務每輛獎元，少生產(chǎn)一輛扣元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？
【答案】(1)599
(2)26
(3)該廠工人這一周的工資是元
【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)以及有理數(shù)的混合運算，理解正負數(shù)的意義，掌握有理數(shù)的運算法則是關(guān)鍵．
（1）三天的計劃總數(shù)加上三天多生產(chǎn)的輛數(shù)的和即可；
（2）求出超產(chǎn)的最多數(shù)與減產(chǎn)的最少數(shù)的差即可；
（3）求得這一周生產(chǎn)的總輛數(shù)，然后按照工資標準求解．
【詳解】（1）解：前三天生產(chǎn)的輛數(shù)是輛)．
答案是：；
（2）解：輛)，
故答案是，
故答案為：；
（3）解：這一周多生產(chǎn)的總輛數(shù)是輛)．
元)．
答：該廠工人這一周的工資是元．
【變式1】（22-23七年級上·河南漯河·階段練習）某檢修小組乘一輛汽車沿東西走向的公路檢修線路，約定向東走為正，某天從A地出發(fā)到收工時，行走記錄如下（單位：）：，，，，，，，，，，．
(1)收工時，檢修小組在A地的哪一邊，距A地多遠？
(2)若汽車每千米耗油3升，已知汽車出發(fā)時油箱里有180升汽油，問收工前是否需要中途加油？若加，應加多少升？若不加，還剩多少升汽油？
【答案】(1)該小組在地的東邊，距地；
(2)收工前需要中途加油，應加15升．
【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是進行有理數(shù)的加法運算．
（1）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；
（2）根據(jù)單位耗油量乘以行車路程，可得答案．
【詳解】（1）解：．
答：該小組在地的東邊，距地；
（2）解：（升）．
小組從出發(fā)到收工耗油195升，
升升，
收工前需要中途加油，
應加：（升），
答：收工前需要中途加油，應加15升．
【變式2】（22-23七年級上·廣東茂名·階段練習）某淘寶商家計劃平均每天銷售某品牌兒童滑板車100輛，但由于種種原因，實際每天的銷售量與計劃量相比有出入．下表是某周的銷售情況（超額記為正、不足記為負）：
(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多銷售___________輛；
(2)本周實際銷售總量達到了計劃數(shù)量沒有？請說明理由．
(3)該店實行每日計件工資制，每銷售一輛車可得30元，若超額完成任務，則超過部分每輛另獎10元；少銷售一輛扣15元，那么該店鋪的銷售人員這一周的工資總額是多少元？
【答案】(1)29
(2)本周實際銷售總量達到了計劃數(shù)量
(3)21570元
【分析】本題考查有理數(shù)混合運算的實際應用：
（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷售量最多的一天為星期六，銷售量最少的一天為星期五，作差即可得到多銷售的數(shù)量；
（2）把增減的量都相加，然后根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則進行計算，即可得出結(jié)論；
（3）先計算每天的工資，再相加即可求解．
【詳解】（1）解：輛，
即銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多銷售29輛；
故答案為：29
（2）解：本周實際銷售總量達到了計劃數(shù)量，理由：
．
答：本周實際銷售總量達到了計劃數(shù)量；
（3）解：（元．
答：該店鋪的銷售人員這一周的工資總額是21570元．
題型06 有理數(shù)的除法運算
【典例6】（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)13
(2)
(3)0
(4)
【分析】此題是有理數(shù)的除法，主要考查了有理數(shù)除法的法則，進行計算時，先判斷符號，再絕對值相除．
（1）先判斷出符號，再絕對值相除即可；
（2）先判斷出符號，再絕對值相除即可；
（3）零除以任何一個不為零的數(shù)，商為零，
（4）先判斷出符號，再絕對值相除，既有分數(shù)，又有小數(shù)，一般把小數(shù)化為分數(shù)直接約分即可；
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【變式1】（23-24七年級上·全國·課堂例題）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)12
(2)
(3)
(4)
(5)5
(6)
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的除法法則進行計算即可；
（2）先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的除法法則，除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，進而求解即可；
（3）根據(jù)有理數(shù)的除法法則，除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，進而求解即可；
（4）先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的除法法則，除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，進而求解即可；
（5）根據(jù)有理數(shù)的除法法則，除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，進而求解即可；
（6）先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的除法法則，除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，進而求解即可．
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
；
（6）解：原式
．
【點睛】本題考查有理數(shù)的除法法則，熟練掌握有理數(shù)的除法法則是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)4
(2)
(3)0
(4)
【分析】本題主要考查了有理數(shù)除法運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)除法運算法則，準確計算．
（1）根據(jù)有理數(shù)除法運算法則進行計算即可；
（2）根據(jù)有理數(shù)除法運算法則進行計算即可；
（3）根據(jù)有理數(shù)除法運算法則進行計算即可；
（4）根據(jù)有理數(shù)除法運算法則進行計算即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：
．
【變式3】（23-24七年級上·全國·課堂例題）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)．
【答案】(1)
(2)3
(3)
(4)
(5)5
(6)
(7)
(8)
(9)27
(10)
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式；
（5）解：原式；
（6）解：原式；
（7）解：原式
；
（8）解：原式
；
（9）解：原式
；
（10）解：原式
．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的除法運算，1、除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；2、兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除（0除以任何一個非0的數(shù)，都得0）．
題型07 有理數(shù)的乘除混合運算
【典例7】（23-24六年級下·上海楊浦·期中）計算：
【答案】
【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘除法，根據(jù)有理數(shù)的乘除法運算法則計算即可．
【詳解】
【變式1】（23-24七年級上·山東德州·階段練習）計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出絕對值，根據(jù)有理數(shù)除法法則，將除法轉(zhuǎn)化成乘法，再按有理數(shù)乘法法則計算即可；
（2）根據(jù)有理數(shù)除法法則，將除法轉(zhuǎn)化成乘法，再按有理數(shù)乘法法則計算即可；
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【點睛】本題考查有理數(shù)乘除混合運算，熟練掌握有理數(shù)乘除混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（23-24七年級上·湖北武漢·階段練習）計算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)乘除混合運算法則進行計算即可；
（2）根據(jù)有理數(shù)乘除混合運算法則進行計算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)乘除混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)乘除混合運算法則，準確計算．
【變式3】（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)3
(3)
(4)
【詳解】（1）
；
（2）
（3）
；
（4）
.
【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減和乘除運算，熟練掌握運算法則和運算律是解題的關(guān)鍵.
題型08 有理數(shù)的乘除混合運算之新定義型問題
【典例8】（23-24七年級上·廣西防城港·期中）對于任意的有理數(shù)，定義新運算：，如．
試計算： ．
【答案】
【分析】利用定義的新運算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的混合運算，進一步計算得出答案即可．
【詳解】解：由題意得：，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查新定義下的運算，認真讀懂題意是關(guān)鍵．
【變式1】（23-24七年級上·浙江杭州·期中）定義一種新運算：，如，則 ．
【答案】0
【分析】本題考查了新定義，有理數(shù)混合運算，先根據(jù)新定義計算出，然后再根據(jù)新定義計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，．
故．
故答案為：0．
【變式2】（23-24七年級上·湖南懷化·期中）定義一種新的運算：，如，則= ．
【答案】
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，根據(jù)，可以求得所求式子的值，本題得以解決．
【詳解】解：，
∴
；
故答案為：
【變式3】（23-24七年級上·浙江衢州·期中）定義一種運算“”：，則 ， ．
【答案】 /
【分析】本題考查了新定義下的有理數(shù)混合運算，代入新定義運算即可求解，理解新運算的定義是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)新定義，，
∴；
．
故答案為：；
題型09 有理數(shù)的除法中絕對值之分類討論問題
【典例9】（23-24七年級上·黑龍江佳木斯·期末）a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．
(1)用“” “”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0；
(2)化簡：．
【答案】(1)，，，
(2)
【分析】本題主要考查了化簡絕對值，由數(shù)軸判斷式子的正負．
（1）由所給數(shù)軸即可判斷．
（2），據(jù)此即可化簡．
【詳解】（1）解：由數(shù)軸可知：，，，
∵，
∴
故答案為：，，，．
（2）
【變式1】（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）我們知道：在研究和解決數(shù)學問題時．當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究時，我們就需要根據(jù)數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將對象區(qū)分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”，這一數(shù)學思想用處非常廣泛，我們經(jīng)常用這種方法解答問題．
例如，我們在討論的值時，就會對進行分類討論，當時，；當時，；現(xiàn)在請你利用這一思想解決下列問題：
(1)填空：_________（）；_________（）
(2)若，求的值．
【答案】(1)1或，2或0或
(2)1或
【分析】本題主要考查了絕對值以及有理數(shù)的除法等知識點，
（1）分別利用a>0或分析得出答案；分或或或等情況討論得出答案；
（2）由得出中有兩個為正數(shù)，一個為負數(shù)或三個都為負數(shù)等情況討論得出答案；
正確分類討論得出答案是解題關(guān)鍵．
【詳解】（1）若有理數(shù)a不等于零，
當時，，
當時，；
∵，
∴，
當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
故答案為：1或；或2或0；
（2）∵，
∴中有兩個為正數(shù)，一個為負數(shù)或三個都為負數(shù)，
∴當中有兩個為正數(shù)，一個為負數(shù)時，

當三個都為負數(shù)時，
，
∴的值為1或．
【變式2】（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習）【總結(jié)提煉】
小明學習了絕對值的性質(zhì)后，有這樣的思考和總結(jié)：當時，，則；當時，，則．
【解決問題】
（1）若，則 ．
（2）若，則 ．
【拓展提升】
（3）若，計算：_________．
【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3
【分析】（1）分和，兩種情況進行討論求解即可；
（2）分 中有一個負數(shù)和三個均為負數(shù)，兩種情況進行討論求解；
（3）分，和，兩種情況，進行討論求解．
【詳解】解：（1）∵，
∴同號，
當時：；
當時：；
故答案為：或2；
（2）∵，
∴有兩種情況：有一個負數(shù)和兩個正數(shù)或三個均為負數(shù)，
當時，則：；
當有兩個正數(shù)和一個負數(shù)時，假設(shè)：，則：；
故答案為：或1；
（3）∵，
∴中有兩正一負，
①當時：則：均為正，
∴，
∴；
②當時，則：一正一負，
若，則：，此時：；
如，則：，此時：；
綜上，原式或或3．
故答案為：或或3
【點睛】本題考查化簡絕對值，有理數(shù)乘法的符號法則．熟練掌握絕對值的性質(zhì)，利用分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．
一、單選題
1．（2024·山東菏澤·二模）實數(shù)的倒數(shù)是，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了倒數(shù)，掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)求出a即可．
【詳解】解：∵的倒數(shù)是，
∴，
解得：，
．
2．（2023·云南臨滄·一模）計算的結(jié)果是（ ）
A．2B．C．6D．
【答案】B
【分析】此題考查了有理數(shù)的乘法，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則來計算，兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．
【詳解】
．
故選：B．
3．（22-23六年級上·山東泰安·階段練習）若，則一定有（ ）
A． B．，且C． D．a(chǎn)，b異號，且
【答案】D
【分析】本題考查有理數(shù)的除法，根據(jù)，可以分析出a與b異號，且分母不能為0，即，最后進行選擇即可．
【詳解】解：由題可知，，
即a與b異號，且分母不能為0，即，
故選：D．
4．（2024七年級上·全國·專題練習）將式子中的除法轉(zhuǎn)化為乘法運算，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了把有理數(shù)乘除混合運算統(tǒng)一為乘法運算，根據(jù)有理數(shù)的乘除法法則求解即可．
【詳解】解：把統(tǒng)一為加法運算為，
故選：B．
5．（2024·廣東·二模）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本題考查了化簡絕對值，有理數(shù)的除法運算，根據(jù)數(shù)軸確定的大小，可把絕對值進行化簡，再計算從而可得答案．
【詳解】解：由數(shù)軸可得：，
∴，
∴
，
故選B．
二、填空題
6．（23-24六年級下·上海徐匯·期末）計算： ．
【答案】
【分析】本題考查除法運算，掌握運算法則是解題關(guān)鍵．先將小數(shù)和帶分數(shù)轉(zhuǎn)換為假分數(shù)，再按照除法法則進行計算．
【詳解】解：
，
故答案為：．
7．（23-24七年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，數(shù)軸上兩點對應的數(shù)a、b，則 0（用“>”“

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